Kursanvisningar. Lektion 1 1 Repetition av vektoranalysens grunder. Skalära fält och vektorfält. KREYSZIG 9: Kapitel Kompendiet: Kapitel 1

Transkript

1 Kursanvisningar Teorikrav: 1. Att kunna samtliga ingående definitioner och satser, samt kunna bevisa följande satser (KREYSZIG 9): Kapitel 9.7: Sats 1 (s. 405) Kapitel 10.2: Sats 1 (s. 426) Sats 3 ( s s. 472, kap (Stokes sats tillämpad för vägoberoende) Kapitel 10.4: Sats 1 (s. 439) Kapitel 10.7: Sats 1 (s. 459) Kapitel 6.1: Sats 1 (s. 222); Sats 2 (s. 224); Sats 3 (s. 226) Kapitel 6.2: Sats 1 (s. 228); Sats 3 (s. 229) Kapitel 6.3: Sats 1 (s. 235) Kapitel 11.1: Sats 2 (s. 484) 2. Att kunna härleda uttrycken för Fourierkoefficienterna (s. 487) samt att genom variabelseparation kunna lösa värmeledningsekvationen med typiska rand- och begynnelsevillkor. Lektion 1 1 Repetition av vektoranalysens grunder. Skalära fält och vektorfält. KREYSZIG 9: Kapitel Kompendiet: Kapitel 1 Kapitel 9.1: repetition av de viktigaske egenskaperna och begreppen gällande geometriska vektorer. 1.1) definitionen av likhet för vektorer (KREYSZIG 9, s. 365); 1.2) entydigt samband mellan vektorer och talpar eller taltripplar (KREYSZIG 9, Theorem 1, s. 367), algebraiska regler för vektorer (KREYSZIG 9, s. 368, (4)). Kapitel 9.2: skalärprodukt 1.3) egenskaper hos skalärprodukt (KREYSZIG 9, s , (1), (2), (5),); 1.4) normalvektorer till räta linjer och plan (KREYSZIG 9, s. 375, Ex. 6); 1.5) beräkning av vinklar mellan räta linjer och plan (KREYSZIG 9, s. 375, Ex. 5, Problem ). Kapitel 9.3: vektorprodukt 1.6) definitionen och beräkning av vektorprodukt med hjälp av symboliska determinanten samt vektorproduktens geometriska tolkning (KREYSZIG 9, (2**), Ex. 1, s. 378); Kapitel 9.4: skalära fält och vektorfält (KREYSZIG 9, s ) 1.7) gravitationsfält som exempel av vektorfält (KREYSZIG 9, Ex. 3, s. 385).

2 Kap.9.1 (s. 370): 1 3; 9; 18; 21. Kommentarer: problem är relativt enkla övningsuppgifter att bestämma vektorn PQ och eventuellt dess längd PQ och motsvarande enhetsvektorn PQ / PQ om punkterna P och Q (dvs deras kartesiska koordinater) är givna. Målet är repetition av egenskaper hos geometriska vektorer. Lös själv med hjälp av lösningsskiss i Kompendiet, 1.6. Problem är en teoretisk uppgift som kan lösas genom hänvisning till KREYSZIG 9, s. 368, (4). Kap.9.2 (s. 376): 4, 8; 13; 27, 28; 33, 35. Nyckelproblem som man måste kunna lösa med hjälp av vektoralgebra: att bestämma vinkel mellan givna vektorer, räta linjer och plan samt en normalvektor till en rät linje eller ett plan; att bestämma alla storheter (vinklarna, arean, mm) i en triangel eller en parallellogram när alla hörnpunkternas koordinater är givna. Kommentarer: problem är enkla övningsuppgifter som kan lösas direkt med hjälp av formeln KREYSZIG 9, s. 371, (2) för skalärprodukt som summan av produkter av kartesiska koordinater och lösningsskiss i Kompendiet, 1.6. Problem är en teoretisk uppgift som kan lösas genom hänvisning till KREYSZIG 9, s , (1), (2), (5). Problem : för att beräkna vinklar i en given triangel ABC (när alla hörnpunkternas koordinater är givna) kan man definiera vektorer AB, AC och BC, beteckna med α, β och γ vinklarna mellan dem (dvs vinklarna i triangeln ABC ) och sedan beräkna cos α, cos β och cos γ genom att använda formeln (4), KREYSZIG 9, s Problem : för att beräkna vinklar i en parallellogram om dess sidor är två givna vektorer (talpar), AB och AD, kan man definiera motsvarande parallellogrammen ABCD, vektorer AB, BC, CD och AD, beteckna med α vinkeln mellan AB och AD och sedan beräkna cos α genom att använda formeln (4), KREYSZIG 9, s Den andra vinkeln i parallellogrammen