Lösningsskiss för tentamen Vektorfält och klassisk fysik (FFM232)
|
|
- Kurt Sandström
- för 8 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 ösningsskiss för tentamen Vektorfält och klassisk fysik FFM232) Tid och plats: ösningsskiss: Måndagen den 24 oktober 2016 klockan i M-huset. Christian Forssén och Tobias Wenger Detta är enbart en skiss av den fullständiga lösningen. Det kan innebära att vissa mellansteg i uträkningarna, som egentligen är nödvändiga för en komplett lösning, inte redovisas. 1. Svara på följande delfrågor endast svar skall ges): a) Skissa nivåytor och fältlinjer för en punktkälla, dvs φ = 1 F = 1 ˆr. 4πr 2 b) Beräkna integralen δ x) cosx)dx, notera derivatan). 4πr och c) Teckna följande tre uttryck med indexnotation: i) a b c), ii) M a, iii) MN, där a, b, c är vektorer och M, N är 3 3 matriser. 3 poäng per korrekt besvarad deluppgift, 10 poäng för alla tre.) a) Nivåytorna blir sfärer cirklar i genomskärning vilket isf bör påpekas) medan fältlinjerna blir strålar ut från origo dvs tiktade i positiv ˆr-led. b) 0. c) i) a b c) = a i ε ijk b j c k, ii) M a = M ij a j, iii) MN = M ik N kj. 2. Maxwells ekvationer är E = ρ ɛ 0, 1) E = B t, 2) B = 0, 3) B E = µ 0 j + µ 0 ɛ 0 t. 4) a) Använd Faradays induktionslag, U = dφ/dt, för att visa Maxwells andra ekvation E = B. Notera att Φ är det magnetiska t flödet genom en yta S och U är den inducerade spänningen längs randen S. 5 poäng)
2 ösningsskiss för tentamen Vektorfält och klassisk fysik FFM232) b) Använd Maxwells ekvationer för att visa att kontinuitetsekvationen ρ/ t = j är uppfylld för ρ r, t) = elektrisk laddningstäthet och j r, t) = elektrisk strömtäthet. 5 poäng) Se kurskompendium, avsnitt Ett klot med radien R har ett litet klot med radien r 0 urkarvad ur sig se figur). Båda kloten är centrerade i origo. Området mellan radierna r 0 och R har en konstant massdensitet ρ 0. Notera att gravitationsfält är kontinuerliga till skillnad från elektriska fält som ju har diskontinuiteter vid ytladdningar). Gravitationspotentialen uppfyller Poissons ekvation vi antar att vi använder smarta enheter så att Newtons konstant G = 1) Φr) = ρr). 5) Notera att tecknet i Poissons ekvation är motsatt mot vad man har för elektriska fält, detta beror på att två massor attraherar varandra. a) Beräkna gravitationsfältet F = Φr). Skissa den radiella komponenten F r r) som en funktion av r. 7 poäng) b) Om man betraktar fältet i en punkt r där r = r > R så ser fältet ut som fältet från en punktkälla. Vilken massa styrka) har en punktkälla som producerar samma fält? 2 poäng) c) Hur rör sig en liten testmassa som placeras utan initialhastighet) i gravitationsfältet i området r < r 0? 1 poäng) Figure 1: Klotet till gravitationsuppgiften. Institutionen för fysik, Chalmers Page 2 Examinator: C. Forssén
3 ösningsskiss för tentamen Vektorfält och klassisk fysik FFM232) Sfärisk geometri med konstant källfördelning, perfekt för att lösa med Gauss sats. Med F r r) = Φr) skriver vi Poissons ekvations som Φr)) = ρr) 6) F = ρr) 7) och om vi integrerar båda sidor över klotet V som har radien r, får vi F dv = ρr)dv 8) och om vi applicerar Gauss sats på vänsterledet får vi F ds = ρr)dv. 9) }{{} Total innesluten massa Eftersom V är en klot har vi att ds = ˆrr 2 sin θ och geometrin säger oss att på konstant radie är F r r) konstant så vi kan enkelt beräkna ytintegralen och få fram 4πr 2 F r r) = ρr)dv. 10) Rummet delas nu enkelt in i 3 olika delar med olika masstäthet r < r 0, ρr) = 0 11) r 0 r R, ρr) = ρ 0 12) r > R, ρr) = 0. 13) Eftersom ingen laddning innesluts i område 1 ser vi direkt att F 1) r r) = 0. 14) I område 2 finns en konstant masstäthet, vi behöver därför bara vet hur stor volym som innesluter massa. Det inses relativt lätt att volymen som innesluter massa är klotet med radie r med r i område 2) minus den innersta tomma klotets volym den innesluter ju ingen massa). Vi får då 4πr 4πr 2 F r 2) 3 r) = ρ 0 4πr ) 15) ur vilket vi enkelt löser ut ) F r 2) r) = r r3 0 ρ0 r ) Institutionen för fysik, Chalmers Page 3 Examinator: C. Forssén
