9. Magnetisk energi [RMC 12] Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 9.1
|
|
- Sara Jansson
- för 7 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 9. Magnetisk energi [RMC 12] Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 9.1
2 9.1. Magnetisk energi för en isolerad krets Arbetet som ett batteri utför då det för en laddning dq runt en krets, från batteriets anod A till dess katod B är: där V k är batteriets spänning. Kirchhoffs II lag: dw k = dq V k (9.1) E + i V k,i = j V j (9.2) Om all resistans kan kombineras till en enda resistor: så att V k = E + RI (9.3) dw k = dq V k = dq( E + RI) = Idt( E + RI) = IdtE + RI 2 dt (9.4) Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 9.2
3 Faradays lag ger E = dφ dt (9.5) dw k = IdΦ + RI 2 dt (9.6) Batteriets arbete går alltså till att bygga upp ett magnetiskt flöde Φ och därmed motverka den bromsande inducerade spänningen, och att dissipera värme-energi i resistorn. Om vi kan ignorera denna sistnämnda Joule-uppvärmning så får vi energin som går in i magnetfältet. Om inget annat förändras i kretsen, t.ex. kretsen behåller sin stela form och befinner sig hela tiden i vila, så har det utförda arbetet bara gått åt att öka på kretsens magnetiska energi: du M = IdΦ (9.7) Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 9.3
4 9.2. Magnetisk energi för kopplade kretsar Låt oss nu bestämma den magnetiska energin för N st kopplade kretsar. Arbetet som kretsarnas batterier utför är då Joule-uppvärmningen inte beaktas. dw k = N I i dφ i (9.8) i=1 Vi utför nu integreringen under antagande att strömmarna och flödena ökar samtidigt i alla kretsar, så att den tillfälliga strömmen i krets i är Detta ger I i αi i (9.9) För linjära magnetiska media gäller att Φ i I i, så induktansen di i = I idα (9.10) L i = dφ i di i = Φ i I i (9.11) Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 9.4
5 som ger I i L i = Φ i. Vi får nu att di i = Φ i L i dα (9.12) Men L i = L i = dφ i di i (9.13) så att dφ i = Φ idα (9.14) Vi har nu W k = = dw k = N 1 i=1 0 N i=1 I i αφ i dα I i dφ i Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 9.5
6 = = 1 2 N 1 I i Φ i dαα i=1 0 N I i Φ i (9.15) i=1 För ett system av N st kopplade, stationära och stela kretsar har vi alltså att den lagrade magnetiska energin är U M = 1 2 N I i Φ i (9.16) i=1 Om inge yttre fält är närvarande är flödesförändringarna orsakade av de övriga kretsarna. Då gäller dφ i = N dφ ij = j=1 N j=1 dφ ij di j di j = N M ij di j (9.17) j=1 Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 9.6
7 Vi får: U = dw b = N I i N M ij di j i=1 j=1 = N i=1 I i N j=1 1 M ij I j dαα 0 = 1 2 = 1 2 N i=1 N i=1 N M ij I i I j j=1 L i I 2 i +M 12 I 1 I 2 + M 13 I 1 I M 1N I 1 I N +M 23 I 2 I 3 + M 24 I 2 I M 2N I 2 I N M N 1,N I N 1 I N (9.18) Vi använde L i = M ii och M ij = M ji. Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 9.7
8 Exempel 1: En isolerad krets: Φ = LI (9.19) U = 1 2 IΦ = 1 2 LI2 = 1 2 Φ 2 L (9.20) Exempel 2: Två kopplade kretsar: Beteckna x = I 1 /I 2. Eftersom U 0 får vi U = 1 2 L 1I L 2I M 12I 1 I 2 (9.21) U = 1 2 I2 2 (L 1x 2 + L 2 + 2M 12 x) 0 (9.22) Nu kan vi beräkna minimi-energin som funktion av förhållandet mellan strömmarna x genom att derivera parentesen och sätta uttrycket till noll, x = M 12 L 1 (9.23) Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 9.8
9 och efter verifiering att andra derivatan är positiv. Minimi-energin: så att U min = I2 2 (M 12 + L 2 2 M 2 12 ) = 1 L 1 L 2 M 2 L 1 L 1 2 I (9.24) L 1 M L 1L 2 0 (9.25) eller ett uttryck som vi använde oss av tidigare. L 1 L 2 M 2 12 (9.26) Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 9.9
10 9.3. Det magnetiska fältets energi Som för elektriska laddningsfördelningar kan vi generalisera energin för magnetiska kretsar med hjälp av det fält dessa kretsar ger upphov till. Betrakta ett system av kretsar i ett linjärt magnetiskt medium. Flödet genom en av dessa kretsar är Φ i = A i da i B (9.27) En komplicerad krets kan delas upp i ett flertal slutna slingor. Detta gjorde vi redan tidigare när vi granskade kretsar med Kirchhoffs lagar. Vi kan nu skriva Φ i = da i B = da ij B A i j A ij = da ij ( A) j A ij = dr ij A (9.28) j C ij Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 9.10
11 Totala energin för det magnetiska fältet är nu U = 1 2 = 1 2 = 1 2 = 1 2 I i Φ i i I i i j C ij dr ij A I i dr ij A i j C ij i j V ij dv ij J ij A (9.29) Låt volymerna vara sådana att deras summa fyller upp hela volymen V. Vi får då där J = ij J ij. U = 1 2 V dv J A (9.30) Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 9.11
12 Fältekvationen för H är ju H = J (9.31) så vi får Med hjälp av U = 1 2 V dv ( H) A (9.32) (F G) = ( F) G ( G) F (9.33) fås nu U = 1 2 = 1 2 = 1 2 dv ( (H A) + ( A) H) V da (H A) + 1 dv ( A) H A 2 V da (H A) + 1 dv B H (9.34) A 2 V Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 9.12
