Kroklinjiga koordinater och räkning med vektoroperatorer. Henrik Johanneson/(Mats Persson)
|
|
- Kristina Lundgren
- för 5 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Föreläsning 7/9 Kroklinjiga koordinater räkning med vektoroperatorer Kroklinjiga koordinater Henrik Johanneson/Mats Persson) Allmänt behöver vi tre parametrar u, u 2, u 3 för att beskriva en godtycklig punkt i rummet. Vi kan då skriva ortsvektorn som ru, u 2, u 3 ). Om vi då håller en av parametrarna, säg u, fix låter u 2 u 3 variera, så får vi en två-dimensionell yta, vilken vi kallar u -ytan. På samma sätt kan vi då definiera ytor för de andra koordinaterna. Två koordinatytor, till exempel de för koordinaterna u 2 u 3, skär varandra längs en en-dimensionell kurva. Längs denna kurva kommer då bara koordinaten u att variera, så denna kurva är en koordinatkurva för u. Exempel: I de cylindriska koordinaterna ρ, φ, z kan vi skriva ortsvektorn som r = ρ cos φ, ρ sin φ, z). Koordinatytorna för ρ, φ, z är då en cylinder med z-axeln som symmetriaxel med radien ρ, ett plan som utgår från z-axeln bildar en vinkel φ med x-axeln, samt ett plan parallellt med xy-planet med z-koordinaten z. Koordinatlinjerna för ρ, φ, z blir då en stråle som utgår från z-axeln bildar vinkeln φ med x-axeln, en cirkel med radien ρ en linje parallell med z-axeln. Om vi nu studerar en liten förskjutning av ortsvektorn, dr, så kan vi i med att ortsvektorn är en funktion av u, u 2, u 3 skriva denna som dr = u du + u 2 du 2 + u 3 du 3. ) Tänk nu på att den partiella derivatan / u är definierad som derivatan då vi håller u 2 u 3 fixa. Därför måste / u vara en tangentvektor till koordinatkurvan för u. Vi kan då definiera en enhetsvektor för u som e =, 2) h u där h = u 3) kallas för skalfaktorn. På samma sätt kan vi bestämma skalfaktorer enhetsvektorer till u 2 u 3. Förskjutningsvektorn dr kan vi nu skriva som dr = h e du + h 2 e 2 du 2 + h 3 e 3 du 3. 4) Exempel: I cylindriska koordinater är r = ρ cos φ, ρ sin φ, z). Vi kan då beräkna = cos φ, sin φ, 0), 5) ρ Skalfaktorerna blir då = ρ sin φ, ρ cos φ, 0), 6) φ = 0, 0, ). 7) z h ρ = cos 2 φ + sin 2 φ ) /2 =, 8) h φ = ρ 2 cos 2 φ + ρ 2 sin 2 φ ) /2 = ρ, 9) h z =. 0)
2 Enhetsvektorerna blir ˆρ = cos φ, sin φ, 0), ) ˆφ = sin φ, cos φ, 0), 2) Förskjutningsvektorn kan då skrivas som ẑ = 0, 0, ). 3) dr = ˆρdρ + ρˆφdφ + ẑdz. 4) I fortsättningen skall vi begränsa oss till koordinatsystem med ortogonala enhetsvektorer, dvs e i e j = { om i = j 0 annars 5) Vi skall också anta att enhetsvektorerna bildar ett högersystem e e 2 = e 3 6) Visa att enhetsvektorerna i de cylindriska koordinaterna uppfyller dessa villkor. Vi kan nu härleda några användbara samband som båglängden längs en kurva ds 2 = dr dr = h 2 du 2 + h 2 2du h 2 3du ) Ett ytelement ds på koordinatytan u är en rektangel som genereras av du 2 du 3. Rektangelns sidor har då längderna h 2 du 2 h 3 du 3. Rektangelns area är därför ds = h 2 h 3 du 2 du 3, 8) på samma sätt kan vi beräkna ytelementen på koordinatytorna för u 2 u 3. Analogt kan vi beräkna volymelementet som genereras av du, du 2 du 3, vilket blir Exempel: Bågelementet i cylindriska koordinater blir dv = h h 2 h 3 du du 2 du 3. 9) ds 2 = dρ 2 + ρ 2 dθ 2 + dz 2. 20) Ett ytelement på ρ-ytan skrives på φ-ytan på z-ytan Volymselementet kan vi skriva som ds = ρdφdz, 2) ds = dρz 22) ds = ρdρdφ. 23) dv = ρdρdφdz. 24) 2 Vektoroperatorer i kroklinjiga koordinater 2. Gradient Betrakta ett skalärt fält f. Om vi förflyttar oss en sträcka dr så förändras f df = f dr. 25) 2
3 Förflyttningen kan vi i de nya koordinaterna skriva som Om vi skriver f som en funktion av u, u 2 u 3 får vi dr = h e du + h 2 e 2 du 2 + h 3 e 3 du 3. 26) df = du + du 2 + du 3 = h du + h 2 du 2 + h 3 du 3 u u 2 u 3 h u h 2 u 2 h 3 u 3 = e + e 2 + ) e 3 dr 27) h u h 2 u 2 h 3 u 3 Då kan vi identifiera uttrycket inom parentesen som gradienten i de nya koordinaterna u, u 2, u 3 f = h u e + h 2 u 2 e 2 + h 3 u 3 e 3. 