4 ösningsskiss för tentamen Vektorfält och klassisk fysik FFM232) I område 3 innesluter vi all den massa som finns så vi behöver endast multiplicera ρ 0 med den total volymen av skalet dvs klotet med radie R minus klotet med radie r 0 ). ) 4πR 4πr 2 F r 3) 3 r) = ρ 0 4πr3 0 17) 3 3 F r 3) r) = ρ 0R 3 r0) r. 18) 2 Slutsvaret för graviationsfältet blir F r r) = F 1) r r) = 0, r a F 2) r F 3) r) = r r) = ρ 0R 3 r 3 0 ) ) r r3 0 ρ 0, a < r R r , r 2 r > R 19) ρ Φr) F r r) r/r0 Figure 2: Skiss av gravitationsfältet även potentialen visas, den efterfrågas dock inte i uppgiften). Här har vi satt R = 2r 0. Vi kan läsa av fältet från den ekvivalenta punktkällan genom att komma ihåg att fältet från en puktkälla är F r r) = q. Genom att jämföra 4πr 2 med vårt fält i området r > R ser vi att vi har styrkan q = 4π 3 R3 r0)ρ 3 0. Utanför volymen ser fältet alltså ut som att det skapats av en attraktiv) punktkälla med kroppens totala massa. En liten testmassa som placeras i området r < r 0 kommer att påverkas av kraften F r 1) r) = 0 och kommer således inte röra på sig alls. Den beter sig som om det inte fanns någon massa runtomkring alla krafter som påverkar den tar ut varandra pga den sfäriska symmetrin). 4. Betrakta de tre vektorfälten: F1 = ρê θ, F 2 = zê z och F 3 = zê ρ. Institutionen för fysik, Chalmers Page 4 Examinator: C. Forssén
5 ösningsskiss för tentamen Vektorfält och klassisk fysik FFM232) a) Vilket av dessa tre fält kan skrivas i termer av en vektorpotential? 2 poäng) b) Ange en explicit form för en vektorpotential, A, som ger detta fält. 4 poäng) c) Samma som b) men med det extra gauge-)villkoret att A = 0 detta kan alltså vara samma vektorpotential som du redan har konstruerat). 4 poäng) a) Endast fält F 1 är divergensfri. Det kan alltså skrivas i termer av en vektorpotential. För de andra gäller att F 2 = 1, F 3 = z/ρ. b) Vektorpotentialen A skall uppfylla F = A vilket ger 1 ρ θa z z A θ = F ρ = 0 z A ρ ρ A z = F θ = ρ 1 ρ ρρa θ ) θ A ρ ) = F z = 0 En enkel lösning till detta är att sätta A θ = A z = 0 och A ρ = ρz. Dvs A = ρzê ρ. c) Tyvärr är ovanstående lösning inte divergensfri A = 2z). Men vi kan utnyttja gaugeinvariansen A A + Λ och välja Λ så att Λ = Λ = A. Utgående från vårt svar på uppgift b) väljer vi Λ = z 3 /3 vilket ger Λ = z 2 ê z och finner den divergensfria vektorpotentialen A = ρzê ρ z 2 ê z. 20) 5. I en mycket lång homogen cylinder med radien R kan temperaturfördelningen skrivas T = T ρ, θ) i cylindriska koordinater, dvs temperaturen kan antas vara z-oberoende. Den stationära temperaturfördelningen i cylindern uppfyller aplaces ekvation T ρ, θ) = 0. 21) a) Beräkna temperaturfördelning i hela cylindern givet Dirichlet randvillkoret T R, θ) = T 0 + T 1 cos θ. 6 poäng) Institutionen för fysik, Chalmers Page 5 Examinator: C. Forssén
6 ösningsskiss för tentamen Vektorfält och klassisk fysik FFM232) a) Beräkna värmeflödet genom den halvan av cylinderytan som beskrivs av ρ = R, π/2 < θ < π/2 streckade halvan i Figur 3.). Kommentera kort svaret och ange om värmen flödar in eller ut och ange även enheten på det beräknade värmeflödet. Värmeströmtätheten beräknas med q = λ T ρ, θ), där λ är en materialberoende konstant som antas vara känd.) 4 poäng) Figure 3: Cylindern i genomskärning. Cylindern antas vara mycket lång och därmed blir lösningen z-oberoende. Vi börjar med att ansätta en allmän lösning på formen T ρ, θ) = fρ) + gρ) cos θ 22) där vi har en term som följer randvillkorets vinkelberoende och en term som endast har ett radiellt beroende. Stoppar vi in denna ansatsen i aplace ekvation kom ihåg polär aplaceoperator) får vi 1 ρ ρ ρ fρ) ρ ) + 1 ρ ρ ) ρ ρ gρ) cos θ) + 1ρ 2 2 vilket vi kan skriva om till 1 ρ fρ) ) = 1 ρ ρ ρ ρ ρ gρ) cos θ) = 0 θ2 23) ρ gρ) ) + gρ) ) cos θ = 0 24) ρ ρ 2 där vi inser att båda termerna måste separat vara noll pga att de har olika vinkelberoende). Vi får då de två ekvationerna 1 ρ fρ) ) = 0 25) ρ ρ ρ 1 ρ gρ) ) + gρ) ) = 0 26) ρ ρ ρ ρ 2 Institutionen för fysik, Chalmers Page 6 Examinator: C. Forssén
7 ösningsskiss för tentamen Vektorfält och klassisk fysik FFM232) ösningen för fρ) kan enkelt integreras fram till att vara fρ) = A log ρ + B. 27) Här måste A = 0 då denna term har ett singulärt beteende i ρ = 0. För att lösa ut gρ) ansätter vi gρ) = Cρ p och sätter in i ekvationen vilket löses av p = ±1. Dvs vi ska ansätta Cρ p 2 p 2 1 ) = 0 28) gρ) = C 1 ρ + C 2 /ρ 29) men vi ser genast att C 2 ska vara noll då den termen har singulärt beteende i ρ = 0 det är också fältet från en linjekälla i z = 0 och någon sådan har vi ju inte). Slutligen har vi att beteendet för T ρ, θ) ska vara T ρ, θ) = B + C 1 ρ cos θ 30) och genom att matcha till randvilkoret ser vi att T R, θ) = T 0 + T 1 cos θ = B + C 1 R cos θ 31) dvs, B = T 0 samt C 1 = T 1 /R. Slutlösningen för temperaturfördelningen är T ρ, θ) = T 0 + T 1ρ cos θ. 32) R Vi ska även beräkna värmeflödet genom den högra ytan av cylindern. Normalen till denna yta pekar i ˆρ-led och vi behöver bara räkna denna komponenten utav värmeströmmen T ρ, θ) q ρ = λ ρ = λt 1 R cos θ. 33) Vi betraktar en sträcka z 1 z 0 = av cylindern. Det totala värmeflödet fås av integralen π/2 q ds = q ˆρρdθdz = q ρ Rdθ S S = λt 1 π/2 π/2 π/2 cos θdθ = λt 1 [sin θ] π/2 π/2 = 2λT 1. Vi kan dela med för att få värmeflödet per längdenhet. Mängden värme som flödar in är alltså 2λT 1 genom den högra delen utav cylindern, mätt i effekt per längdenhet W/m i SI-enheter). Institutionen för fysik, Chalmers Page 7 Examinator: C. Forssén
