10. Kretsar med långsamt varierande ström

Transkript

1 1. Kretsar med långsamt varierande ström [RMC] Elektrodynamik, vt 213, Kai Nordlund Villkor för långsamt varierande I detta kapitel behandlas den teori som kan användas för att analysera kretsar med långsamt varierande ström. En ström är långsamt varierande om den inte ger upphov till signifikanta energiförluster p.g.a. strålning. Detta villkor är ekvivalent med att kräva att kretsens linjära dimension L är mycket mindre än våglängden λ i vakuum för den drivande spänningens vinkelfrekvens ω (i enheter av 1/s): L λ = 2π ω c c ν (1.1) där ν är frekvensen i enheter av hertz (Hz). Om vi använder L = λ/1 som villkor, får vi följande linjära maximidimensioner: Frekvens (Hz) λ/1 (m) (AM) , (FM, TV), (mobiltelefoni), (mikrovågor), 3 Elektrodynamik, vt 213, Kai Nordlund 1.2

2 För en normalstor krets kan vi med andra ord använda drivande spänningar med frekvenser upp till 1 7 Hz, förutsatt att analysen sker med de metoder som vi nu kommer att behandla. Elektrodynamik, vt 213, Kai Nordlund Transient och stationärt beteende Då en krets kopplas till en periodisk eller konstant spänning uppkommer en varierande transient ström, som så småningom stabiliseras till en periodisk eller konstant ström. Detta stabila tillstånd kalls också stationärt (eng. steady state). Vi kommer i det följande att behandla transient beteende i kretsar med konstant drivande spänning och stationärt beteende för harmoniska drivande spänningar. Elektrodynamik, vt 213, Kai Nordlund 1.4

3 1.3. Transient beteende för konstanta drivspänningar Vi granskar nu det transienta beteendet hos några elementära kretsar, som drivs av en konstant spänning RL-krets Kirchhoffs II lag ger E + V = RI (1.2) Elektrodynamik, vt 213, Kai Nordlund 1.5 Lösningen till denna differentialekvation är V = RI + L di dt (1.3) I(t) = V R I 1e t/(l/r) V R I 1e t/t c (1.4) där I 1 är en konstant. Vid starten t = t sluts kretsen, så I(t = t ) = : = V R I 1e t /t c (1.5) Detta ger I 1 = V R et /t c (1.6) så att vi får I(t) = V R [ ] 1 e (t t )/t c (1.7) Elektrodynamik, vt 213, Kai Nordlund 1.6

4 Tidskonstanten för denna krets är alltså t c = L R (1.8) RLC-krets Kirchhoffs II lag: V = RI + LI (t) + Q C = RI + LI (t) + 1 C där vi betecknat I (t) = di/dt. t dti(t) (1.9) Elektrodynamik, vt 213, Kai Nordlund 1.7 Derivera en gång med avseende på tiden: dv dt = RI (t) + LI (t) + I C = (1.1) eftersom spänningen är konstant. Vi får Lösningen är I (t) + R L I (t) + 1 LC I = (1.11) I(t) = ( Ae iωt + Be iωt) e t/(2l/r) (1.12) där 1 ω = LC R2 (1.13) 4L 2 Vi bör nu ta reda på värdet på (de komplexvärda) konstanterna A, B. Vid t = gäller I(t = ) = : = A + B = B = A (1.14) Elektrodynamik, vt 213, Kai Nordlund 1.8

5 så att ( I(t) = A e iωt e iωt) e t/(2l/r) = A2i sin(ωt)e t/(2l/r) (1.15) Strömmen är reell, så A måste vara imaginär. Definiera D = 2Ai så att vi får I(t) = D sin(ωt)e t/(2l/r) (1.16) D är fortfarande okänd. För att bestämma det återgår vi till det ursprungliga uttrycket för V, vilket ger: V = RI(t) + LI (t) + 1 C t dti(t) (1.17) Då t = gäller I = så man får med att derivera I(t) som just bestämts ovan: så att V = LI (t) = LD(ω cos(ωt) sin(ωt) 1 2L/R )e t/(2l/r) = LDω (1.18) t= D = V ωl = V L/C R2 /4 (1.19) Elektrodynamik, vt 213, Kai Nordlund 1.9 Vi har nu fått en oskillerande krets, trots att den drivande spänningen är konstant. Dock avtar amplituden med tiden, så denna oskillation dör bort efter några tidskonstanter t c. Denna är t c = 2L R (1.2) Elektrodynamik, vt 213, Kai Nordlund 1.1