13 Om strömmar inte förekommer i oändligheten och de magnetiska materialen inte är oändligt stora dör A bort som 1/r, och H som B som A som 1/r 2 p.g.a. magnetiskt material och som 1/r 2 p.g.a. strömmar. Kombinationen av H och A dör alltså bort som 1/r 3. da är proportionell mot r 2, så yt-integralen dör bort som 1/r och försvinner i oändligheten. Vi sitter nu kvar med U M = 1 2 V dv B H (9.35) där V omfattar hela rummet. Detta är energin för ett linjärt magnetiskt system. Energitätheten för isotropiska linjära media är u M = 1 2 B H = 1 2 µh2 = 1 2µ B2 (9.36) Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 9.13
14 9.4. Krafter och vridmoment på stela kretsar Vi betraktar nu ett magnetiskt system där en komponent tillåts röra sig under inverkan av magnetfältet. Strömmen i systemet hålls konstant Det arbete som den magnetiska kraften F utför på en rörlig komponent är dw I = F dr = dw k du M (9.37) där dw k är arbetet som utförs av externa batterier för att hålla strömmen konstant, och du M är förändringen i systemets magnetiska energi. Uttrycket för energin ger genast att du M = 1 2 I i dφ i (9.38) i Å andra sidan, batteriets arbete är dw k = i IdΦ i = 2dU M (9.39) Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 9.14
15 enligt första sektionen. Vi får nu att så att den magnetiska kraften på komponenten är dw I = du M (9.40) För vridmoment fås F = ( U M ) I (9.41) τ = ( θ U M ) I (9.42) Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 9.15
16 Flödet genom systemet hålls konstant Fortfarande gäller dw k = i IdΦ i (9.43) som nu är noll. Vi får då att dw Φ = du M (9.44) och F = ( U M ) Φ (9.45) Motsvarande, τ = ( θ U M ) Φ (9.46) Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 9.16
17 Exempel 1: Bestäm kraften mellan två stela kretsar som bär de konstanta strömmarna I 1 och I 2. Låt krets 1 utöva en kraft på krets 2, som flyttas som helhet. De flöden som kretsarna ger upphov till genom sig själva ändras inte, eftersom strömmarna och tvärsnittsytorna är oföränderliga. Det enda som ändrar är kretsarnas inbördes position. Alltså ändrar endast det ömsesidiga flödet, och vi får F 2 = 2 U = 2 ( 1 2 L 1I L 2I MI 1I 2 ) = I 1 I 2 2 M (9.47) där enligt Neumanns formel vi har att M = µ 0 4π C 1 dr 1 dr 2 C 2 r 1 r 2 (9.48) Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 9.17
18 Skriv om: r 1 = r 1,0 + s 1 (9.49) r 2 = r 2,0 + s 2 (9.50) Här är r i,0 (i = 1, 2) nån fixerad punkt för kretsen, t.ex. dess massmedelpunkt. Denna rör sig om kretsen rör sig. s i är en vektor som löper över kretsens kontur, och vars origo är i massmedelpunkten. I uttrycket för den ömsesidiga induktansen löper integreringen över konturerna: M = µ 0 4π C 1 ds 1 ds 2 C 2 s 2 s 2 + r 1,0 r 2,0 (9.51) Derivering med avseende på r 2 betyder för stela kretsar att vi deriverar med avseende på massmedelpunkten för krets 2: F 2 = 2 U = I 1 I 2 r2,0 µ 0 4π C 1 ds 1 ds 2 C 2 s 1 s 2 + r 1,0 r 2,0 Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 9.18
19 = I 1 I 2 µ 0 4π = I 1 I 2 µ 0 4π C 1 C 1 1 ds 1 ds 2 r2,0 C 2 s 1 s 2 + r 1,0 r 2,0 s 1 s 2 + r 1,0 r 2,0 ds 1 ds 2 (9.52) C 2 s 1 s 2 + r 1,0 r 2,0 3 Å andra sidan, Biot-Savarts lag säger att F 2 = µ 0 4π I dr 2 (dr 1 (r 2 r 1 )) 1I 2 (9.53) C 1 C 2 r 1 r 2 3 Vi kan nu för att vara konsekventa använda samma variabler i Biot-Savarts lag som i den tidigare ekvationen, men noteringarna blir lättare om vi istället återgår till r 1, r 2 : F 2 = I 1 I 2 µ 0 4π Detta uttryck och Biot-Savarts lag måste vara samma. Vi bevisar detta! C 1 C 2 (dr 1 dr 2 )(r 2 r 1 ) r 1 r 2 3 (9.54) Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 9.19
20 Vi har: dr 2 (dr 1 (r 2 r 1 )) = dr 1 (dr 2 (r 2 r 1 )) (r 2 r 1 )(dr 2 dr 1 ) (9.55) enligt BAC-CAB-regeln. Sista termen ger oss det F 2 -uttryck vi härlett ovan, så vi visar att första termen försvinner. Denna term ger integralen C 1 C 2 dr 1 (dr 2 (r 2 r 1 )) r 1 r 2 3 = C 1 dr 1 C 2 dr 2 (r 2 r 1 ) r 2 r 1 3 (9.56) Utför integralen över C 2 först. I integranden kommer r 1 att vara en konstant, så att vi kan införa variabeln v = r 2 r 1 med dv = dr 2 : C 1 dr 1 C 2 dv v v 3 = = C 1 dr 1 C 1 dr 1 dvv dv = dr C 2 v 3 1 C 1 C 2 v 2 ( ) 1 = dr 1 0 (9.57) v C 1 C 2 d för att en sluten kurvintegral över bara en variabel säkert blir 0. Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 9.20
21 OK! Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 9.21
22 Exempel 2: Låt en solenoid med längden L och N st lindningar av en tråd som bär strömmen I vara nästan fylld med en järnstav med den konstanta permabiliteten µ och den konstanta tvärsnittsarean A = πa 2. Låt solenoiden ha sin symmetriaxel parallell med z-axeln. Approximera att magnetfältet är konstant i all riktningar som är vinkelräta mot z, inom solenoiden. Låt solenoidens ändpunkter vara z = 0 och z = L. Om nu staven dras ut så att ena änden är i 0 < z < L medan den andra är utanför solenoiden, bestäm den kraft som påverkar staven i det nya läget. Strömmen hålls konstant under utdragandet. Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 9.22
23 Från tidigare vet vi att B z (z) = µ 0NI 2L (cos α 1 + cos α 2 ) = µ ( 0NI z 2L z2 + a + 2 = µ 0NI 2L ( ) L z (z L)2 + a 2 ) z z 2 + f + 1 z 2 (z 1) 2 + f 2 (9.58) med beteckningarna z = z/l och f = a/l. Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 9.23
