Lösningsförslag till TMA043/MVE085

Transkript

1 MAEMAIK Hjälpmedel: bifogat formelblad, ordlistan från kurswebbsidan, ej räknedosa Chalmers tekniska högskola atum: 988 kl entamen elefonvakt: avid Heintz elefon: Lösningsförslag till MA4/MVE85 entan rättas och bedöms anonmt. kriv tentamenskoden tdligt på placeringlista och samtliga inlämnade papper. Fll i omslaget ordentligt. För godkänt på tentan krävs 5 poäng på tentamens första del godkäntdelen) Bonuspoäng från duggor 8/9 räknas med, men maximal poäng på denna del är. För godkänt på kursen skall också Matlabmomentet vara godkänt. För betg 4 eller 5 krävs dessutom resp. 4 poäng sammanlagt på tentamens två delar. Lösningar läggs ut på kursens webbsida första vardagen efter tentamensdagen. Resultat meddelas via Ladok ca. tre veckor efter tentamenstillfället. Granskning alla vardagar 9-, MV:s exp. el : Godkäntdelen. enna uppgift finns på separat blad på vilket lösningar och svar skall skrivas. Lösgör 4p) bladet och lämna in det som blad tillsammans med övriga lösningar. ill följande uppgifter skall fullständiga lösningar inlämnas. Endast svar ger inga poäng. Motivera och förklara så väl du kan.. a) kissa i x-planet på den kurva C som ges av parametriseringen p) { x = t + = t, t Lösning: b) Visa att vektorfältet F = x + )i + x + )j är konservativt i R och bestäm en potential till F Lösning/Bevis: Vektorfältet F är konservativt i R om det finns en potential till vektorfältet i R dvs. om det finns en reelvärd funktion φx, ) sådan attf = φ, för alla x, ) R. Vi söker alltså φ som uppfller; { φ x = x + φ = x + ekv.) ekv.) en första ekvationen ger φ = x + x + g), för någon funktion g av en variabel. Insättning i den andra ekvationen ger sedan; x + g ) = x + g ) = g) = +C, för någon konstant C. åledes är φx, ) = x +x+ en potential till F. var: φx, ) = x + x + är en potential till F

2 c) Beräkna det arbete C F dr som kraftfältet F i deluppgift b) utför på en partikel som rör sig längs kurvan i deluppgift a) från, ) till, ) p) Lösning: Eftersom vi i b) bestämt en potential till vektorfältet så beräknar vi enklast arbetet m.h.a. denna potential enl. F dr = φ, ) φ, ) = C = 7 Alternativt kan vi beräkna integralen F dr m.h.a. parametriseringen i a) enl. C F dr = x + )dx + x + )d = t t + t + )t ) dt = C C = 6t + 4t ) [ ] dt = t4 + t = + = 7 var: = CF dr 7. a) Vilken tp av andragradsta beskrivs av parametriseringen p) x = r cos θ = r sin θ, r, θ < π z = r Lösning: Observera att x + = r cos θ + r sin θ = r = z, så parametriseringen beskriver punkter på paraboloiden z = x + var: En paraboloid b) Avgör om hastighetsfältet F = x+)i+ x)j zk är virvelfritt och/eller källfritt i R p) Lösning: Ett hastighetsfält sägs vara virvelfritt om curl F =. I detta fall har vi; i j k curl F = F = x z x + x z = = z x z i x z x + z j + x x + x k = k }{{}}{{}}{{} = = = så F är inte virvelfritt. Vidare sägs ett vektorfält vara källfritt om div F =. I detta fall har vi; div F = F = x x + ) + x) + z z) = + = så F är källfritt i hela R var: F är källfritt men ej virvelfritt c) Beräkna flödet F ˆNd av hastighetsfältet i deluppgift b) nedåt dvs. i negativ z-led) genom den del av tan i deluppgift a) där r Lösning: Om vi betraktar tan i a) som funktionsta till funktionen fx, ) = x + så är; f ˆNd = ± x i + f ) j k = ±xi + j k)

