VIKTIGA TILLÄMPNINGAR AV GRUNDLÄGGANDE BEGREPP
|
|
- Bo Ström
- för 4 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Appendix VIKTIGA TIÄMPNINGA AV GUNDÄGGANDE BEGEPP I detta appendix diskuteras viktiga tillämpningar av grundläggande begrepp inom vektoranalysen. Exemplen är främst hämtade från den elektromagnetiska teorin. A.1 inje-, yt- och volymstäthet Masstätheten (densiteten) för en kropp är en välkänd storhet. Om densiteten inte varierar i kroppen blir den matematiska behandligen av masstäthet ofta enkel. Med volymen V och massan M fås kroppens densitet då helt enkelt som = M/V. Men hur beräknar man exempelvis massan av en kropp i vilken densiteten varierar? Vi behöver nu betrakta en infinitesimal volym dv och dess motsvarande infinitesimala massa dm (se Figur A.1(a)) för att beräkna dess lokala densitet (i kg/m ) dm ( r ) = (A.1) dv där ortsvektorn r just anger att densiteten är lokalt definierad; den refererar till punkten r = (x, y, ). I praktiska fall är omvändningen vanligast; vi känner till den lokala masstätheten och vill beräkna den totala massan. Vi behöver då integrera uttrycket i (A.1) över hela kroppens volym: M V = r dv. (A.) I en del fall kan kroppen vara så tunn att den har karaktären av en tunn yta. Då kan det vara praktiskt att introducera yttätheten, definierad som ρ s = dm/d där d är en infinitesimal delyta av ytan. I andra fall, där kroppen har karaktären av en tråd eller kurva, är det praktiskt att definiera linjetätheten ρ l = dm/dl där dl är ett infinitesimalt linjesegment längs kurvan. Figurerna A.1(b) och A.1(c) illustrerar detta. Figur A.1 Infinitesimala volym-, yt- och linjelement. Appendix, Vektoranalys författarna och iber AB 1
2 Analogt med masstäthet kan täthet definieras även för andra (skalära) fysiska storheter; man talar exempelvis om strömtäthet, energitäthet, krafttäthet och så vidare. Ett viktigt exempel är elektrisk laddningstäthet. åt oss anta att kroppen i Figur A.1(a) är elektriskt laddad och att laddningen i den infinitesimala volymen dv är dq. Då kan (volym)laddningstätheten ρ V definieras analogt med ekvation (A.1). Därmed fås den infinitesimala laddningen dq som V dq = r dv. (A.) Den totala laddningen i kroppen blir då volymsintegralen av (A.): V V Q = r dv. (A.4) Om vi i stället betraktar en yta, som i Figur A.1(b), får vi dq = r d (A.5) Q = r d (A.6) där ρ s är ytladdningstätheten och (A.6) är ett exempel på en ytintegral. Väljer vi i stället en kurva, exempelvis en elektriskt ledande tråd, fås l dq = r dl (A.7) l Q = r dl (A.8) där ρ l är elektrisk linjetäthet och (A.8) ett exempel på en linjeintegral. Beräkningar av volyms, yt- och linjeintegraler kräver som regel matematiska verktyg som behandlas i Kapitel 6 och 7. För problem med cylindersymmetri eller sfärisk symmetri är det emellertid ofta möjligt att förenkla beräkningarna och använda de infinitesimala element som introduceras i Kapitel. Vi ska nu studera tre exempel. Exempel A.1. injeladdningstäthet En tråd är formad som en halvcirkel med cetrum i origo och med radie ; se Figur A.(a). Tråden är elektriskt laddad med linjeladdningstätheten ρ l = ρ cosφ (den varierar alltså längs tråden). Vi vill nu beräkna totala laddningen på tråden. åt oss därför införa ett infinitesimalt längdelement dl längs tråden. Eftersom tråden är cirkelformad kan vi använda uttrycket (.9) för linjeelement i cylindriska koordinater. adien är ju konstant, så vi låter = : dl = d. (A.9) Med användning av (A.7) får vi den infinitesimala laddningen dq = = cos ldl d (A.1) som integreras till / / / Q= dq = cos d = sin =. (A.11) / Appendix, Vektoranalys författarna och iber AB
3 Figur A. Geometri för exemplen A.1, A. och A.. Exempel A.. Ytladdningstäthet En yta är formad som en halvsfär med basen parallell med x-planet, centrum i origo och med en radie enligt Figur A.(b). Ytan är elektriskt laddad med ytladdningstätheten ρ = ρ sinφ. Beräkna totala laddningen på ytan. Vi inleder med att betrakta en infinitesimal delyta d. Eftersom ytan har sfärisk form kan vi använda oss av uttrycket för infinitesimala delytor i sfäriska koordinater; se (.15). Då radien av sfären är konstant, kan vi sätta r = : d = sindd. (A.1) Med användning av (A.5) fås d som integreras till Q= d = sin sind d (A.1) dq sind sind cos cos 4 Q = = = =. (A.14) Exempel A.. Volymladdningstäthet En kropp V är cylinderformad med axeln längs -axeln, basen i xy-planet, radien och höjden, se Figur A.(c). Kroppen är elektriskt laddad med volymladdningstätheten ρ V = ρ (1 ρ ). Beräkna kroppens totala laddning. Appendix, Vektoranalys författarna och iber AB
4 Vi inför ett infinitesimalt volymselement dv i kroppen. Eftersom kroppen har cylindersymmetri kan vi använda uttrycket för en infinitesimal volym i cylindriska koordinater. Observera att vi kan inte låta = eftersom hela volymen ska täckas vid integreringen. Variabeln är alltså ej konstant. Vi har dv = ddd. (A.15) Med användning av (A.) fås 1 dq = V dv = ddd som kan integreras till (notera att vi integrerar ut till kroppens yttre radie ). (A.16) Q = dq = 1 ddd = 1 d = d = = = = 6 (A.17) Figur A. Geometri för elektriska fält som genereras av (a) punktladdningar och (b) ett elektriskt laddat föremål. Appendix, Vektoranalys författarna och iber AB 4