24 Om solenoidens radie är 10% av dess längd, d.v.s. f = 0, 1 fås ett B z (z) beroende som i figuren. Från detta ser vi att B z utanför staven är mycket svagt, så vi kan ignorera fältet där ute i våra räkningar. Den magnetiska energin är nu U = 1 2 dv µh 2 = 1 2 V = 1 ( z 2 A dz µ 0 H z dz AµH 2 L z dz µh 2 ) (9.59) Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 9.24
25 Kraften är F = z U = 1 2 A z = 1 2 A ( z ( z dz µ 0 H L z dz µh 2 ) dz µ 0 z H2 (z ) + µ 0 H 2 (z = z) z z µ 0H 2 (z = 0) ) z ( L 2 A dz µ z H2 (z ) + µh 2 (z = L) z L µh2 (z = z) )(9.60) z z z Här användes Leibniz integralregel: u [ ] b(u) dxf(x, u) a(u) = b(u) a(u) dx f(x, u) u +f(b(u), u) u b(u) f(a(u), u) a(u) (9.61) u Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 9.25
26 Observera att z i integralerna är en hjälpvariabel som integreras bort och inte syns utanför integralen. Vi får inte derivera med avseende på denna! Nu försvinner de flesta termerna för derivatorna med avseende på z på termer som inte beror på denna variabel blir noll, och vi får F = 1 ) (µ 2 A 0 H 2 (z = z) µh 2 (z = z) = 1 2 A(µ 0 µ)h 2 (z = z) = 1 2 A(µ 0 µ 0 (1 + χ M ))H 2 (z = z) = 1 2 Aχ Mµ 0 H 2 (z = z) (9.62) Kraften är riktad till vänster i figuren, d.v.s. solenoiden vill dra in staven. Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 9.26
27 Exempel 3: Bestäm den cylinderradiella kraften på en solenoids lindningar, per längd. Antalet lindningar är N, strömmen i dessa är I, solenoidens radie är R och dess längd är L. Ignorera fältet utanför solenoiden. Energin är U M = 1 dv µh 2 2 = 1 ( ) NI 2 2 µ dv L = 1 ( ) NI 2 2 µπr2 L (9.63) L enligt tidigare approximation. Kraften i den cylinderradiella riktningen är, om strömmen hålls konstant: F ρ = ( U M ) ρ = ρ U M = 1 ( ) NI 2 2 µπ2rl (9.64) L Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 9.27
28 Den sökta kraften per längd är F ρ 2πRN = 1 2 µni2 L (9.65) Om i stället flödet hålls konstant får vi ett minustecken. Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 9.28
9. Magnetisk energi Magnetisk energi för en isolerad krets
9. Magnetisk energi [RM] Elektrodynamik, vt 013, Kai Nordlund 9.1 9.1. Magnetisk energi för en isolerad krets Arbetet som ett batteri utför då det för en laddning dq runt en krets, från batteriets anod
Läs mer9. Magnetisk energi Magnetisk energi för en isolerad krets
9. Magnetisk energi [RMC] Elektrodynamik, ht 005, Krister Henriksson 9.1 9.1. Magnetisk energi för en isolerad krets Arbetet som ett batteri utför då det för en laddning dq runt en krets, från batteriets
Läs merFaradays lag. ger. Låt oss nu bestämma den magnetiska energin för N st kopplade kretsar. Arbetet som kretsarnas batterier utför är
9. Magnetsk energ Faradays lag [RM] ger E dφ dt (9.5) dw k IdΦ + RI dt (9.6) Batterets arbete går alltså tll att bygga upp ett magnetskt flöde Φ och därmed motverka den bromsande nducerade spännngen, och
Läs mer14. Potentialer och fält
4. Potentialer och fält [Griffiths,RMC] För att beräkna strålningen från kontinuerliga laddningsfördelningar och punktladdningar måste deras el- och magnetfält vara kända. Dessa är i de flesta fall enklast
Läs mer8. Elektromagnetisk induktion
8. Elektromagnetisk induktion [RMC] Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 8.1 8.1. Faradays lag [Jackson, W. V. Houston: The laws of electromagnetic induction, m. J. Phys. 7 (1939) 373] År 1831 utförde
Läs mer14. Potentialer och fält
14. Potentialer och fält [Griffiths,RMC] För att beräkna strålningen från kontinuerliga laddningsfördelningar och punktladdningar måste deras el- och magnetfält vara kända. Dessa är i de flesta fall enklast
Läs mer8. Elektromagnetisk induktion
[RM] 8. Elektromagnetisk induktion problematiskt både i att det inte är fråga om en kraft i enheter av Newton, dels för att termen har många olika, delvis inkonsistenta definitioner (se wikipedia:electromotive
Läs mer8. Elektromagnetisk induktion
8. Elektromagnetisk induktion [RM] Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 8.1 8.1. Faradays lag [Jackson, W. V. Houston: The laws of electromagnetic induction, m. J. Phys. 7 (1939) 373] År 1831 utförde
Läs merStrålningsfält och fotoner. Kapitel 23: Faradays lag
Strålningsfält och fotoner Kapitel 23: Faradays lag Faradays lag Tidsvarierande magnetiska fält inducerar elektriska fält, eller elektrisk spänning i en krets. Om strömmen genom en solenoid ökar, ökar
Läs merTentamen i El- och vågrörelselära,
Tentamen i El- och vågrörelselära, 23 2 8 Hjälpmedel: Physics Handbook, räknare. Ensfäriskkopparkulamedradie = 5mmharladdningenQ = 2.5 0 3 C. Beräkna det elektriska fältet som funktion av avståndet från
Läs merBra tabell i ert formelblad
Bra tabell i ert formelblad Vi har gått igenom hur magnetfält alstrar krafter, kap. 7. Vi har gått igenom hur strömmar alstrar magnetfält, kap. 8. Återstår att lära sig hur strömmarna alstras. Tidigare
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. 1. En svängningsrörelse beskrivs av
SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 13-3-1 DEL A 1. En svängningsrörelse beskrivs av ( πx ) u(x, t) = A cos λ πft där amplituden A, våglängden λ och frekvensen f är givna konstanter.
