Primitiva funktioner i flerdim

Transkript

1 Analys 36 En webbaserad analyskurs Differentialkalkyl Primitiva funktioner i flerdim Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com

2 Primitiva funktioner i flerdim 1 (11) 1 Introduktion Att bestämma en primitiv funktion till en funktion i endim innebär att hitta en funktion som har den givna funktionen som derivata. Motsvarande problem i flerdim uttrycks bäst i differentialen och för det måste vi införa ett speciellt objekt så att vi överhuvudtaget kan formulera problemet. Det vi behöver definiera är differentialformer (av första ordningen). Vid första anblicken verkar de vara konstiga objekt, men de är intimt förknippade med något som är fundamentalt i fysiken, nämligen vektorfält (där kallade kraftfält). En differentialform är en formulering av ett sådant kraftfält, vilken ska integreras längs en kurva för att vi ska få det arbete som utförs i fältet. I fysiken är vissa vektorfält speciellt intressanta, de s.k. potentialfälten. Dessa svarar precis mot de differentialformer som har en primitiv funktion. De har den viktiga egenskapen att det totala arbetet är oberoende av hur det utförs. Huvudnumret i detta kapitel är just att karakterisera dessa s.k. exakta differentialformer. Som vanligt fokuserar vi framställningen på 2D-fallet. Allt nytt händer där, så vi bara sammanfattar det allmänna fallet kort efteråt. 2 Exakta differentialformer Att F (x) är en primitiv funktion till en funktion f(x) betyder i 1D att F (x) = f(x). Uttryckt i differentialen kan vi ekvivalent skriva det som att df (x) = f(x)dx. För att förstå vad motsvarande fråga i 2D är, måste konstatera att om F (x, y) är en funktion av två variabler, så kan vi skriva df (x, y) = a(x, y)dx + b(x, y)dy, där a = 1 F och b = 2 F. Ett uttryck på formen ω(x, y) = a(x, y)dx + b(x, y)dy kallas för en differentialform. Liksom gäller för differentialen av en funktion är en allmän differentialform en linjär funktion av en vektor v = (v 1, v 2 ) och beräknas genom ω(x, y)[v] = a(x, y)v 1 + b(x, y)v 2. Här kan högerledet skrivas som en skalärprodukt, nämligen ω(x, y)[v] = u(x, y) v, u(x, y) = (a(x, y), b(x, y)). Funktionen u : R 2 (x, y) (a(x, y), b(x, y)) R 2 uppfattas i detta sammanhang oftast som ett vektorfält. Till varje differentialform finns alltså ett vektorfält och till varje vektorfält en differentialform. Exempel 1 Om u = grad f är gradientfältet till en reellvärd funktion blir ω = df och ω[v] blir riktningsderivatan av f längs v. Exempel 2 Inom fysiken betraktar man olika kraftfält, såsom elektriska och magnetiska fält.

3 Primitiva funktioner i flerdim 2 (11) Om ett elektriskt kraftfält är konstant och beskrivs av en vektor u = (a, b) i varje punkt, så säger fysikern att om vi transporterar en laddad partikel i detta fält mellan två punkter som förbinds av en vektor v, så ges det arbete som uträttats av skalärproukten θ v u A = u v cos θ = u v = ω[v], där θ är vinkeln mellan u och v och ω = adx + bdy. Detta därför att kraftens storlek i rörelsens riktning ges av u cos θ, och arbetet är denna kraft (som är konstant) gånger sträckan v. Men hur ska vi då beräkna arbete om vi transporterar den laddade partikeln längs en kurva som inte är rät? I princip på samma sätt, där vi approximerar den totala förflyttningen som summan av små förflyttningar. Det betyder att vi ska integrerar differentialformen längs kurvan ifråga. Det är situationen i det andra exemplet vi ska utveckla en hel del i detta kapitel. Det är dock bekvämt att gå igenom matematiken först. Vi börjar med att ställa frågan vi började med: givet en differentialform ω, finns det en funktion F sådan att df = ω. Om så är fallet kallar vi F för en primitiv funktion till ω, även om fysikerna i den situationen skulle kalla F en potentialfunktion till kraftfältet u. När ω har en primitiv funktion säger vi att differentialformen ω är en exakt differentialform. Exempel 3 Är differentialformen ω(x, y) = (3x 2 y + y 2 )dx + (x 3 + 2xy + 3y 2 )dy exakt? För att avgöra det ska vi hitta en funktion F (x, y) sådan att df = ω, vilket betyder att F x = 3x2 y + y 2 F, y = x3 + 2xy + 3y 2. Om vi tar den första ekvationen så kan vi bestämma alla F som uppfyller den. Det är nämligen ett endim-problem (vi håller y fixt) och får att F (x, y) = (3x 2 y + y 2 )dx = x 3 y + xy 2 + g(y). Här har den vanliga integrationskonstanten ersatts av en godtycklig funktion av y. Detta därför att där måste stå det allmännaste uttryck som har partiell derivata m.a.p. x lika med noll 1 Om vi nu deriverar denna funktion m.a.p. y får vi F y = x3 + 2xy + g (y) och jämför vi det med vad vänsterledet ska vara, så ser vi att x 3 + 2xy + 3y 2 = x 3 + 2xy + g (y) g (y) = 3y 2 g(y) = y 3 + C