5 A. Elektriska fält från punktladdningar och elektriskt laddade kroppar Elektriska fältet från en punktladdning Q, placerad i origo, beskrevs i sektion. med hjälp av ett sfäriskt koordinatsystem. I mer generella fall kan laddningar befinna sig på andra ställen; se Figur A.. Hur beräknas det elektriska fältet i dessa fall? Vi antar att laddningen befinner sig i en punkt med ortsvektorn r 1. Nu söker vi det elektriska fältet i punkten P som associeras med ortsvektorn r, se Figur A.(a). I förhoppning om att samma metod som vid lösning av problemet med laddningen i origo fungerar, så behöver vi riktningen av det elektriska fältet och det kvadratiska avståndet mellan laddningen och punkten P. åt d vara riktningen som pekar från laddningen till punkten P. Vi normaliserar så att d = 1. Figur A.(a) visar att riktningen från laddningen till P är r r 1. Alltså blir ˆ r r1 d =. (A.18) r r 1 Avståndet mellan P och laddningen är r r 1 som kvadrerat blir r r 1. Detta ger elektriska fältet q1 r r1 E = (A.19) 4 r r 1 för en enskild punktladdning. I fallet två punktladdningar, som i Figur A.(a), adderas (superponeras) helt enkelt fälten från var och en av punktladdningarna: q1 r r1 q r r E = +. (A.) 4 r r 4 r r 1 Har vi N elektriska laddningar, identifierade med ortsvektorerna r i, får vi det elektriska fältet i punkten P med ortsvektorn r som E = q r r N i i. (A.1) i= 1 4 r ri En liknande analys kan göras då vi vill beräkna det elektriska fältet från en elektriskt laddad kropp. Vi studerar en kropp med volymen V och antar att dess volymladdningstäthet är ρ V (r ). Vi skriver ut ortsvektorn r för att beteckna att ρ V inte är konstant utan varierar i rummet. Vi vill nu beräkna totalfältet från kroppen i punkten P med ortsvektorn r. om första steg betraktar vi ett infinitesimalt volymselement dv i V, associerat med ortsvektorn r ; se Figur A.(b). Den infinitesimala laddningen i dv är dq = ρ V (r )dv. Nu kan vi använda (A.19) för att beräkna det infinitesimala elektriska fältet de i P, genererat av laddningen dq: ( ) dq r r r dv V r r de = = 4 4 r r r r. (A.) Det totala elektriska fältet, slutligen, fås genom att integrera (A.) över hela volymen V: ( r r ) ( r ) E( r ) = V dv. (A.) V 4 r r Vi kan nu ställa upp motsvarande formler för fallen att vi har en elektriskt laddad yta med ytladdningstäthet ρ, alternativt en elektriskt laddad tråd med linjeladdningstätheten ρ l ; Appendix, Vektoranalys författarna och iber AB 5
6 ( r r ) ( r ) E( r ) = d (A.4) 4 r r ( r r ) ( r ) E( r ) = l dl. (A.5) 4 r r Det är värt att poängtera att i formlerna (A.)-(A.5) står r för den position i vilken vi vill veta fältet, medan r representerar positionen för det infinitesimala elementet med delladdningen dq. Motsvarande integraler kan, i generella fall, vara besvärliga att beräkna. Vi introducerar lösningsmetoder i Kapitel 6 och 7. Det är emellertid instruktivt att i detta skede beräkna dem för några fall med cylindersymmetri eller sfärisk symmetri. Vi avslutar därför denna sektion med att diskutera två sådana fall. Figur A.4 Geometrier för exempel A.4 och A.5. Exempel A.4. Det elektriska fältet från en laddad ledare En rak ledare med längd b är elektriskt laddad med konstant linjeladdningstäthet ρ l. Antag att ledaren är orienterad längs -axeln och centrerad i origo; se Figur A.4(a). Beräkna det elektriska fältet i en punkt P lokaliserad i xy-planet. Det står klart att vi behöver beräkna integralen i (A.5) för att få ett uttryck för fältet. Eftersom ledaren är orienterad längs en axel har vi cylindersymmetri och kan däför använda ett cylindriskt koordinatsystem där ortsvektorn har formen r = ρe ρ + e ; se (.8). För att lösa integralen behöver ta följande tre steg: (I) ta fram ett uttryck för punkten P:s ortsvektor r, (II) uttrycka positionen r för en infinitesimal linjeladdning på ledaren och (III) ge ett uttryck för ett infinitesimalt linjeelement längs ledaren: (I) Eftersom P har placerats i xy-planet är =. Ortsvektorn till P, i cylinderkoordinater, blir r = ˆ (A.6) (II) e där utgör avståndet mellan P och -axeln. addningen är lokaliserad till ledaren, dvs till -axeln. Detta ger =. Ortsvektorn till den infinitesimala linjeladdningen blir då Appendix, Vektoranalys författarna och iber AB 6
7 (III) r = eˆ (A.7) där anger den position laddningen befinner sig på. Kom ihåg att primade variabler används för att utmärka de variabler som ska integreras. Eftersom tråden följer -axeln blir linjeelementet dl med laddning dq helt enkelt dl = d. (A.8) Vi kan nu slutföra insättningen i (A.). Vi har r r = eˆ eˆ (A.9) r r = + (A.) ( r r ) eˆ eˆ dl = r r + / ( ) l 4 ( + ) / d vilket ger E( r ) = eˆ eˆ d = (laddningstätheten är konstant i detta exempel och kan flyttas utanför integralen) eˆ ˆ e l = = / 4 d + eˆ e ˆ = = 4 d 4 d ( ) + ( + ) l l / / (A.1) (A.) (A.) (notera att e ρ ej beror av och kan flyttas utanför integralen, som beskrivet i ektion.4, och att e är konstant och också kan flyttas utanför integrationen) b 1 b = eˆ eˆ = eˆ l l l b b b Det elektriska fältet blir l b E( r ) = + b eˆ b (A.4). (A.5) Det framgår att det elektriska fätet endast har en radiell komponent. Detta kommer sig av att fältet är beräknat i xy-planet och att tråden är centrerad i =. Varje -komponent från infinitesimala fältbidrag genererade för > kancelleras alltså av motsvarande, motriktade fält för <. Exempel A.5. Det elektriska fältet från en halvsfär En kropp med formen av en halvsfär, centrerad i origo med radie och basen i xy-planet är elektriskt laddad (se Figur A.4(b)). Volymsladdningstätheten är ρ V = ρ (1 r ). Beräkna det elektriska fältet i origo. För att beräkna det elektriska fältet behöver vi lösa integralen (A.). Problemets geometri inspirerar till sfäriska koordinater. Ortsvektorn är r = re r; se (.14). För att lösa integralen behöver vi utföra tre preliminära steg: (I) uttrycka positionen r där vi vill beräkna fältet, (II) ange positionen r för en infinitesimal laddning som befinner sig innanför volymen och (III) uttrycka det infinitesimala volymselementet: Appendix, Vektoranalys författarna och iber AB 7
