BERÄKNING AV KURVINTEGRALER (LINJEINTEGRALER)

Transkript

1 BERÄKNING AV KURVINTEGRALER (LINJEINTEGRALER) Låt FF = (PP(xx, yy, z, QQ(xx, yy, z, RR(xx, yy, z) vara ett kontinuerligt vektorfält ( d v s en vektorfunktion) definierat i en öppen mängd Ω. Låt γ vara en orienterad CC 1 kurva given på parameter form xx = xx( yy = yy(t, zz = zz(t eller rr (t = (xx(t, yy(t, zz(t där tt B M (x(, y(, z( ) A en FF ddrr längs kurvan från punkten A ( som svarar mot t=tt AA ) till punkten B (som svarar mot t= ) beräknas enligt följande bb aa FF ddrr = FF (t rr (t = [PP(xx( yy(t zz(t ) xx (t + QQ(xx( yy(t zz(t ) yy (t + RR(xx( yy(t zz(t ) zz (t ]dddd Beteckningar: FF ddrr betecknas ofta som ( PPPPPP + QQQQQQ + RRRRRR). Om kurvan är en sluten kurva då betecknas ibland kurvintegralen FF ddrr som FF ddrr. Egenskaper: 11. FF (t rr (t dddd = FF (t rr (t dddd dddd. Om FF = (PP, QQ, RR) är ett kraftfält då är FF ddrr fältets arbete längs kurvan : Arbetet längs kurvan = FF ddrr 3. Om kurvan består av två ( orienterade) delar 1 och ( se bilden ) då gäller: g B g 1 C FF ddrr = FF ddrr 1 + FF ddrr A Sida 1 av 6

2 För att beräkna en kurvintegral måste vi oftast parametrisera en eller flera givna kurvor. Nedan har vi några viktiga exempel med parametrisering av en kurva eller en del av en kurva. E1. Rät linje genom två punkter A = x, y, z ) och B = x, y, z ). ( a a a ( b b b = ( xb xa, yb ya, zb za Linjens riktnings riktningsvektor är AB ) Linjens ekvation på parameterform är x, y, = ( x, y, z ) + t( x x, y y, z z ) där < t <. ( a a a b a b a b a E. Sträckan AB (dvs den del av ovanstående linje som ligger mellan A och B). Om vi om vi i ovanstående ekvation begränsar att t variera mellan och 1 får vi sträckans ekvationen Liknande ekvation gäller för sträckan AB (dvs den del av ovanstående linje som ligger mellan A och B) Alltså sträckan AB har parametrisering: ( x, y, = ( xa, ya, za ) + t( xb xa, yb ya, zb za ) där < t < 1. Punkten A svarar mot t= medan B svarar mot t=1. Alltså vi betraktar A som startpunkt och B som ändpunkt. Exempelvis har sträckan AB, där A=(1,1,1) och B (,4,6), följande ekvation ( x, y, = (1,1,1) + t(1, 3,5) där < t < 1. (Punkten A svarar mot t= medan B svarar mot t=1.) Om vi betraktar B som startpunkt och A som ändpunkt kan vi ange en ekvation för sträckan BA enligt följande ( x, y, = ( xb, yb, zb) + t( xa xb, ya yb, za zb) där < t < 1. där t= svarar mot punkten B svarar mot t= medan A svarar mot t=1. Exempelvis har sträckan BA, där A=(1,1,1) och B (,4,6), följande ekvation ( x, y, = (,4,6) + t( 1, 3, 5) där < t < 1. (Punkten B svarar mot t= medan A svarar mot t=1.) (Notera att kurvans orientering är viktig vid beräkning av kurvintegraler.) E3. Cirkeln på parameterform. En cirkel i xy-plane med radien r=a och centrum i origo, ges av följande ekvationer x = a cos y = asin t. t < Om (p,q) är cirkelns centrum då har vi följande ekvationer: x = + a cos y = q + asin t < Exempelvis, x = cos y = 8 + 4sin t beskriver en fjärde del av cirkeln (den del som ligger i första kvadranten) med radien r=4 och centrum i punkten(15,8). Sida av 6