8 ösningsskiss för tentamen Vektorfält och klassisk fysik FFM232) Betrakta Poissons ekvation φ = ρ i det endimensionella området {x : 0 x } med Dirichlets homogena randvillkor. För detta problem är Greensfunktionen { ) 1 Gx, x x ) = x 0 x < x, 1 x ) x x x. a) Använd denna Greensfunktion för att beräkna potentialen för två punktladdningar i det givna området med de givna randvillkoren): En laddning +q i punkten /2 + ε/2 och en laddning q i punkten /2 ε/2 där ε är en kort sträcka. 6 poäng) b) Verifiera att den givna Greensfunktionen verkligen är korrekt. I uppgiften ingår alltså att inse vad det är som skall verifieras. Även ett tydligt resonemang kring detta kan ge delpoäng.4 poäng) Situationen motsvarar en slags endimensionell dipol med randvillkor φ0) = φ) = 0. addningsfördelning kan skrivas ρx ) = +qδx /2 ε/2) qδx /2 + ε/2), 34) och lösningen kan skrivas i termer av den givna Greensfunktionen φx) = 0 Gx, x )ρx )dx. 35) Pga Greensfunktionens utseende får vi betrakta tre separata områden: För x < /2 ε/2: Här är G = 1 x /)x för bidragen från bägge punktkällorna och vi får ) ) /2 + ε/2 /2 ε/2 φx) = q 1 x q 1 x = q ε x. 36) För x > /2 + ε/2: Här är G = 1 x/)x för bidragen från bägge punktkällorna och vi får φx) = q 1 x ) 2 + ε ) q 1 x ) 2 2 ε ) = q ε x). 2 37) Institutionen för fysik, Chalmers Page 8 Examinator: C. Forssén
9 ösningsskiss för tentamen Vektorfält och klassisk fysik FFM232) För /2 ε/2 < x < /2 + ε/2: /2 + ε/2 φx) = q 1 = q x ) 1 ε 2 Olika G för de två punktkällorna. ) x q 1 x ) 2 ε ) 2 Potentialen kan med fördel skissas upp. Då ser man att den avtar linjärt från noll vid x = 0 till qε/2 vid x = /2 ε/2 för att sedan öka linjärt till +qε/2 på den korta sträckan ε och sedan avta linjärt till noll igen vid x =. ). Verifiera Greensfunktionen Greensfunktion skall vi visa att För att verifiera att detta är korrekt Den löser Poissons ekvation för en punktkälla med styrkan 1 i x, dvs Gx, x ) = δx x ), inne i området {x : 0 x }. Notera att aplacianen verkar på x-koordinaten, dvs = d 2 /dx 2 i vårt en-dimensionella fall. Den uppfyller randvillkoren, dvs G0, x ) = G, x ) = 0 x. Det är enkelt att visa att randvillkoren är uppfyllda för den givna Greensfunktionen notera att x = 0 och x = ligger i de två olika områdena). Vad gäller aplacianen så noterar vi att derivatan är diskontinuerlig i punkten x = x. Utanför denna gäller { ) d 1 dx Gx, x ) = G x, x x ) = 0 x < x, x x < x, d och följdaktligen att 2 Gx, x ) = G x, x ) = 0, x x. Detta dx 2 motsvarar ett av de nödvändiga villkoren som en deltafunktion skall uppfylla, nämligen att δx x ) = 0, x x. Det andra villkoret gäller integralen över en deltafunktion. Här visar vi att 0 G x, x ))dx = 1. Institutionen för fysik, Chalmers Page 9 Examinator: C. Forssén
10 ösningsskiss för tentamen Vektorfält och klassisk fysik FFM232) Integralen får enbart ett bidrag från området med diskontinuiteten 0 G x, x ))dx = lim x 0 + x + x x x G x, x ))dx = G x, x ) G +x, x ) ) = 1 x x = 1, där G och G + betecknar förstaderivatan till vänster, respektive till höger, om diskontinuiteten vid x = x. Detta avslutar vårt bevis. Institutionen för fysik, Chalmers Page 10 Examinator: C. Forssén
Lösningsskiss för tentamen Vektorfält och klassisk fysik (FFM234 och FFM232)
Lösningsskiss för tentamen Vektorfält och klassisk fysik (FFM23 och FFM232) Tid och plats: Måndagen den 29 oktober 208 klockan 00-800, Maskinsalar Lösningsskiss: Christian Forssén Detta är enbart en skiss
Lösningsskiss för tentamen Vektorfält och klassisk fysik (FFM232)
Lösningsskiss för tentamen Vektorfält och klassisk fysik (FFM232) Tid och plats: Lösningsskiss: Tisdagen den 20 december 2016 klockan 0830-1230 i M-huset Christian Forssén Detta är enbart en skiss av den
FFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar
FFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar Christian Forssén, Institutionen för fysik, Chalmers, Göteborg, Sverige Oct 16, 2018 9. Lösningar av Poissons ekvation Vi vet att Poissons
FFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar
FFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar Christian Forssén, Institutionen för fysik, Chalmers, Göteborg, Sverige Oct 2, 2017 10. Värmeledning, diffusionsekvation Betrakta ett temperaturfält
FFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar
