Elektromagnetiska falt och Maxwells ekavtioner

Transkript

1 Forelasning /1 Elektromagnetiska falt och Maxwells ekavtioner 1 Maxwells ekvationer Maxwell satte 1864 upp fyra stycken ekvationer som gav en fullstandig beskrivning av ett elektromagnetiskt falt. Dock, som vi skall se, inskrankte sig hans eget bidrag till en term i en av ekvationerna. En av ekvationerna har vi redan stott pa. Det ar Gauss lag for ett elektriskt falt re = : (1) Den har ekvationen sager att elektriska falt kan ha elektriska laddningar som kallor. A andra sidan nns det inte nagra magnetiska laddningar. Trots manga ars experimentella eftersokningar har man aldrig hittat nagra sa kallade magnetiska monopoler. Darfor kan vi dra slutsatsen att det for ett magnetfalt maste galla att rb =: () Av detta kan vi sluta oss till att magnetfalt inte alstras av magnetiska laddningar. stallet sa vet vi att magnetfalt kan alstras av elektriska strommar. i vet att det magnetiska faltet kring en rak ledare parallell med z-axeln genom vilken det gar en strom kan skrivas som uttryckt i cylindriska koordinater. i beraknar nu B (r) = ^' (3) B dr (4) langs en kurva som omsluter ledaren. i konstaterar forst att rb = for 6=. Darmed kan vi komprimera ner till en cirkel med radien kring den elektriska ledaren ^' dr = dr = : (5) Detta samband, Amperes lag, galler helt allmant oberoende av den elektriska ledarens form och hur strommen tar sig fram genom ledaren innanfor kurvan. trommen som gar genom kurvan kan vi skriva som = J d (6) dar J ar stromtatheten. i kan ocksa skriva om vansterledet med tokes sats (rb)d = J d: (7) Ytan med randen ar nu helt godtycklig, sa vi kan satta integranderna lika med varandra rb = J: (8) Detta ar den tredje av Maxwells ekvationer men den kommer att visa sig vara ofullstandig i det tidsberoende fallet. i har nu funnit att elektriska laddningar kan skapa elektriska falt och att elektriska strommar kan skapa magnetfalt. i vet dock att elektriska falt ocksa kan skapas genom induktion. En forandring av det magnetiska odet,, genom en elektrisk ledare inducerar ett elektriskt falt E i 1

2 ledaren som i sin tur ger upphov till en strom och ett magnetisk falt som vill motverka forandringen i det magnetiska odet. Enligt Faradays induktionslag sa galler om ledaren foljer en sluten kurva att E dr = ; d A andra sidan kan vi skriva det magnetiska odet genom ledaren som = i kan nu skriva Faradays induktionslag som E dr = ; dt : (9) B d: (1) B d: (11) i kan nu skriva om vansterledet med tokes sats, och i hogerledet kan vi kasta om ordningen pa integrationen och deriveringen (re)d = ; B d: (1) Ytan och dess rand ar egentligen helt godtycklig har, sa likheten maste galla mellan integranderna ocksa. Alltsa har vi re = ; B : (13) i har nu fatt fram fyra ekvationer som beskriver de elektriska och magnetiska falten, eller snarare ger uttryck for deras divergenser och rotationer. Ekvationerna ar dock inte kompletta i den har formen. Den elektriska laddningen ar en bevarad storhet i naturen. Lat oss betrakta en godtycklig volym med en laddningstathet. Den totala laddningen i ar da d: (14) Denna laddning kan forandras genom att en elektrisk strom, J, gar genom ytan till. Utodet av laddning fran volymen per tidsenhet kan da skrivas som illkoret att laddningen bevaras ger oss da J d: (15) d = ; J d: (16) vansterledet kan vi byta pa ordningen mellan integralen och tidsderivatan, och hogerledet kan vi skriva om med hjalp av Gauss sats d = rjd: (17) Nu galler det att vi har valt volymen helt godtyckligt, sa samma likhet maste galla for integranderna sjalva, sa vifar kontinuitetsekvationen = ;r J: (18) A andra sidan sa sager Amperes lag att rb = J,ochvikan nu berakna rj = 1 r(rb) = (19)

