Tentamen MVE035 Flervariabelanalys F/TM

Transkript

1 entamen MVE35 Flervariabelanals F/M kl Examinator: Peter Hegart, Matematiska vetenskaper, Chalmers elefonvakt: Peter Hegart, telefon: alt. Ankn. 535, Anna Rehammar Hjälpmedel: Inga hjälpmedel, ej heller räknedosa För godkänt på tentan krävs 4% poäng, inklusive eventuella bonuspoäng från Maple-A uppgifterna och Matlab. Preliminärt så krävs 6% 3 poäng för betget 4 och 8% 4 poäng för betget 5. Dessa gränser kan minskas men inte höjas i efterhand. Lösningar läggs ut på kursens webbsida direkt efter tentan. entan rättas och bedöms anonmt. Resultatet meddelas senast den 1 september. Första granskningstillfälle meddelas på kurswebbsidan och via Ping Pong, efter detta sker granskning enligt överenskommelse med kursansvarig. Dessutom granskning alla vardagar utom onsdagar 11-13, MV:s studieexpedition. OB! Motivera dina svar väl. Det är i huvudsak tillvägagångssätten och motiveringarna som ger poäng, inte svaren. Uppgifterna 1. a Förklara varför ekvationen 1p x z 3xz... * definierar z som en funktion z zx, i en omgivning av punkten,, 4. b Bestäm ekvationen för tangentplanet till tan * i punkten,, 4. c Bestäm även z x i samma punkt. p.5p. En C -funktion fx, sägs vara harmonisk om f xx +f. Bevisa att om fx, är 4.5p harmonisk, så också är gx, fx, x. 3. a Utan att beräkna några derivator, motivera varför funktionen fx, xe x 4 1p antar både ett globalt maximum och ett globalt minimum. b Bestäm och klassificera alla kritiska punkter till f och bestäm f:s globala maximum och minimum värden. 3.5p Var god vänd!

2 4. Beräkna 1 dx x 1/3 x d 1 4. Obs! Du behöver inte motivera att integralen konvergerar. 3.5p 5. Bestäm flödet av vektorfältet F x i+ j+z k ut genom den solida tetrahedern {x,, z : x,, z, x+ +z 3} a dels direkt genom lämplig parametrisering av de olika delarna av randtan tetrahedern δ. b dels med hjälp av Gauss sats. 3p 3p 6. Låt F 3i xzj + x k. Beräkna flödet av fältet curlf ut genom halvsfären x + +z 4, z, a dels direkt, dvs via beräkning av curlf och parametrisering av tan b dels med hjälp av tokes sats. 3p 3p 7. Bevisa att för alla t >, 6p e txsinx x dx π arctant. Obs! Du behöver ej motivera eventuell tillämpning av satser från boken. 8. Låt f : D R vara en funktion av två variabler, definierad på en domän D R. a Definiera vad som menas med att f är en C 1 -funktion, resp. en differentierbar funktion. b Bevisa att om f är C 1 då är den differenterbar. p 5p 9. a Formulera Greens sats i planet. p b Bevisa satsen för en axelparallell rektangel. 5p Lcka till!

3 1. ätt Fx,, z : z + 3xz Lösningar Flervariabelanals F/M, 178 x och notera att tan * är nivåtan Fx,, z. a F z z+ 3x, så i punkten,, 4 gäller F z 5. Detta innebär, enligt Implicita Funktionssatsen, att * definierar z som en funktion av x och i en omgivning av denna punkt. b Om z fx, då gäller vidare, enligt Implicita Funktionssatsen, att å tangentplanet ges av f x F x 3z F z z + 3x f F F z,, 4 8 5, 3xz +x,, 4 z + 3x 4 5. z z f x x x +f 8x 4 +5z +1. c ammanfattningsvis har vi från b att och i punkten,, 4 att Nu har vi, enligt kvotregeln, F x 3z, F z z + 3x, 1 F x 8, F z 5, f x 8 5. z x x Vidare från 1 och gäller Alltså gäller z x x F x Fz x F z Fx x F z 5 Fx Fx F z x 8 Fz x 5 F x x 3 z x 3 f,, 4 x 1 5, F z x z x + 3 f x + 3 z x 5 1 5,, ätt u ux, x, v vx, x. å gx, fu, v. Enligt kedjeregeln har vi först g x g u u x +g v v x xf u +f v, 3 g g u u +g v v xf v f u. 4 Derivera 3 en gång till m.a.p. x med hjälp av både kedjeregeln och produktregeln: [ g xx x f u x +f u 1+ f ] v x [ fu u x u x + f u v fv +f u + v x u u x+ f ] v v v x [xf uu x+f uv +f u +f vu x+f vv ] f uvf vu fu +4x f uu +xf uv + f vv..