ABCD (vinkeln mellan BC och CD) är lika med π α. Kap.9.3 (s ): 1 5,19; 31, 33, 37. Kommentarer: problem är enkla övningsuppgifter som kan lösas direkt med hjälp av formeln KREYSZIG 9, s. 378, (2**) för vektorprodukt som symboliska determinanten och lösningsskiss i Kompendiet, 1.6. Problem : för att beräkna arean S av en given parallellogram ABCD (när alla hörnpunkternas koordinater är givna), kanman, som vid lösning av Problem ovan, bestämma två vektorer a = AB och b = AD som spänner upp parallellogrammen (med gemensam utgångspunkt A, skissa parallellogrammen!) och beräkna beloppet av deras vektorprodukt, vektorprodukten bestäms med hjälp av symboliska determinanten (2**), KREYSZIG 9, s Man kan kolla resultatet genom att beteckna med α vinkeln mellan AB och AD, beräkna cos α som i , sedan sinα och sedan bestämma den sökta arean S = AB AD sin α. Samma metod används vid beräkning av arean av en triangel i problem Problem : för att beräkna volymen V av en given parallellepiped ABCDA B C D (när alla hörnpunkternas koordinater är givna), kan man, som vid lösning av problem ovan, definiera tre vektorer a = AA, b =AB och c =AD som spänner upp parallellepipeden (med gemensam utgångspunkt A, skissa parallellepipeden!) och beräkna beloppet av deras trippelprodukt, trippelprodukten bestäms med hjälp av determinanten KREYSZIG 9, s Kap.9.4 (s. 389): 1 5; 7; 9, 10; 15 18; 22, 23. Kommentarer: Problem : använd lösningar i Kompendiet, 1.6 och skissa nivåkurvor. Problem : skissa vektorfält som i KREYSZIG 9, Fig. 196, s Kurvor på parameterform. Tangent till en kurva. Längd av en kurva. KREYSZIG: Kapitel 9.5, s Kompendiet: 2 Kapitel 9.5: kurvor på parameterform. 1.8) definitionen av kurvans parameterekvation (KREYSZIG 9, s. 389, (1)); 1.9) parameterekvationer för en rät linje, cirkel och ellips (KREYSZIG 9, s , Ex. 1 3); 1.10) definitionen av tangentvektor till en kurva och skillnaden mellan tangentvektorn och tangent som en rät linje (KREYSZIG 9, s. 392, (7), (9));

3 1.11) definitionen av kurvans längd genom integration av kurvans bågelement ds (KREYSZIG 9, s. 394, (13*), (13); s. 393, (10), (11)). Kap.9.5 (s ): 1 7; 11 14; Kommentarer: problem är tillräckligt enkla övningsuppgifter att bestämma parameterekvationer för en rät linje, en cirkel eller en ellips. Lös själv med hjälp av formlerna i KREYSZIG 9, s , Ex. 1 3 och lösningsskiss i Kompendiet, 2.3. I problem måste man använda parameterekvationerna för en parabol (samt cirklar eller ellipser som är inte nödvändigtvis centrerade i origo (0,0,0)), se KREYSZIG 9, s. 390, Ex. 1, 2. För att lösa problem använd lösningsskiss i Kompendiet, 2.3. Lektion 2 Gradient. Riktningsderivata. Divergens och rotation av vektorfält. Kreyszig, 9 th Ed.: Kapitel 9.7, 9.8, 9.9 Kompendiet Analys B2: 3, 4 Kapitel 9.7: Gradient. Riktningsderivata. 2.1) definitionen av gradientvektorn (KREYSZIG 9, s. 403, (1)); 2.2) definitionen av riktningsderivata som skalärprodukten av gradienten och riktningsvektorn (KREYSZIG 9, s. 405, (5), (5*)); 2.3) den första viktiga egenskapen hos gradienten: funktion växer snabbast i riktningen grad (KREYSZIG 9, s. 405, Theorem 1). 2.4) den andra viktiga egenskapen hos gradienten: grad f är normalvektor till en nivåyta f(x,y,z) = c (KREYSZIG 9, s. 406, Theorem 2, Ex. 2). 