3 enligt raknereglerna for vektoroperatorerna. Det foljer darfor att = () vilket ar orimligt, for det betyder att det inte gar att ytta en elektrisk laddning. Detta insag Maxwell och kom fram till att problemet gick att losa genom att lagga till en term E (1) till hogerledet av Amperes lag. Denna term brukar kallas for forskjutningsstrommen. i far nu alltsa att Maxwells ekvationer blir re = () Kallfria och virvelfria falt rb = (3) re = ; B rb = J + E (4) : (5) i vet att ett falt E sadant attre = har en potential sadan att E = ;r. i sager att faltet E ar virvelfritt (rotationsfritt) eller konservativt. Om ett konservativt falt E uppfyller ekvationen re =, sa sager vi att faltet genereras av enkalla. ikan da bestamma faltets potential genom att losa Poisson-ekvationen r =;. Lagg marke till att potentialen ej ar fullstandigt bestamd. Det gar alltid att addera en konstant till potentialen utan att E forandras. Ett exempel pa ett virvelfritt falt ar ett elektrostatiskt falt. A andra sidan kallar vi ett falt sadant att rb = for ett kallfritt falt. Ett kallfritt falt kan vi skriva som B = ra for nagot A. A kallas for vektorpotentialen. Precis som den vanliga potentialen inte ar fullstandigt bestamd, utan man kan addera till en konstant till potentialen, kan man till vektorpotentialen addera ett vektorfalt rf, dar f ar ett godtyckligt skalart falt, eftersom r(rf) =. En explicit konstruktion av vektor potentialen fran det kallfria faltet ges av, A(x y z) = z B y (x y z )dz ; y B z (x y z)dy ^x ; z B x (x y z )dz ^y : (6) Exempel: Betrakta en elektrisk ledare parallell med z-axeln. Genom ledaren yter en strom. Da omges ledaren av ett magnetfalt B = ^': (7) i kan nu bestamma den motsvarande vektorpotentialen ur ekvationerna 1 A z ' ; A ' z = (8) och Dessa ekvationer uppfylles om A z 1 ; A z = (A ') ; A ' (9) =: (3) A = ; log ^z (31) 3

4 dar ar en godtycklig konstant. Notera att rb = utanfor ledaren (notera att detta ar ett icke enkelt sammanhangande omrade) vilket medfor att en envard potential kan inte denieras i detta omrade eftersom en kurvintegral av faltet runt ledaren ar skilt fran noll. Lat oss nu betrakta Amperes lag i det tidsoberoende fallet Om vi nu ersatter B med ra sa har vi For vansterledet har vi raknereglen (se ex. vis. Kap. 4.6 i ) J = rb: (3) rra = J: (33) rra = r (ra) ;r A (34) Den frihet, gauge, som vi har i att bestamma A gor det alltid mojligt att garantera att ra =, sa vi kan reducera ekvationen till r A = ; J (35) och viharpa sa satt kommit fram till en Poisson-ekvation for vektorpotentialen. det tidsberoende fallet ar inte faltet E virvelfritt enligt induktionsekvationen och saknar da virvelfritt eftersom en skalar potential. Men enligt induktions ekvationen ar E + A r(e + A ra )=re + = re + B = (36) och kan beskrivas med en skalar potential vilket ger da direkt att, E = ;r ; A : (37) Allmant kan ett falt E delas upp i en del som ar virvelfri, och en del som ar kallfri den sa kallade Helmholtz uppdelningen. 3 Maxwells ekvationer i vakuum och elektromagnetiska vagor vakuum nns det inga elektriska laddningar, och inga elektriska strommar, sa vi kan skriva Maxwells ekvationer som re = (38) rb = (39) re = ; B rb = E i kan nu till exempel berakna rotationen av induktionsekvationen Ekv. (4) rre = r (re) ;r E = ;r B i kan nu utnyttja att re =och Ekv. (41) Lat oss nu betrakta ekvationen ;r E = ; E = ; E (4) (41) = ; rb : (4) : (43) E = 1 r E (44) 4

5 i en dimension: E = 1 E x : (45) Ekvationen har da losningar pa formerna E(x ; ct) och E(x + ct), vilka beskriver vagor som fortplantar sig i den positiva respektive den negativa riktningen med hastigheten c =1= p. i kallar darfor Ekv. (44) for vagekvationen. Man kan ocksa harleda en ekvation for en vag av magnetfalt ur Maxwells ekvationer. agen bestar darfor av svangande elektriska och magnetiska falt, vilka genererar varandra. Den hastighet med vilken vagen breder ut sig overensstammer med ljusets hastighet, och man kan darfor dra slutsatsen att ljus ar en form av elektromagnetiska vagor. 5