Läs merRep. Kap. 27 som behandlade kraften på en laddningar från ett B-fält.
Rep. Kap. 7 som behandlade kraften på en laddningar från ett -fält. Kraft på laddning i rörelse Kraft på ström i ledare Gauss sats för -fältet Inte så användbar som den för E-fältet, eftersom flödet här
Läs merFöreläsning 8. Ohms lag (Kap. 7.1) 7.1 i Griffiths
1 Föreläsning 8 7.1 i Griffiths Ohms lag (Kap. 7.1) i är bekanta med Ohms lag i kretsteori som = RI. En mer generell framställning är vårt mål här. Sambandet mellan strömtätheten J och den elektriska fältstyrkan
Läs merSensorer, effektorer och fysik. Grundläggande fysikaliska begrepp som är viktiga inom mättekniken
Sensorer, effektorer och fysik Grundläggande fysikaliska begrepp som är viktiga inom mättekniken Innehåll Grundläggande begrepp inom mekanik. Elektriskt fält och elektrisk potential. Gauss lag Dielektrika
Läs merTentamen i tmv036c och tmv035c, Analys och linjär algebra C för K, Kf och Bt A =, = det(a λi) = e 2t + c 2. x(t) = c 1. = c 1.
Institutionen för matematiska vetenskaper Chalmers tekniska högskola Niklas Eriksen Tentamen i tmv6c och tmv5c, Analys och linjär algebra C för K, Kf och Bt Lösningar 9--6. Lös initialvärdesproblemet x
Läs merTentamen i El- och vågrörelselära,
Tentamen i El- och vågrörelselära, 05-0-05. Beräknastorlekochriktningpådetelektriskafältetipunkten(x,y) = (4,4)cm som orsakas av laddningarna q = Q i origo, q = Q i punkten (x,y) = (0,4) cm och q = Q i
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 213-8-22 DEL A 1. Betrakta funktionen f(x, y) ln(x 2 + xy 2 4). a) Bestäm tangentplanet till funktionsytan z f(x, y) i den punkt på ytan där x 1
Läs merFFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar
FFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar hristian Forssén, Institutionen för fysik, halmers, Göteborg, verige ep 6, 217 3. Integraler Det mesta av detta material förutsätts vara
Läs merLösningar till tentamen i Elektromagnetisk fältteori för Π3 & F3
Lösningar till tentamen i Elektromagnetisk fältteori för Π3 & F3 Tid och plats: januari 2, kl. 4.9., i MA. Kursansvarig lärare: Christian Sohl, tel. 222 34 3. Tillåtna hjälpmedel: Formelsamling i elektromagnetisk
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 16-8-18 DEL A 1 Låt D vara det område ovanför x-axeln i xy-planet som begränsas av cirkeln x + y = 1 samt linjerna y = x oc y = x Beräkna x-koordinaten
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 215-3-16 DEL A 1. Låt f(x, y) = 1 x 2 y 2. (a) Skissa nivåkurvorna f(x, y) = c till f för c =, c = 1 och c = 2. (1 p) (b) Beräkna gradf(x, y) i de
Läs merTenta svar. E(r) = E(r)ˆr. Vi tillämpar Gauss sats på de tre områdena och väljer integrationsytan S till en sfär med radie r:
Tenta 56 svar Uppgift a) På grund av sfäriskt symmetri ansätter vi att: E(r) = E(r)ˆr Vi tillämpar Gauss sats på de tre områdena och väljer integrationsytan S till en sfär med radie r: 2π π Q innesluten
Läs merInföra begreppen ström, strömtäthet och resistans Ohms lag Tillämpningar på enkla kretsar Energi och effekt i kretsar
Kapitel: 25 Ström, motstånd och emf (Nu lämnar vi elektrostatiken) Visa under vilka villkor det kan finnas E-fält i ledare Införa begreppet emf (electromotoric force) Beskriva laddningars rörelse i ledare
Läs merIntegraler av vektorfält Mats Persson
Föreläsning 1/8 Integraler av vektorfält Mats Persson 1 Linjeintegraler Exempel: En partikel rör sig längs en kurva r(τ) under inverkan av en kraft F(r). i vill då beräkna arbetet som kraften utövar på
Läs merSF1646 Analys i flera variabler Tentamen 18 augusti 2011, Svar och lösningsförslag
SF1646 Analys i flera variabler Tentamen 18 augusti 11, 14. - 19. Svar och lösningsförslag (1) Låt f(x, y) = xy ln(x + y ). I vilken riktning är riktningsderivatan till f i punkten (1, ) som störst, och
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 23-5-27 DEL A. Bestäm alla punkter på ytan z = x 2 + 4y 2 i vilka tangentplanet är parallellt med planet x + y + z =. 4 p) Lösning. Tangentplanet
Läs merav envariabelfunktionen g(t) och flervariabelfunktionen t = h(x, y) = x 2 + e y.)