8 (I) (II) Punkten där vi vill beräkna fältet är origo; r = (,,) =. (A.6) Den infinitesimala laddningen befinner sig på radien: r = r eˆ (A.7) r där r är avståndet från laddningen till origo. (III) I sfäriska koordinater kan det infinitesimala volymselementet uttryckas som (se (.15)) dv = r sin d d dr (A.8) Vi har använt primade variabler för att förtydliga de variabler som ska integreras över. Vi kan nu skriva följande uttryck som ingår i integralen (A.) r r = r e ˆr (A.9) r r = r (A.4) ( r r ) re ˆ r r Integralen blir dv = r sin d d dr = eˆ r sin d d dr. (A.41) r r = 1 sin = / r E eˆ r d d dr 4 (A.4) Notera här att laddningstätheten refererar till den infinitesimala punktladdningen i r ; därför måste den också anges med ett primtecken. Notera också att basvektorn e r beror av vinklarna och, så den kan inte placeras utanför integralen. Vi behöver vidare konvertera e r till ett kartesiskt koordinatsystem med hjälp av (.1): 4 / r = + + = 4 1 ( sin cos eˆ sin sin ˆ cos ˆ x ey e ) sin d d dr (A.4) / r = 1 sin cos e d d dr + 4 ( ˆx ) / r 1 sin sin e d d dr + ( ˆy ) / r 1 ( sin cos eˆ ) d d dr 4 = (e x, e y och e är oberoende av, och r, så de kan flyttas utanför integralen) = + 4 / r eˆ x 1 sin cos d d dr + 4 / r eˆ y 1 sin sin d d dr / r eˆ 1 sin cos d d dr 4 = (A.44) (A.45) Appendix, Vektoranalys författarna och iber AB 8
9 π (notera att cosφ dφ = integralen) Vi får slutligen π och sinφ dφ =, så x- och y- komponenterna ger inget bidrag till / r = eˆ ( sin cos ) d 1 dr = 4 (A.46) / cos r 1 eˆ ˆ ˆ r e e = = = 8 (A.47) E( r ) ˆ = e. (A.48) 8 På grund av problemets symmetri kancelleras x- och y-komponenterna av elektriska fältet från en infinitesimal laddning i r, och av de komponenter som produceras av infinitesimala laddningar på motsatt sida, i r, och +. Därför ger endast -komponenten bidrag till fältet. A. trömtäthet Vi har bekantat oss med problemställningar där elektriska strömmar I flyter längs trådar med elektriskt motstånd. För dessa problem antas ofta att tråden är infinitesimalt tunn. I verkligheten har emellertid varje ledare en ändlig tjocklek. Dessutom är det vanligt att strömmen, som flyter i ledaren, koncentrerar sig mer i vissa delar av ledaren och mindre i andra delar. Exempelvis kan mer ström flyta i centrum av en ledare än i dess utkanter. För att kunna beskriva denna situation behöver vi införa strömtätheten j. trömtäthet definieras som en vektor, vars storlek i varje punkt utgörs av den lokala elektriska strömmen di per enhetsarea d; j di = (A.49) d och vars riktning bestäms av riktningen för de elektriska laddningarnas rörelse. Om strömtätheten är känd, kan (A.49) användas för att bestämma den totala strömmen som flyter genom ytan : I = j d. (A.5) Detta är ett exempel på ett flöde. Vi lär oss metoder för att beräkna det i Kapitel 7. I en geometri, där strömtätheten är riktad vinkelrät mot, som i Figur A.5, kan denna integral förenklas till I = j d. (A.51) Denna integral kan enkelt beräknas om vi kan uttrycka det infinitesimala ytelementet d med en användbar parametrisering. Appendix, Vektoranalys författarna och iber AB 9
10 Exempel A.6. trömtätheten i en rak ledare åt oss anta att den raka ledaren i Figur A.5 har cirkulärt tvärsnitt med radie och att strömtätheten inuti tråden beskrivs av r j ( r) = j ˆ 1 ey (A.5) där r är avståndet till ledarens symmetriaxel. Vi vill beräkna den totala strömmen som flyter genom ledaren. Inledningsvis kan vi notera från (A.5) att strömtätheten har sitt maximumvärde på axeln r =, där det gäller att j () = j e y. Vidare minskar strömtätheten linjärt mot randen r =, där j () =. edarens tvärsnittsarea är cirkulär, så för att uttrycka d använder vi en cylindrisk parametrisering, vilken, genom att utnyttja (.9), blir d = rddr (A.5) där r varierar från (på trådens axel) till (vid randen) och varierar från till. Nu kan vi enkelt beräkna den totala strömmen som flyter genom tråden med hjälp av (A.5): r I = j d = j 1 rddr = r r r j j r dr j. = = = (A.54) Figur A.5 Geometri till Exempel A.6. En strömtäthet j flyter längs y-axeln genom en rak ledare med cirkulärt tvärsnitt och radie. Appendix, Vektoranalys författarna och iber AB 1
11 A.4 äkneövningar Övning A.1. En cirkulär spole har radien, centrum i origo och ligger i xy-planet. Den linjära laddningstätheten i spolen är λ = λ cos 5 φ. Beräkna den totala elektriska laddningen i spolen. Övning A.. En halvcylindrisk yta med radien och axeln längs -axeln ligger i xy-planet på x <. Ytan har längden h. e Figur A.6(a). Masstätheten i ytan beskrivs av σ = σ ρ cosφ, där ρ, φ och är cylinderkoordinater. Beräkna ytans masas. Övning A.. En del av en sfärisk yta med radien befinner sig i första kvadranten (x >, y >, > ), se Figur A.6(b). addningstätheten i ytan beskrivs av σ = σ rsinθ, där r, θ och φ är sfäriska koordinater. Beräkna den totala elektriska laddningen i ytan. Figur A.6. Geometri för övning A. och övning A. Övning A.4. Ett föremål definieras som /4 av en cylinder med radien, höjden h och axeln längs -axeln. Centrum av cylindern ligger i origo. Delen av cylindern visas i Figur A.7(a), med ytan 1 i x-planet och ytan i y-planet. addningstätheten ρ c i cylindern beskrivs av ρ c = ρ ρsinφ, där ρ, φ och är cylinder-koordinater. Beräkna den totala elektriska laddningen i föremålet. Övning A.5. En sfär med radien har centrum i origo. Betrakta ett föremål som definieras som delen av sfären som ligger i kvadranten x <, y <, > ; e Figur A.7(b). addningstätheten beskrivs av ρ c = ρ rcosφ, där r, θ och φ är sfäriska koordinater. Beräkna den elektriska laddningen i föremålet. Appendix, Vektoranalys författarna och iber AB 11
12 Figur A.7. Geometri för övning A.4 och övning A.5 Övning A.6. En elektrisk ström I flyter i en cirkulär spole. polen har radien r, centrum i origo och befinner sig i planet =. e Figur A.8(a). Biot-avarts lag lyder: I Br = 4 ( ) dl r r r r där dl är ett infinitesimalt längdelement längs spolen (kurvan ), r är en vektor från origo till dl, r är positionsvektorn (från origo till punkten där vi vill beräkna B ). Beräkna magnetfältet B längs -axeln. Figur A.8. Geometri för övning A.6, övning A.8 och övning A.1 Appendix, Vektoranalys författarna och iber AB 1