FFM34, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar Christian Forssén, Institutionen för fysik, Chalmers, Göteborg, Sverige Oct, 08 Repetition: Singulära fält Punktkälla i origo. Fältet i punkten
FFM232, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar
FFM232, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar Christian Forssén, Institutionen för fysik, Chalmers, Göteborg, Sverige Oct 3, 2016 8. Potentialteori Konservativa fält och potentialer
FFM232, Klassisk fysik och vektorfält - Veckans tal
FFM232, Klassisk fysik och vektorfält - eckans tal Tobias Wenger och Christian Forssén, Chalmers, Göteborg, Sverige Oct 3, 2016 Uppgift 6.6 (Cederwalls kompendium) Beräkna normalytintegralen av a F 2 [
Föreläsning 13, SF1626 Flervariabelanalys
Föreläsning 13, SF1626 Flervariabelanalys Haakan Hedenmalm (KTH, Stockholm) 28 november 2017 KTH Rekommenderade uppgifter: 15.1: 3, 5, 17. 15.2: 3, 5, 7, 21. Vektorfält DEFINITION Ett skalärfält Φ på ett
Poissons ekvation och potentialteori Mats Persson
1 ärmeledning Föreläsning 21/9 Poissons ekvation och potentialteori Mats Persson i vet att värme strömmar från varmare till kallare. Det innebär att vi har ett flöde av värmeenergi i en riktning som är
Repetition kapitel 21
Repetition kapitel 21 Coulombs lag. Grundbulten! Definition av elektriskt fält. Fält från punktladdning När fältet är bestämt erhålls kraften ur : F qe Definition av elektrisk dipol. Moment och energi
LAPLACES OCH POISSONS EKVATIONER
TH Matematik Olle tormark LAPLACE OCH POION EVATIONE Poissons ekvation φ(x) = (där ρ är en given funktion och φ söks) satisfieras till exempel av den elektrostatiska potentialen i ett område som innehåller
SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A. r cos t + (r cos t) 2 + (r sin t) 2) rdrdt.
1. Beräkna integralen medelpunkt i origo. SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen 218-3-14 D DEL A (x + x 2 + y 2 ) dx dy där D är en cirkelskiva med radie a och Lösningsförslag.
Elektrodynamik. Elektrostatik. 4πε. eller. F q. ekv
1 Elektrodynamik I det allmänna fallet finns det tidsberoende källor för fälten, dvs. laddningar i rörelse och tidsberoende strömmar. Fälten blir då i allmänhet tidsberoende. Vi ser då att de elektriska
SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 23-5-27 DEL A. Bestäm alla punkter på ytan z = x 2 + 4y 2 i vilka tangentplanet är parallellt med planet x + y + z =. 4 p) Lösning. Tangentplanet
Formelsamling. Elektromagnetisk fältteori för F och Pi ETE055 & ETEF01
Formelsamling Elektromagnetisk fältteori för F och Pi ETE055 & ETEF01 Institutionen för elektro- och informationsteknik Lunds tekniska högskola Juni 014 Innehåll 1 Elstatik 1 Likström 4 3 Magnetostatik
SF1649, Vektoranalys och komplexa funktioner Tentamen, måndagen den 19 december Lösningsförslag. F n ds,
Institutionen för matematik, KTH Serguei Shimorin SF1649, Vektoranalys och komplexa funktioner Tentamen, måndagen den 19 december 211. Lösningsförslag 1. Räkna ut flödesintegral F n ds, där F = (x e y,
Skriftlig tentamen i Elektromagnetisk fältteori för π3 (ETEF01) och F3 (ETE055)
Skriftlig tentamen i Elektromagnetisk fältteori för π (ETEF01 och F (ETE055 1 Tid och plats: 6 oktober, 016, kl. 14.00 19.00, lokal: Gasquesalen. Kursansvarig lärare: Anders Karlsson, tel. 40 89 och 07-5958.
OMTENTAMEN I VEKTORANALYS SI1146 och SI1140 Del 1, VT18
OMTENTAMEN I VEKTORANALY I46 och I40 Del, VT8 Onsdagen augusti 08:00-:00 Anteckna på varje blad: Namn, utbildningslinje, årskurs och problemnummer. Tillåtna hjälpmedel: Formelblad som delas ut. Räknedosa
TATA44 ösningar till tentamen 13/01/ ) Paraboloiden z = 2 x 2 y 2 skär konen z = x 2 + y 2 då x 2 + y 2 = 2 x 2 y 2. Med
TATA44 ösningar till tentamen 1/1/211. 1. Paraboloiden z 2 x 2 y 2 skär konen z x 2 + y 2 då x 2 + y 2 2 x 2 y 2. Med ρ x 2 + y 2 då är ρ 2 + ρ 2 vilket ger ρ + 2ρ 1. åledes är ρ 1 ty ρ. Vi betecknar den
TENTAMEN I VEKTORANALYS SI1146 och SI1140 Del 1, VT18
TENTAMEN I EKTORANALY I46 och I40 Del, T8 Torsdagen 3 maj 4:00-9:00 Anteckna på varje blad: Namn, utbildningslinje, årskurs och problemnummer. Tillåtna hjälpmedel: Formelblad som delas ut. Räknedosa ej
Strålningsfält och fotoner. Våren 2016
Strålningsfält och fotoner Våren 2016 1. Fält i rymden Vi har lärt oss att beräkna elektriska fält utgående från laddningarna som orsakar dem Kan vi härleda nånting åt andra hållet? 2 1.1 Gauss lag Låt
SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. 1. En svängningsrörelse beskrivs av
SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 13-3-1 DEL A 1. En svängningsrörelse beskrivs av ( πx ) u(x, t) = A cos λ πft där amplituden A, våglängden λ och frekvensen f är givna konstanter.
Svar till övningar. Nanovetenskapliga tankeverktyg.