2.5) definitionen av konservativt vektorfält p = grad f, dess potential f och Laplaceoperatorn (KREYSZIG 9, s. 407, Theorem 3). Uppgifter: Kap.9.7 (s. 409): 1 3, 8; 13, 16, 18; 27, 32; 33, 36; 39, 41. Kommentarer: problem är enkla övningsuppgifter att bestämma gradienten grad f (eller grad f, som i ) och eventuellt dess värde i en given punkt. Lös själv med hjälp av gradientens definition, KREYSZIG 9, s. 403, (1) och lösningskiss i Kompendiet, 3.4. Problem att bestämma en normalvektor till en given yta i en given punkt löser man genom att skriva ytekvationen som en nivåyta f(x,y,z) = c och sedan använda gradienten som i KREYSZIG 9, Theorem 2, Ex. 2, s. 406, Ex. 4 i Kompendiet, 1.3 och Ex. 6 i Kompendiet, 3.2 Problem att bestämma riktningsderivatan till en given funktion f i en given punkt P i riktningen som definieras av en given vektor a löser man genom att använda formeln för riktningsderivatan, KREYSZIG 9, (5), s. 405, Ex. 5 i Kompendiet, 3.1 och mönsterlösningen i Kompendiet, 3.4, Pr Kapitel 9.8, 9.9: Divergens och rotation av vektorfält. 2.6) definitionen av divergens div v; notera att divergensen är en skalär (KREYSZIG 9, s. 410, (1), Kompendiet, 4.1); 2.7) div(grad f) = f, där är Laplaceoperatorn (KREYSZIG 9, s. 411);

4 2.8) definitionen av rotation rot v (eller curl v) som en vektor med hjälp av en symbolisk determinant (KREYSZIG 9, s. 414, (1)); 2.9) definitionen av källfria vektorfält med div v = 0 (KREYSZIG 9, s. 413); 2.10) definitionen av virvelfria vektorfält med rot v = 0 (KREYSZIG 9, s. 415, Theorem 2, Ex. 3); Kap.9.8 (s. 413): 1, 3, 5; 13 (a c); 15, 20. Kommentarer: problem är enkla övningsuppgifter att bestämma divergensen div f. Lös själv med hjälp av divergensens definition, KREYSZIG 9, s. 410, (1) och lösningskiss i Kompendiet, 4.3. Problem (a c) är att visa vektordifferentialidentiteter. Mönsterbevis finns i Kompendiet, 4.3, formlerna (26) och (27). Problem är att beräkna Laplaceoperatorn f. Det ska man göra direkt genom att bestämma derivator av andra ordningen till en given funktion f. Lösningskiss finns i Kompendiet, 4.3. Kap.9.9 (s. 416): 3, 4; 13; 16 (a d); Kommentarer: problem är enkla övningsuppgifter att bestämma rotationen rot f (eller curl f). Lös själv med hjälp av rotationens definition, KREYSZIG 9, s. 414, (1) och mönsterlösningar i Kompendiet, 4.3, Pr , , Problem : för att visa att vektorfältet är virvelfritt, måste man beräkna dess rotation och kolla att den är lika med noll. Problem (a d) är att visa vektordifferentialidentiteter. Mönsterbevis finns i Kompendiet, 4.3, formlerna (26) och (27), samt Pr För att lösa problem , använd passande vektordifferentialidentiteter ur Problem (a d). Se även mönsterlösningen i Kompendiet, 4.3, Pr b Lektion 3 Kurvintegraler. Kreyszig, 9 th Ed.: Kapitel Kompendiet Analys B2: 2, 5 Kapitel 10.1: Kurvintegraler. 3.1) definitionen av kurvintegralen av en vektorfunktion (KREYSZIG 9, s. 421, (3), (3 )); 3.2) egenskaper hos kurvintegralen av en vektorfunktion (KREYSZIG 9, s. 422, (5a c )); 3.3) kurvintegralen av en vektorfunktion är i allmänhet vägberoende! (KREYSZIG 9, s. 425, Th. 2). 3.4) algoritmen att beräkna kurvintegralen av vektorfunktion (KREYSZIG 9, s. 422, Ex. 1; se även kommentarer nedan). Kapitel 10.2: Kurvintegraler oberoende av vägen 3.5) Sats 1 (KREYSZIG 9, s. 426, Th. 1) ger ett tillräckligt och nödvändigt villkor när kurvintegralen är oberoende av vägen: integranden F är ett konservativt vektorfält, F = grad f. Samtidigt ges en formel att beräkna kurvintegralen som f(b) f(a), där A och B är kurvans begynnelse- och ändpunkter. 3.6) Sats 2 (KREYSZIG 9, s. 428, Th. 2) är ett annat kriterium när kurvintegralen är oberoende av vägen: när kurvintegralen längs varje sluten kurva är noll. 3.7) Sats 3* (KREYSZIG 9, s. 429, Th. 3*) ger ett kriterium till när kurvintegralen längs en kurva i ett enkelt sammanhängande område är oberoende av vägen: när differentialformen Fdr är exakt eller rot F = 0 (integranden F är ett virvelfritt vektorfält; Obs! rot(grad f) = 0).