4 Primitiva funktioner i flerdim 3 (11) för någon integrationskonstant C. Härmed har vi bestämt g och alltså att funktionen är sådan att df = ω. F (x, y) = x 3 y + xy 2 + y 3 + C Anmärkning Hur entydigt bestämd är då en primitiv funktion? Antag att df = dg = ω. Då gäller att d(f G) =, och det betyder att F (x) = G(x) + C där C är en konstant. Liksom i endim är alltså primitiva funktioner entydigt bestämda på en konstant när. I ovanstående exempel fanns alltså en primitiv funktion. Men så är det inte i allmänhet. För att det ska finnas en primitiv funktion F till en differentialfform ω = adx+bdy måste vi nämligen ha att a = F/ x och b = F/ y. Då gäller b x = 2 F x y = a y om de två ytterleden är kontinuerliga funktioner. Det vi använder här är att den blandade andraderivatan är oberoende av i vilken ordning vi derivarar om den är kontinuerlig. Vi formulerar detta som en definition. Definition En differentialform ω = adx+bdy sådan att b/ x = a/ y sägs vara sluten. Det vi har kommit fram till är därför Sats 1 För att en differentialform ska kunna vara exakt måste den vara sluten. Exempel 4 För att avgöra om differentialformen ω(x, y) = (x 2 + 3y 2 )dx + 2y(3 (x 2 + 3y 2 ))dy är exakt, undersöker vi först om den är sluten. Det är den dock inte, ty a y Då kan den inte heller vara exakt. Exempel 5 Differentialformen = 12xy 4xy = b x. ω(x, y) = xdx + ydy x 2 + y 2 är sluten där den är definierad, alltså utanför origo. Detta därför att a y = 2xy (x 2 + y 2 ) = b 2 x. Den kan alltså vara exakt. Den är verkligen exakt, vilket vi ser genom att kontrollera att är en primitiv funktion. F (x, y) = 1 2 ln(x2 + y 2 ),