28) Exempel: I cylindriska koordinater blir gradienten 2.2 Divergens Vi har definierat divergensen som f = ρ ˆρ + ρ φ ˆφ + ẑ. 29) z divv = lim δv 0 δv δs v ds. 30) Vi kan nu beräkna divergensen över en låda med sidlängderna h du, h 2 du 2 h 3 du 3 i våra kroklinjiga koordinater. Lådan har då två ytor på u -ytorna u + du /2 u du /2. Dessa ytor har sidlängderna h 2 du 2 h 3 du 3. Ytornas areor är då h 2 h 3 du 2 du 3 där skalfaktorerna måste beräknas vid korrekt u -koordinat. Vi får då på ytan vid u + du /2 där normalvektorn är n = e att v nds = v h 2 h 3 du 2 du 3, 3) på ytan vid u du /2 med normalvektorn n = e att v nds = v h 2 h 3 du 2 du 3. 32) Testvolymen δv = h h 2 h 3 du du 2 du 3. Om vi nu summerar ihop bidragen från de två sidorna dividerar med volymen [v h 2 h 3 ) u + du /2) du 2 du 3 v h 2 h 3 ) u du /2) du 2 du 3 ] = h h 2 h 3 du du 2 du 3 v h 2 h 3 ) u + du /2) du 2 du 3 v h 2 h 3 ) u du /2) du 2 du 3 h h 2 h 3 du = h h 2 h 3 u v h 2 h 3 ). 33) På samma sätt kan vi behandla de övriga sidorna divergensen blir till slut v = v h 2 h 3 ) + u 2 h 3 h ) + ) u 3 h h 2 ) h h 2 h 3 u u 2 u 3 34) Genom att ersätta v med f kan vi också härleda Laplace-operatorn i de kroklinjiga koordinaterna [ ) 2 h2 h 3 f = + ) h3 h + )] h h 2. 35) h h 2 h 3 u h u u 2 h 2 u 2 u 3 h 3 u 3 3
4 Exempel: Divergensen blir i cylindriska koordinater v = ρ ρ ρv ρ) + φ v φ) + ) z ρv z) = ρ ρ ρv ρ) + ρ Laplace-operatorn blir i cylindriska koordinater 2 f = [ ρ ) + ) + ρ )] = ρ ρ ρ φ ρ φ z z ρ ρ 2.3 Rotation v φ φ + v z z. 36) ρ ) + 2 f ρ ρ 2 φ f z 2. 37) Vi har definierat rotationen genom n rotv = lim v dr. 38) δs 0 δs δc För att finna e 3 komponenten till v integrerar vi längs en liten rektangel i u 3 -ytan med sidlängder h du h 2 du 2. Linjeintegralen längs den högra sidan är v 2 h 2 du 2 u + du /2, u 2, u 3 ), där argumentet gäller för både v 2 h 2. På samma sätt blir integralen längs den vänstra sidan v 2 h 2 du 2 u du /2, u 2, u 3 ). Om vi summerar dessa två bidrag dividerar med rektangelns area h h 2 du du 2 får vi h h 2 du du 2 [v 2 h 2 ) u + du /2, u 2, u 3 ) du 2 v 2 h 2 ) u du /2, u 2, u 3 ) du 2 ] = v 2 h 2 ) u + du /2, u 2, u 3 ) v 2 h 2 ) u du /2, u 2, u 3 ) h h 2 du = v 2 h 2 ). 39) h h 2 u Om vi summerar rektangelns övre undre sida på samma sätt så får vi e 3 -komponenten av rotationen blir då e 3 v = h h 2 v h ). 40) h h 2 u 2 u v 2 h 2 ) ) v h ) u 2. 4) De andra komponenterna kan beräknas genom att permutera indexen. På determinantform blir rotationen h e h 2 e 2 h 3 e 3 v = h h 2 h 3 u u 2 u 3 h v h 2 v 2 h 3 v 3. 42) Exempel: Rotationen i cylindriska koordinater blir v = ˆρ ˆφ ẑ ρ ρ φ z v ρ ρv φ v z = [ vz ρ φ ) z ρv vr φ) ˆρ + z v ) z ρˆφ + ρ ρv φ) v ) ] ρ ẑ φ v z = ρ φ v ) φ vr ˆρ + z z v ) z ˆφ + ρ ρ ρv φ) ) v ρ ẑ. 43) ρ φ 4
5 3 Sfäriska koordinater Med sfäriska koordinater skriver vi ortsvektorn som r = r sin θ cos φ, r sin θ sin φ, r cos θ). Då får vi de tre tangentvektorerna Detta ger oss skalfaktorerna = sin θ cos φ, sin θ sin φ, cos θ), 44) = r cos θ cos φ, r cos θ sin φ, r sin θ) 45) θ = r sin θ sin φ, r sin θ cos φ, 0). 46) φ h r = sin 2 θ cos 2 φ + sin 2 θ sin 2 φ + cos 2 θ ) /2 =, 47) h θ = r 2 cos 2 θ cos 2 φ + r 2 cos 2 θ sin 2 φ + r 2 sin 2 θ ) /2 = r 48) h φ = r 2 sin 2 θ sin 2 φ + r 2 sin 2 θ cos 2 φ ) /2 = r sin θ. 49) Vi kan nu skriva våra differentialoperatorer som v = r sin θ 2 f = r 2 f = ˆr + r φ ˆφ + r sin θ θ ˆθ. 50) v = r 2 ) r 2 v r + r sin θ θ sin θv θ) + r sin θ r 2 ) + r 2 sin θ ) + sin θ θ θ v φ φ, 5) 2 f r 2 sin 2 θ φ 2 52) θ sin θv φ) v ) θ ˆr + v r φ r sin θ φ ) rv φ) ˆθ + r rv θ) v ) r ˆφ. θ 53) 4 Räkneregler för differentialoperatorer Precis som vi har räkneregler för derivatorer, så kan vi härleda räkneregler för våra differentialoperatorer. Det är då viktigt att komma ihåg att fälten på de båda sidorna av likhetstecknet skall vara av samma typ, det vill säga om vi har ett skalärt fält till vänster om likhetstecknet skall vi ha ett skalärt fält till höger om likhetstecknet, om vi har ett vektorfält till vänster om likhetstecknet skall också fältet till höger vara ett vektorfält. På så sätt kan man resonera sig fram till några av räknereglerna. 4. Gradient, divergens rotation av en produkt av fält För vanliga funktioner f g gäller att d df fg) = dx dx g + f dg dx. 54) Om vi istället betraktar fg), där f g är skalära fält, ser vi att det resulterande fältet skall vara ett vektorfält, att vi måste derivera ett av fälten åt gången. Om vi tar gradienten 5
