1 Några elementära operationer.

Transkript

1 Föreläsning Några elementära operationer. Ett skalärfält är en reellvärd eller komplexvärd funktion Φ(x, y, z). Ett vektorfält är en vektorvärd funktion A(x, y, z). I ett kartesiskt koordinatsystem kan vi skriva A(x, y, z) = A (x, y, z)ˆx + A (x, y, z)ŷ + A 3 (x, y, z)ẑ, där ˆx, ŷ, ẑ är ett ortonormerat system av vektorer. Definition Gradienten av skalärfältet Φ(x, y, z) definieras (i detta kartesiska koordinatsystem) Φ(x, y, z) = Φ x ˆx + Φ y ŷ + Φ z ẑ. Definition Divergensen av vektorfältet A = A (x, y, z)ˆx+a (x, y, z)ŷ+a 3 (x, y, z)ẑ definieras A = A x + A y + A 3 z. Definition 3 Rotationen av vektorfältet A = A (x, y, z)ˆx+a (x, y, z)ŷ+a 3 (x, y, z)ẑ definieras [ A3 A = y A ] [ A ˆx + z z A ] [ 3 A ŷ + x x A ] ẑ. y Vi skriver även ˆx ŷ ẑ rot A = A = x y z A A A 3 Med dessa definitioner kan man lätt verifiera följande resultat: Theorem för alla C skalärfält Φ och vektorfält A. Ett annat resultat i sammanhanget är: ( Φ) = 0 ( A) = 0

2 Theorem (i) Om A är ett C -vektorfält med A = 0 i ett enkelt sammanhängande område D R 3 då finns det ett vektorfält B sådant att inom området D. A = B (ii) Om A är ett C -vektorfält med A = 0 i ett enkelt sammanhängande område D R 3 då finns det ett skalärfält Φ sådant att inom området D. A = Φ Resultatet kommer att bevisas vid ett senare tillfälle. Vi har följande vektorformler:. a (b c) = (a b) c. a (b c) = (a c)b (a b)c 3. (αφ + βψ) = α Φ + β Ψ 4. (αa + βb) = α A + β B 5. (αa + βb) = α A + β B 6. (ΦΨ) = ( Φ)Ψ + Φ( Ψ) 7. (ΦA) = ( Φ) A + Φ( A) 8. (ΦA) = ( Φ) A + Φ( A) 9. (A B) = B ( A) A ( B) 0. ( Φ) = Φ x + Φ y + Φ z. ( Φ) = 0 för alla Φ. ( A) = 0 i kartesiska koordinater Dessa formler gäller för alla konstanter α, β, alla deriverbara skalärfält Φ, Ψ och alla deriverbara vektorfält A, B. Ytor och areor. En yta i R 3 är ett två-dimensionellt geometriskt objekt. Till exempel, enhetssfären x +y +z =. Ett annat sätt att beskriva denna sfär är att införa sfäriska koordinater: x = r sin θ cos φ, y = r sin θ sin φ, z = r cos θ. Då beskrivs enhetssfären av den (något lakoniska) ekvationen r =. Varje punkt på denna sfär har en ortsvektor r och vi har då

3 r(θ, φ) = (sin θ cos φ, sin θ sin φ, cos θ). Om vi fixar φ, säg φ = π/4 då uppstår en kurva på sfären: med tangent vektor r(θ, π/4) = ( sin θ, sin θ, cos θ) r θ(θ, π/4) = ( cos θ, cos θ, sin θ). Om vi istället fixar θ, säg θ = π/4, så erhåller vi en annan kurva med tangent vektor r(π/4, φ) = ( cos φ, sin φ, ) r φ(π/4, φ) = ( sin φ, cos φ, 0). Dessa två tangentvektorer tangerar även sfären. I punkten (θ, φ) = (π/4, π/4) har vi två tangentvektorer: r θ(π/4, π/4) = (,, ) r φ(π/4, π/4) = (,, 0). Deras kryssprodukt r θ(π/4, π/4) r φ(π/4, π/4) är alltså vinkelrät mot sfären, d.v.s. den är en normalvektor till sfären. Vi har: r θ(π/4, π/4) r φ(π/4, π/4) = (,, ). Vi ser i detta exempel att ytan x +y 3 +z = är ett tvådimensionellt geometriskt objekt. Detta betyder att vi behöver endast två parametrar för att beskriva var vi är på denna yta.. Parameterbeskrivning av ytor: Om vi har att göra med en yta S parametriseras av två parametrar (u, v) där (u, v) D för något område D R, då anges varje punkt på S genom sin ortsvektor r(u, v). I cartesiska koordinater kan vi då skriva r(u, v) = x(u, v) ˆx + y(u, v) ŷ + z(u, v) ẑ. Vi ska anta att r(u, v) är två gånger kontinuerligt deriverbar. Detta betyder att derivatorna r u(u, v) och r v(u, v) ska existera och ska vara kontinuerliga funktioner av sina argument ((u, v) i det här fallet). Att säga att r(u, v) är kontinuerligt deriverbar betyder (definitionsmässigt) att var och en av komponentfunktionerna x(u, v), y(u, v), z(u, v) ska vara två gånger kontinuerligt deriverbara funktioner. 3