6 1.4. Stationärt beteende för harmoniska drivspänningar Vi granskar nu det stationära beteendet hos några elementära kretsar, som drivs av en harmonisk (sinusoidal) spänning. I dylika räkningar är det mycket enklare att räkna med komplexvärda spänningar och strömmar, eftersom de trigonometriska funktionerna då ersätts med exponentialfunktioner, som är lättare att manipulera. Om vi använder den drivande spänningen får vi ut en komplexvärd ström V (t) = V e iωt (1.21) I(t) = I e iωt (1.22) För att få den fysikaliska strömmen måste vi först besluta om vår fysikaliska spänning är real- eller imaginärdelen av V e iωt. Om vi väljer imaginärdelen har vi V P (t) = Im[V (t)] = V sin(ωt) (1.23) Vi måste nu göra samma val för att få den fysikaliska strömmen: Elektrodynamik, vt 213, Kai Nordlund 1.11 I P (t) = Im[I(t)] (1.24) Oftast väljer man att V är reell, men detta betyder inte att I är det. I själva verket inkorporerar man en eventuell fasförskjutning mellan spänning och ström i den komplexa konstanten I RLC-krets Kirchhoffs II lag: Elektrodynamik, vt 213, Kai Nordlund 1.12

7 Derivera med avseende på t: V = RI + LI (t) + 1 C t dti(t) (1.25) dv dt = RI (t) + LI (t) + I C (1.26) Detta ger nu iωv e iωt = iωri e iωt ω 2 LI e iωt + I C eiωt (1.27) där vi har skrivit strömmen som I(t) = I e iωt. Dividera nu med iωe iωt : V = (R + iωl + 1 iωc )I ZI (1.28) Elektrodynamik, vt 213, Kai Nordlund 1.13 där Z kallas impedans. För denna seriekopplade krets har vi att Z = R + iωl i 1 ωc R + i(x L + X C ) (1.29) där X L är den induktiva reaktansen och X C den kapacitiva reaktansen. Impedansen kan alltid skrivas Z Z e iφ (1.3) där Z är impedansens storlek och φ en fasförskjutning. Det gäller i detta fall ur grundläggande komplexalgebra att Z = R 2 + tan φ = ωl 1 ωc R ( ωl 1 ) 2 (1.31) ωc (1.32) Elektrodynamik, vt 213, Kai Nordlund 1.14

8 Strömmen är nu I(t) = V (t) Z = V (t) Z e iφ = V Z eiωt iφ (1.33) Den verkliga strömmen är I P (t) = Im[I(t)] = Im[ V (t) Z ] = V Z Im[ei(ωt φ) ] = V sin(ωt φ) (1.34) Z I denna krets kommer strömmen att variera harmoniskt, så att den är före eller efter spänningen, beroende på tecknet för fasvinkeln φ. Låt oss se hur resistansen, induktansen och kapacitansen kan påverka strömmens styrka var för sig. Vi har ju Elektrodynamik, vt 213, Kai Nordlund 1.15 X L X C = ωl 1/(ωC) = ω2 1/(LC) (1.35) Från detta får vi två huvudsakliga asymptotiska fall: (1) Om X L X C så gäller ω 1/ LC och Z R 2 + ω 2 L 2 (1.36) tan φ ωl R (1.37) (1 a) Om nu R ωl så gäller ω R/L och Z ωl (1.38) tan φ φ π/2 (1.39) I det här fallet ges strömmens amplitud alltså av V /(ωl). Om vinkelfrekvensen är tillräckligt stor (men så att den uppfyller villkoret för långsamt varierande ström) så blir strömmen liten. Elektrodynamik, vt 213, Kai Nordlund 1.16