5 Kap.10.1 (s. 425): 1, 3, 5, 7, 9; 15, 17. Kommentarer: problem är enkla övningsuppgifter att beräkna kurvintegraler. Lös själv med hjälp av kurvintegralens definition, KREYSZIG 9, s. 421, (3), (3 ) och mönsterlösningar i Kompendiet, 5.3. Använd följande algoritm, steg (i) (v): (i) bestäm integreringskurvans parameterekvation r = r(t) (KREYSZIG 9, s , (1), Kompendiet, 2), inklusive värdena a och b av kurvans parameter t som motsvarar de givna kurvans begynnelse- och ändpunkter; (ii) bestäm integranden F(r) = F(r(t)) på integreringskurvan som en vektorfunktion av kurvans parameter t (KREYSZIG 9, s. 422, Ex. 1, Kompendiet, 5.3); (iii) bestäm dr som en vektorfunktion av kurvans parameter t genom att derivera r:s komponenter map t; (iv) bestäm skalärprodukten g(t) = F(r(t)) dr(t) som en funktion av parametern t; (v) integrera slutligen g(t) map t som en vanlig Riemannintegral, dvs en bestämd integral mellan a och b. För att beräkna integralerna i problem använd definitionerna ur KREYSZIG 9, s. 424, (8), (8*) Kap.10.2 (s. 432): 1 8; Kommentarer: för att lösa problem samt kolla att differentialformen Fdr är exakt med hjälp av algoritmen ur KREYSZIG 9, s , Ex. 3, Kompendiet, 5.3, bestäm f sådan att F = grad f (f är F:s potential) och sedan beräkna kurvintegralen som f(b) f(a), där A och B är integreringskurvans begynnelse- och ändpunkter. Lektion 4 Greens formel i planet. Kreyszig, 9 th Ed.: Kapitel 10.4 Kompendiet Analys B2: 6 4.1) bevis av Sats 1 (KREYSZIG 9, s. 439, Th. 1) för enkla områden, Fig. 233, 234. Visa först satsen för en rektangel! 4.2) Arean av ett område i planet med hjälp av Greens formel (KREYSZIG 9, s , Ex. 2) Kap.10.4 (s. 444): 1 10; Kommentarer: för att lösa problemen , använd Greens formel och beräkna dubbelintegralen som ingår i den. Vid behov, repetera dubbelintegraler, KREYSZIG 9, s , 438, Ex. 2 Lektion 5 Ytor och ytintegraler. Kreyszig, 9 th Ed.: Kapitel: 10.5, 10.6 Kompendiet Analys B2: 7 Kreyszig, 8 th Ed.: Kapitel: 9.5, 9.6 Uppgifter: Kap.9.5 (s ): 1, 3, 5, 7, 9, 13, 15, 17, 19, 23, 24, 25, 27, 29. Kap.9.6 (s ): 1, 3, 5, 7, 9, 11,13, 15, ) definitionen av ytans parameterekvation som en vektorfunktion av två parametrar (variabler) (KREYSZIG 9, s. 446, (1), (2)); 5.2) parameterekvationer för ett plan, en cylinder, en klot, en kon (KREYSZIG 9, s , Ex. 1 3); 5.3) definitionen av tangentplan och normalvektor samt enhetsnormalvektor till en yta som vektorprodukt av tangentvektorer, även med hjälp av gradient (KREYSZIG 9, s. 447, (4), (5),

6 (6)); se även hur kan man bestämma normalvektorer till räta linjer och plan (KREYSZIG 9, s. 375, Ex. 6) samt att gradienten grad f är normalvektor till en nivåyta f(x,y,z) = c (KREYSZIG 9, s. 406, Theorem 2, Ex. 2). 5.4) normalvektorer och enhetsnormalvektorer till ett klot och en kon (KREYSZIG 9, s. 448, Ex. 4, 5, även KREYSZIG 9, s. 406, Th. 2, Ex. 2). 5.5) definitionen av ytintegralen av en vektorfunktion eller flödesintegralen (KREYSZIG 9, s , (3) (5)); 5.6) beräkning av flödesintegraler med avseende på riktning av ytans normalvektor ytans orientering (KREYSZIG 9, s , Th. 1, Ex. 3). 5.7) exempel och algoritmen att beräkna flödesintegralen av en vektorfunktion (KREYSZIG 9, s. 451, Ex. 1, 2; se även kommentarer nedan). Kap.10.5 (s ): 1, 3, 5, 7, 9; 12 19; 20. Kommentarer: problemen är enkla övningsuppgifter att bestämma parameterekvationer till ett plan, en cylinder, en parabolisk yta eller en ellipsoid. Lös själv med hjälp av formlerna i KREYSZIG 9, s , Ex. 1 3 och lösningsskiss i Kompendiet, 7.1, 7.4. För att lösa problem bestäm först parameterekvationer till ett plan eller en klot och sedan normalvektor samt enhetsnormalvektor som vektorprodukt av ytans tangentvektorer, även med hjälp av gradient om t ex ytans ekvation är på formen z = f(x, y) (KREYSZIG 