4 Exempel: För ytan x + y + z = 4 har vi parametriseringen r(θ, φ) = cos φ sin θ ˆx + sin φ sin θ, ŷ + cos θ ẑ med (θ, φ) D där D : 0 θ π, 0 φ π. Vi ser att komponentfunktionerna x(θ, φ) = cos φ sin θ, y(θ, φ) = sin φ sin θ, z(θ, φ) = cos θ är två gånger kontinuerligt deriverbara funktioner av sina argument. Med parametriseringen r(u, v) av ytan S kan vi bilda två kurvor på S: i en godtycklig punkt på S med ortsvektorn r(u 0, v 0 ) har vi två olika kurvor går genom den punkten: dels är det u-kurvan ges genom ortsvektorn r(u, v 0 ) då parametern s varierar, medan v = v 0 hålls fix; och dels är det v-kurvan ges genom ortsvektorn r(u 0, v) då parametern s varierar, medan u = u 0 hålls fix. Både u-kurvan och v-kurvan är kurvor på ytan S. Tangentvektorn till u-kurvan i punkten med ortsvektorn r(u 0, v 0 ) ges av derivatan r u(u 0, v 0 ) och tangenvektorn till v-kurvan i punkten med ortsvektorn r(u 0, v 0 ) ges av derivatan r v(u 0, v 0 ). Antagandet: Vi ska alltid anta att r u(u 0, v 0 ) 0 och att r v(u 0, v 0 ) 0. Med detta antagande, vet vi att vektorerna r u(u 0, v 0 ) och r v(u 0, v 0 ) tangerar ytan i punkten r(u 0, v 0 ) och att de därmed tillhör tangentplanet till ytan S i punkten r(u 0, v 0 ). De spänner upp detta tangentplan efter de är linjärt oberoende. Av detta följer att r u(u 0, v 0 ) r v(u 0, v 0 ) måste vara vinkelrät mot detta tangentplan. Detta betyder att i varje punkt på ytan S, vektorn ger en normalriktning till ytan S. n = r u r v. Arean av en yta: Vi ska härleda en formel för arean av en parametriserad yta. Symbolen för denna area är A = ds där ds är (det infinitesimala) areamåttet. Vi ska nu få fram en formel för att beräkna denna area. Vi behöver ett uttryck för areamåttet ds i termer av parametrarna (u, v) då (u, v) D. Tag först en liten rektangel i området D med hörn i (u 0, v 0 ), (u 0 + u, v 0 ), (u 0, v 0 + v), (u 0 + u, v 0 + v). Denna rektangel avbildas på en kroklinjig rektangelmed hörn i S Vi har r(u 0, v 0 ), r(u 0 + u, v 0 ), r(u 0, v 0 + v), r(u 0 + u, v 0 + v). 4

5 och att r(u 0 + u, v 0 ) = r(u 0, v 0 ) + r u(u 0, v 0 ) u + O(( u) ) r(u 0, v 0 + v) = r(u 0, v 0 ) + r v(u 0, v 0 ) v + O(( v) ). Denna kroklinjiga rektangels kantvektorer är då samt r u(u 0, v 0 ) u + O(( u) ) r v(u 0, v 0 ) v + O(( v) ) och arean av den parallellogram dessa två kantvektorer bildar är (r u (u 0, v 0 ) u + O(( u) )) (r v(u 0, v 0 ) v + O(( v) )) = r u (u 0, v 0 ) r v(u 0, v 0 ) u v +R där R är en restterm med produkter av formen ( u) ( v) och av högre ordning. Arean av den ursprungliga rektangeln i området D är u v. Vi ser nu att den vektorvärda funktionen r(u, v) avbildar ett område i D med area u v på en kroklinjig rektanglepå ytan S med area r u(u 0, v 0 ) r v(u 0, v 0 ) u v + R och när u 0, v 0, areamåttet dudv i D blir areamåttet ds = r u(u 0, v 0 ) r v(u 0, v 0 ) dudv. Vi definierar nu arean av ytan S på följande sätt: Definition 4 Arean A av den parametriserade ytan S ges genom ortsvektorn r(u, v) med (u, v) D, där D är något område D R, definieras A = ds = r u r v dudv. S D 5