9 (1 b) Om istället R ωl så gäller ω R/L och Z R (1.4) tan φ φ (1.41) (2) Om X L X C så gäller ω 1/ LC och Z tan φ 1 ωrc R 2 + 1/(ω 2 C 2 ) (1.42) (1.43) (2 a) Om nu R 1/(ωC) så gäller ω 1/(RC) och Z 1/(ωC) (1.44) tan φ φ π/2 (1.45) Elektrodynamik, vt 213, Kai Nordlund 1.17 Strömmens amplitud blir nu ωcv, d.v.s. ju större kapacitans och vinkelfrekvens vi använder, desto starkare blir strömmen. (2 b) Om istället R 1/(ωC) så gäller ω 1/(RC) och Z R (1.46) tan φ φ (1.47) Resonans Om den drivande spänningen har en sådan vinkelfrekvens ω R att φ =, kommer ström och spänning att vara i fas (fall 1b och 2b ovan). Detta betyder att Z = R så att: ω R = 1 LC (1.48) Detta ger Elektrodynamik, vt 213, Kai Nordlund 1.18

10 I P (t) = V R sin(ω Rt) (1.49) Strömmen ser alltså ut som strömmen i en ren R-krets, och spänning och strömmen sägs vara i resonans. Elektrodynamik, vt 213, Kai Nordlund Serie- och parallellkoppling av impedanser I föegående sektion fick vi att för en krets där R, L, C är kopplade i serie kan den drivande spänningen skrivas V = V e iωt = ZI e iωt = ZI = (R + iωl + 1 iωc )I (Z R + Z L + Z C )I (1.5) eftersom R, L, C är i serie. Vi har ni visat att impedanserna för en resistor, induktor och kondensator är Elektrodynamik, vt 213, Kai Nordlund 1.2

11 Z R = R (1.51) Z L = iωl (1.52) Z C = 1 iωc = i ωc (1.53) Impedansen för en seriekoppling av N impedanser är alltså Z = N Z i (1.54) i=1 Om impedanserna är kopplade parallellt så har vi att spänningen över dem är densamma, V i = V j, så att Men totalströmmen är V = V i = V j Z i I i = Z j I j (1.55) I = V Z = I i + I j = V ( 1 Z i + 1 Z j ) (1.56) Elektrodynamik, vt 213, Kai Nordlund 1.21 så att ( 1 1 Z = + 1 ) Z i Z j (1.57) Impedansen för en parallellkoppling av N impedanser ges alltså av uttrycket 1 Z = N 1 (1.58) Z i i=1 Elektrodynamik, vt 213, Kai Nordlund 1.22

12 Exempel : R och C parallellkopplade. Bestäm strömmarna. Kirchhoffs II lag: där V (t) = V e iωt = RI 1 (t) = 1 C t dti 2 (t) (1.59) I(t) = I 1 (t) + I 2 (t) (1.6) Vi får I 1 (t) = V R eiωt (1.61) Elektrodynamik, vt 213, Kai Nordlund 1.23 och Derivera med avseende på tiden: V e iωt = 1 C t dti 2 (t) (1.62) iωv e iωt = 1 C I 2(t) (1.63) Vi får I 2 (t) = iωcv e iωt = ωcv e i(ωt+π/2) (1.64) Totala strömmen är I(t) = V ( 1 R + ωceiπ/2 ) e iωt (1.65) Om den fysikaliska drivspänningen är V (t) P = V sin(ωt) fås nu strömmarna I 1,P (t) = (V /R) sin(ωt) (1.66) I 2,P (t) = ωcv sin(ωt + π/2) (1.67) Elektrodynamik, vt 213, Kai Nordlund 1.24

13 Med ν = 1 Hz, R = 1 Ω, C = 1 6 F och V = 1 V fås följande graf:.15.1 I 1 I 2 I total Strom (A) Fas, t Elektrodynamik, vt 213, Kai Nordlund 1.25 Om kapacitansen höjs med en faktor 1 till C = 1 5 F:.15.1 I 1 I 2 I total Strom (A) Fas, t Elektrodynamik, vt 213, Kai Nordlund 1.26

