SF1626 Flervariabelanalys

Transkript

1 Föreläsning 13 Institutionen för matematik KTH VT 2018

2 Administrativt 0 Anmäl er till tentan!

3 Vektoranalys 1 Dagens program: Vektorfält Konservativa vektorfält Potentialfunktioner Bokens kapitel Preview of coming attractions: kurvintegraler, ytintegraler, flödesintegraler

4 Vektorfält 3 Ett vektorfält är en funktion F definierad i nån delmängd av R 3 med funktionsvärden i R 3. Motsvarande i R 2 kallas plana vektorfält. Tolkningen är: I varje punkt (x, y, z) sitter en vektor F(x, y, z) Exempel: Skissa de plana vektorfälten F(x, y) = (x + y, x) och G(x, y) = ( y, 0).

5 Vektorfält 4 Exempel: Gravitationsfält, elektrostatiska fält Magnetfält Hastighetsfält, Gradientfält,... Ofta antar vi att de är minst C 1.

6 Vektorfält 5 Fältlinjer (obs många andra namn finns) En kurva till vilken vektorfältet är tangentiellt i varje punkt kallas en fältlinje (alt. strömlinje, flödeslinje, trajektoria, integralkurva). Om F(x, y) = (P, Q) är ett plant vektorfält fås fältlinjerna som lösningar till dx P = dy Q På liknande sätt fås fältlinjerna i 3d. Exempel: Finn fältlinjerna till F(x, y) = (x, y) Exempel: Finn fältlinjerna till hastighetsfältet H(x, y) = ( Ωy, Ωx) för en kropp som roterar runt z-axeln med konstant vinkelhastighet Ω. (Facit: Linjer genom origo, resp cirklar runt origo)

7 Vektorfält 6 Konservativa vektorfält Om det finns en funktion ϕ sådan att ϕ = F så sägs vektorfältet F vara konservativt. Funktionen φ kallas i så fall för en potentialfunktion till F. Exempel: Är det plana fältet F(x, y) = (x, y) konservativt? Är ϕ(x, y) = arctan(xy) en potentialfunktion till vektorfältet ( ) x F(x, y) = 1 + x 2 y 2, y 1 + x 2 y 2 i första kvadranten? Är hastighetsfältet H(x, y) = ( Ωy, Ωx) konservativt? (Facit: Ja, nej, nej)

8 Vektorfält 6 Plana C 1 vektorfält, F(x, y) = (P, Q). Om inte P y = Q x så kan vektorfältet inte vara konservativt. C 1 3d-vektorfält, F(x, y, z) = (P, Q, R). Om inte P y = Q x, P z = R x, så kan vektorfältet inte vara konservativt. Bevis: Blandade andraderivator är lika. Q z = R y

9 Vektorfält 7 Ekvipotentialkurvor och Ekvipotentialytor Nivåytor till potentialfunktionen kallas ekvipotentialytor till vektorfältet. För plana vektorfält är motsvarigheten ekvipotentialkurvor. Exempel: Visa att det plana vektorfältet F(x, y) = (x, y) är konservativt och bestäm dess fältlinjer och ekvipotentialkurvor (Facit: Pot: ϕ(x, y) = x 2 /2 y 2 /2 + C, fältlinjerna är hyperbler med koordinataxlarna som asymptoter, ekvipotentialkurvorna är hyperbler med linjerna y = ±x som asymptoter)

10 Vektorfält 8 Dagens tentaproblem Betrakta det plana vektorfältet F som ges av F(x, y) = (x + y 2 + 3, x ) 2 + y + 5 A. Vad innebär det att ett vektorfält är konservativt? B. Visa att vektorfältet F är konservativt. C. Använd vetskapen att vektorfältet är konservativt för att beräkna kurvintegralen γ F dr = γ (x + y ) ( x ) dx y + 5 dy där γ är någon slät kurva som börjar i ( 2, 0) och slutar i ( 2, 4).

11 Vektorfält 9 Dagens tentaproblem Vektorfältet F i planet ges av F(x, y) = (y 2, 2xy + 1). a. Avgör om F är konservativt och bestäm om möjligt en potentialfunktion. b. Beräkna kurvintegralen F dr där C är kurvan som parametriseras av r(t) = (te t, e t 1 ) då 0 t 1. C

12 Vektorfält 10 Dagens tentaproblem Betrakta kurvintegralen F dr där F(x, y, z) = (yz, xz, xy) γ och kurvan γ parametriseras av (x, y, z) = (cos t, sin t, t) då t löper från 0 till π/4. a. Beräkna kurvintegralen genom att använda kurvans parametrisering. b. Bestäm en potentialfunktion och beräkna kurvintegralen med hjälp av den.

13 Vektorfält 11 Kontroll. Se till att du kan detta: a. Hur visar man att ett vektorfält är konservativt? b. Hur visar man att ett vektorfält inte är konservativt? c. Vad betyder ordet potentialfunktion? d. Hur hittar man en potentialfunktion?