4 Om vi deriverar 4 igen m.a.p. så får vi, efter en liknande beräkning, Därför gäller g f u +4 f uu xf uv +x f vv. g xx +g 4x + f uu +f vv. Men f är harmonisk så f uu +f vv och därmed är också g xx +g, v.s.v. 3. a f är uppenbarligen definierad i hela planet och kontinuerlig. Pga den negativa exponentialen så är det också uppenbart att f då x,. lutligen antar f både positiva och negativa värden: f x, fx, fx,. å f måste anta både ett globalt max och ett globalt min, och dessa antas inom någon sluten skiva kring origo. b Vi har I en kritisk punkt gäller f x e x 4 [ +x x] e x 4 1 x, f e x 4 [x+x 4 3 ] e x 4 x f x 1 x eller x ± 1, f x1 4 4 x eller ± 1. Detta innebär att det finns fem kritiska punkter:,, ± 1, ± 1. För klassificiering så skulle vi kunna pssla med andra derivator men det behövs ej. Komihågfrånovanattf ärenuddafunktion,dvsf x, fx, fx, f x,. Det betder att f antar positiva värden i de 1:a och 3:e kvadranterna och negativa värden i de :a och 4:e kvadranterna. I snnerhet innebär detta att både positiva och negativa värden antas godtkligt nära origo, och eftersom f, så måste origo vara en sadelpunkt. lutligenhar vi att den globala max är f 1 att den globala min är f 1, 1 f f 1 1, 1 4. e 3, 1 1, 1 1 e 3 4, medan 4. Integrationsområdet ges på formen D {x, : x 1, x 3 x}. Det kan lika väl ges som D {x, : 1, 3 x }. å vi bter integrationsordning och räknar: 1 1 x 1/3 d dx x d 5. a etrahedern δ har fra sidor: 1 1 d dx d 1+ d 1 ln ln. 1 {x,, : x,, x+ 3}, {x,, z : x, z, x+z 3}, 3 {,, z :, z, +z 3}, 4 {x,, z : x,, z,x+ +z 3}. På 1 är ˆN,, 1 och F x,, så F ˆN och 1 F ˆNd. Liknande resonemang leder till att också F ˆNd 3 F ˆNd.

5 4 är en del av funktionstan z fx, 3 x. Notera att π 4 1, där π betecknar projektion på x-planet. Vi har ˆNd ± f x, f, 1dxd ±1, 1, 1dxd. dligen ges den utåtgående normalen av + tecknet. åledes är F ˆNd x + +z dxd 4 1 dx [x x 3 3 ] 3 x dx x d[x + +3 x ] x 3 x+ 3 3 x3 dx. Det underlättar att notera att, av smmetriskäl, 3 x3 dx x3 dx. Alltså, F ˆNd x 3 x+ 3 x3 dx 3x x3 dx 4 3 b Gauss sats säger att δ F ˆNd [x 3 x4 1 ] 3 FdV Vi har F x + + z. Låt oss för skojs skull beräkna trippelintegralen med hjälp av nivåtor: där Man har Vu FdV x+ +zdv Vu vol{x,, z : x,, z, x+ +z u}. z dz z d dz [ dx u z dz ] u z z uv udu, 5 u z d u z dz z dz u3 6. å Vu u3 6 och således är V u u. Insättning in i 5 ger u FdV u du u 3 du a Kalla halvsfären för. Notera att, pga dess smmetri, så är xd xzd zd, 6 och Vi beräknar först x d d z d. 7 i j k curlf F x z 3 xz x i[ x] j[x ]+k[ z 3] x, x, z 3.

6 På sfären, som har radie och centrum i origo, gäller ˆN ˆr r r 1 x,, z. å curlf ˆN 1 x 4x z 3z. När vi sedan integrerar över så ser vi, med hjälp av 6 och 7, att det enda som överleverär 1 3zd.Men ärendelavdenimplictafunktionstanfx,, z 4, där Fx,, z x + +z. å d F F z dxd x,, z x,, z z dxd dxd z z dxd. å 1 3zd 3 dxd 3 Areaπ. π Men projektionen på x-planet är just cirkelskivan x + 4, vars area är π 4π. Vi drar slutsatsen att curlf ˆNd 1π. b Randen till är cirkeln x + 4, z, alltså en cirkel av radie kring origo i x-planet. Kalla denna kurva för γ. Då γ genomlöps moturs så ligger till vänster. Den utåtgående normalen på har en positiv z-komponent. Allt detta innebär, enligt tokes sats, att curlf ˆNd F dr. Den naturliga parametriseringen av γ är rt cost, sint,, t π. Vi har då π F dr Frt r tdt π 1 γ 6sint,, 4cos t 4sin t sint, cost, dt π π sin 1 tdt 1 1 costdt 1π. 7. Jag stal det här från nätet!. e avsnitt 3 i följande dokument: kconrad/blurbs/analsis/diffunderint.pdf 8. a e Definitioner och 3 i Kapitel i kursboken. b e ats 3 i Kapitel i kursboken. 9. e ats 1 i Kapitel 9 i kursboken. Där bevisas satsen för något mer allmänt än en axelparallell rektangel, så det beviset är godtagbart. γ