13 Övning A.7. Kraften F på en ledare med den elektriska strömmen I, i det magnetiska fältet B är:. F = I dl B Beräkna kraften F på en cirkulär strömslinga (radie och centrum i origo). ligger i xy-planet (=) och omsluter -axeln en gång. Magnetiska fältet B definieras i ett cylindriskt koordinatsystem: Övning A.8. ( cos sin ) B = B ˆ ˆ e + e. E (r ) är det elektriska fältet i en punkt vars ortsvektor är r. Fältets källa är en yta,, med konstant laddningstäthet σ. Under dessa förutsättningar beräknas E (r ) som: ( ) 1 r r d Er = 4 r r där d är ett infinitesimalt ytelement på (ej riktat), r är en vektor från origo till d, r är positionsvektorn (från origo till punkten där vi vill beräkna E ). Ytan är en cirkulär skiva som ligger i xyplanet ( = ). kivan har centrum i origo och radie. e Figur A.8(b). Beräkna elektriska fältet E längs -axeln. Övning A.9. Betrakta en stel cirkulär spole med radie. polen har centrum i origo och ligger i planet x =. addningstätheten i spolen beskrivs av λ l = λ cosθ. I origo finns en elektriskt laddad partikel med laddning Q som generar ett elektriskt fält enligt 1 E = 4 Q eˆ r r Den infinitesimala laddningen dq på ett längdelement dl är dq = λ l dl. Kraften på dq som produceras av elektriska fältet är df = E dq. Beräkna den totala kraften på spolen. Övning A.1. En elektrisk ström I går i en halvcirkulär spole med radie r. polen ligger på planet = och har centrum i origo, se Figur A.8(c). Använd Biot-avarts lag (se övning A.6) för att beräkna magnetfältet B längs -axeln. Övning A.11. En halvsfärisk yta med radie ligger i = planet med centrum i origo, se Figur A.9(a). Ytan har konstant laddningstäthet σ. Beräkna elektriska fältet E i origo. Appendix, Vektoranalys författarna och iber AB 1
14 Övning A.1. E (r ) är det elektriska fältet i en punkt vars ortsvektor är r. Fältets källa är en yta,, med konstant laddningstäthet σ. Under dessa förutsättningar beräknas E (r ) som ( ) 1 r r d Er = 4 r r där d är ett infinitesimalt ytelement på (skalärt, ej riktat), r är en vektor från origo till d, r är positionsvektorn (från origo till punkten där vi vill beräkna E ). Ytan är en halvcylinder med radie och höjden. Halvcylindern har axeln riktad längs -axeln och är definierad för x ; se Figur A.9(b). Beräkna elektriska fältet E i origo. Figur A.9. Geometri för övning A.11 och övning A.1. Appendix, Vektoranalys författarna och iber AB 14
15 A.5 var till räkneövningar Övning A.1. Q = Övning A.. M = h Övning A.. Övning A.4. Övning A.5. Övning A.6. Övning A.7. Övning A.8. Övning A.9. Q = 8 Q = h Q = 4 4 I B( r ) = F = IB e E( r ) r ˆx ( r + ) ˆ = e Q ˆ F = e 4 / eˆ + Övning A.1. Övning A.11. Övning A.1. I 1 B( r ) = r e + r e / 4 E ( r ) = 4 e E r ( r + ) = e 1/ x ˆ ( + ) ( ˆ ˆ x ) ˆ Appendix, Vektoranalys författarna och iber AB 15
Föreläsning 2 1. Till varje punkt i rummet tilldelas en vektor. ( ) = T ( x, y, z,t) ( ) = v x
Föreläsning 2 1 Matematiska grundbegrepp Fält kalärfält: Vektorfält: Till varje punkt i rummet tilldelas en skalär Exempel: Temperaturen i olika punkter i rummet, T r,t ( ) = T ( x, y, z,t) Till varje
Läs merFormelsamling. Elektromagnetisk fältteori för F och Pi ETE055 & ETEF01
Formelsamling Elektromagnetisk fältteori för F och Pi ETE055 & ETEF01 Institutionen för elektro- och informationsteknik Lunds tekniska högskola Juni 014 Innehåll 1 Elstatik 1 Likström 4 3 Magnetostatik
Läs merRep. Kap. 27 som behandlade kraften på en laddningar från ett B-fält.
Rep. Kap. 7 som behandlade kraften på en laddningar från ett -fält. Kraft på laddning i rörelse Kraft på ström i ledare Gauss sats för -fältet Inte så användbar som den för E-fältet, eftersom flödet här
Läs merElektrodynamik. Elektrostatik. 4πε. eller. F q. ekv
1 Elektrodynamik I det allmänna fallet finns det tidsberoende källor för fälten, dvs. laddningar i rörelse och tidsberoende strömmar. Fälten blir då i allmänhet tidsberoende. Vi ser då att de elektriska
Läs merIntegraler av vektorfält Mats Persson
Föreläsning 1/8 Integraler av vektorfält Mats Persson 1 Linjeintegraler Exempel: En partikel rör sig längs en kurva r(τ) under inverkan av en kraft F(r). i vill då beräkna arbetet som kraften utövar på
Läs merFFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar
FFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar hristian Forssén, Institutionen för fysik, halmers, Göteborg, verige ep 6, 217 3. Integraler Det mesta av detta material förutsätts vara
Läs mer9. Magnetisk energi Magnetisk energi för en isolerad krets
9. Magnetisk energi [RMC] Elektrodynamik, ht 005, Krister Henriksson 9.1 9.1. Magnetisk energi för en isolerad krets Arbetet som ett batteri utför då det för en laddning dq runt en krets, från batteriets
Läs merVektoranalys I. Anders Karlsson. Institutionen för elektro- och informationsteknik
Vektoranalys I Anders Karlsson Institutionen för elektro- och informationsteknik 2 september 2015 Översikt över de tre föreläsningarna 1. Grundläggande begrepp inom vektoranalysen, nablaoperatorn samt
Läs merANDREAS REJBRAND 2007-11-03 Elektromagnetism http://www.rejbrand.se. Coulombs lag och Maxwells första ekvation
ANDREA REJBRAND 2007-11-03 Elektromagnetism http://www.rejbrand.se oulombs lag och Maxwells första ekvation oulombs lag och Maxwells första ekvation Inledning Två punktladdningar q 1 samt q 2 i rymden
Läs merTentamen i El- och vågrörelselära,
Tentamen i El- och vågrörelselära, 204 08 28. Beräkna den totala kraft på laddningen q = 7.5 nc i origo som orsakas av laddningarna q 2 = 6 nc i punkten x,y) = 5,0) cm och q 3 = 0 nc i x,y) = 3,4) cm.
Läs merÖvningar. Nanovetenskapliga tankeverktyg.