Svar till övningar. Nanovetenskapliga tankeverktyg. January 18, 2010 Vecka 2 Komplexa fourierserier 1. Fourierkomponenterna ges av dvs vi har fourierserien f(t) = π 2 + 1 π n 0 { π n = 0 c n = 2 ( 1) n
ANDREAS REJBRAND 2007-11-03 Elektromagnetism http://www.rejbrand.se. Coulombs lag och Maxwells första ekvation
ANDREA REJBRAND 2007-11-03 Elektromagnetism http://www.rejbrand.se oulombs lag och Maxwells första ekvation oulombs lag och Maxwells första ekvation Inledning Två punktladdningar q 1 samt q 2 i rymden
Strålningsfält och fotoner. Våren 2013
Strålningsfält och fotoner Våren 2013 1. Fält i rymden Vi har lärt oss att beräkna elektriska fält utgående från laddningarna som orsakar dem Kan vi härleda nånting åt andra hållet? 2 1.1 Gauss lag Låt
Tentamen i Flervariabelanalys, MVE , π, kl
Tentamen i Flervariabelanalys, MVE35 216-3-14, π, kl. 14.-18. Hjälpmedel: Inga, ej räknedosa. Telefon: anknytning 5325 Telefonvakt: Raad Salman För godkänt krävs minst 2 poäng. Betyg 3: 2-29 poäng, betyg
Tentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE , kl
Tentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE35 26-4-2, kl. 4-8 Hjälpmedel: Inga, ej räknedosa. Telefon: anknytning 5325 Telefonvakt: Edvin Wedin För godkänt krävs minst 2 poäng. Betyg 3: 2-29.5 poäng, betyg
TATA44 Lösningar 26/10/2012.
TATA44 Lösningar 6/1/1. 1. Lösning 1: Konen z x + y skär sfären x + y + (z 5 5 då 4z + (z 5 5 och enkla räkningar ger nu z z some ger z(z och vi ser att z eller z. Observera att punkter på sfären med z
FK Elektromagnetism och vågor, Fysikum, Stockholms Universitet Tentamensskrivning, måndag 21 mars 2016, kl 9:00-14:00
FK5019 - Elektromagnetism och vågor, Fysikum, Stockholms Universitet Tentamensskrivning, måndag 21 mars 2016, kl 9:00-14:00 Läs noggrant igenom hela tentan först Tentan består av 5 olika uppgifter med
SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 7 juni 2016
Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 7 juni 216 Skrivtid: 8:-13: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger
FK Elektromagnetism, Fysikum, Stockholms universitet Tentamensskrivning (2:a omtentan), fredag 30 augusti 2013, kl 9:00-14:00
FK4010 - Elektromagnetism, Fysikum, Stockholms universitet Tentamensskrivning (2:a omtentan), fredag 30 augusti 2013, kl 9:00-14:00 Läs noggrant genom hela tentan först. Börja med uppgifterna som du tror
Lösningar till seminarieuppgifter
Lösningar till seminarieuppgifter 2018-09-26 Uppgift 1 z ρ P z = 0 ρ Introducera ett koordinatsystem så att det jordade planet sammanfaller med planet z = 0, oc skivans centrum med punkten (0,0,). a) Problemet
1.1 Stokes sats. Bevis. Ramgard, s.70
1 Föreläsning 7 1.1 tokes sats ats 1 åt vara en yta i R med randen. Vi antar att orienteringen på och är vald på ett sådant sätt att om man går längs i den valda riktningen då ligger till vänster (på vänstersidan).
r 2 C Arbetet är alltså endast beroende av start- och slutpunkt. Det följer av att det elektriska fältet är konservativt ( E = 0).
1 Föreläsning 2 Motsvarar avsnitten 2.4 2.5 i Griffiths. Arbete och potentiell energi (Kap. 2.4) r 1 r 2 C Låt W vara det arbete som måste utföras mot ett givet elektriskt fält E, då en laddning Q flyttas
Fysik TFYA68. Föreläsning 2/14
Fysik TFYA68 Föreläsning 2/14 1 Elektrostatik University Physics: Kapitel 21 & 22 2 Elektrisk laddning Två typer av elektrisk laddning: positiv + och negativ Atom Atomkärnan: Proton (+1), neutron (0) elekton
SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 213-8-22 DEL A 1. Betrakta funktionen f(x, y) ln(x 2 + xy 2 4). a) Bestäm tangentplanet till funktionsytan z f(x, y) i den punkt på ytan där x 1
* Läsvecka 1 * Läsvecka 2 * Läsvecka 3 * Läsvecka 4 * Läsvecka 5 * Läsvecka 6 * Läsvecka 7 * Tentamenssvecka. Läsvecka 1
Detta är en preliminär planering över undervisningen i kursen och är tänkt att hjälpa dig att få ut så mycket som möjligt av föreläsningarna. Till varje föreläsningsdag finns förberedelser, innehåll och
Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys. Lösningsförslag till tentamen Måndagen den 5 juni 2017 DEL A
Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen Måndagen den 5 juni 7 DEL A. En kulles höjd ges av z 6,x,y där enheten är meter på alla tre koordinataxlar. (a) I vilken
Tentamen Mekanik F del 2 (FFM521 och 520)
Tentamen Mekanik F del (FFM51 och 50 Tid och plats: Lösningsskiss: Fredagen den 17 januari 014 klockan 08.30-1.30. Christian Forssén Obligatorisk del 1. Endast kortfattade lösningar redovisas. Se avsnitt
Lösningar till tentamen i Elektromagnetisk fältteori för Π3 & F3
Lösningar till tentamen i Elektromagnetisk fältteori för Π3 & F3 Tid och plats: 4 augusti 0, kl. 4.009.00, i Sparta C+D. Kursansvarig lärare: Christian Sohl, tel. 34 3. Tillåtna hjälpmedel: Formelsamling
= 0. Båda skärningsvinklarna är således π/2 (ortogonala riktningsvektorer).