6 av ett skalärt fält, så får vi ett vektorfält om vi sedan multiplicerar med ytterligare ett skalärt fält, så har vi fortfarande ett vektorfält, alltså bör räknereglen gälla. På liknande sätt kan vi resonera oss fram till fg) = f g + g f 55) fu) = f u + f u, 56) fu) = f u + f u. 57) De mer komplexa sambanden nedan är dock svårare att härleda. I princip kan man visa dem genom att skriva ut ekvationerna komponentvis, men en effektivare metod är att använda den indexnotation som beskrivs i Matthews. Indexnotationen är ett effektivt verktyg i stora delar av den teoretiska fysiken. A B) = B A) A B) 58) A B) = B ) A A) B A ) B + B) A 59) A B) = A ) B + B ) A + A B) + B A). 60) Här skall vi tolka A som A = A x x + A y y + A z z 6) 4.2 Kombinationer med två vektoroperatorer Man kan också kombinera två vektoroperatorer med ett fält. Ett enkelt vanligt exempel på detta är att vi vill beräkna rotationen ett ett vektorfält av formen φ. Detta ger oss i kartesiska koordinater φ = 2 φ = ) ) ) φ φ φ = 2 φ x x y y z z x φ y φ z 2. 62) Operatorn 2 kallas för Laplace-operatorn. Analogt kan man definiera Laplace-operatorn för ett vektorfält 2 u = 2 u x, 2 u y, 2 u z ), 63) men denna kan också beräknas ur ekvationen 2 A = A) A). 64) Lägg här märke till att det finns enkla uttryck för Laplace-operatorn för ett skalärt fält i kroklinjiga koordinater se ovan), men inget sådant uttryck existerar för Laplace-operatorn för ett vektorfält, utan om vi vill applicera Laplace-operatorn på ett vektorfält, så måste vi gå tillbaka till ekv. 64). Två viktiga samband, vilka dessutom är enkla att härleda, är f = 0 65) F) = 0. 66) 6
Allmant behover vi tre parametrar u 1 u 2 u 3 for att beskriva engodtycklig punkt i rummet. Vi kan
Forelasning 3/9 Kroklinjiga koordinater rakning med vektoroperatorer Kroklinjiga koordinater Allmant behover vi tre parametrar u u 2 u 3 for att beskriva engodtycklig punkt i rummet. Vi kan da skriva ortsvektorn
Läs merFFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar
FFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar Christian Forssén, Institutionen för fysik, Chalmers, Göteborg, Sverige Sep 17, 2018 2. Kroklinjiga koordinater Allmänt behöver vi tre parametrar
Läs mer1.1 Gradienten i kroklinjiga koordinatsystem
1 Föreläsning 4 1.1 Gradienten i kroklinjiga koordinatsystem Sats 1 i sfäriska koordinater; i cylindriska koordinater. Bevis. I kartesiska koordinater har vi att Φ = r ˆr + 1 r θ ˆθ + 1 ˆϕ (1 r sin θ ϕ
Läs merIntegraler av vektorfält Mats Persson
Föreläsning 1/8 Integraler av vektorfält Mats Persson 1 Linjeintegraler Exempel: En partikel rör sig längs en kurva r(τ) under inverkan av en kraft F(r). i vill då beräkna arbetet som kraften utövar på
Läs merFFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar
FFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar hristian Forssén, Institutionen för fysik, halmers, Göteborg, verige ep 6, 217 3. Integraler Det mesta av detta material förutsätts vara
Läs merAppendix A: Differentialoperatorer i olika koordinatsystem
Appendix A: Differentialoperatorer i olika koordinatsystem [Arfken,BETA,Lahtinen] A. 1. Kurvilineära koordinatsystem Antag att i ett Cartesiskt (x, y, z) koordinatsystem med basvektorerna bx, by, bz existerar
Läs merFFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar
FFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar Christian Forssén, Institutionen för fysik, Chalmers, Göteborg, Sverige Sep 14, 2018 5. Indexnotation Precis som vi har räkneregler för
Läs merVektoranalys I. Anders Karlsson. Institutionen för elektro- och informationsteknik
Vektoranalys I Anders Karlsson Institutionen för elektro- och informationsteknik 2 september 2015 Översikt över de tre föreläsningarna 1. Grundläggande begrepp inom vektoranalysen, nablaoperatorn samt
Läs merIntegraler av vektorfalt. Exempel: En partikel ror sig langs en kurva r( ) under inverkan av en kraft F(r). Vi vill
Forelasning 6/9 ntegraler av vektorfalt Linjeintegraler Exempel: En partikel ror sig langs en kurva r( ) under inverkan av en kraft F(r). i vill da berakna arbetet som kraften utovar pa partikeln. Mellan
Läs merTATA44 Lösningar 26/10/2012.