3 E4. Ellipsen på parameterform. En ellips i xy-plane med halvaxlarna a och b, och centrum i origo, ges av följande ekvationer x = a cos y = bsin t. t < Om (p,q) är ellipsens centrum då har vi följande ekvationer: x = + a cos y = q + bsin t < Exempelvis, x = 3cos y = 5sin t beskriver en fjärde del av ellipsen (den del som ligger i andra kvadranten) med halvaxlarna a och b, och centrum i origo. E5. En explicit funktion y = f (x) kan enkelt anges på parameterform enligt följande x = t y = f ( ( eller x = x y = f (x) ) Exempelvis, den del av parabeln som definieras av enligt följande x = t y = 3 t 1 t 3. y = 3x, 1 x 3 kan parametriseras ============================================ Sida 3 av 6

4 ÖVNINGAR Uppgift 1. Låt F = ( y, x, z + y) sträckan AB, då A=(1,1,1) och B=(,,3) Sträckans ekvation: x = 1+ t y = 1+ t t 1 z = 1+ t där t= svarar mot punkten A och t=1 mot punkten B. Alltså r ( = ( och därför r ( = (1,1,). F = ( y, x, z + y) Härav: F( r F ( = ( ( = 8 + 1t och 1 1 FF ddrr = (8 + 1 ) = [ ] = 13 t dt t t. Beräkna kurvintegralen (linjeintegralen) FF ddrr Svar FF ddrr =13 Uppgift. Låt F = ( y, x) Beräkna kurvintegralen längs den kvartcirkelbåge av x + y = 1 i första kvadranten som börjar i A(1,) och slutar i B(,1) ( d v s moturs eller i positiv riktning). längs Lösning. x = cos y = sin t, t r ( = (cos sin F( = ( sin cos och r ( = ( sin cos Därför F( r ( = sin t + cos t = / / F( r ( dt = dt = Svar B(,1) O A(1,) Uppgift 3. Låt F = ( x + y, x) Beräkna kurvintegralen längs den kvartcirkelbåge av x + y = 1 som börjar i B(,1) och slutar i A(1,) ( d v s medurs eller i negativ riktning). Vi parametriserar cirkelns ekvation: B(,1) O Sida 4 av 6 A(1,)

5 x = cost y = sin t dx = sin tdt dy = costdt Lägg märke till att startpunkt A (,1) svarar mot t = / och ändpunkt B(1,) mot t =. FF ddrr = ( x + y) dx + xdy = = ( cost + sin ( sin dt + cost costdt γ / = ( cost sin t + cos t sin dt = ( sin t + cos dt / cos t sin t = + = 1 / Svar: FF ddrr =1 / Uppgift 4. Låt FF = ( 3yy, 3xx ) Beräkna kurvintegralen längs kurvan som består av två delar: Del 1 Den kvartcirkelbåge av x + y = 1 i första kvadranten som börjar i A(1,) och slutar i B(,1) Del. Sträkan BC från punkten B (,1) till C (-1,) B(,1) g C(-1,) O A(1,) FF ddrr = FF ddrr tt CC + FF ddrr Del 1: x = cos y = sin t, t där = och = r ( = (cos sin F( = ( 3sin 3cos och r ( = ( sin cos Därför F( r ( = 3sin t + 3cos t = 3 / / 3 F( r ( dt = 3dt = Del : Först parametriserar vi sträckan BC : Vi kan använda ekvationen för den linje som går genom B och C, Sida 5 av 6

6 yy = xx + 1. Vi tar xx = tt och därför yy = tt + 1 Altså r ( = ( t + 1) r ( = (1,1 ) F ( = ( 3( t + 1), 3 Därför F( r ( = 3t 3+ 3t = 3 Den här gången tt = svarar mot B och tt = 1 mot C, d v s vi har = och tt CC = tt CC FF ddrr = ( ) ( ) = 3 = 3 F t r t dt dt Slutligen FF ddrr = FF ddrr + FF ddrr tt CC = Svar: FF ddrr = + 3 Uppgift 5. Låt FF = ( 4yy, 4xx ). Beräkna kurvintegralen ett varv längs cirkeln xx +yy xx +yy xx + yy = 5 a) i positiv riktning ( moturs) b) i negativ riktning (medurs) Cirkelns ekvation på parameter form: xx = 5costt, yy = 5sintt, tt eller rr (t = (5cos, 5sintt ) Därför rr (t = ( 5sintt, 5costt ) FF (t = ( sintt 5, cccccccc 5 ) = ( 4sintt 5, 4cccccccc 5 FF (t rr (t = 4 sin tt + 4 cos tt = 4 a) längs positivt orienterade cirkeln ) FF ddrr = FF (t rr (tdddd = 4dddd = 8 b ) längs negativt orienterade cirkeln FF ddrr = FF (t rr (tdddd = 4dddd = 8 Sida 6 av 6