Övningar. Nanovetenskapliga tankeverktyg. January 18, 2010 Vecka 2 Komplexa fourierserier 1. Gör en skiss av funktionen f(t) = t, t [ π, π] (med period 2π) och beräkna dess fourierserie. 2. Gör en skiss
Läs mer9. Magnetisk energi Magnetisk energi för en isolerad krets
9. Magnetisk energi [RM] Elektrodynamik, vt 013, Kai Nordlund 9.1 9.1. Magnetisk energi för en isolerad krets Arbetet som ett batteri utför då det för en laddning dq runt en krets, från batteriets anod
Läs mer9. Magnetisk energi [RMC 12] Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 9.1
9. Magnetisk energi [RMC 12] Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 9.1 9.1. Magnetisk energi för en isolerad krets Arbetet som ett batteri utför då det för en laddning dq runt en krets, från batteriets
Läs merRepetition kapitel 21
Repetition kapitel 21 Coulombs lag. Grundbulten! Definition av elektriskt fält. Fält från punktladdning När fältet är bestämt erhålls kraften ur : F qe Definition av elektrisk dipol. Moment och energi
Läs merVektoranalys II. Anders Karlsson. Institutionen för elektro- och informationsteknik
Vektoranalys II Anders Karlsson Institutionen för elektro- och informationsteknik 9 september 215 Översikt 1 Kurvor och ytor, linje- och yt-mått 2 Integraler, Kap. 1.3 Linjeintegraler Ytintegraler Volymsintegraler
Läs merTentamen Modellering och simulering inom fältteori, 8 januari, 2007
1 Institutionen för elektrovetenskap Tentamen Modellering och simulering inom fältteori, 8 januari, 2007 Tillåtna hjälpmedel: Formelsamling i Elektromagnetisk fältteori arje uppgift ger 10 poäng. Delbetyget
Läs merFysik TFYA68. Föreläsning 2/14
Fysik TFYA68 Föreläsning 2/14 1 Elektrostatik University Physics: Kapitel 21 & 22 2 Elektrisk laddning Två typer av elektrisk laddning: positiv + och negativ Atom Atomkärnan: Proton (+1), neutron (0) elekton
Läs merKroklinjiga koordinater och räkning med vektoroperatorer. Henrik Johanneson/(Mats Persson)
Föreläsning 7/9 Kroklinjiga koordinater räkning med vektoroperatorer Kroklinjiga koordinater Henrik Johanneson/Mats Persson) Allmänt behöver vi tre parametrar u, u 2, u 3 för att beskriva en godtycklig
Läs merTentamensskrivning i Ellära: FK4005e Fredag, 11 juni 2010, kl 9:00-15:00 Uppgifter och Svar
Tentamensskrivning i Ellära: FK4005e Fredag, 11 juni 2010, kl 9:00-15:00 Uppgifter och Svar Ge dina olika steg i räkningen, och förklara tydligt ditt resonemang! Ge rätt enhet när det behövs. Tillåtna
Läs merFöreläsning 4 1. Den andra av Maxwells ekvationer i elektrostatiken
Föreläsning 4 1 Potential Den andra av Maxwells ekvationer i elektrostatiken!" C E!dl = 0 eller # E = 0 innebär att E-fältet är konservativt. Det finns inga fältlinjer som bildar loopar. Alla fältlinjer
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 23-5-27 DEL A. Bestäm alla punkter på ytan z = x 2 + 4y 2 i vilka tangentplanet är parallellt med planet x + y + z =. 4 p) Lösning. Tangentplanet
Läs merTentamen i El- och vågrörelselära,
Tentamen i El- och vågrörelselära, 23 2 8 Hjälpmedel: Physics Handbook, räknare. Ensfäriskkopparkulamedradie = 5mmharladdningenQ = 2.5 0 3 C. Beräkna det elektriska fältet som funktion av avståndet från
Läs merVektoranalys III. Anders Karlsson. Institutionen för elektro- och informationsteknik
Vektoranalys III Anders Karlsson Institutionen för elektro- och informationsteknik 16 september 215 Översikt 1 Gauss sats divergenssatsen Exempel på användning av Gauss sats 2 tokes sats Exempel på användning
Läs merTATA44 ösningar till tentamen 13/01/ ) Paraboloiden z = 2 x 2 y 2 skär konen z = x 2 + y 2 då x 2 + y 2 = 2 x 2 y 2. Med
TATA44 ösningar till tentamen 1/1/211. 1. Paraboloiden z 2 x 2 y 2 skär konen z x 2 + y 2 då x 2 + y 2 2 x 2 y 2. Med ρ x 2 + y 2 då är ρ 2 + ρ 2 vilket ger ρ + 2ρ 1. åledes är ρ 1 ty ρ. Vi betecknar den
Läs mer1.15 Uppgifter UPPGIFTER 21. Uppgift 1.1 a) Visa att transformationen x i = a ikx k med. (a ik ) =
1.15. UPPGIFTER 1 1.15 Uppgifter Uppgift 1.1 a) isa att transformationen x i = a ikx k med (a ik ) = 1 0 1 1 1 1 1 1 1 är en rotation. b) Bestäm komponenterna T ik om (T ik ) = 0 1 0 1 0 1 0 1 0 Uppgift
Läs merSkriftlig tentamen i Elektromagnetisk fältteori för π3 (ETEF01) och F3 (ETE055)
Skriftlig tentamen i Elektromagnetisk fältteori för π (ETEF01 och F (ETE055 1 Tid och plats: 6 oktober, 016, kl. 14.00 19.00, lokal: Gasquesalen. Kursansvarig lärare: Anders Karlsson, tel. 40 89 och 07-5958.
Läs merIntegraler av vektorfalt. Exempel: En partikel ror sig langs en kurva r( ) under inverkan av en kraft F(r). Vi vill
Forelasning 6/9 ntegraler av vektorfalt Linjeintegraler Exempel: En partikel ror sig langs en kurva r( ) under inverkan av en kraft F(r). i vill da berakna arbetet som kraften utovar pa partikeln. Mellan
Läs merGemensamt projekt: Matematik, Beräkningsvetenskap, Elektromagnetism. Inledning. Fysikalisk bakgrund
Gemensamt projekt: Matematik, Beräkningsvetenskap, Elektromagnetism En civilingenjör ska kunna idealisera ett givet verkligt problem, göra en adekvat fysikalisk modell och behandla modellen med matematiska
Läs merTentamen Modellering och simulering inom fältteori, 21 oktober, 2006
Institutionen för elektrovetenskap Tentamen Modellering och simulering inom fältteori, oktober, 006 Tillåtna hjälpmedel: Formelsamling i Elektromagnetisk fältteori Varje uppgift ger 0 poäng. Delbetyget
Läs merTentamen i El- och vågrörelselära,
Tentamen i El- och vågrörelselära, 05-0-05. Beräknastorlekochriktningpådetelektriskafältetipunkten(x,y) = (4,4)cm som orsakas av laddningarna q = Q i origo, q = Q i punkten (x,y) = (0,4) cm och q = Q i
Läs merTATA44 Lösningar 26/10/2012.
TATA44 Lösningar 6/1/1. 1. Lösning 1: Konen z x + y skär sfären x + y + (z 5 5 då 4z + (z 5 5 och enkla räkningar ger nu z z some ger z(z och vi ser att z eller z. Observera att punkter på sfären med z
Läs merSF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A. r cos t + (r cos t) 2 + (r sin t) 2) rdrdt.
1. Beräkna integralen medelpunkt i origo. SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen 218-3-14 D DEL A (x + x 2 + y 2 ) dx dy där D är en cirkelskiva med radie a och Lösningsförslag.
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 215-3-16 DEL A 1. Låt f(x, y) = 1 x 2 y 2. (a) Skissa nivåkurvorna f(x, y) = c till f för c =, c = 1 och c = 2. (1 p) (b) Beräkna gradf(x, y) i de
Läs merTenta svar. E(r) = E(r)ˆr. Vi tillämpar Gauss sats på de tre områdena och väljer integrationsytan S till en sfär med radie r:
Tenta 56 svar Uppgift a) På grund av sfäriskt symmetri ansätter vi att: E(r) = E(r)ˆr Vi tillämpar Gauss sats på de tre områdena och väljer integrationsytan S till en sfär med radie r: 2π π Q innesluten
Läs mer= 0. Båda skärningsvinklarna är således π/2 (ortogonala riktningsvektorer).
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud SF163, ifferential- och integralkalkyl II, del 2, flervariabel, för F1. Tentamen torsdag 19 augusti 21, 14. - 19. Inga hjälpmedel är tillåtna. Svar och
Läs merr 2 C Arbetet är alltså endast beroende av start- och slutpunkt. Det följer av att det elektriska fältet är konservativt ( E = 0).