5 Primitiva funktioner i flerdim 4 (11) 3 Integration av differentialformer Användbarheten av differentialformer beror till stor del på att de kan integreras längs kurvor. Betrakta en differentialform ω(x, y) = a(x, y)dx + b(xy)dy och ett kurvstycke = {c(t) = (x(t), y(t)); a t b}. Värdet av differentialformen i en punkt c(t) på kurvan ges då av ω(c(t))[c (t)] = a(c(t))dx(t) + b(c(t))dy(t) = (a(c(t))x (t) + b(c(t))y (t))dt. Om vi som tidigare inför vektorfältet u(x, y) = (a(x, y), b(x, y)) kan detta skrivas som en skalärprodukt ω(c(t))[c (t)] = u(c(t)) c (t) dt Ytterligare en omskrivning använder att T (c(t)) = c (t) c (t) är en enhetstangent 2 till kurvan i rörelsens riktning. Det följer att ω(c(t)) = u(c(t)) T (c(t)) c (t) dt. Men ds = c (t) dt är bågelementet på, så längs kurvan har vi att ω(x, y) = (u(x, y) T (x, y))ds. (Detta uttryck har endast mening på kurvan, eftersom både T och ds är relaterade till denna.) Vi kan nu definiera ω = (u T )ds. Här måste vara en orienterad kurva, d.v.s vi måste ha en specificerad genomloppsriktning. Integralen i högerledet måste nämligen känna till inte bara punktmängden utan även vilken enhetstangent som ska väljas i varje punkt på kurvan. En integral av en differentialform längs en orienterad kurva kallas en kurvintegral. Vilket värde den får är oberoende av vilken parametrisering vi väljer av kurvan, så länge som den respekterar genomloppsriktningen. Om vi å andra sidan ändrar genomloppsriktningen ändrar vi bara tecknet på kurvintegralen. Vi betecknar med den orienterade kurvan genomlöpt i motsatt riktning. Vi har då alltså att ω ω = ω. Exempel 6 Vi ska beräkna kurvintegralen (xydx + (x 2 + y 2 )dy),

6 Primitiva funktioner i flerdim 5 (11) där är den del av enhetscirkeln som ligger i första kvadranten, genomlöpt moturs (se figur nedan). För att bestämma integralen tar vi som parametrisering av enhetscirkeln funktionen c(t) = (cos t, sin t), t π. Vi får då att integralen är lika med 2 π 2 (cos t sin t)d(cos t) + (cos 2 t + sin 2 t)d(sin t)) = π 2 ( cos t sin 2 t + cos t)dt = 2 3. Vi kan också integrera differentialformer längs styckvis C 1 kurvor. Sådana definierades nämligen som sammanfogning av kurvstycken, och integralen längs kurvan blir summan av integralerna längs kurvstyckena. Exempel 7 Betrakta åter differentialformen i föregående exempel, men låt nu bestå av två kurstycken, nämligen den räta linjen 1 från (1, ) till (, ) och den räta linjen 2 från (, ) till (, 1). Integralen är summan av integralerna på de två kurvstyckena och vi kan notera att dy = i den första integralen (eftersom y inte ändrar sig när vi rör oss längs det kurvstycket) och dx = i den andra (av motsvarande skäl). Det vi ska räkna ut är därför xydx + 1 (x 2 + y 2 )dy. 2 y 2 Kurvstyckena kan i sin tur parametriseras som (t.ex.) 1 = {(1 t, ); t 1}, 2 = {(, t); t 1} 1 x och vi får då att integralerna ovan blir 1 (1 t) ( 1)dt + 1 ( 2 + t 2 )dt = 1 3 Anmärkning Eftersom y = på 1 och x = på 2 kunde vi ha förenklat från början: xydx + 1 (x 2 + y 2 )dy = 2 y 2 dy = 2 1 y 2 dy = 1 3. Observera också att trots att kurvorna i de två exemplen hade samma ändpunkter, blev kurvintegralernas värden olika. Detta ska vi titta närmare på nedan. 4 En kurvintegral kan beskriva arbetet i ett kraftfält Åter till vektorfältet u(x, y) = (a(x, y), b(x, y)) som dök upp ovan. I fysiken beskriver ett sådant ett kraftfält i planet. Det betyder att en partikel i punkten (x, y) påverkas av kraften u(x, y) och den fråga inom fysiken man är intresserad av är vilket arbete som uträttas av fältet då en partikel förs längs ett kurvstycke i kraftfältet u.