TATA44 Lösningar 6/1/1. 1. Lösning 1: Konen z x + y skär sfären x + y + (z 5 5 då 4z + (z 5 5 och enkla räkningar ger nu z z some ger z(z och vi ser att z eller z. Observera att punkter på sfären med z
Läs merVektoranalys III. Anders Karlsson. Institutionen för elektro- och informationsteknik
Vektoranalys III Anders Karlsson Institutionen för elektro- och informationsteknik 16 september 215 Översikt 1 Gauss sats divergenssatsen Exempel på användning av Gauss sats 2 tokes sats Exempel på användning
Läs meru av funktionen u = u(x, y, z) = xyz i punkten M o = (x o, y o, z o ) = (1, 1, 1) i riktningen mot punkten M 1 = (x 1, y 1, z 1 ) = (2, 3, 1)
ATM-Matematik Mikael Forsberg 734 41 3 31 Flervariabelanalys mag31 1669 Skrivtid: 9:-14:. Inga hjälpmedel förutom bifogad formelsamling. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje
Läs mer* Läsvecka 1 * Läsvecka 2 * Läsvecka 3 * Läsvecka 4 * Läsvecka 5 * Läsvecka 6 * Läsvecka 7 * Tentamenssvecka. Läsvecka 1
Detta är en preliminär planering över undervisningen i kursen och är tänkt att hjälpa dig att få ut så mycket som möjligt av föreläsningarna. Till varje föreläsningsdag finns förberedelser, innehåll och
Läs merDen vanliga koordinaterna, betecknas (x, y, z) med enhetsvektorerna î, ĵ och. z k
Vektorkalkl I fsiken har vektorfält stor betdelse inom bl.a. mekaniken och elektrodnamiken. I ett skalärfält har varje punkt i rmden ett visst värde, t.e. i en vattenbalja kan vi sätta en temperatur i
Läs mer1 Några elementära operationer.
Föreläsning Några elementära operationer. Ett skalärfält är en reellvärd eller komplexvärd funktion Φ(x, y, z). Ett vektorfält är en vektorvärd funktion A(x, y, z). I ett kartesiskt koordinatsystem kan
Läs merVektoranalys II. Anders Karlsson. Institutionen för elektro- och informationsteknik
Vektoranalys II Anders Karlsson Institutionen för elektro- och informationsteknik 9 september 215 Översikt 1 Kurvor och ytor, linje- och yt-mått 2 Integraler, Kap. 1.3 Linjeintegraler Ytintegraler Volymsintegraler
Läs merTATA44 Lösningar 24/8/ ) Låt S vara den del av x 2 + y 2 + z 2 = 2 innanför cylindern x 2 + y 2 = 1. Inför cylinderkoordinater.
TATA Lösningar /8/.. Låt vara den del av x + y + z innanför cylindern x + y. Inför cylinderkoordinater. Parametrisera med ortsvektorn r(ρ, φ (ρ cos φ, ρ sin φ, ρ som man kan skriva som r(ρ, φ ρ ˆρ + ρ
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 23-5-27 DEL A. Bestäm alla punkter på ytan z = x 2 + 4y 2 i vilka tangentplanet är parallellt med planet x + y + z =. 4 p) Lösning. Tangentplanet
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 215-3-16 DEL A 1. Låt f(x, y) = 1 x 2 y 2. (a) Skissa nivåkurvorna f(x, y) = c till f för c =, c = 1 och c = 2. (1 p) (b) Beräkna gradf(x, y) i de
Läs merVEKTORANALYS Kursprogram VT 2018
VEKTORANALYS Kursprogram VT 2018 Allmänt om kursen Målsättningen med kursen är att lära ut ett antal grundläggande matematiska metoder, som under de fortsatta studierna kommer att tillämpas i flera olika
Läs merFFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar
FFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar Christian Forssén, Institutionen för fysik, Chalmers, Göteborg, Sverige Sep 4, 2018 1. Fält och derivator Ett fält är en fysikalisk storhet
Läs merAB2.5: Ytor och ytintegraler. Gauss divergenssats
AB2.5: Ytor och ytintegraler. Gauss divergenssats Ytor på parameterform Låt xyz vara ett cartesiskt koordinatsystem i rummet. En yta på parameterform ges av tre ekvationer x = x(u, v), y = y(u, v), z =
Läs merLösningsskiss för tentamen Vektorfält och klassisk fysik (FFM234 och FFM232)
Lösningsskiss för tentamen Vektorfält och klassisk fysik (FFM23 och FFM232) Tid och plats: Måndagen den 29 oktober 208 klockan 00-800, Maskinsalar Lösningsskiss: Christian Forssén Detta är enbart en skiss
Läs merFöreläsning 13, SF1626 Flervariabelanalys
Föreläsning 13, SF1626 Flervariabelanalys Haakan Hedenmalm (KTH, Stockholm) 28 november 2017 KTH Rekommenderade uppgifter: 15.1: 3, 5, 17. 15.2: 3, 5, 7, 21. Vektorfält DEFINITION Ett skalärfält Φ på ett
Läs merTATA44 ösningar till tentamen 13/01/ ) Paraboloiden z = 2 x 2 y 2 skär konen z = x 2 + y 2 då x 2 + y 2 = 2 x 2 y 2. Med
TATA44 ösningar till tentamen 1/1/211. 1. Paraboloiden z 2 x 2 y 2 skär konen z x 2 + y 2 då x 2 + y 2 2 x 2 y 2. Med ρ x 2 + y 2 då är ρ 2 + ρ 2 vilket ger ρ + 2ρ 1. åledes är ρ 1 ty ρ. Vi betecknar den
Läs merSF1649, Vektoranalys och komplexa funktioner Tentamen, måndagen den 19 december Lösningsförslag. F n ds,
Institutionen för matematik, KTH Serguei Shimorin SF1649, Vektoranalys och komplexa funktioner Tentamen, måndagen den 19 december 211. Lösningsförslag 1. Räkna ut flödesintegral F n ds, där F = (x e y,
Läs mer1.1 Stokes sats. Bevis. Ramgard, s.70
1 Föreläsning 7 1.1 tokes sats ats 1 åt vara en yta i R med randen. Vi antar att orienteringen på och är vald på ett sådant sätt att om man går längs i den valda riktningen då ligger till vänster (på vänstersidan).