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud SF163, ifferential- och integralkalkyl II, del 2, flervariabel, för F1. Tentamen torsdag 19 augusti 21, 14. - 19. Inga hjälpmedel är tillåtna. Svar och
Vektoranalys I. Anders Karlsson. Institutionen för elektro- och informationsteknik
Vektoranalys I Anders Karlsson Institutionen för elektro- och informationsteknik 2 september 2015 Översikt över de tre föreläsningarna 1. Grundläggande begrepp inom vektoranalysen, nablaoperatorn samt
Tentamen i tmv036c och tmv035c, Analys och linjär algebra C för K, Kf och Bt A =, = det(a λi) = e 2t + c 2. x(t) = c 1. = c 1.
Institutionen för matematiska vetenskaper Chalmers tekniska högskola Niklas Eriksen Tentamen i tmv6c och tmv5c, Analys och linjär algebra C för K, Kf och Bt Lösningar 9--6. Lös initialvärdesproblemet x
1.15 Uppgifter UPPGIFTER 21. Uppgift 1.1 a) Visa att transformationen x i = a ikx k med. (a ik ) =
1.15. UPPGIFTER 1 1.15 Uppgifter Uppgift 1.1 a) isa att transformationen x i = a ikx k med (a ik ) = 1 0 1 1 1 1 1 1 1 är en rotation. b) Bestäm komponenterna T ik om (T ik ) = 0 1 0 1 0 1 0 1 0 Uppgift
Tentamensskrivning i Ellära: FK4005e Fredag, 11 juni 2010, kl 9:00-15:00 Uppgifter och Svar
Tentamensskrivning i Ellära: FK4005e Fredag, 11 juni 2010, kl 9:00-15:00 Uppgifter och Svar Ge dina olika steg i räkningen, och förklara tydligt ditt resonemang! Ge rätt enhet när det behövs. Tillåtna
SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 216-6-7 DEL A 1. Låt S vara ellipsoiden som ges av ekvationen x 2 + 2y 2 + 3z 2 = 5. (a) Bestäm en normalvektor till S i en punkt (x, y, z ) på S.
9. Magnetisk energi Magnetisk energi för en isolerad krets
9. Magnetisk energi [RMC] Elektrodynamik, ht 005, Krister Henriksson 9.1 9.1. Magnetisk energi för en isolerad krets Arbetet som ett batteri utför då det för en laddning dq runt en krets, från batteriets
Elektromagnetiska falt och Maxwells ekavtioner
Forelasning /1 Elektromagnetiska falt och Maxwells ekavtioner 1 Maxwells ekvationer Maxwell satte 1864 upp fyra stycken ekvationer som gav en fullstandig beskrivning av ett elektromagnetiskt falt. Dock,
Föreläsning 16, SF1626 Flervariabelanalys
Föreläsning 16, SF1626 Flervariabelanalys Haakan Hedenmalm (KTH, Stockholm) 5 december 2017 KTH Rekommenderade uppgifter: 16.1: 3, 7, 11. 16.2: 9, 15, 17. Gradient, divergens, och rotation Gradienten Om
FK Elektromagnetism, Fysikum, Stockholms universitet Tentamensskrivning (1:a omtentan), tisdag 17 juni 2014, kl 9:00-14:00
FK4010 - Elektromagnetism, Fysikum, Stockholms universitet Tentamensskrivning (1:a omtentan), tisdag 17 juni 2014, kl 9:00-14:00 Läs noggrant genom hela tentan först. Börja med uppgifterna som du tror
Tentamen Modellering och simulering inom fältteori, 8 januari, 2007
1 Institutionen för elektrovetenskap Tentamen Modellering och simulering inom fältteori, 8 januari, 2007 Tillåtna hjälpmedel: Formelsamling i Elektromagnetisk fältteori arje uppgift ger 10 poäng. Delbetyget
Övningar. Nanovetenskapliga tankeverktyg.
Övningar. Nanovetenskapliga tankeverktyg. January 18, 2010 Vecka 2 Komplexa fourierserier 1. Gör en skiss av funktionen f(t) = t, t [ π, π] (med period 2π) och beräkna dess fourierserie. 2. Gör en skiss
Tenta svar. E(r) = E(r)ˆr. Vi tillämpar Gauss sats på de tre områdena och väljer integrationsytan S till en sfär med radie r:
Tenta 56 svar Uppgift a) På grund av sfäriskt symmetri ansätter vi att: E(r) = E(r)ˆr Vi tillämpar Gauss sats på de tre områdena och väljer integrationsytan S till en sfär med radie r: 2π π Q innesluten
Föreläsning 8. Ohms lag (Kap. 7.1) 7.1 i Griffiths
1 Föreläsning 8 7.1 i Griffiths Ohms lag (Kap. 7.1) i är bekanta med Ohms lag i kretsteori som = RI. En mer generell framställning är vårt mål här. Sambandet mellan strömtätheten J och den elektriska fältstyrkan
SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 20 augusti 2015
Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 2 augusti 215 Skrivtid: 8:-1: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger
r 2 Arbetet är alltså endast beroende av start- och slutpunkt. Det följer av att det elektriska fältet är konservativt ( E = 0).