9, s. 447, (4), (5), (6)); använd även exempel i KREYSZIG 9, s. 375, Ex. 6, s. 448, Ex. 4 samt lösningsskiss i Kompendiet, 7.3, 7.4. Kap.10.6 (s ): 1, 3, 5, 7, 9; Kommentarer: problemen är övningsuppgifter att beräkna flödesintegraler. Lös själv med hjälp av ytintegralens definition, KREYSZIG 9, s , (3) ( 5) och lösningsskiss i Kompendiet, 7.4. Använd följande algoritm, steg (i) (v): (i) bestäm integreringsytans parameterekvation r = r(u, v) (KREYSZIG 9, s. 446, (2), Kompendiet, 7.1), inklusive parameterområdet R i uv-planet av ytans parametrar u, v som motsvarar den givna ytan; (ii) bestäm integranden F(r) = F(r(u, v)) på integreringsytan som en vektorfunktion av ytans parametrar u, v (KREYSZIG 9, s , Ex. 1 3, Kompendiet, 7.3); (iii) bestäm normalvektor N till integreringsytan som en vektorfunktion av ytans parametrar u, v genom att beräkna vektorprodukt av ytans tangentvektorer eller med hjälp av gradient när det är lämpligt (KREYSZIG 9, s , Ex. 1 3, Kompendiet, 7.3); (iv) bestäm skalärprodukten g(u, v) = F(r(u, v)) N (u, v) som en funktion av parametrar u, v; (v) integrera slutligen g(u, v) map u, v som en vanlig dubbelintegral över parameterområdet R i uv-planet. För att beräkna integralerna i problemen använd definitionerna ur KREYSZIG 9, s. 454, (6). Lektion 6 Gauss divergenssats. Tillämpningar av Gauss divergenssats. Kreyszig, 9 th Ed.: Kapitel: 10.7, 10.8 Kompendiet Analys B2: 8 Kreyszig, 8 th Ed.: Kapitel: 9.7, 9.8 Uppgifter: Kap.9.7 (s ): 1, 3, 5, 7; Kap.9.8 (s ): 1, ) bevis av Gauss divergenssats (KREYSZIG 9, s. 459, Th. 1) för enkla tredimensionella områden, Fig Visa först satsen själv för en parallellepiped! 6.2) tillämpningar av Gauss divergenssats: potentialteori, harmoniska funktioner (KREYSZIG 9, s , Ex. 3, (7), Th. 1), Greens formler (KREYSZIG 9, s. 466, Ex. 4, (8), (9)). Vid behov: repetera trippelintegraler!

7 Kap.10.7 (s. 463): 1, 3, 5, 7; Kommentarer: för att lösa problemen och använd Gauss divergenssats och beräkna trippelintegralen som ingår i den. Använd lösningsskiss i Kompendiet, 8.1. Vid behov, repetera trippelintegraler, KREYSZIG 9, s. 458, s. 459, Ex. 1 s. 461, Ex. 2, Kompendiet, 8.1. Kap.10.8 (s. 468): 1 6. Kommentarer: för att lösa problemen använd Greens formler (KREYSZIG 9, s. 466, (8), (9)) och beräkna både trippelintegralen och ytintegralen som ingår i den. Vid behov, repetera flödesintegraler, KREYSZIG 9, s , (3) (5). Lektion 7 Stokes sats. Kreyszig, 9 th Ed.: Kapitel: 10.9 Kompendiet Analys B2: 9 7.1) bevis av Stokes sats (KREYSZIG 9, s. 469, Th. 1) om ytans ekvation har formen z = f(x, y), KREYSZIG 9, s. 470, (6). 7.2) Greens formel i planet (KREYSZIG 9, s. 439, Th. 1) är ett speciellt fall av Stokes sats (KREYSZIG 9, s. 471, Ex. 2). Vid behov: repetera kurvintegraler! Kap.10.9 (s. 473): 1 6; Kommentarer: för att lösa problemen använd Stokes stas (KREYSZIG 9, s. 469, (2), (2*)) och beräkna antingen ytintegralen eller kurvintegralen som ingår i den. Obs! För att lösa problemen försök välja den enklaste ytan, ofta ett plan, se även Kompendiet, 9, Ex. 2. Vid behov, repetera flödesintegraler, KREYSZIG 9, s , (3) (5). Lektion 8 Laplaceintegral. Laplacetransform. Inversetransform. Linearitet. Laplacetransform som analytisk funktion. Kreyszig, 9 th Ed.: Sec. 6.1, Ex Th Kompendiet Analys B2: ) definitionen av Laplacetransform L(f) genom Laplaceintegralen som är en generaliserad integral (KREYSZIG 9, s. 221, (1), Ex. 1, Kompendiet, 11.1); 8.2) Laplacetransformen (Laplaceintegralen) L(f) = F(s) är en analytisk funktion av komplexa variabeln s (Kompendiet, 11.1, Sats 1); 8.3) exemplen att beräkna Laplacetransform (KREYSZIG 9, s , Ex. 1 4, Kompendiet, 11.1); 8.4) s-förskjutning (KREYSZIG 9, s. 224, Th. 2); 8.5) Tabellen 6.1 av vanligaste Laplacetransformer (KREYSZIG 9, s. 224).