3 Eftersom flödet nedåt genom tan söks, så väljer vi tecken så att normalvektorerna får negativ z-koordinat. Flödet beräknas sedan genom att integrera F ˆNd över parameterområdet : x + och övergå till polära koordinater; F ˆNd = x + )x + x) x + )) ) dxd = = 4x + ) ) dxd = 4 x + ) dxd = π 4r rdθdr = π [ r 4] = π Alternativ lösning : Med parametriseringen r = rr, θ) från a) så är; r r r θ = i j k cos θ sin θ r r sin θ r cos θ = r cos θi r sin θj + rk Eftersom normalvektorerna r r r θ är uppåtriktade t z koordinaten är positiv) och vi söker flödet nedåt genom tan i negativ z-led) så bter vi tecken och får att; ˆNd = r r r θ drdθ = r cos θi + r sin θj rk ) drdθ Flödet beräknas sedan genom att integrera F ˆNd över parameterområdet : r, θ < π; F ˆNd = r cos θ + r sin θ)r cos θ + r sin θ r cos θ)r sin θ + r ) drdθ = = π 4r dθdr = π [ r 4] = π Alternativ lösning : Uppgiften löses enklast m.h.a. Gauss sats. Cirkelskivan : x +, z = och utgör tillsammans begänsningstan till kroppen K : x + z, så enligt Gauss sats är F ˆNd = div Fdxddz F ˆNd K om vi väljer ˆN som de utåtriktade enhetsnormalerna. Eftersom hastighetsfältet är källfritt och ˆN = k på så får vi att; F ˆNd = z)d = d = arean av cirkelskivan = π var: F ˆNd = π 4. Finn och klassificera de kritiska punkterna till funktionen fx, ) = x e x + )/ { x Lösning: fx, ) = { )e x + )/ = x x )e x + )/ = ) = x ) = En lösning är uppenbarligen x = =. Om så följer det ur den första ekvationen att x = ±, vilket insatt i den andra ekvationen ger = ±. otalt får vi alltså de fem kritiska punkterna, ),, ),, ),, ) och, ). 6p) För att avgöra karaktären på de kritiska punkterna så undersöker vi Hessianen i respektive punkt. Hessianen till fx, ) är ] [ H x, ) = = e x + )/ x x x ) ) x x ) ) ] x x ) ) x x ) ) [ f x f x f x f

4 [ ] H, ) = är indefinit t deth, )) = <, så, ) är en sadelpunkt. [ ] H, ) = e är negativt definit t deth, )) = 4e > och f, ) = e <, så f har ett lokalt maximum i, ). Eftersom Hessianen i punkten, ) är samma som i punkten, ) så har f ett lokalt maximum även i [, ). ] H, ) = e är positivt definit t deth, )) = 4e > och f, ) = e >, så f har ett lokalt minimum i, ). Eftersom Hessianen i punkten, ) är samma som i punkten, ) så har f ett lokalt minimum även i, ). var: Funktionens kritiska punkter är, ),, ),, ),, ) och, ). Funktionen har en sadelpunkt i, ), lokalt maximum i, ) och, ), samt lokalt minimum i, ) och, ). el : Överbetgsdelen Endast om man ligger enstaka poäng från godkänt och presterat riktigt bra på någon av följande uppgifter kan poäng på denna del räknas in för att nå godkäntgränsen. Normalt krävs för poäng på uppgift att man redovisat en fullständig lösningsgång, som i princip lett, eller åtminstone skulle kunnat leda, till målet. 5. Visa att ekvationen cos x + z) = ln x + z implicit definierar en funktion z = fx, ) i 6p) en omgivning av punkten,,). Bestäm sedan alorpolnomet av första ordningen till fx, ) i punkten, ). Lösning/Bevis: ätt F x,, z) = cos x + z) ln x z. Vi har F x,, z) = sin x + z) och speciellt är F,, ) =, så det följer av Implicita funktionssatsen att ekvationen F x,, z) = implicit definierar en funktion z = fx, ) i en omgivning av punkten,,). Vidare kan vi beräkna de partiella derivatorna av f genom implicit derivering av ekvationen F x,, fx, )) =. eriverar vi båda led m.a.p. x så får vi Vi har F x,, fx, )) + F x,, fx, ))f x, ) = f x, ) = F x,, fx, )) F x,, fx, )) F x,, z) = sin x + z) x och speciellt är F,, ) =, så f, ) = F,,) F,,) = = Genom att derivera båda led i ekvationen F x,, fx, )) = m.a.p. så får vi på liknande sätt att; f x, ) = F x,, fx, )) F x,, fx, )) Vi har F x,, z) = sin x + z) ln x och speciellt är F,, ) =, så f, ) = F,,) F,,) =