14 1.6. Effektfaktor Den momentana effekt som konsumeras av en belastning (eng. load) eller belastande komponent/krets i en växelströmskrets är P (t) = I P (t)v P (t) (1.68) För en harmonisk drivande spänning gäller (jfr. ekvationerna 1.23 och 1.34): P (t) = V I sin(ωt) sin(ωt φ) (1.69) Observera att denna effekt kan vara både positiv och negativ. Negativ effekt betyder att kretsen ger effekt tillbaka till spänningskällan. Elektrodynamik, vt 213, Kai Nordlund 1.27 Momentan effekt, P(t)/(V I ) = - 9 = - 6 = - 3 = Momentan effekt, P(t)/(V I ) = = 3 = 6 = Fas, t Fas, t Tidsmedelvärdet över en period T = 1/ν = 2π/ω är P (t) = V I 1 T = V I 1 T = V I 1 T T T ( dt sin(ωt) sin(ωt φ) dt sin(ωt)(sin(ωt) cos φ cos(ωt) sin φ) cos φ T ) T dt sin 2 (ωt) sin φ dt sin(ωt) cos(ωt) Elektrodynamik, vt 213, Kai Nordlund 1.28

15 ( = V I 1 cos φ T T = V I 1 T T cos φ dt sin 2 (ωt) dt sin 2 (ωt) sin φ 1 2ω sin2 (ωt) = 1 2 V I cos φ (1.7) t=t t= ) eftersom sin(ωt ) = sin(2πνt ) = sin(2π) =. Den trigonometriska integralen kan lättast utföras genom att skriva om sin(ωt) med exponentialfunktioner. I ekvationen ovan kallas cos φ för effekt-faktorn. Observera att formeln ovan gäller endast för sinusoidala drivspänningar och strömmar. Elektrodynamik, vt 213, Kai Nordlund 1.29 Exempel : För en RLC-krets där resistansen dominerar över reaktansen gäller P (t) = 1 2 V 2 Om den induktiva reaktansen dominerar: 1 R cos = 1 2 V 2 1 R (1.71) P (t) = 1 2 V 2 Om den kapacitiva reaktansen dominerar fås igen p.g.a. fasvinkeln. 1 ωl cos π 2 = (1.72) Man definierar också effektiv- eller rms-värden för spänning V eff och ström I eff så att rms är förkortning för root-mean-square. Ekvationen ovan ger P (t) = 1 2 V I cos φ = V rms I rms cos φ (1.73) V rms = V 2 (1.74) Elektrodynamik, vt 213, Kai Nordlund 1.3

16 I rms = I 2 (1.75) Den konsumerade effekten är maximal om impedansen är en ren resistans, eller om spänningen och strömmen är i resonans p.g.a. lämplig kombination av induktiv och kapacitiv reaktans. I båda fallen fås φ =. För att effekten i en ström berör på fasskillnaden φ mellan V och I, och denna inte alltid är lätt att bestämma i praktiska fall, använder man i praktiskt bruk ofta också enheten VA (volt-ampere) för att beskriva växelström. Denna storhet, som betecknas helt enkelt VA, definieras som V A = V rms I rms (1.76) och är alltså lika med effekten P endast ifall φ =. Oftast anges VA som kilo-va och betecknas KVA (notera det stora K :et!) Skillnaden mellan effekt och VA är alltså effektfaktorn och definieras i praktiskt bruk som P F = P V A (1.77) Uppenbart gäller att P F = cos φ (1.78) [ Elektrodynamik, vt 213, Kai Nordlund 1.31 Exempel : Typiskt används KVA i reservströmkällor som UPS:ar ( uninterrupted power source ). För att tillverkaren av dessa omöjligen kan i förväg veta vad fasfaktorn i maskinerna som UPS:en kopplas till är, anger de gärna istället kapaciteten som KVA, som alltså anger hur mycket effekt UPS:en ger ifall den kopplas till ett rent resistiv system med φ =. För alla andra fall ges mindre effekt, och användaren måste veta sin effektfaktor för att veta UPS:ens kapacitet. Vanlig nätström i Finland anges ju ha spänningen 22 V. Detta är i själva verket just rms-spänningen, maximispänningen är alltså högre, ung. 31 V. Elektrodynamik, vt 213, Kai Nordlund 1.32