8 Kap 6.1 (s ): 1 5; 14, 16; 29 33; Kommentarer: för att lösa problemen använder man linearitet och Laplacetransformer av potens- och exponentfunktioner samt trigonometriska funktioner sin x och cos x som man kan hitta i Tabellen 6.1 KREYSZIG 9, s. 224 För att lösa problemen använder man inverstransformer (och deras olika linjära kombinationer) av potensoch exponentfunktioner samt trigonometriska funktioner sin x och cos x som man hittar i Tabellen 6.1 KREYSZIG 9, s. 224 Lektion 9 Laplacetransform av derivator och integraler. Derivering och integrering av Laplacetransform. Differentialekvationer. Kreyszig, 9 th Ed.: Sec. 6.2, s , Ex Th Sec. 6.6, s , Ex. 1, 2. Kompendiet Analys B2: 11.2, ) formlerna för Laplacetransformer av första och andra derivator (KREYSZIG 9, s. 228, (1), (2)) och deras bevis (KREYSZIG 9, s. 228, Th. 1, Kompendiet, 11.2); 9.2) formeln för Laplacetransform av integralen (KREYSZIG 9, s. 229, (4)) och dess bevis (KREYSZIG 9, s. 229, Th. 2, Kompendiet, 11.3); 9.3) formeln för första derivatan av Laplacetransform (KREYSZIG 9, s. 255, (1)) och dess bevis (KREYSZIG 9, s. 254, Kompendiet, 11.4); 9.4) formeln för integralen av Laplacetransform (KREYSZIG 9, s. 255, (6)) och dess bevis (KREYSZIG 9, s. 255, Kompendiet, 11.5); 9.4) tillämpning av Laplacetransform för att skriva om ett begynnelsevärdesproblem för en ordinär differentialekvation av andra ordningen med konstanta koefficienter (KREYSZIG 9, s. 230, (5), Kompendiet, 10.3) på en algebraisk form (KREYSZIG 9, s , Ex. 4, Kompendiet, 14.1). Problem set 6.2 (s ): 1 5; 10 15; 26 (a), (e), (f); Kommentarer: för att lösa problemen använder man formlerna för Laplacetransformer av första och andra derivator KREYSZIG 9, s. 228, (1), (2), Laplacetransformer av potens- och exponentfunktioner och trigonometriska funktioner sin x och cos x, se Tabellen 6.1 KREYSZIG 9, s. 224 samt lösningsskiss och exempel i Kompendiet, För att lösa problemen använder man Laplaces metod och skriver om ett begynnelsevärdesproblem för en ordinär differentialekvation av andra ordningen med konstanta koefficienter på en algebraisk form, se KREYSZIG 9, s , Ex. 4, Kompendiet, 14.1; lösningsskiss och exempel finns i Kompendiet, 14.1, Lösningsskiss för problemet finns i Kompendiet, Problem set 6.6 (s ): 1 5; Kommentarer: för att lösa problemen använder man formeln för första derivatan av Laplacetransform, KREYSZIG 9, s. 255, (1), Kompendiet, För att lösa problemen kan man använda formeln för integralen, KREYSZIG 9, s. 255, (6), Kompendiet, 11.5 eller första derivatan, KREYSZIG 9, s. 255, (1), Kompendiet, 11.4 av Laplacetransform samt s-förskjutning (Laplacetransform för produkten av en funktion och exponent), KREYSZIG 9, s. 224, Th. 2.

