SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Transkript

1 SF66 Flervariabelanals Lösningsförslag till tentamen --9 EL A. En kulle beskrivs approximativt av funktionen 5 hx, ) + 3x + i lämpliga enheter där hx, ) är höjden. Om du befinner dig i punkten,, ) på kullen, i vilken riktning, i x-planet, skall du gå för att gå brantast nedåt? 4 p) Lösningsförslag. Vi söker grad h, ), h x 3x + 3x + ), h x h + 3x + ), h et lutar brantast i den riktning som ges av 6 5, 5)., ) ,, ) 5 5. Svar. I den riktning som ges av 6 5, 5).

2 SF66 Flervariabelanals Lösningsförslag till tentamen --9. Bestäm integralen av fx, ) x över triangeln med hörn i, ), 4, ) och 4, ). 4 p) Lösningsförslag. Eftersom funktionen f är en jämn funktion i x-led, dvs. f x, ) fx, ), och triangeln är smmetrisk kring -axeln kan dubbelintegralen av f över triangeln skrivas som fx, ) dx d fx, ) dx d + där är triangeln och + den triangelhalva till höger om -axeln., ), ) 4, ) 4, ) x +, ) 4, ) x ärmed är fx, ) dx d 4 x/ [ x [ x x ) x d dx ] x/ dx x ) dx x x x4) dx 3 x4 4 + x5 4 ] 4 Svar. 8 5

3 SF66 Flervariabelanals Lösningsförslag till tentamen Ett vektorfält F P, Q) i området x, > i planet ges av formlerna P x, ) x x + x och Qx, ) x + + ax. För vilka värden på parametern a är vektorfältet konservativt? Bestäm en potential till vektorfältet för sådana a. 4 p) Lösningsförslag. Eftersom fältet F är definierat på ett enkelt sammanhängande område så har det en potential om och endast om Q x P. Vi beräknar Q x x + ) x + a, P x x + ) +, och ser att fältet är konservativt bara om a. En potential U i detta fall uppfller U x x x + x, U x + + x. en första av dessa ekvationer ger Ux, ) lnx + ) ln x x + V ) för någon funktion V ). en andra ekvationen ger sedan x + + x U x + + x + V ) eller V ). En lösning på denna ekvation är V ), och alltså är Ux, ) lnx + ) ln x x en potential. Alla andra potentialer fås genom att lägga till en konstant.) Svar. Fältet är konservativt om och endast om a. En potential är Ux, ) lnx + ) ln x x.

4 4 SF66 Flervariabelanals Lösningsförslag till tentamen --9 EL B 4. Beräkna arbetet som en partikel utför då den genomlöper kurvan Γ given av 4x + 4 ett varv moturs i kraftfältet F + 3x, x). 4 p) Lösningsförslag. Metod Greens formel) Arbetet ges av W Γ F dr { Greens formel } {4x + 4} area Metod Parametrisera Γ) {4x + 4} ) x) x + 3x) dx d dx d ) ellipsen {x + /4 } π 4π. Kurvintegralen kan beräknas med Γ F dr b a F rt) ) drt) där t rt) är en parametrisering av Γ och t: a b är parameterområdet. Kurvan Γ är en ellips centrerad kring origo med halvaxlar och i x- resp. -riktningen och kan parametriseras som och då är rt) cos t, sin t ), för t: π, F rt) ) sin t + 3 cos t, 4 sin t cos t ), drt) drt) dt sin t, cos t ) dt. dt

5 Arbetet blir W Γ SF66 Flervariabelanals Lösningsförslag till tentamen F dr π π π sin t + 3 cos t, 4 sin t cos t ) sin t, cos t ) dt sin t 3 sin t cos t + 8 cos t sin t cos t ) dt π ) dt + 5 cos t sin t dt 4π + 4π. Svar. 4π

6 6 SF66 Flervariabelanals Lösningsförslag till tentamen Bestäm det största och minsta värdet av funktionen fx, ) x på området Ω {x, ) : x + 5, x, }. 4 p) Lösningsförslag. Funktionen f är ett polnom och är därmed en kontinuerlig funktion. Olikheten x + 5 definierar en ellipsskiva centrerad kring origo med halvaxlar och / 5 i x- resp. -riktningen. Området Ω, som är den del av ellipsskivan som finns i första kvadranten, är därför både en begränsad och sluten mängd, dvs. en kompakt mängd. / 5 Ω x Eftersom f är kontinuerlig och Ω är en kompakt mängd så vet vi att f antar ett största och ett minsta värde på området Ω. essa värden antar f i följande tper av punkter: a) inre stationära punkter, b) lokala max- och minpunkter på randen Vi undersöker dessa fall. a) I en inre stationär punkt är grad fx, ) x, x + 5 ), ), vilket ger oss ekvationssstemet x, x + 5. en andra ekvationen är bara uppflld när x, och eftersom den första ekvationen då också är uppflld så är, ) den enda stationära punkten, men, ) är inte en inre punkt.