Läs merFöreläsning 16, SF1626 Flervariabelanalys
Föreläsning 16, SF1626 Flervariabelanalys Haakan Hedenmalm (KTH, Stockholm) 5 december 2017 KTH Rekommenderade uppgifter: 16.1: 3, 7, 11. 16.2: 9, 15, 17. Gradient, divergens, och rotation Gradienten Om
Läs mer1 Vektorer och tensorer
Föreläsning 1. 1 Vektorer och tensorer Vi kommer att använda två olika beteckningar för vektorer. Enligt det första systemet använder vi fet stil för en vektor i typsatt text och ett vektorstreck då vi
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 16 mars 2015
Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 16 mars 215 Skrivtid: 8:-13: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger
Läs merFöreläsning 2 1. Till varje punkt i rummet tilldelas en vektor. ( ) = T ( x, y, z,t) ( ) = v x
Föreläsning 2 1 Matematiska grundbegrepp Fält kalärfält: Vektorfält: Till varje punkt i rummet tilldelas en skalär Exempel: Temperaturen i olika punkter i rummet, T r,t ( ) = T ( x, y, z,t) Till varje
Läs mer= 0. Båda skärningsvinklarna är således π/2 (ortogonala riktningsvektorer).
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud SF163, ifferential- och integralkalkyl II, del 2, flervariabel, för F1. Tentamen torsdag 19 augusti 21, 14. - 19. Inga hjälpmedel är tillåtna. Svar och
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 27 maj, 2013
SF626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 27 maj, 23 Skrivtid: 8:-3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mattias Dahl Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng. De tre
Läs merVIKTIGA TILLÄMPNINGAR AV GRUNDLÄGGANDE BEGREPP
Appendix VIKTIGA TIÄMPNINGA AV GUNDÄGGANDE BEGEPP I detta appendix diskuteras viktiga tillämpningar av grundläggande begrepp inom vektoranalysen. Exemplen är främst hämtade från den elektromagnetiska teorin.
Läs mer1.1 Sfäriska koordinater
Föreläsning 3 Mång fysiklisk problem hr någon slgs symmetri. Mest vnligt förekommnde är sfärisk cylinisk. Det visr sig tt mn kn förenkl beräkningr betydligt om mn nvänder sfärisk /eller cylinisk koordinter..
Läs merEn första kurs i matematisk fysik
En första kurs i matematisk fysik Martin Cederwall 1 Christian Forssén 1 1 Institutionen for fysik, Chalmers, Göteborg, Sverige Aug 31, 2017 Förord. Detta kompendium är tänkt att användas i kursen Vektorfält
Läs merFormelsamling. Elektromagnetisk fältteori för F och Pi ETE055 & ETEF01
Formelsamling Elektromagnetisk fältteori för F och Pi ETE055 & ETEF01 Institutionen för elektro- och informationsteknik Lunds tekniska högskola Juni 014 Innehåll 1 Elstatik 1 Likström 4 3 Magnetostatik
Läs merav envariabelfunktionen g(t) och flervariabelfunktionen t = h(x, y) = x 2 + e y.)
Lösningsskisser till TATA69 Flervariabelanalys 16-1- 1 Stationära punkter ges av f (4x 3 + 4x, 3y + 6z, z + 6y (,,, dvs (x, y, z (,, eller (x, y, z (, 6, 18 Ur andraderivatorna fås de kvadratiska formerna
Läs merLösningsförslag till tentamen Onsdagen den 15 mars 2017 DEL A
Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen Onsdagen den 5 mars 7 DEL A. I nedanstående rätvinkliga koordinatsystem är varje ruta en enhet lång. (a) Bestäm de rymdpolära
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 213-8-22 DEL A 1. Betrakta funktionen f(x, y) ln(x 2 + xy 2 4). a) Bestäm tangentplanet till funktionsytan z f(x, y) i den punkt på ytan där x 1
Läs merAB2.4: Kurvintegraler. Greens formel i planet
AB2.4: Kurvintegraler. Greens formel i planet Kurvintegralener Kurvor på parameterform Låt xyz vara ett cartesiskt koordinatsystem i rummet. En rymdkurva på parameterform ges av tre ekvationer x = x(t),
Läs merf(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) f(x, y, z) = (x 2 + yz, y 2 x ln x) 3. Beräkna en vektor som är tangent med skärningskurvan till de två cylindrarna
ATM-Matematik Mikael Forsberg 734-41 3 31 För studenter i Flervariabelanalys Flervariabelanalys mk1b 13 8 Skrivtid: 9:-14:. Hjälpmedel är formelbladen från insidan av Pärmen i Adams Calculus, dessa formler
Läs merTentamen i tmv036c och tmv035c, Analys och linjär algebra C för K, Kf och Bt A =, = det(a λi) = e 2t + c 2. x(t) = c 1. = c 1.