Lösningsskisser till TATA69 Flervariabelanalys 16-1- 1 Stationära punkter ges av f (4x 3 + 4x, 3y + 6z, z + 6y (,,, dvs (x, y, z (,, eller (x, y, z (, 6, 18 Ur andraderivatorna fås de kvadratiska formerna
Läs merSkriftlig tentamen i Elektromagnetisk fältteori för π3 (ETEF01) och F3 (ETE055)
Skriftlig tentamen i Elektromagnetisk fältteori för π (ETEF0) och F (ETE055) Tid och plats: 4 januari, 06, kl. 8.00.00, lokal: Sparta B. Kursansvarig lärare: Anders Karlsson, tel. 40 89. Tillåtna hjälpmedel:
Läs mer= 0. Båda skärningsvinklarna är således π/2 (ortogonala riktningsvektorer).
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud SF163, ifferential- och integralkalkyl II, del 2, flervariabel, för F1. Tentamen torsdag 19 augusti 21, 14. - 19. Inga hjälpmedel är tillåtna. Svar och
Läs merTentamensskrivning i Ellära: FK4005e Fredag, 11 juni 2010, kl 9:00-15:00 Uppgifter och Svar
Tentamensskrivning i Ellära: FK4005e Fredag, 11 juni 2010, kl 9:00-15:00 Uppgifter och Svar Ge dina olika steg i räkningen, och förklara tydligt ditt resonemang! Ge rätt enhet när det behövs. Tillåtna
Läs mer93FY51/ STN1 Elektromagnetism Tenta : svar och anvisningar
17317 93FY51 1 93FY51/ TN1 Elektromagnetism Tenta 17317: svar och anvisningar Uppgift 1 a) Av symmetrin följer att: och därmed: Q = D d D(r) = D(r)ˆr E(r) = E(r)ˆr Vi väljer ytan till en sfär med radie
Läs merIN Inst. för Fysik och materialvetenskap ---------------------------------------------------------------------------------------------- INSTRUKTION TILL LABORATIONEN INDUKTION ---------------------------------------------------------------------------------------------
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 216-6-7 DEL A 1. Låt S vara ellipsoiden som ges av ekvationen x 2 + 2y 2 + 3z 2 = 5. (a) Bestäm en normalvektor till S i en punkt (x, y, z ) på S.
Läs merInstitutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud 5B 7, ifferential- och integralkalkyl II, del 2, flervariabel, för F. Tentamen fredag 25 maj 27, 8.-3. Förslag till lösningar (ändrat 28/5-7, 29/5-7).
Läs merMotorprincipen. William Sandqvist
Motorprincipen En strömförande ledare befinner sig i ett magnetfält B (längden l är den del av ledaren som befinner sig i fältet). De magnetiska kraftlinjerna får inte korsa varandra. Fältet förstärks
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 18 augusti 2016
Institutionen för matematik SF166 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 18 augusti 16 Skrivtid: 8:-1: Tillåtna jälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger
Läs merStrålningsfält och fotoner. Våren 2013
Strålningsfält och fotoner Våren 2013 1. Fält i rymden Vi har lärt oss att beräkna elektriska fält utgående från laddningarna som orsakar dem Kan vi härleda nånting åt andra hållet? 2 1.1 Gauss lag Låt
Läs merStrålningsfält och fotoner. Våren 2016
Strålningsfält och fotoner Våren 2016 1. Fält i rymden Vi har lärt oss att beräkna elektriska fält utgående från laddningarna som orsakar dem Kan vi härleda nånting åt andra hållet? 2 1.1 Gauss lag Låt
Läs merTentamen SF1626, Analys i flera variabler, Svar och lösningsförslag. 2. en punkt på randkurvan förutom hörnen, eller
Tentamen SF66, Analys i flera variabler, --8 Svar och lösningsförslag. Låt fx, y) = ye x y. Bestäm största och minsta värde till f på den slutna kvadraten med hörn i, ),, ),, ) och, ). Lösning. f är kontinuerlig
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen 18 augusti 2011, Svar och lösningsförslag
SF166 Flervariabelanalys entamen 18 augusti 11, 14. - 19. Svar och lösningsförslag 1) Låt fx, y) = xy lnx + y ). I vilken riktning är riktningsderivatan till f i punkten 1, ) som störst, och hur stor är
Läs merSF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A. r cos t + (r cos t) 2 + (r sin t) 2) rdrdt.
1. Beräkna integralen medelpunkt i origo. SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen 218-3-14 D DEL A (x + x 2 + y 2 ) dx dy där D är en cirkelskiva med radie a och Lösningsförslag.