5 alorpolnomet av första ordningen till fx, ) i punkten, ) är därför p x, ) = f, ) + f, )x ) + f, ) ) = x ) = x var: alorpolnomet är x 6. Avgör om följande ekvationsstem har någon lösning; 6p) { x + x + + = 4 x + = ips: undersök största och minsta värde av funktionen x + x + + under bivillkoret x + = ) Lösning: Låt oss undersöka största och minsta värde av funktionen fx, ) = x + x + + under bivillkoret gx, ) =, där gx, ) = x +. Eftersom bivillkoret beskriver en sluten kurva en cirkel) i R så kan vi direkt säga att det åtminstone finns ett största och ett minsta värde. essa värden antas i punkter x, ) för vilket det finns något λ sådan att x,, λ) är en kritisk punkt till Lagrangefunktionen Lx,, λ) = fx, ) + λgx, ). Vi söker därför lösningarna på följande ekvationssstem; x + = λx ekv.) + = λ ekv.) x + = ekv.) Om vi dels subtraherar andra ekvationen från den första, dels adderar de två ekvationerna så får vi x ) = λx ) x )x + ) = λx ) x + ) + 6 = λx + ) + 6 = λx + ) x + = x = + 6 = λ4x x = eller x + = x + ) = λ x + 6 = x + ) x + = Ekvationen x + = medför att både x och. åledes är x + ) x + ). Alltså har det andra av de två alternativa sstemen ovan ingen reell lösning. et första av dem har lösningarna x = = ±. et finns alltså två kritiska punkter till Lagrangefunktionen: x, ) = ±, ) då vi bortser från λ). Vi har f, ) = 4 och f, ) = 4, så f antar endast värden mellan 4 och 4, under bivillkoret gx, ) =. peciellt antar f aldrig värdet 4 under bivillkoret, vilket alltså innebär att ekvationssstemet i uppgiften saknar lösning. var: Ekvationssstemet saknar lösning 7. Visa att följande identiteter gäller för alla glatta vektorfält F = if + jf + kf och funktioner φx,, z) som vanligt är nablaoperatorn i x + j + k z och smbolerna och betecknar skalärprodukt resp. vektorprodukt). a) F) = Bevis: e ats 6..g, sid 859, med bevis på sid 86. b) φ) = Bevis: e ats 6..h, sid 859. Bevis finns ej i boken men verifieras enkelt; i j k φ) = x z φ φ φ = φ φ ) i φ }{{} φ ) j + φ }{{} φ ) k }{{} 6p)

6 Anonm kod Lösningsförslag till MA4/MVE sid.nummer Poäng. ill nedanstående uppgifter skall korta lösningar redovisas, samt svar anges, på anvisad plats endast lösningar och svar på detta blad, och på anvisad plats, beaktas). a) Bestäm gradienten till funktionen fx, ) = x i punkten p =, 5). Bestäm också riktningsderivatan av funktionen f i punkten p och i riktningen v = 5 i 4 5 j. Lösning: Vi har fx, ) = f x, )i + f x, )j = i + xj och speciellt är f, 5) = 5i + j. Vidare har vi att v f5, ) = f5, ) v = 5i + j) 5 i 4 5 j) = = var: Gradienten av f i p är 5i + j och riktningsderivatan i riktningen v är b) Uttrck fx +, x) och fx +, x) i de partiella derivatorna av f x x Lösning: ätt ux, ) = x + och vx, ) = x. Kedjeregeln ger att; x fu, v) = f u, v) u x + f u, v) v x = f u, v) + f u, v) och en derivering till ger ) fu, v) = fu, v) = x x x x f u, v) + f u, v)) = x f u, v)) + + x f u, v)) = f u, v) u x + f u, v) v x + f u, v) u x + f u, v) v x = 4f u, v)+f u, v)+f u, v)+ f u, v) = 4f u, v)+4f u, v)+ f u, v) var: x fx +, x) = f x +, x) + f x +, x) och x fx +, x) = 4f x +, x) + 4f x +, x) + f x +, x) c) Bestäm differentialen df av funktionen fx, ) = sin x ) i punkten, ) och använd differentialen för att beräkna f.,.9) approximativt. Lösning: df = f f dx + d = cos x )dx cos x )d. x peciellt i punkten, ) är df = dx d, och med dx =., d =. får vi att; f.,.9) = f, ) + f f, ) + df = +..) =. var: df = dx d och f.,.9). d) Beräkna den generaliserade dubbelintegralen dxd, där är triangelområdet x med hörn i, ),, ) och, ). Lösning: dxd = x Alternativt; dxd = x var: x x dxd = 4 5 ) dx d = x ), d dx = x [ x ] [ ] 4 d = / d = 5 5/ = 4 5 [ ] ) dx = x x x x/ dx = [ ] x x 5/ = = 5 5 = 4 5 e) Beräkna volmen av området Ω som beskrivas av olikheterna z x + och x + + z 4, genom att beräkna Ω dxddz med hjälp av sfärisk substition. Lösning: färisk substition [ ] r = [ cos φ] π/4 [θ] π var: Volmen är 6π x = r sin φ cos θ = r sin φ sin θ z = r cos φ = 6π ) ger att; dxddz = Ω ) π/4 π r sin φ dθdφdr = p)