7 SF66 Flervariabelanals Lösningsförslag till tentamen b) Randen till området består av tre kurvstcken: γ intervallet [, ] på x-axeln), γ intervallet [, / 5] på -axeln) och γ 3 kvartsellipsen från, / 5) till, )). γ γ 3 γ x Vi undersöker respektive kurvdel: På γ är f. Linjestcket γ kan vi parametrisera som x, ), t) där t / 5. Problemet kan då formuleras som maximera ft) 5t 3 för t / 5. etta polnom har max/min antingen där f t) 5t är noll dvs. t ) eller i ändpunkterna t och t / 5. I dessa punkter är f) och f/ 5) / 5. Vi parametriserar ellipsstcket γ 3 som x, ) cos t, 5 sin t ), där t π. och optimeringsproblemet på denna kurvdel blir maximera ft) sin t för t π/. 5 Max och min antas antingen där f t) cos t)/ 5 är noll dvs. t π/) eller i ändpunkterna t och t π/. I dessa punkter är f) och fπ/) / 5 et största och minsta värdet av f i området Ω är alltså / 5 resp.. Svar. Största värde är / 5 och minsta värde är.

8 8 SF66 Flervariabelanals Lösningsförslag till tentamen Bestäm flödet av vektorfältet F xz, z, z z) ) genom tan S där S är clindertan {x,, z) : x +, z }. 4 p) Lösningsförslag. Låt N vara den utåtpekande normalen. å ges flödet av F NdS F rs, t) ) r s r t) ds dt S om s, t) rs, t) är en parametrisering av S sådan att r s r t är utåtpekande och är parameterområdet för s, t). Vi parametriserar S med hjälp av clindriska koordinater till rθ, z) cos θ, sin θ, z ), där : θ π, z, och vi använder θ och z som parameternamn istället för s och t). å är Flödet blir r θ θ, z) sin θ, cos θ, ), r zθ, z),, ), r θ r z sin θ, cos θ, ),, ) cos θ, sin θ, ). z cos θ, z sin θ, z z) ) cos θ, sin θ, ) dθ dz π ) z cos θ + z sin θ) dz dθ [ z ] π 4π. Anm. Ett alternativt lösningssätt är att sluta tan med plana cirkelskivor och använda Gauss sats. Flödet genom botten är och toppen är π. Svar. 4π

9 SF66 Flervariabelanals Lösningsförslag till tentamen EL C 7. Masstätheten för en gas ges av ϱx,, z) c x + + z ) 5/, där c är en fsikalisk konstant. Gasen befinner sig i rummet utanför ett klot som ges av x + + z, dvs. i mängden K {x,, z) : x + + z }. Beräkna gasens totala massa uttrckt i c. 4 p) Lösningsförslag. Massan ges av den generaliserade integralen M ϱx,, z) dx d dz K dx d dz c K x + + z ) 5/ { Rmdpolära koordinater } c π 4πc sin θ dθ 4πc lim πc. dr r 3 R [ π dϕ r ] R r dr r ) 5/ Svar. πc

10 SF66 Flervariabelanals Lösningsförslag till tentamen Betrakta ekvationen x + + z sin xz ) a) Visa att genom ekvationen ) defineras en funktion f i en omgivning av x, ), ), så att ) är ekvivalent med z fx, ) i en omgivning,, ). p) b) Bestäm en ekvation för tangentplanet till tan z fx, ) i origo. p) Lösningsförslag. a) efiniera funktionen F x,, z) genom F x,, z) x + + z sin xz. å beskriver ekvationen ) nivåtan F x,, z). Funktionen F är av klass C och punkten,, ) ligger på nivåtan ). Vidare är F z,, ) x cos xz x,,z),,), så implicita funktionssatsen garanterar att det finns en funktion fx, ) så att nivåtan är lika med grafen z fx, ) nära,, ). b) Eftersom tan z fx, ) är lika med nivåtan F x,, z) nära origo så ges dess normalvektor i origo av grad F,, ) z cos xz, xz cos xz, ) x cos xz x,,z),,),, ). Tangentplanet i origo har alltså normalvektorn,, ) och ges av ekvationen,, ) x,, z) x + + z. Svar. b) x + + z

11 SF66 Flervariabelanals Lösningsförslag till tentamen Ett elektriskt laddat skal S utgörs av den del av halvsfären x + + z, som begränsas av planen z / och z /. Laddningstätheten ges av qx,, z). x + Beräkna skalets totala laddning Q S qx,, z) ds. 4 p) Lösningsförslag. Halvsfärens ekvation kan skrivas som x + z ), dvs. som en parametertan med x och z som parametrar, å blir tans arealement x, z) x, x + z ), z ). ds + x) + z) dx dz x z + + dx dz x + z )) x + z )) dx dz x + z ). Ytans projektion i xz-planet är området som i x-led begränsas av cirkelbågarna x ± z och i z-led av linjerna z ±/. Vi observerar att x + z på S och därför är Q ds x + S / / / dx dz z / z dx z dz ) dz z Anm. Ett alternativ är att använda sfäriska koordinater. Svar.