1 Föreläsning 2 Motsvarar avsnitten 2.4 2.5 i Griffiths. Arbete och potentiell energi (Kap. 2.4) r 1 r 2 C Låt W vara det arbete som måste utföras mot ett givet elektriskt fält E, då en laddning Q flyttas
Tentamen i matematik. f(x) = ln(ln(x)),
Lösningsförslag Högskolan i Skövde (SK, JS) Tentamen i matematik Kurs: MA52G Matematisk Analys MA23G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 203-05- kl 4.30-9.30 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver
SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF66 Flervariabelanals Lösningsförslag till tentamen --9 EL A. En kulle beskrivs approximativt av funktionen 5 hx, ) + 3x + i lämpliga enheter där hx, ) är höjden. Om du befinner dig i punkten,, ) på kullen,
SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 215-3-16 DEL A 1. Låt f(x, y) = 1 x 2 y 2. (a) Skissa nivåkurvorna f(x, y) = c till f för c =, c = 1 och c = 2. (1 p) (b) Beräkna gradf(x, y) i de
Föreläsning 4 1. Den andra av Maxwells ekvationer i elektrostatiken
Föreläsning 4 1 Potential Den andra av Maxwells ekvationer i elektrostatiken!" C E!dl = 0 eller # E = 0 innebär att E-fältet är konservativt. Det finns inga fältlinjer som bildar loopar. Alla fältlinjer
9. Magnetisk energi Magnetisk energi för en isolerad krets
9. Magnetisk energi [RM] Elektrodynamik, vt 013, Kai Nordlund 9.1 9.1. Magnetisk energi för en isolerad krets Arbetet som ett batteri utför då det för en laddning dq runt en krets, från batteriets anod
9. Magnetisk energi [RMC 12] Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 9.1
9. Magnetisk energi [RMC 12] Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 9.1 9.1. Magnetisk energi för en isolerad krets Arbetet som ett batteri utför då det för en laddning dq runt en krets, från batteriets
Övning 6, FMM-Vektoranalys, SI1140
Övning 6, FMM-ektoranalys, I114 ˆ 6. Beräkna integralen där A dr A x 2 ay + z) ) e x + y 2 az ) e y + z 2 ax + y) ) e z och är den kurva som utgör skärningslinjen mellan cylindern { x a) 2 + y 2 a 2 och
Tentamen i El- och vågrörelselära,
Tentamen i El- och vågrörelselära, 05-0-05. Beräknastorlekochriktningpådetelektriskafältetipunkten(x,y) = (4,4)cm som orsakas av laddningarna q = Q i origo, q = Q i punkten (x,y) = (0,4) cm och q = Q i
Föreläsning 2 1. Till varje punkt i rummet tilldelas en vektor. ( ) = T ( x, y, z,t) ( ) = v x
Föreläsning 2 1 Matematiska grundbegrepp Fält kalärfält: Vektorfält: Till varje punkt i rummet tilldelas en skalär Exempel: Temperaturen i olika punkter i rummet, T r,t ( ) = T ( x, y, z,t) Till varje
SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-8- EL A 1. Betrakta funktionen f som är definierad i området där x + y genom f(x, y, z) x z x + y. (a) Beräkna gradienten f(x, y, z). (1 p) (b)
FFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar
FFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar Christian Forssén, Institutionen för fysik, Chalmers, Göteborg, Sverige Sep 14, 2018 5. Indexnotation Precis som vi har räkneregler för
FFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar
FFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar Christian Forssén, Institutionen för fysik, Chalmers, Göteborg, Sverige Sep 11, 2017 12. Tensorer Introduktion till tensorbegreppet Fysikaliska
SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 16 mars 2015
Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 16 mars 215 Skrivtid: 8:-13: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger
93FY51/ STN1 Elektromagnetism Tenta : svar och anvisningar
17317 93FY51 1 93FY51/ TN1 Elektromagnetism Tenta 17317: svar och anvisningar Uppgift 1 a) Av symmetrin följer att: och därmed: Q = D d D(r) = D(r)ˆr E(r) = E(r)ˆr Vi väljer ytan till en sfär med radie
Sensorer, effektorer och fysik. Grundläggande fysikaliska begrepp som är viktiga inom mättekniken
Sensorer, effektorer och fysik Grundläggande fysikaliska begrepp som är viktiga inom mättekniken Innehåll Grundläggande begrepp inom mekanik. Elektriskt fält och elektrisk potential. Gauss lag Dielektrika
Lösningsförslag till tentamen TMA043 Flervariabelanalys E2
Lösningsförslag till tentamen TMA43 Flervariabelanalys E 4-8-3 kl. 8.3.3 Examinator: Peter Hegarty, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Åse Fahlander, telefon: 73 88 34 Hjälpmedel: bifogat formelblad,
SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 21 mars 2016
Institutionen för matematik SF626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 2 mars 26 Skrivtid: 8:-3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt
u av funktionen u = u(x, y, z) = xyz i punkten M o = (x o, y o, z o ) = (1, 1, 1) i riktningen mot punkten M 1 = (x 1, y 1, z 1 ) = (2, 3, 1)
ATM-Matematik Mikael Forsberg 734 41 3 31 Flervariabelanalys mag31 1669 Skrivtid: 9:-14:. Inga hjälpmedel förutom bifogad formelsamling. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje
Kroklinjiga koordinater och räkning med vektoroperatorer. Henrik Johanneson/(Mats Persson)
Föreläsning 7/9 Kroklinjiga koordinater räkning med vektoroperatorer Kroklinjiga koordinater Henrik Johanneson/Mats Persson) Allmänt behöver vi tre parametrar u, u 2, u 3 för att beskriva en godtycklig
f(x, y) = ln(x 2 + y 2 + 1). 3. Hitta maximala arean för en rektangel inskriven i en ellips på formen x 2 a 2 + y2
TM-Matematik Mikael Forsberg Matematik med datalogi, mfl. Flervariabelanalys mk12b Övningstenta vt213 nr1 Skrivtid: 5 timmar. Hjälpmedel är formelbladen från insidan av Pärmen i Adams Calculus, dessa formler
SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-6-4 DEL A 1. Funktionen f är definierad på området som ges av olikheterna x > 1/ och y > genom f(x, y) ln(x 1) + ln(y) xy x. (a) Förklara vad det
SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 12 januari 2016
Institutionen för matematik SF626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 2 januari 26 Skrivtid: 8:-3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger
x ( f u 2y + f v 2x) xy = 24 och C = f
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud SF160, Differential- och integralkalkyl II, del 2, flervariabel, för F1. Tentamen onsdag 0 maj 2012, 8.00-1.00 Förslag till lösningar 1. Bestäm tangentplanet
Elektromagnetiska fält och Maxwells ekavtioner. Mats Persson
Föreläsning 26/9 Elektromagnetiska fält och Maxwells ekavtioner 1 Maxwells ekvationer Mats Persson Maxwell satte 1864 upp fyra stycken ekvationer som gav en fullständig beskrivning av ett elektromagnetiskt
VIKTIGA TILLÄMPNINGAR AV GRUNDLÄGGANDE BEGREPP
Appendix VIKTIGA TIÄMPNINGA AV GUNDÄGGANDE BEGEPP I detta appendix diskuteras viktiga tillämpningar av grundläggande begrepp inom vektoranalysen. Exemplen är främst hämtade från den elektromagnetiska teorin.