9 Lektion 10 Heavisides stegfunktion. Diracs deltafunktion. Fördröjning och avskärning. Partialbråksuppdelning. Kreyszig, 9 th Ed.: Sec. 6.3, s , Ex. 1, 2. Sec. 6.4, s , Ex. 1, 2, 4. Kompendiet Analys B2: 11.4, 11.5, 12.1, 13, ) definitionen och Laplacetransform av Heavisides stegfunktion u(t-a) (KREYSZIG 9, s. 234, (1), (2), Kompendiet, 12.1); 10.2) fördröjning och avskärning, eller t-förskjutning (KREYSZIG 9, s. 235, Th. 1, Kompendiet, 12.2); 10.3) definitionen och Laplacetransform av Diracs deltafunktion (KREYSZIG 9, s , Kompendiet, 13); 10.4) exempel av partialbråksuppdelning (KREYSZIG 9, s. 243, Ex. 1, s. 245, Ex. 4, Kompendiet, 14.2). Problem set 6.3 (s. 240): 3 11; 14, 15; Kommentarer: för att lösa problemen följ noggrant anvisningar som finns i början av motsvarande avsnitt och använd fördröjning och avskärning ( t-förskjutning), formlerna för Laplacetransformer av potens- och exponentfunktioner och trigonometriska funktioner sin x och cos x, se Tabellen 6.1 KREYSZIG 9, s. 224 samt lösningsskiss och exempel i Kompendiet, För att lösa problemen använd tidigare bestämda Laplacetransformer och Tabellen 6.1. Lös problemen med hjälp av Laplaces metod Kompendiet, 14. Problem set 6.4 (s. 246): 1 3. Kommentarer: för att lösa problemen använd Laplaces metod, Laplacetransformen av Diracs deltafunktion, KREYSZIG 9, s. 243, (5) och Ex. 2, s Lektion 11 Faltning (konvolution) Kreyszig, 9 th Ed.: Sec. 6.5, s , Ex. 1 3, 5. Th. 1. Kompendiet Analys B2: ) definitionen och Laplacetransform av faltningsfunktion (konvolution) f * g (KREYSZIG 9, s , (1), Th. 1, Kompendiet, 15); 11.2) exempel av faltning (KREYSZIG 9, s , Ex. 1, 2, Kompendiet, 15.1). 11.3) hur man tillämpar faltning för att lösa begynneslevärdesproblem för ickehomogena differentialekvationer (KREYSZIG 9, s , Ex. 5, Kompendiet, 15.2).

10 Problem set 6.5 (p. 253): 1 3; 9 12; 19, 20. Kommentarer: för att lösa problemen samt använd direkt definitionen och Laplacetransform av faltningsfunktion f * g och Laplacetransformer av f och g, se Tabellen 6.1 KREYSZIG 9, s Lös problemen med hjälp av Laplaces metod Kompendiet, 14 och faltningsregel, som i Kompendiet, Se även Ex. 5, KREYSZIG 9, s Lektion 12 Fourierserier. Eulers formler för fourierkoefficienter. Ortogonalitet av trigonometriska systemet Kreyszig, 9 th Ed.: Sec. 11.1, s , Ex. 1, Th. 1. Sec. 11.2, s , Ex. 1, 2. Kompendiet Analys B2: ) definitionen av periodicitet; periodicitet av trigonometriska funktioner sin x, cos x, sin nx, cos nx, sin ωnx, cos ωnx, summor och serier (KREYSZIG 9, s , (4), (5), Kompendiet, 16.1, 16.2); 12.2) definitionen av Fourierserie (KREYSZIG 9, s , Ex. 1, Kompendiet, 16.2); 12.3) Eulers formler för fourierkoefficienter (KREYSZIG 9, s , Kompendiet, 16.2); notera att beviset av Eulers formler grundar sig på ortogonalitet av det trigonometriska funktionssystemet, KREYSZIG 9, s. 482, Th. 1. Problem set 11.1 (s. 485): Kommentarer: för att lösa problemen följ noggrant lösningsskiss som finns i exempel 1, 2 i Kompendiet, 16.2, och i Skriv alltid ett allmänt uttryck för den sökta Fourierserie, som i exempel 1, 2 och i KREYSZIG 9, s. 487, (5). Problem set 11.2 (s. 490): 1 9. Kommentarer: för att lösa problemen använd lösningsskiss som finns i Kompendiet, 16.3; skriv alltid ett allmänt uttryck för den sökta Fourierserie. Lektion 13 Jämna och udda funktioner och fortsättningar Kreyszig, 9 th Ed.: Sec. 11.3, s , Ex Th Kompendiet Analys B2: 16, ) en udda/jämna funktion utvecklas i en sinus/cosinus Fourierserie KREYSZIG 9, s. 491, Th ) Eulers formler för fourierkoefficienter för en udda/jämna funktion KREYSZIG 9, s. 491, Th. 1, (2), (4). 13.3) superposition för Fourierserier, KREYSZIG 9, s. 492, Th. 2, och exempel av dess tillämpning, KREYSZIG 9, s. 492, Ex. 1, 2.