1 Föreläsning 2 Motsvarar avsnitten 2.4 2.5 i Griffiths. Arbete och potentiell energi (Kap. 2.4) r 1 r 2 C Låt W vara det arbete som måste utföras mot ett givet elektriskt fält E, då en laddning Q flyttas
Läs merSkriftlig tentamen i Elektromagnetisk fältteori för π3 (ETEF01) och F3 (ETE055)
Skriftlig tentamen i Elektromagnetisk fältteori för π (ETEF0) och F (ETE055) Tid och plats: 4 januari, 06, kl. 8.00.00, lokal: Sparta B. Kursansvarig lärare: Anders Karlsson, tel. 40 89. Tillåtna hjälpmedel:
Läs merStrålningsfält och fotoner. Våren 2016
Strålningsfält och fotoner Våren 2016 1. Fält i rymden Vi har lärt oss att beräkna elektriska fält utgående från laddningarna som orsakar dem Kan vi härleda nånting åt andra hållet? 2 1.1 Gauss lag Låt
Läs merInstitutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys. Lösningsförslag till tentamen Måndagen den 5 juni 2017 DEL A
Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen Måndagen den 5 juni 7 DEL A. En kulles höjd ges av z 6,x,y där enheten är meter på alla tre koordinataxlar. (a) I vilken
Läs merTentamen SF1626, Analys i flera variabler, Svar och lösningsförslag. 2. en punkt på randkurvan förutom hörnen, eller
Tentamen SF66, Analys i flera variabler, --8 Svar och lösningsförslag. Låt fx, y) = ye x y. Bestäm största och minsta värde till f på den slutna kvadraten med hörn i, ),, ),, ) och, ). Lösning. f är kontinuerlig
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. 1. En svängningsrörelse beskrivs av
SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 13-3-1 DEL A 1. En svängningsrörelse beskrivs av ( πx ) u(x, t) = A cos λ πft där amplituden A, våglängden λ och frekvensen f är givna konstanter.
Läs mer1.1 Stokes sats. Bevis. Ramgard, s.70
1 Föreläsning 7 1.1 tokes sats ats 1 åt vara en yta i R med randen. Vi antar att orienteringen på och är vald på ett sådant sätt att om man går längs i den valda riktningen då ligger till vänster (på vänstersidan).
Läs merStrålningsfält och fotoner. Våren 2013
Strålningsfält och fotoner Våren 2013 1. Fält i rymden Vi har lärt oss att beräkna elektriska fält utgående från laddningarna som orsakar dem Kan vi härleda nånting åt andra hållet? 2 1.1 Gauss lag Låt
Läs merÖvningsuppgifter/repetition inom elektromagnetism + ljus (OBS: ej fullständig)
Övningsuppgifter/repetition inom elektromagnetism + ljus (OBS: ej fullständig) Elektrostatik 1. Ange Faradays lag i elektrostatiken. 2. Vad är kravet för att ett vektorfält F är konservativt? 3. En låda
Läs merTentamen ellära 92FY21 och 27
Tentamen ellära 92FY21 och 27 2014-06-04 kl. 8 13 Svaren anges på separat papper. Fullständiga lösningar med alla steg motiverade och beteckningar utsatta ska redovisas för att få full poäng. Poängen för
Läs merFK Elektromagnetism, Fysikum, Stockholms universitet Tentamensskrivning (1:a omtentan), tisdag 17 juni 2014, kl 9:00-14:00
FK4010 - Elektromagnetism, Fysikum, Stockholms universitet Tentamensskrivning (1:a omtentan), tisdag 17 juni 2014, kl 9:00-14:00 Läs noggrant genom hela tentan först. Börja med uppgifterna som du tror
Läs merr 2 Arbetet är alltså endast beroende av start- och slutpunkt. Det följer av att det elektriska fältet är konservativt ( E = 0).
1 Föreläsning 2 Motsvarar avsnitten 2.4 2.5 i Griffiths. Arbete och potentiell energi (Kap. 2.4) r 1 r 2 C Låt W vara det arbete som måste utföras mot ett givet elektriskt fält E, då en laddning Q flyttas
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 4-3-7 EL A. Betrakta funktionen f, y y. a Beräkna riktningsderivatan av f i punkten, i den riktning som ges av vektorn 4, 3. p b Finns det någon riktning
Läs mer1 Vektorer och tensorer
Föreläsning 1. 1 Vektorer och tensorer Vi kommer att använda två olika beteckningar för vektorer. Enligt det första systemet använder vi fet stil för en vektor i typsatt text och ett vektorstreck då vi
Läs merStelkroppsmekanik partiklar med fixa positioner relativt varandra
Stelkroppsmekanik partiklar med fixa positioner relativt varandra Rörelse relativt mass centrum Allmänt partikelsystem Stel kropp translation + rotation (cirkelrörelse) För att kunna beskriva och förstå
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF66 Flervariabelanals Lösningsförslag till tentamen --9 EL A. En kulle beskrivs approximativt av funktionen 5 hx, ) + 3x + i lämpliga enheter där hx, ) är höjden. Om du befinner dig i punkten,, ) på kullen,
Läs merAllmant behover vi tre parametrar u 1 u 2 u 3 for att beskriva engodtycklig punkt i rummet. Vi kan
Forelasning 3/9 Kroklinjiga koordinater rakning med vektoroperatorer Kroklinjiga koordinater Allmant behover vi tre parametrar u u 2 u 3 for att beskriva engodtycklig punkt i rummet. Vi kan da skriva ortsvektorn
Läs merVEKTORANALYS Kursprogram VT 2018
VEKTORANALYS Kursprogram VT 2018 Allmänt om kursen Målsättningen med kursen är att lära ut ett antal grundläggande matematiska metoder, som under de fortsatta studierna kommer att tillämpas i flera olika
Läs merSF1626 Flervariabelanalys
1 / 21 SF1626 Flervariabelanalys Föreläsning 1 Henrik Shahgholian Vid Institutionen för matematik, KTH VT 2018, Period 3 2 / 21 SF1626 Flervariabelanalys Välkomna till kursen! Föreläsare: Henrik Shahgholian,
Läs merMatematikuppgifter del II, FYTA11
Matematikuppgifter del II, FYTA11 51. Lös uppgift 10.1 i boken. 52. Lös uppgift 10.2 i boken. 53. Lös uppgift 10.3 i boken. 54. Lös uppgift 10.4 i boken. 55. Låt en kurva i rummet vara given i parametrisk
Läs merLösningsförslag Inlämningsuppgift 1 elstatikens grunder
Inst. för fysik och astronomi 017-11-08 1 Lösningsförslag Inlämningsuppgift 1 elstatikens grunder Elektromagnetism I, 5 hp, för ES och W (1FA514) höstterminen 017 (1.1) Laddningen q 1 7,0 10 6 C placeras
Läs merLösningar till seminarieuppgifter
Lösningar till seminarieuppgifter 2018-09-26 Uppgift 1 z ρ P z = 0 ρ Introducera ett koordinatsystem så att det jordade planet sammanfaller med planet z = 0, oc skivans centrum med punkten (0,0,). a) Problemet
Läs merLösningsskiss för tentamen Vektorfält och klassisk fysik (FFM234 och FFM232)
Lösningsskiss för tentamen Vektorfält och klassisk fysik (FFM23 och FFM232) Tid och plats: Måndagen den 29 oktober 208 klockan 00-800, Maskinsalar Lösningsskiss: Christian Forssén Detta är enbart en skiss
Läs mer93FY51/ STN1 Elektromagnetism Tenta : svar och anvisningar
17317 93FY51 1 93FY51/ TN1 Elektromagnetism Tenta 17317: svar och anvisningar Uppgift 1 a) Av symmetrin följer att: och därmed: Q = D d D(r) = D(r)ˆr E(r) = E(r)ˆr Vi väljer ytan till en sfär med radie
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-6-4 DEL A 1. Funktionen f är definierad på området som ges av olikheterna x > 1/ och y > genom f(x, y) ln(x 1) + ln(y) xy x. (a) Förklara vad det
Läs merSF1669 Matematisk och numerisk analys II Bedömningskriterier till tentamen Torsdagen den 4 juni 2015
SF1669 Matematisk och numerisk analys II Bedömningskriterier till tentamen Torsdagen den 4 juni 2015 Allmänt gäller följande: För full poäng på en uppgift krävs att lösningen är väl presenterad och lätt
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 213-8-22 DEL A 1. Betrakta funktionen f(x, y) ln(x 2 + xy 2 4). a) Bestäm tangentplanet till funktionsytan z f(x, y) i den punkt på ytan där x 1
Läs merDugga i elektromagnetism, sommarkurs (TFYA61)
Dugga i elektromagnetism, sommarkurs (TFYA61) 2012-08-10 kl. 13.00 15.00, sal T1 Svaren anges på utrymmet under respektive uppgift på detta papper. Namn:......................................................................................