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud 5B 7, ifferential- och integralkalkyl II, del 2, flervariabel, för F. Tentamen fredag 25 maj 27, 8.-3. Förslag till lösningar (ändrat 28/5-7, 29/5-7).
FFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar
FFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar hristian Forssén, Institutionen för fysik, halmers, Göteborg, verige ep 6, 217 3. Integraler Det mesta av detta material förutsätts vara
Integranden blir. Flödet ges alltså av = 3
Lektion 7, Flervariabelanals den 23 februari 2 6.4.2 Använd Gauss sats för att beräkna flödet av ut ur sfären med ekvationen där a >. Flödet ut ur sfären ges av F e e + 2 e e + e 2 + 2 + 2 a 2 F d, som
Lösningsskiss för tentamen Vektorfält och klassisk fysik (FFM234 och FFM232)
Lösningsskiss för tentmen Vektorfält och klssisk fysik (FFM34 och FFM3) Tid och plts: Måndgen den 3 oktober 07 klockn 4.00-8.00 i Mskinslrn. Lösningsskiss: Christin Forssén Dett är enbrt en skiss v den
Lösningsförslag till tentamen TMA043 Flervariabelanalys E2
Lösningsförslag till tentamen TMA4 Flervariabelanalys E2 21-8-1 kl. 8. 12. Examinator: Johan Jonasson, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Anders Martinsson, telefon: 7 88 4 Hjälpmedel: bifogat
1 x dx Eftersom integrationskonstanten i (3) är irrelevant, kan vi använda oss av 1/x som integrerande faktor. Låt oss beräkna
Lösningsförslag, Tentamen, Differentialekvationer och transformer II, del, för CTFYS2 och CMEDT3, SF629, den 30 maj 20, kl 8:00 3:00 Svar, uppgift : i sant, ii sant, iii falskt, iv sant, v falskt, vi sant,
av envariabelfunktionen g(t) och flervariabelfunktionen t = h(x, y) = x 2 + e y.)
Lösningsskisser till TATA69 Flervariabelanalys 16-1- 1 Stationära punkter ges av f (4x 3 + 4x, 3y + 6z, z + 6y (,,, dvs (x, y, z (,, eller (x, y, z (, 6, 18 Ur andraderivatorna fås de kvadratiska formerna
Hydrodynamik Mats Persson
Föreläsning 5/10 Hydrodynamik Mats Persson 1 De hydrodynamiska ekvationerna För att beskriva ett enkelt hydrodynamiskt flöde behöver man känna fluidens densitet,, tryck p hastighet u. I princip behöver
1 x. SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 26-3-2 DEL A. Låt D vara fyrhörningen med hörn i punkterna, ), 6, ),, 5) och 4, 5). a) Skissera fyrhörningen D och beräkna dess area. p) b) Bestäm
Tentamen i El- och vågrörelselära,
Tentamen i El- och vågrörelselära, 23 2 8 Hjälpmedel: Physics Handbook, räknare. Ensfäriskkopparkulamedradie = 5mmharladdningenQ = 2.5 0 3 C. Beräkna det elektriska fältet som funktion av avståndet från
SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 27 maj, 2013
SF626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 27 maj, 23 Skrivtid: 8:-3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mattias Dahl Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng. De tre
Formelsamling till Elektromagnetisk
Formelsamling till Elektromagnetisk fältteori Lars-Göran Westerberg Avdelningen för strömningslära Luleå tekniska universitet 13 januari 2009 ammanfattning Den här formelsamlingen utgör tillsammans med
1 Potenitallösningen för strömningen kring en cylinder
Föreläsning 9 1 Potenitallösningen för strömningen kring en cylinder I denna föreläsning ska vi kortfattat behandla potentialströmning, som traditionellt varit ett stort område inom aerodynamiken, men
FFM234, Datoruppgift 2: Värmeledning
FFM234, Datoruppgift 2: Värmeledning Christian Forssén 1 Ulf Torkelsson 2 1 Institutionen för fysik, Chalmers, Göteborg, Sverige, Email: christian.forssen@chalmers.se 2 Astrofysik, Chalmers och Göteborgs
Mer om generaliserad integral
Föreläsning XI Mer om generaliserad integral Ex 64: Givet h(x) = ( x 2 5x + 2 ) e x/2. (a) Bestäm en p.f. till h(x). (b) Beräkna h(x)dx. (a) Vi har här en integrand som är en produkt av ett polynom av
5 Gauss sats. div. dv = A V. Noterbart är att V AdV = A ˆNdS, dvs Gauss sats, har strukturella likheter med b df
5 Gauss sats Betrakta ett vektorfält A. i låter en sluten ta, med utåtriktad normal ˆN, begränsa ett område. Antag nu att A är kontinuerligt deriverbart i hela. Under dessa premisser gäller Gauss sats
SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 18 augusti 2016
Institutionen för matematik SF166 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 18 augusti 16 Skrivtid: 8:-1: Tillåtna jälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger
Svaren på förståelsedelen skall ges på tesen som skall lämnas in.
Dugga i Elektromagnetisk fältteori F. för F2. EEF031 2005-11-19 kl. 8.30-12.30 Tillåtna hjälpmedel: BETA, Physics Handbook, Formelsamling i Elektromagnetisk fältteori, Valfri kalkylator men inga egna anteckningar