7 Primitiva funktioner i flerdim 6 (11) Om vi rör oss längs en ìnfinitesimal bit av kurvan som går i riktningen T (enhetsvektor) en sträcka ds, så ges arbetet som utförs av uttrycket da = (u T )ds, eftersom detta är kraftens storlek i rörelsens riktning gånger sträckan. För att få det totala arbetet ska vi alltså summera sådana små bitar: A = da = (u T )ds = ω. Med andra ord En differentialform kan uppfattas som det infinitesimala arbetet som uträttas i ett kraftfält. Det totala arbetet längs en kurva får vi genom att integrera differentialformen längs denna. Exempel 8 Låt u(x, y) = (3xy, y 2 ) vara ett kraftfält i planet. Vi ska bestämma det arbete som uträttas av fältet då en partikel transporteras från origo till punkten (1, 2) längs parabeln y = 2x 2. Enligt diskussionen ovan ges detta arbete av A = 3xydx y 2 dy, där är kurvstycket i uppgiften. För att beräkna arbetet använder vi parametriseringen r(t) = (t, 2t 2 ), t 1 som genomlöper i rätt riktning om vi låter t gå från till 1. Vi får då att A = 1 (3t 2t 2 dt (2t 2 ) 2 d(2t 2 )) = 1 (6t 3 16t 5 )dt = Kurvintegraler av exaka differentialformer I fysiken är s.k. konservativa kraftfält av speciellt intresse. Det arbete som uträttas då en partikel förflyttas längs en kurva mellan två punkter i ett sådant fält beror inte på valet av kurva utan bara på de två ändpunkterna. Vi ska nu se att sådana konservativa kraftfält svarar precis mot begreppet exakt differentialform. Följande formel ska inte komma som någon överraskning. Det är helt enkelt den vanliga insättningsformeln. Sats 2 Om ω = df i ett område och är en orienterad, styckvis C 1 kurva från p till p 1 som ligger i detta område, så gäller att ω = F (p 1 ) F (p ).

8 Primitiva funktioner i flerdim 7 (11) Bevis. Det räcker att visa påståendet om = {r(t); a t b} är ett kurvstycke. Då gäller att b ω = df (r(t)) = F (r(b)) F (r(a)) = F (p 1 ) F (p ). a Notera speciellt att om kurvan är sluten, dvs p 1 = p, så gäller för en exakt differentialform att ω =. En viktig konsekvens av satsen är att för en exakt differentialform gäller att kurvintegralen längs en väg mellan två punkter inte beror av val av väg, endast vilka slutpunkterna är. Detta påstående har också en omvändning. Sats 3 Låt ω vara en differentialform i ett öppet, bågvis sammanhängande område och antag att ω = för alla slutna, styckvis C1 -kurvor i detta område. Då gäller att ω är exakt. Villkoret ω = för alla slutna kurvor är ekvivalent med att påstå att integralen inte beror av vägen. Med det menar man i sin tur att om 1 och 2 är två kurvor som förbinder samma punkter p och p 1, så gäller att ω = ω p 1 Detta villkor är ju nämligen ekvivalent med att 1 2 ω =. p 1 Bevis (av satsen). Låt (x, y ) vara en given punkt i området. För en godtycklig annan punkt (x, y) i området kan vi då definiera en funktion genom F (x, y) = (x,y) (x,y ) Förutsättningen är ju nämligen att oavsett vilken väg vi väljer mellan de två punkterna ska vi få samma värde på integralen. För att se om denna är funktion är differentierbar bildar vi (x+h,y+k) F (x + h, y + k) F (x, y) = ω = där = {(x + th, y + tk); t 1} är det räta linjestycket mellan punkterna. Detta ligger i området om bara h, k är tillräckligt små eftersom området är öppet. Det följer att F (x + h, y + k) F (x, y) = 1 ω. (x,y) (a(x + th, y + tk)h + b(x + th, y + tk)k)dt = ω,