11 13.4) udda/jämna fortsättningar av en funktion definierade på ett intervall (0, L) och motsvarande sinus/cosinus Fourierserie KREYSZIG 9, s , Ex. 4. Problem set 11.3 (s. 496): 1, 2, 5 7; Kommentarer: lösning av problemen kräver repetition och tillämpning av allmänna begrepp som ingår i funktionslära, särskilt definitionerna av jämna och udda funktioner. Skissa grafer av funktionerna med avseende på deras periodicitet och intervallet i vilket de är givna (definierade), se Fig. 264, 266, 267 och 269 i KREYSZIG 9, s För att lösa problemen följ lösningsskiss som finns i exempel 3 i Kompendiet, 17.4, och i Skriv alltid ett allmänt uttryck för den sökta Fourierserie. Lektion 14 Konvergens av Fourierserier Kreyszig, 9 th Ed.: Sec. 11.1, s , Th. 2. Kompendiet Analys B2: ) man kan visa konvergens av Fourierserien till en given periodisk styckvis kontinuerlig och styckvis deriverbar funktion f(x) genom att a) använda konvergenssatsen, KREYSZIG 9, s. 484, Th. 2, och 2) direkt med hjälp av Weirestrass (M-)kriterium, Sats 2 i Kompendiet, 18.1 eller Dirichlets kriterium, Sats 3 i Kompendiet, 18.2, Exempel 2, 3. Problem set 11.1 (p. 486): (konvergensbevis) Kommentarer: man kan visa konvergens av Fourierserierna erhållna tidigare vid lösning av problemen direkt med hjälp av tillgängliga konvergenskriterier: Weirestrass (M-)kriterium, Sats 2 i Kompendiet, 18.1 eller Dirichlets kriterium, Sats 3 i Kompendiet, 18.2, Exempel 2, 3; Exempel 3 kan betraktas som en bevisskiss.

12 Lektion 15 Användning av Fourierserier I: variabelseparation. Lösning till endimensionella värmeledningsekvationen Kreyszig, 9 th Ed.: Sec. 12.5, s , Ex. 1, 2. Kompendiet Analys B2: ) variabelseparation att lösa endimensionella värmeledningsekvationen KREYSZIG 9, s. 553, (1) leder till likheten (2) som är endast möjlig om båda leden är lika med en konstant (p); 15.2) lösningen till begynnelserandvärdesproblemet (1) (3) får man i form av en Fourierserie (9) där koefficienterna är t(tids)-beroende; man söker lösningen i form (9) för att satisfiera begynnelsevillkoret (3). Problem set 12.5 (s. 561): 5 7. Kommentarer: man kan lösa problemen genom att använda Ex. 1, KREYSZIG 9, s. 555 som lösningsskiss (begynnelsefunktionen f(x) ges som en ändlig Fourierserie). Problemet löser man genom att utveckla f(x) i en sinus-fourierserie. Obs! Bestäm först den passande L och skriv tydligt begynnelserandvärdesproblemet för endimensionella värmeledningsekvationen av formen (1) (3) som skall lösas. Konstanten c som ingår i värmeledningsekvationen får man använda som en parameter (utan att bestämma dess numeriska värde). Lektion 16 Användning av Fourierserier II: variabelseparation Lösning till Laplaces ekvation i en rektangel. Kreyszig, 9 th Ed.: Sec. 12.5, s ) bestämmandet av F(x) som leder till formeln (16); 16.2) man bestämmer G(y) som uppfyller bara ett randvillkor som följer ur randvillkoret u(x,0) = 0 ; 16.3) lösningen till randvärdesproblemet för Laplaces ekvation (14) i en rektangel får man i form av en Fourierserie (17) där koefficienterna är y-beroende. Problem set 12.5 (s. 562): 28, 29. Kommentarer: man kan lösa problemen genom att först skriva tydligt randvärdesproblemet för Laplaces ekvation (14) i en rektangel som skall lösas och ange randfunktionen f(x), se Fig. 293, KREYSZIG 9, s Sedan använder man formlerna (17), (18) med passande a, b. Man skall beräkna integraler som ingår i (18).

13