Institutionen för matematiska vetenskaper Chalmers tekniska högskola Niklas Eriksen Tentamen i tmv6c och tmv5c, Analys och linjär algebra C för K, Kf och Bt Lösningar 9--6. Lös initialvärdesproblemet x
Läs merx ( f u 2y + f v 2x) xy = 24 och C = f
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud SF160, Differential- och integralkalkyl II, del 2, flervariabel, för F1. Tentamen onsdag 0 maj 2012, 8.00-1.00 Förslag till lösningar 1. Bestäm tangentplanet
Läs merLösningsförslag till tentamen Torsdag augusti 16, 2018 DEL A
Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Torsdag augusti 16, 2018 DEL A 1. Givet funktionen f(x, y) = ln(x 2 y 2 ). a) Bestäm definitionsmängden D för f. Rita även en bild av D. (2 p) b) Bestäm
Läs merÖvningstenta: Lösningsförslag
Övningstenta: Lösningsförslag Onsdag 5 mars 7 8:-: SF674 Flervariabelanalys Inga hjälpmedel är tillåtna. Max: 4 poäng. (4 poäng) Bestäm tangentplanet i punkten (,, ) till ytan z f(x, y) där f(x, y) x 4
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 16-8-18 DEL A 1 Låt D vara det område ovanför x-axeln i xy-planet som begränsas av cirkeln x + y = 1 samt linjerna y = x oc y = x Beräkna x-koordinaten
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 216-6-7 DEL A 1. Låt S vara ellipsoiden som ges av ekvationen x 2 + 2y 2 + 3z 2 = 5. (a) Bestäm en normalvektor till S i en punkt (x, y, z ) på S.
Läs merOMTENTAMEN I VEKTORANALYS SI1146 och SI1140 Del 1, VT18
OMTENTAMEN I VEKTORANALY I46 och I40 Del, VT8 Onsdagen augusti 08:00-:00 Anteckna på varje blad: Namn, utbildningslinje, årskurs och problemnummer. Tillåtna hjälpmedel: Formelblad som delas ut. Räknedosa
Läs merOctober 9, Innehållsregister
October 9, 017 Innehållsregister 1 Vektorer 1 1.1 Geometrisk vektor............................... 1 1. Vektor och koordinatsystem.......................... 1 1.3 Skalär produkt (dot eller inner product)...................
Läs mer1. Beräkna och klassificera alla kritiska punkter till funktionen f(x, y) = 6xy 2 2x 3 3y 4 2. Antag att temperaturen T i en punkt (x, y, z) ges av
ATM-Matematik Mikael Forsberg 74-41 1 För ingenjörs- och distansstudenter Flervariabelanalys ma1b 15 1 14 Skrivtid: 9:-14:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja
Läs mer6. Räkna ut integralen. z dx dy dz,
Institutionen för Matematik, TH Flervariabelanalys SF626. Tentamen den 23 november 29 kl. 8-3 Tillåtet hjälpmedel är Beta Mathematics Handbook. Tydliga lösningar med fullständiga meningar och utförliga
Läs mer0. Introduktion, matematisk bakgrund
0. Introduktion, matematisk bakgrund Kai Nordlund vt. 2013. Dessa anteckningar baserar sig i mycket stor utsträckning på anteckningarna förberedda av FD Krister Henriksson till kursen ht. 2005. Vissa delar,
Läs merInstitutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys. Lösningsförslag till tentamen Måndagen den 5 juni 2017 DEL A
Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen Måndagen den 5 juni 7 DEL A. En kulles höjd ges av z 6,x,y där enheten är meter på alla tre koordinataxlar. (a) I vilken
Läs mer4 Integrering av vektorfält
4 Integrering av vektorfält 4.1 Integrering av vektorvärda funktioner Vi börjar vår undersökning av hur vektorfält integreras med att studera en styckvis kontinuerlig funktion A av flera oberoende variabler
Läs merSF1626 Flervariabelanalys
1 / 28 SF1626 Flervariabelanalys Föreläsning 2 Hans Thunberg Institutionen för matematik, KTH VT 2018, Period 4 2 / 28 SF1626 Flervariabelanalys Dagens lektion: avsnitt 11.1 11.3 Funktioner från R till
Läs merFFM232, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar
FFM232, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar Christian Forssén, Institutionen för fysik, Chalmers, Göteborg, Sverige Oct 3, 2016 8. Potentialteori Konservativa fält och potentialer
Läs merLösningar till tentamen i Elektromagnetisk fältteori för Π3 & F3
Lösningar till tentamen i Elektromagnetisk fältteori för Π3 & F3 Tid och plats: januari 2, kl. 4.9., i MA. Kursansvarig lärare: Christian Sohl, tel. 222 34 3. Tillåtna hjälpmedel: Formelsamling i elektromagnetisk
Läs merElektromagnetiska falt och Maxwells ekavtioner
Forelasning /1 Elektromagnetiska falt och Maxwells ekavtioner 1 Maxwells ekvationer Maxwell satte 1864 upp fyra stycken ekvationer som gav en fullstandig beskrivning av ett elektromagnetiskt falt. Dock,
Läs merCartesiska kooordinater r = xˆx + yŷ + zẑ är de vanligaste men inte nödvändigtvis. Val av koordinatsystem beror på det problem vi vill studera.
yfte : 1 Fysikens matematiska metoder. Vecka 1 1. Vektoranalys. Definiera och analysera begrepp analysen för vektorfunktionen. 1.1 Varför vektorer : Rumskonceptet En punkt i ett normalt rum som lektionssalen
Läs merTENTAMEN I VEKTORANALYS SI1146 och SI1140 Del 1, VT18
TENTAMEN I EKTORANALY I46 och I40 Del, T8 Torsdagen 3 maj 4:00-9:00 Anteckna på varje blad: Namn, utbildningslinje, årskurs och problemnummer. Tillåtna hjälpmedel: Formelblad som delas ut. Räknedosa ej
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 20 augusti 2015
Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 2 augusti 215 Skrivtid: 8:-1: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger
Läs merTentamen MVE085 Flervariabelanalys
Tentamen MVE85 Flervariabelanalys 5--5 kl. 4. - 8. Examinator: Dennis Eriksson, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Dawan Mustafa, telefon: 73 88 34 Hjälpmedel: bifogat formelblad, ordlistan
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Onsdagen den 15 mars 2017
Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Tentamen Onsdagen den 5 mars 7 Skrivtid: 8:-3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt
Läs merHydrodynamik Mats Persson
Föreläsning 5/10 Hydrodynamik Mats Persson 1 De hydrodynamiska ekvationerna För att beskriva ett enkelt hydrodynamiskt flöde behöver man känna fluidens densitet,, tryck p hastighet u. I princip behöver
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 24-8-2 DEL A. Bestäm och skissera definitionsmängden till funktionen fx, y) = x 2 + y 2 + 2x 4y + + x. Är definitionsmängden kompakt? 4 p) Lösning.