9 Primitiva funktioner i flerdim 8 (11) ( 1 a(x + th, y + tk)dt, När (h, k) (, ) gäller här att ( 1 a(x + th, y + tk)dt, 1 1 ) ( ) h b(x + th, y + tk)dt k ) b(x + th, y + tk)dt (a(x, y), b(x, y)). Alltså är F är differentierbar och dess differential ges av df = adx + bdy = ω. Sammanfattar vi dessa två satser lite lösare har vi alltså att En differentialform är exakt om och endast om dess integral är oberoende av vägen. Men det finns mer att hämta ur beviset. Antag att vår differentialform är definierad i ett område sådant att linjen L mellan origo och (x, y) ligger helt i området. Vad vi gjorde i beviset var då att givet differentialformen ω = adx + bdy definiera funktionen F (x, y) = L a(x, y)dx + b(x, y)dy = 1 (xa(xt, yt) + yb(xt, yt))dt. Vilket är då villkoret för att den ska vara sådan att df = ω? Vi har att och också att 1 (xa(xt, yt) + yb(xt, yt)) = a(xt, yt) + xt( 1 a)(xt, yt) + yt( 1 b)(xt, yt), vilket betyder att d dt (ta(xt, yt)) = a(xt, yt) + xt( 1a)(xt, yt) + yt( 1 a)(xt, yt), 1 (xa(xt, yt) + yb(xt, yt)) = d dt (ta(xt, yt)) + yt (( 1b)(xt, yt) ( 1 a)(xt, yt)). Om vi nu lägger till antagandet att ω är sluten, dvs att det gäller att 2 b(x, y) = 1 a(x, y) överallt, så försvinner den andra termen i högerledet. Om vi därför deriverar F med avseende på x genom att derivera under integraltecknet får vi På samma sätt ser vi att 1 F (x, y) = 2 F (x, y) = 1 1 Innan vi tolkar detta, låt oss ta ett exempel. d (ta(xt, yt))dt = a(x, y). dt d (tb(xt, yt))dt = b(x, y). dt

10 Primitiva funktioner i flerdim 9 (11) Exempel 9 För differentialformen ω = 2xy 3 dx + 3x 2 y 2 dy gäller att y (2xy3 ) = 6xy 2 = x (3x2 y 2 ) så den är alltså sluten. Den funktion F vi konstruerade ovan blir nu F (x, y) = 1 (x(2(xt)(yt) 3 ) + y((xt) 2 (yt) 2 ))dt = Detta är mycket riktigt en primitiv funktion, ty 1 d(x 2 y 3 ) = 2xy 2 dx + 3x 2 y 2 dy. (2x 2 y 3 + 3x 2 y 3 )t 4 dt = x 2 y 3. Den stora lärdomen av detta exempel är att det öppna området Ω är sådant att det för varje (x, y) Ω gäller att linjen mellan origo och punkten ligger helt i Ω (man säger att det är stjärnformat med avseende på origo), så gäller att varje sluten differentialform som är C 1 i området faktiskt också är exakt och en primitiv funktion kan konstrueras enligt receptet ovan. Detta påstående kallas Poincarés lemma. 6 Greens formel och enkelt sammanhängande områden Det finns ett samband mellan en kurvintegral längs en enkel, sluten, styckvis C 1 kurva och och en viss dubbelintegral. För att formulera den inför vi följande definition: randen D till ett öppet område i planet genomlöps i positiv riktning om man hela tiden har området D till vänster om sig. Sats 4 (Greens formel) Låt K vara ett kompakt område i planet med inre punkter och en styckvis C 1 rand. Då gäller att a(x, y)dx + b(x, y)dy = ( 1 b(x, y) 2 a(x, y))dxdy. Bevis. Vi ska inte ge ett bevis från grunden, utan visa att den är ekvivalent med Gauss sats i planet, som i sig är mer intuitiv och som bevisas i kapitlet Om strömningar och Gauss sats i planet. Låt U(x, y) = (a(x, y), b(x, y)) och låt T beteckna enhetstangenten i rörelsens riktning när vi genomlöper. Vi vet då att a(x, y)dx + b(x, y)dy = U(x, y) T (x, y)ds. Låt nu S vara den operation som roterar en vektor 9 medurs, dvs avbildningen 3 S(x, y) = (y, x). Det är en ortogonal avbildning, så vi har att U T = (SU) (ST ). Men ST = N, den utåtriktade normalen på, och SU(x, y) = (b(x, y), a(x, y)). Eftersom Gauss sats säger att u Nds = div u(x, y) dxdy, så ser vi att K a(x, y)dx + b(x, y)dy = U T ds = SU Nds = K K div(su)(x, y)dxdy = K D ( 1 b(x, y) 2 a(x, y))dxdy. Därmed har vi sett att Greens formel är ekvivalent med Gauss sats i planet. D