Läs merTATA44 Lösningar 24/8/ ) Låt S vara den del av x 2 + y 2 + z 2 = 2 innanför cylindern x 2 + y 2 = 1. Inför cylinderkoordinater.
TATA Lösningar /8/.. Låt vara den del av x + y + z innanför cylindern x + y. Inför cylinderkoordinater. Parametrisera med ortsvektorn r(ρ, φ (ρ cos φ, ρ sin φ, ρ som man kan skriva som r(ρ, φ ρ ˆρ + ρ
Läs merFFM232, Klassisk fysik och vektorfält - Veckans tal
FFM232, Klassisk fysik och vektorfält - eckans tal Tobias Wenger och Christian Forssén, Chalmers, Göteborg, Sverige Oct 3, 2016 Uppgift 6.6 (Cederwalls kompendium) Beräkna normalytintegralen av a F 2 [
Läs merSkriftlig tentamen i Elektromagnetisk fältteori för π3 (ETEF01) och F3 (EITF85)
Skriftlig tentamen i Elektromagnetisk fältteori för π3 (ETEF01) och F3 (ETF85) Tid och plats: 25 oktober, 2017, kl. 14.00 19.00, lokal: Gasquesalen. Kursansvarig lärare: Anders Karlsson, tel. 222 40 89
Läs merSvar till övningar. Nanovetenskapliga tankeverktyg.
Svar till övningar. Nanovetenskapliga tankeverktyg. January 18, 2010 Vecka 2 Komplexa fourierserier 1. Fourierkomponenterna ges av dvs vi har fourierserien f(t) = π 2 + 1 π n 0 { π n = 0 c n = 2 ( 1) n
Läs merTentamen i : Vågor,plasmor och antenner. Totala antalet uppgifter: 6 Datum:
Tentamen i : Vågor,plasmor och antenner Kurs: MTF108 Totala antalet uppgifter: 6 Datum: 2006-05-27 Examinator/Tfn: Hans Åkerstedt/491280/Åke Wisten070/5597072 Skrivtid: 9.00-15.00 Jourhavande lärare/tfn:
Läs merTentamen: Lösningsförslag
Tentamen: Lösningsförslag Onsdag 5 mars 7 8:-3: SF674 Flervariabelanalys Inga hjälpmedel är tillåtna. Max: 4 poäng. 4 poäng Avgör om följande gränsvärde existerar och beräkna gränsvärdet om det existerar:
Läs merÖvning 6, FMM-Vektoranalys, SI1140
Övning 6, FMM-ektoranalys, I114 ˆ 6. Beräkna integralen där A dr A x 2 ay + z) ) e x + y 2 az ) e y + z 2 ax + y) ) e z och är den kurva som utgör skärningslinjen mellan cylindern { x a) 2 + y 2 a 2 och
Läs merPoissons ekvation och potentialteori Mats Persson
1 ärmeledning Föreläsning 21/9 Poissons ekvation och potentialteori Mats Persson i vet att värme strömmar från varmare till kallare. Det innebär att vi har ett flöde av värmeenergi i en riktning som är
Läs merFlervariabelanalys I2 Vintern Översikt föreläsningar vecka 6. ( ) kommer vi att studera ytintegraler, r r dudv
Flervariabelanalys I Vintern 11 Översikt föreläsningar vecka 6 tintegraler Givet en yta i rummet och en funktion f x, y,z f dsdär ds är det så kallade ytelementet. ( ) kommer vi att studera ytintegraler,
Läs merf(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) f(x, y, z) = (x 2 + yz, y 2 x ln x) 3. Beräkna en vektor som är tangent med skärningskurvan till de två cylindrarna
ATM-Matematik Mikael Forsberg 734-41 3 31 För studenter i Flervariabelanalys Flervariabelanalys mk1b 13 8 Skrivtid: 9:-14:. Hjälpmedel är formelbladen från insidan av Pärmen i Adams Calculus, dessa formler
Läs merFK Elektromagnetism, Fysikum, Stockholms universitet Tentamensskrivning (2:a omtentan), fredag 30 augusti 2013, kl 9:00-14:00
FK4010 - Elektromagnetism, Fysikum, Stockholms universitet Tentamensskrivning (2:a omtentan), fredag 30 augusti 2013, kl 9:00-14:00 Läs noggrant genom hela tentan först. Börja med uppgifterna som du tror
Läs meru av funktionen u = u(x, y, z) = xyz i punkten M o = (x o, y o, z o ) = (1, 1, 1) i riktningen mot punkten M 1 = (x 1, y 1, z 1 ) = (2, 3, 1)
ATM-Matematik Mikael Forsberg 734 41 3 31 Flervariabelanalys mag31 1669 Skrivtid: 9:-14:. Inga hjälpmedel förutom bifogad formelsamling. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje
Läs merFöreläsning 8. Ohms lag (Kap. 7.1) 7.1 i Griffiths
1 Föreläsning 8 7.1 i Griffiths Ohms lag (Kap. 7.1) i är bekanta med Ohms lag i kretsteori som = RI. En mer generell framställning är vårt mål här. Sambandet mellan strömtätheten J och den elektriska fältstyrkan
Läs merKarta över Jorden - viktigt exempel. Sfär i (x, y, z) koordinater Funktionen som beskriver detta ser ut till att vara
Föreläsning 1 Jag hettar Thomas Kragh och detta är kursen: Flervariabelanalys 1MA016/1MA183. E-post: thomas.kragh@math.uu.se Kursplan finns i studentportalens hemsida för denna kurs. Där är två spår: Spår
Läs meru = 3 16 ǫ 0α 2 ρ 2 0k 2.