Läs merTentamen Modellering och simulering inom fältteori, 21 oktober, 2006
Institutionen för elektrovetenskap Tentamen Modellering och simulering inom fältteori, oktober, 006 Tillåtna hjälpmedel: Formelsamling i Elektromagnetisk fältteori Varje uppgift ger 0 poäng. Delbetyget
Läs merLösningsförslag till tentamen TMA043 Flervariabelanalys E2
Lösningsförslag till tentamen TMA43 Flervariabelanalys E 4-8-3 kl. 8.3.3 Examinator: Peter Hegarty, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Åse Fahlander, telefon: 73 88 34 Hjälpmedel: bifogat formelblad,
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 18 augusti 2016
Institutionen för matematik SF166 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 18 augusti 16 Skrivtid: 8:-1: Tillåtna jälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger
Läs mer1 Vektorer i koordinatsystem
1 Vektorer i koordinatsystem Ex 11 Givet ett koordinatsystem i R y a 4 b x Punkten A = (3, ) och ortsvektorn a = (3, ) och punkten B = (5, 1) och ortsvsektorn b = (5, 1) uttrycks på samma sätt, som en
Läs merTentamen Modellering och simulering inom fältteori, 8 januari, 2007
1 Institutionen för elektrovetenskap Tentamen Modellering och simulering inom fältteori, 8 januari, 2007 Tillåtna hjälpmedel: Formelsamling i Elektromagnetisk fältteori arje uppgift ger 10 poäng. Delbetyget
Läs merFFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar
FFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar Christian Forssén, Institutionen för fysik, Chalmers, Göteborg, Sverige Sep 11, 2017 12. Tensorer Introduktion till tensorbegreppet Fysikaliska
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 7 juni 2016
Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 7 juni 216 Skrivtid: 8:-13: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger
Läs merTentamen SF1626, Analys i flera variabler, Svar och lösningsförslag. 2. en punkt på randkurvan förutom hörnen, eller
Tentamen SF66, Analys i flera variabler, --8 Svar och lösningsförslag. Låt fx, y) = ye x y. Bestäm största och minsta värde till f på den slutna kvadraten med hörn i, ),, ),, ) och, ). Lösning. f är kontinuerlig
Läs mer23 Konservativa fält i R 3 och rotation
Nr 23, 7 maj -5, Amelia 2 23 Konservativa fält i R 3 och rotation 23. Potential 23.. Två dimensioner (2D) I två dimensioner definierade vi ett vektorfält som konservativt om kurvintegralen av fältet endast
Läs merLösningsskiss för tentamen Vektorfält och klassisk fysik (FFM232)
Lösningsskiss för tentamen Vektorfält och klassisk fysik (FFM232) Tid och plats: Lösningsskiss: Tisdagen den 20 december 2016 klockan 0830-1230 i M-huset Christian Forssén Detta är enbart en skiss av den
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-8- EL A 1. Betrakta funktionen f som är definierad i området där x + y genom f(x, y, z) x z x + y. (a) Beräkna gradienten f(x, y, z). (1 p) (b)
Läs merANDREAS REJBRAND 2007-11-03 Elektromagnetism http://www.rejbrand.se. Coulombs lag och Maxwells första ekvation
ANDREA REJBRAND 2007-11-03 Elektromagnetism http://www.rejbrand.se oulombs lag och Maxwells första ekvation oulombs lag och Maxwells första ekvation Inledning Två punktladdningar q 1 samt q 2 i rymden
Läs merb) Vi använder cylindriska skal och snittar därför upp området i horisontella snitt.
Viktiga tillämpningar av integraler b) Vi använder clindriska skal och snittar därför upp området i horisontella snitt. 7.. Finn volmen av kroppen S som genereras av rotation kring -aeln av området Ω som
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 4-3-7 EL A. Betrakta funktionen f, y y. a Beräkna riktningsderivatan av f i punkten, i den riktning som ges av vektorn 4, 3. p b Finns det någon riktning
Läs mer1. Beräkna hastigheten, farten och accelerationen vid tiden t för en partikel vars rörelse beskrivs av r(t) = (2 sin t + cos t, 2 cos t sin t, 2t).
Repetition, analys.. Beräkna hastigheten, farten och accelerationen vid tiden t för en partikel vars rörelse beskrivs av r(t) = (2 sin t + cos t, 2 cos t sin t, 2t). 2. Beräkna längden av kurvan r(t) =
Läs merSkriftlig tentamen i Elektromagnetisk fältteori för π3 (ETEF01) och F3 (ETE055)
Skriftlig tentamen i Elektromagnetisk fältteori för π (ETEF01 och F (ETE055 1 Tid och plats: 6 oktober, 016, kl. 14.00 19.00, lokal: Gasquesalen. Kursansvarig lärare: Anders Karlsson, tel. 40 89 och 07-5958.