11 Primitiva funktioner i flerdim 1 (11) Anmärkning I tre dimensioner generaliseras emellertid Gauss och Greens satser till två olika satser. En konsekvens av Greens formel är att om ω är en sluten differentialform, vilket betyder precis att integranden i Greens formel 1 b 2 a är noll överallt, så gäller att ω = 1 2 för alla kurvor som kan skrivas =. Förutsättningen är naturligtvis att integranden är en kontinuerlig funktion i hela K. Om = 1 2 som i figuren till höger, så betyder det att ω = ω. 1 2 För en sluten differentialform kan vi därför alltid ersätta integrationen över en sluten kurva med integrationen över en annan sluten kurva så länge som 1 b 2 a är definierad i området mellan dem. Denna observation gör att i vissa typer av områden gäller att en sluten differentialform alltid är en exakt differentialform, nämligen de som uppfyller följande definition. Definition Ett öppet område Ω sägs vara enkelt sammanhängande om vare enkel, sluten, kurva i det kan kontinuerligt dras ihop till en punkt i Ω. Sats 5 I ett enkelt sammanhängande område är varje sluten differentialform exakt. Bevis. Integralen över en punkt är noll, så i ett enkelt sammanhängande område gäller att ω = för alla enkla slutna kurvor. Därmed är det sant för alla slutna kurvor (om den skär över sig, delar vi bara upp den i enkla delar), vilket sats 3 betyder det att differentialformen är exakt. Exempel 1 En cirkelskiva x 2 + y 2 < R 2 är enkelt sammanhängande, medan en punkterad cirkelskiva < x 2 + y 2 < R 2 inte är det. I det senare fallet gäller att en cirkel x 2 + y 2 = ɛ 2 kan dras ihop till en cirkel med mindre radie, men inte till en punkt i området, eftersom denna punkt måste vara origo och origo är borttaget från området. Anmärkning Enkelt uttryckt är ett öppet område i planet enkelt sammanhängande om det saknar hål. Varje del måste ju vara enkelt sammanhängande och kring ett hål kan man ta en punkterad omgivning, som inte är enkelt sammanhängande. I högre dimensioner blir det mer komplicerat. Vi ska nu avsluta denna diskussion med att diskutera ett inom fysiken viktigt exempel. Exempel 11 De två differentialformerna ω E = xdx + ydy x 2 + y 2, ω B = ydx + xdy x 2 + y 2 är båda slutna differentialformer (kontrollera!) i planet, från vilket vi måste ta bort origo (eftersom vi aldrig får dividera med noll). Deras definitionsområde är alltså inte enkelt sammanhängande. Däremot följer av Greens formel att för båda gäller att

12 Primitiva funktioner i flerdim 11 (11) medan ω = om (, ) / K ω = ω ɛ om (, ) K, där ɛ är cirkeln x 2 + y 2 = ɛ 2. Integralen över cirklarna är enkla att beräkna: 2π ω E = cos td(cos t) + sin td(sin t) = ɛ 2π ǫ =, y x och ɛ ω B = Det vi ser är alltså att 2π ( sin t)d(cos t) + cos td(sin t) = 2π 1 = 2π. a) För ω E gäller att varje sluten kurva i det punkterade planet har integralen noll, vilket betyder att integralen är oberoende av vägen och differentialformen alltså exakt, b) För ω B gäller att om vi integrerar längs en kurva som går ett varv runt origo moturs, så gäller att integralen blir 2π, vilket betyder att ω B inte kan vara exakt. Den är alltså ett exempel på en differentialform som är sluten men inte exakt. Anmärkning Dessa två differentialformer spelar stor roll i elektromagnetismen. ω E representerar det elektriska fältet kring en oändligt lång ledare, i ett plan vinkelrät mot ledaren, medan ω B representerar motsvarande magnetiska fält. Noteringar 1. Mer precist, funktionen G(x, y) = F (x, y) x 3 y xy 2 ska vara sådan att 1 G = överallt. Men det betyder precis att funktionen inte beror av x, och alltså är en funktion av endast y. 2. Kom ihåg att om c(t) är en parametrisering av en kurva kan vi aldrig ha att c (t) =. 3. Notera att (1, ) avbildas på (, 1).