Läs merMaxwell insåg att dessa ekvationer inte var kompletta!! Kontinutetsekvationen. J = ρ
1 Föreläsning 10 7.3.1-7.3.3, 7.3.6, 8.1.2 i Griffiths Maxwells ekvationer (Kap. 7.3) åra modellagar, som de ser ut nu, är E(r,t) = B(r,t) Faradays lag H(r,t) = J(r,t) Ampères lag D(r,t) = ρ(r,t) Gauss
Läs merLösningsskiss för tentamen Vektorfält och klassisk fysik (FFM234 och FFM232)
Lösningsskiss för tentamen Vektorfält och klassisk fysik (FFM23 och FFM232) Tid och plats: Måndagen den 29 oktober 208 klockan 00-800, Maskinsalar Lösningsskiss: Christian Forssén Detta är enbart en skiss
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-6-4 DEL A 1. Funktionen f är definierad på området som ges av olikheterna x > 1/ och y > genom f(x, y) ln(x 1) + ln(y) xy x. (a) Förklara vad det
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 7 juni 2016
Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 7 juni 216 Skrivtid: 8:-13: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger
Läs merElektrodynamik. Elektrostatik. 4πε. eller. F q. ekv
1 Elektrodynamik I det allmänna fallet finns det tidsberoende källor för fälten, dvs. laddningar i rörelse och tidsberoende strömmar. Fälten blir då i allmänhet tidsberoende. Vi ser då att de elektriska
Läs merFormelsamling. Elektromagnetisk fältteori för F och Pi ETE055 & ETEF01
Formelsamling Elektromagnetisk fältteori för F och Pi ETE055 & ETEF01 Institutionen för elektro- och informationsteknik Lunds tekniska högskola Juni 014 Innehåll 1 Elstatik 1 Likström 4 3 Magnetostatik
Läs merTentamen i El- och vågrörelselära,
Tentamen i El- och vågrörelselära, 204 08 28. Beräkna den totala kraft på laddningen q = 7.5 nc i origo som orsakas av laddningarna q 2 = 6 nc i punkten x,y) = 5,0) cm och q 3 = 0 nc i x,y) = 3,4) cm.
Läs merx ( f u 2y + f v 2x) xy = 24 och C = f
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud SF160, Differential- och integralkalkyl II, del 2, flervariabel, för F1. Tentamen onsdag 0 maj 2012, 8.00-1.00 Förslag till lösningar 1. Bestäm tangentplanet
Läs mer18. Sammanfattning Ursprung och form av fältena Elektrostatik Kraft, fält och potential 2 21, (18.3)
18. Sammanfattning 18.2. Ursprung och form av fältena Elektriska laddningar (monopoler) i vila ger upphov till elfält Elektriska laddningar i rörelse ger upphov till magnetfält Elektriska laddningar i
Läs mer18. Sammanfattning Kraft, fält och potential. Krafter F är fysikaliskt mätbara storheter Elfält beror på kraften som F = Eq (18.
18. Sammanfattning Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 18.1 18.1. Kraft, fält och potential Krafter F är fysikaliskt mätbara storheter Elfält beror på kraften som F = Eq (18.1) Potential φ är en matematisk
Läs mer18. Sammanfattning. Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 18.1
18. Sammanfattning Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 18.1 18.1. Kraft, fält och potential Krafter F är fysikaliskt mätbara storheter Elfält beror på kraften som F = Eq (18.1) Potential φ är en matematisk
Läs mer10. Kretsar med långsamt varierande ström
1. Kretsar med långsamt varierande ström [RMC] Elektrodynamik, ht 25, Krister Henriksson 1.1 1.1. Villkor för långsamt varierande I detta kapitel behandlas den teori som kan användas för att analysera
Läs merVecka 4 INDUKTION OCH INDUKTANS (HRW 30-31) EM-OSCILLATIONER OCH VÄXELSTRÖMSKRETSAR
Vecka 4 INDUKTION OCH INDUKTANS (HRW 30-31) EM-OSCILLATIONER OCH VÄXELSTRÖMSKRETSAR Inlärningsmål Induktion och induktans Faradays lag och inducerad källspänning Lentz lag Energiomvandling vid induktion
Läs merTentamen Modellering och simulering inom fältteori, 8 januari, 2007
1 Institutionen för elektrovetenskap Tentamen Modellering och simulering inom fältteori, 8 januari, 2007 Tillåtna hjälpmedel: Formelsamling i Elektromagnetisk fältteori arje uppgift ger 10 poäng. Delbetyget
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 23-- DEL A. Bestäm en ekvation för tangentplanet i punkten (,, 2 till ellipsoiden 2x 2 +3y 2 +z 2 = 9. (4 p Lösning. Vi uppfattar ytan som nivåytan
Läs mer5. Elektrisk ström [RMC] Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 5.1
5. Elektrisk ström [RMC] Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 5.1 5.1. Introduktion Hittills har vi granskat egenskaper hos statiska laddningsfördelningar, d.v.s. laddningar i vila. Vi ska nu undersöka
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 16 mars 2015
Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 16 mars 215 Skrivtid: 8:-13: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 4-9-6 DEL A. Betrakta följande tre områden i planet: D = {(x, y): x y < 4}, D = {(x, y): x + y }, D 3 = {(x, y): 4x + 3y
Läs mer10. Kretsar med långsamt varierande ström
10. Kretsar med långsamt varierande ström [RMC] Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 10.1 10.1. Villkor för långsamt varierande I detta kapitel behandlas den teori som kan användas för att analysera kretsar
Läs mer10. Kretsar med långsamt varierande ström
1. Kretsar med långsamt varierande ström [RMC] Elektrodynamik, vt 213, Kai Nordlund 1.1 1.1. Villkor för långsamt varierande I detta kapitel behandlas den teori som kan användas för att analysera kretsar
Läs merisolerande skikt positiv laddning Q=CV negativ laddning -Q V V
1 Föreläsning 5 Hambley avsnitt 3.1 3.6 Kondensatorn och spolen [3.1 3.6] Kondensatorn och spolen är två mycket viktiga kretskomponenter. Kondensatorn kan lagra elektrisk energi och spolen magnetisk energi.