Läs merÖvning 6, FMM-Vektoranalys, SI1140
Övning 6, FMM-ektoranalys, I114 ˆ 6. Beräkna integralen där A dr A x 2 ay + z) ) e x + y 2 az ) e y + z 2 ax + y) ) e z och är den kurva som utgör skärningslinjen mellan cylindern { x a) 2 + y 2 a 2 och
Läs merFFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar
FFM34, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar Christian Forssén, Institutionen för fysik, Chalmers, Göteborg, Sverige Oct, 08 Repetition: Singulära fält Punktkälla i origo. Fältet i punkten
Läs merLösning till kontrollskrivning 1A
KTH Matematik Olle Stormark Lösning till kontrollskrivning 1A i SF1626 Flervariabelanalys för E, vt 28. Varje uppgift ger maximalt 3 poäng. För godkänt krävs minst 5 poäng sammanlagt. 1. Funktionen f(x,
Läs merTentamen i Flervariabelanalys, MVE , π, kl
Tentamen i Flervariabelanalys, MVE35 216-3-14, π, kl. 14.-18. Hjälpmedel: Inga, ej räknedosa. Telefon: anknytning 5325 Telefonvakt: Raad Salman För godkänt krävs minst 2 poäng. Betyg 3: 2-29 poäng, betyg
Läs merHanno Essén Lagranges metod för en partikel
Hanno Essén Lagranges metod för en partikel KTH MEKANIK STOCKHOLM 2004 1 Inledning Joseph Louis Lagrange (1763-1813) fann en metod som gör det möjligt att enkelt ta fram rörelseekvationerna för system
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 4-9-6 DEL A. Betrakta följande tre områden i planet: D = {(x, y): x y < 4}, D = {(x, y): x + y }, D 3 = {(x, y): 4x + 3y
Läs merGauss och Stokes analoga satser och fältsingulariteter: källor och virvlar Mats Persson
Föreläsning 14/9 Guss och tokes nlog stser och fältsingulriteter: källor och virvlr Mts Persson 1 tser nlog med Guss och tokes stser 1.1 tser nlog med Guss sts Det finns ett pr stser som är mycket när
Läs mer1.15 Uppgifter UPPGIFTER 21. Uppgift 1.1 a) Visa att transformationen x i = a ikx k med. (a ik ) =
1.15. UPPGIFTER 1 1.15 Uppgifter Uppgift 1.1 a) isa att transformationen x i = a ikx k med (a ik ) = 1 0 1 1 1 1 1 1 1 är en rotation. b) Bestäm komponenterna T ik om (T ik ) = 0 1 0 1 0 1 0 1 0 Uppgift
Läs merTentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE035
Tentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE5 kl.. 8.. jälmedel: Inga, ej räknedosa. Telefon: Lennart Falk, 77 56 För godkänt krävs minst oäng. Betyg : -5 oäng, betyg : 6-7 oäng, betyg 5: 8 oäng eller mera.
Läs mer93FY51/ STN1 Elektromagnetism Tenta : svar och anvisningar
17317 93FY51 1 93FY51/ TN1 Elektromagnetism Tenta 17317: svar och anvisningar Uppgift 1 a) Av symmetrin följer att: och därmed: Q = D d D(r) = D(r)ˆr E(r) = E(r)ˆr Vi väljer ytan till en sfär med radie
Läs merPoissons ekvation och potentialteori Mats Persson
1 ärmeledning Föreläsning 21/9 Poissons ekvation och potentialteori Mats Persson i vet att värme strömmar från varmare till kallare. Det innebär att vi har ett flöde av värmeenergi i en riktning som är
Läs merLektion 1. Kurvor i planet och i rummet
Lektion 1 Kurvor i planet och i rummet Innehål Plankurvor Rymdkurvor Innehål Plankurvor Rymdkurvor Tangentvektorn och tangentens ekvation Innehål Plankurvor Rymdkurvor Tangentvektorn och tangentens ekvation
Läs merDubbelintegraler och volymberäkning
ubbelintegraler och volymberäkning Volym och dubbelintegraler över en rektangel Alla funktioner nedan antas vara kontinuerliga. Om f (x) i intervallet [a, b], så är arean av mängden {(x, y) : y f (x),
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. 1. En svängningsrörelse beskrivs av
SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 13-3-1 DEL A 1. En svängningsrörelse beskrivs av ( πx ) u(x, t) = A cos λ πft där amplituden A, våglängden λ och frekvensen f är givna konstanter.
Läs merFöreläsning , , i Griffiths Vi kommer nu till hur elektromagnetiska vågor genereras!
1 Föreläsning 13 12.2.1, 10.1.1 10.1.2, 10.1.4 i Griffiths Vi kommer nu till hur elektromagnetiska vågor genereras! Fält från strömmar i tidsdomänen (kursivt) V Lorentzgaugen A+µ 0 ε 0 = 0 för vektorpotentialen
Läs merFFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar
FFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar Christian Forssén, Institutionen för fysik, Chalmers, Göteborg, Sverige Oct 16, 2018 9. Lösningar av Poissons ekvation Vi vet att Poissons
Läs merFöreläsning 4 1. Den andra av Maxwells ekvationer i elektrostatiken
Föreläsning 4 1 Potential Den andra av Maxwells ekvationer i elektrostatiken!" C E!dl = 0 eller # E = 0 innebär att E-fältet är konservativt. Det finns inga fältlinjer som bildar loopar. Alla fältlinjer
Läs merAB2.1: Grundläggande begrepp av vektoranalys
AB2.1: Grundläggande begrepp av vektoranalys En vektor är en storhet som dels har icke-negativ storlek dels har riktning i rummet. Två vektorer a och b är lika, a = b, om de har samma storlek och samma
Läs mer