Lösningar till skriftlig deltentamen, FYTA12 Elektromagnetism, 3 juni 2010, kl 10.15 15.15. Tillåtna hjälpmedel: Ett a4-blad med anteckningar, fickräknare, skrivdon. Totalt 30 poäng, varav 15 krävs för
Läs merElektromagnetiska falt och Maxwells ekavtioner
Forelasning /1 Elektromagnetiska falt och Maxwells ekavtioner 1 Maxwells ekvationer Maxwell satte 1864 upp fyra stycken ekvationer som gav en fullstandig beskrivning av ett elektromagnetiskt falt. Dock,
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 16-8-18 DEL A 1 Låt D vara det område ovanför x-axeln i xy-planet som begränsas av cirkeln x + y = 1 samt linjerna y = x oc y = x Beräkna x-koordinaten
Läs merFormelsamling till Elektromagnetisk
Formelsamling till Elektromagnetisk fältteori Lars-Göran Westerberg Avdelningen för strömningslära Luleå tekniska universitet 13 januari 2009 ammanfattning Den här formelsamlingen utgör tillsammans med
Läs mer* Läsvecka 1 * Läsvecka 2 * Läsvecka 3 * Läsvecka 4 * Läsvecka 5 * Läsvecka 6 * Läsvecka 7 * Tentamenssvecka. Läsvecka 1
Detta är en preliminär planering över undervisningen i kursen och är tänkt att hjälpa dig att få ut så mycket som möjligt av föreläsningarna. Till varje föreläsningsdag finns förberedelser, innehåll och
Läs merSF1649, Vektoranalys och komplexa funktioner Tentamen, måndagen den 19 december Lösningsförslag. F n ds,
Institutionen för matematik, KTH Serguei Shimorin SF1649, Vektoranalys och komplexa funktioner Tentamen, måndagen den 19 december 211. Lösningsförslag 1. Räkna ut flödesintegral F n ds, där F = (x e y,
Läs mer) 2 = 1, där a 1. x + b 2. y + c 2
ap 7 Användningar av multipelintegraler Arean av ett plant område 0 Beräkna arean av det område som begränsas av följande kurvor: A a (x y) 2 + x 2 = a 2 A b xy =, xy = 8, y = x och y = 2x (x > ) A c y
Läs merOMTENTAMEN I VEKTORANALYS SI1146 och SI1140 Del 1, VT18
OMTENTAMEN I VEKTORANALY I46 och I40 Del, VT8 Onsdagen augusti 08:00-:00 Anteckna på varje blad: Namn, utbildningslinje, årskurs och problemnummer. Tillåtna hjälpmedel: Formelblad som delas ut. Räknedosa
Läs merav envariabelfunktionen g(t) och flervariabelfunktionen t = h(x, y) = x 2 + e y.)
Lösningsskisser till TATA69 Flervariabelanalys 16-1- 1 Stationära punkter ges av f (4x 3 + 4x, 3y + 6z, z + 6y (,,, dvs (x, y, z (,, eller (x, y, z (, 6, 18 Ur andraderivatorna fås de kvadratiska formerna
Läs merLUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK. LÖSNINGAR FLERDIMENSIONELL ANALYS, FMA kl 8 13
LUNS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK LÖSNINGAR FLERIMENSIONELL ANALYS, FMA40 04-0- kl 8. Vi börjar med att rita triangelskivan. Linjen genom, och, har ekvationen y x+, linjen genom, och, har ekvationen y 4
Läs mer6. Räkna ut integralen. z dx dy dz,
Institutionen för Matematik, TH Flervariabelanalys SF626. Tentamen den 23 november 29 kl. 8-3 Tillåtet hjälpmedel är Beta Mathematics Handbook. Tydliga lösningar med fullständiga meningar och utförliga
Läs merMagnetiska fält laboration 1FA514 Elektimagnetism I
Magnetiska fält laboration 1FA514 Elektimagnetism I Utförs av: William Sjöström 19940404 6956 Oskar Keskitalo 19941021 4895 Uppsala 2015 05 09 Sammanfattning När man leder ström genom en spole så bildas
Läs merSensorer, effektorer och fysik. Grundläggande fysikaliska begrepp som är viktiga inom mättekniken
Sensorer, effektorer och fysik Grundläggande fysikaliska begrepp som är viktiga inom mättekniken Innehåll Grundläggande begrepp inom mekanik. Elektriskt fält och elektrisk potential. Gauss lag Dielektrika
Läs merÖvningstenta: Lösningsförslag
Övningstenta: Lösningsförslag Onsdag 5 mars 7 8:-: SF674 Flervariabelanalys Inga hjälpmedel är tillåtna. Max: 4 poäng. (4 poäng) Bestäm tangentplanet i punkten (,, ) till ytan z f(x, y) där f(x, y) x 4
Läs mer3 Parameterframställningar
3 arameterframställningar Från och med nästa kapitel kommer mcket av vårt fokus ligga på olika integraluttrck med vektorvärda funktioner. Vi kommer eempelvis studera integreringen av vektorfält både längs
Läs merBra tabell i ert formelblad
Bra tabell i ert formelblad Vi har gått igenom hur magnetfält alstrar krafter, kap. 7. Vi har gått igenom hur strömmar alstrar magnetfält, kap. 8. Återstår att lära sig hur strömmarna alstras. Tidigare
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 18 augusti 2016
Institutionen för matematik SF166 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 18 augusti 16 Skrivtid: 8:-1: Tillåtna jälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger
Läs merLösningsförslag till tentamen Onsdagen den 15 mars 2017 DEL A
Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen Onsdagen den 5 mars 7 DEL A. I nedanstående rätvinkliga koordinatsystem är varje ruta en enhet lång. (a) Bestäm de rymdpolära
Läs merFK Elektromagnetism, Fysikum, Stockholms universitet Tentamensskrivning (1:a omtentan), tisdag 16 juni 2015, kl 9:00-14:00
FK4010 - Elektromagnetism, Fysikum, Stockholms universitet Tentamensskrivning (1:a omtentan), tisdag 16 juni 2015, kl 9:00-14:00 Läs noggrant genom hela tentan först. Börja med uppgifterna som du tror
Läs mer1.1 Gradienten i kroklinjiga koordinatsystem
1 Föreläsning 4 1.1 Gradienten i kroklinjiga koordinatsystem Sats 1 i sfäriska koordinater; i cylindriska koordinater. Bevis. I kartesiska koordinater har vi att Φ = r ˆr + 1 r θ ˆθ + 1 ˆϕ (1 r sin θ ϕ
Läs merM0043M Integralkalkyl och Linjär Algebra, H14,
M0043M Integralkalkyl och Linjär Algebra, H14, Integralkalkyl, Föreläsning 10 Staffan Lundberg / Ove Edlund Luleå Tekniska Universitet Staffan Lundberg / Ove Edlund M0043M H14 1/ 24 Integralkalkyl, Föreläsning
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 216-6-7 DEL A 1. Låt S vara ellipsoiden som ges av ekvationen x 2 + 2y 2 + 3z 2 = 5. (a) Bestäm en normalvektor till S i en punkt (x, y, z ) på S.
Läs mer