Läs merhar ekvation (2, 3, 4) (x 1, y 1, z 1) = 0, eller 2x + 3y + 4z = 9. b) Vi söker P 1 = F (1, 1, 1) + F (1, 1, 1) (x 1, y 1, z 1) = 2x + 3y + 4z.
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud SF163, ifferential- och integralkalkyl II, del, flervariabel, för F1. Tentamen onsdag 7 maj 9, 1.-19. 1. Låt F (x, y, z) sin(x + y z) + x + y + 6z. a)
Läs mer5. Elektrisk ström Introduktion
5. Elektrisk ström [RMC] Elektrodynamik, ht 2005, Krister Henriksson 5.1 5.1. ntroduktion Hittills har vi granskat egenskaper hos statiska laddningsfördelningar, d.v.s. laddningar i vila. Vi ska nu undersöka
Läs mer6. Magnetostatik I: Magnetfältet från tidsoberoende strömmar
6. Magnetostatik I: Magnetfältet från tidsoberoende strömmar [RM] Elektrodynamik, vt 213, Kai Nordlund 6.1 6.1. Magnetisk flödestäthet Man kan visa att om två laddningar q och q rör sig med de konstanta
Läs mer6. Magnetostatik I: Magnetfältet från tidsoberoende strömmar
6. Magnetostatik I: Magnetfältet från tidsoberoende strömmar [RM] Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 6.1 6.1. Magnetisk flödestäthet Man kan visa att om två laddningar q och q rör sig med de konstanta
Läs merLösningsförslag envariabelanalys
Lösningsförslag envariabelanalys 09-06-05. Ekvationen är linjär och har det karakteristiska polynomet pr) = r 4 + r 3 + 5r = r r + r + 5) = r r + i)r + + i). Således ges lösningarna till den homogena ekvationen
Läs merTentamen TMA044 Flervariabelanalys E2
Tentamen TMA44 Flervariabelanalys E 4--3 kl. 8.3.3 Examinator: Peter Hegarty, Matematiska vetenskaper, halmers Telefonvakt: Elin Solberg, telefon: 73 88 34 Hjälpmedel: bifogat formelblad, ordlistan från
Läs merSF1626 Flervariabelanalys
1 / 28 SF1626 Flervariabelanalys Föreläsning 2 Hans Thunberg Institutionen för matematik, KTH VT 2018, Period 4 2 / 28 SF1626 Flervariabelanalys Dagens lektion: avsnitt 11.1 11.3 Funktioner från R till
Läs merInstitutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys. Lösningsförslag till tentamen Måndagen den 5 juni 2017 DEL A
Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen Måndagen den 5 juni 7 DEL A. En kulles höjd ges av z 6,x,y där enheten är meter på alla tre koordinataxlar. (a) I vilken
Läs merTentamen i matematik. f(x) = ln(ln(x)),
Lösningsförslag Högskolan i Skövde (SK, JS) Tentamen i matematik Kurs: MA52G Matematisk Analys MA23G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 203-05- kl 4.30-9.30 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver
Läs merStrålningsfält och fotoner. Kapitel 23: Faradays lag
Strålningsfält och fotoner Kapitel 23: Faradays lag Faradays lag Tidsvarierande magnetiska fält inducerar elektriska fält, eller elektrisk spänning i en krets. Om strömmen genom en solenoid ökar, ökar
Läs mer10. Kretsar med långsamt varierande ström
. Kretsar med långsamt varierande ström För en normalstor krets kan vi med andra ord använda drivande spänningar med frekvenser upp till 7 Hz, förutsatt att analysen sker med de metoder som vi nu kommer
Läs merInlämningsuppgift nr 2, lösningar
UPPALA UNIVRITT MATMATIKA INTITUTIONN Bo tyf Flervariabelanalys K, X m.fl. Höstterminen 8 Inlämningsuppgift nr, lösningar. Visa att ekvationen x + x(y ) + (y ) + z + sin(yz) definierar z som en funktion
Läs merSvar till övningar. Nanovetenskapliga tankeverktyg.
Svar till övningar. Nanovetenskapliga tankeverktyg. January 18, 2010 Vecka 2 Komplexa fourierserier 1. Fourierkomponenterna ges av dvs vi har fourierserien f(t) = π 2 + 1 π n 0 { π n = 0 c n = 2 ( 1) n
Läs merVIKTIGA TILLÄMPNINGAR AV GRUNDLÄGGANDE BEGREPP
Appendix VIKTIGA TIÄMPNINGA AV GUNDÄGGANDE BEGEPP I detta appendix diskuteras viktiga tillämpningar av grundläggande begrepp inom vektoranalysen. Exemplen är främst hämtade från den elektromagnetiska teorin.
Läs mer3. Lösning av elektrostatiska problem för dielektrika
[RMC] 3. Lösning av elektrostatiska problem för dielektrika Eftersom de minsta beståndsdelarna i ett dielektrikum är molekyler kan man definiera ett molekylärt dipolmoment Nu gäller p m = mol dqr (3.3)
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 4-3-7 EL A. Betrakta funktionen f, y y. a Beräkna riktningsderivatan av f i punkten, i den riktning som ges av vektorn 4, 3. p b Finns det någon riktning
Läs mer3. Lösning av elektrostatiska problem för dielektrika
3. Lösning av elektrostatiska problem för dielektrika [RMC] Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 3.1 3.1. Dielektrika Ett perfekt dielektrikum (isolator) är ett material som inte innehåller några fria
Läs mer3. Lösning av elektrostatiska problem för dielektrika
3. Lösning av elektrostatiska problem för dielektrika [RMC] Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 3.1 3.1. Dielektrika Ett perfekt dielektrikum (isolator) är ett material som inte innehåller några fria
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF66 Flervariabelanals Lösningsförslag till tentamen --9 EL A. En kulle beskrivs approximativt av funktionen 5 hx, ) + 3x + i lämpliga enheter där hx, ) är höjden. Om du befinner dig i punkten,, ) på kullen,
Läs merVisa att vektorfältet F har en potential och bestäm denna. a. F = (3x 2 y 2 + y, 2x 3 y + x) b. F = (2x + y, x + 2z, 2y 2z)
Kap. 15.1 15.2, 15.4, 16.3. Vektorfält, integralkurva, konservativa fält, potential, linjeintegraler av vektorfält, enkelt sammanhängande område, oberoendet av vägen, Greens formel. A 1701. Undersök om
Läs merSkriftlig tentamen i Elektromagnetisk fältteori för π3 (ETEF01) och F3 (ETE055)
Skriftlig tentamen i Elektromagnetisk fältteori för π (ETEF01 och F (ETE055 1 Tid och plats: 6 oktober, 016, kl. 14.00 19.00, lokal: Gasquesalen. Kursansvarig lärare: Anders Karlsson, tel. 40 89 och 07-5958.
Läs merTentamen: Lösningsförslag
Tentamen: Lösningsförslag Onsdag 5 mars 7 8:-3: SF674 Flervariabelanalys Inga hjälpmedel är tillåtna. Max: 4 poäng. 4 poäng Avgör om följande gränsvärde existerar och beräkna gränsvärdet om det existerar:
Läs mer5. Elektrisk ström [RMC] Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 5.1
5. Elektrisk ström [RMC] Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 5.1 5.1. Introduktion Hittills har vi granskat egenskaper hos statiska laddningsfördelningar, d.v.s. laddningar i vila. Vi ska nu undersöka
Läs merTentamen Modellering och simulering inom fältteori, 21 oktober, 2006
Institutionen för elektrovetenskap Tentamen Modellering och simulering inom fältteori, oktober, 006 Tillåtna hjälpmedel: Formelsamling i Elektromagnetisk fältteori Varje uppgift ger 0 poäng. Delbetyget
Läs merFK Elektromagnetism, Fysikum, Stockholms universitet Tentamensskrivning (1:a omtentan), tisdag 17 juni 2014, kl 9:00-14:00
FK4010 - Elektromagnetism, Fysikum, Stockholms universitet Tentamensskrivning (1:a omtentan), tisdag 17 juni 2014, kl 9:00-14:00 Läs noggrant genom hela tentan först. Börja med uppgifterna som du tror
Läs merLösningsförslag till tentamen Onsdagen den 15 mars 2017 DEL A
Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen Onsdagen den 5 mars 7 DEL A. I nedanstående rätvinkliga koordinatsystem är varje ruta en enhet lång. (a) Bestäm de rymdpolära
Läs merOscillerande dipol i ett inhomogent magnetfält
Ú Institutionen för fysik 2014 08 11 Kjell Rönnmark Oscillerande dipol i ett inhomogent magnetfält Syfte Magnetisk dipol och harmonisk oscillator är två mycket viktiga modeller inom fysiken. Laborationens
Läs merTentamen i ELEKTROMAGNETISM I, för F1 och Q1 (1FA514)
Uppsala universitet Institutionen för fysik och astronomi Tentamen i ELEKTROMAGNETISM I, 05-06-04 för F och Q (FA54) Skrivtid: 5 tim Kan även skrivas av studenter på andra program där FA54 ingår Hjälpmedel:
Läs merTentamen i ELEKTROMAGNETISM I, för W2 och ES2 (1FA514)
Uppsala universitet Institutionen för fysik och astronomi Kod: Program: Tentamen i ELEKTROMAGNETISM I, 2016-03-19 för W2 och ES2 (1FA514) Kan även skrivas av studenter på andra program där 1FA514 ingår
Läs mer5. Elektrisk ström Introduktion
5. Elektrisk ström [RMC] Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 5.1 5.1. Introduktion Hittills har vi granskat egenskaper hos statiska laddningsfördelningar, d.v.s. laddningar i vila. Vi ska nu undersöka
Läs mer11. Maxwells ekvationer och vågekvationen
11. Maxwells ekvationer och vågekvationen [RMC] Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 11.1 11.1. Förskjutningsströmmen Skotten James Clerk Maxwell (1831-1879) noterade år 1864 att Ampères lag dr H = C
Läs mer11. Maxwells ekvationer och vågekvationen
11. Maxwells ekvationer och vågekvationen [RMC] Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 11.1 11.1. Förskjutningsströmmen Skotten James Clerk Maxwell (1831-1879) noterade år 1864 att mpères lag dr H = d J
Läs merLösningsförslag Inlämningsuppgift 3 Kapacitans, ström, resistans
Inst. för fysik och astronomi 2017-11-26 1 Lösningsförslag Inlämningsuppgift 3 Kapacitans, ström, resistans Elektromagnetism I, 5 hp, för ES och W (1FA514) höstterminen 2017 (3.1) En plattkondensator har
Läs merTentamen i Elektromagnetisk fältteori för π3 och Modellering och simulering inom fältteori för F3, 24 augusti, 2009, kl
Tentamen i Elektromagnetisk fältteori för π3 och Modellering och simulering inom fältteori för F3, 24 augusti, 2009, kl. 08.0013.00, lokal: MA9AB Kursansvariga lärare: Gerhard Kristensson, tel. 222 45
Läs mer15. Strålande system
15. Strålande system [Griffiths,RMC] Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 15.1 15.1. Introduktion Laddningar i vila eller i likformig rörelse skapar inte elektromagnetiska vågor för detta krävs att laddningarna
Läs mer