Tentamen TMA044 Flervariabelanalys E2

Transkript

1 Tentamen TMA44 Flervariabelanalys E 5-- kl Examinator: Peter Hegarty, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Gustav Kettil, telefon: Hjälpmedel: bifogat formelblad, ordlistan från kurswebbsidan, ej räknedosa För godkänt på tentan krävs antingen 5 poäng på godkäntdelens två delar sammanlagt, eller att båda delarna är godkända var för sig. För godkänt på del krävs minst poäng, för godkänt på del krävs 3 poäng. Erhållen poäng på någon av delarna får ersätta poäng på motsvarande del på senare tentamen tills kursen ges nästa läsår. För att få slutbetyg på kursen skall också Matlabmomentet vara godkänt. För betyg 4 eller 5 krävs dessutom 33 resp. 4 poäng sammanlagt på tentamens alla delar, inklusive eventuella bonuspoäng från kryssuppgifterna. Lösningar läggs ut på kursens webbsida första vardagen efter tentamensdagen. Tentan rättas och bedöms anonymt. Resultat meddelas via Ladok ca. tre veckor efter tentamenstillfället. Första granskningstillfälle meddelas på kurswebbsidan, efter detta sker granskning alla vardagar 9-3, MV:s exp. Godkäntdelen, del Uppgift och se sidor 5-6 Godkäntdelen, del Uppgift 3, 4 och 5 se sidor 7-9 Överbetygsdelen Endast om man ligger enstaka poäng från godkänt och presterat riktigt bra på någon av följande uppgifter kan poäng på denna del räknas in för att nå godkäntgränsen. Normalt krävs för poäng på uppgift att man redovisat en fullständig lösningsgång, som i princip lett, eller åtminstone skulle kunnat leda, till målet. 6. Planet x + y + z = skär paraboloiden z = x + y i en... fyll i ordet!. Bestäm de punkter på skärningskurvan som ligger närmast respektivt längst ifrån origo. 5p Lösning: Skärningen ges av x + y + x + y = som efter kvadratkomplettering lyder x + + y + = 5. Detta är en cirkel av radie 5/ och centrum i,. Vi vill minimera funktionen fx, y, z = x + y + z under bivillkoren gx, y, z = x + y + z =, hx, y, z = z x y =. Lagranges metod innebär att vid extrempunkterna finns det konstanter λ, µ sådan att f x = λg x + µh x x = λ xµ, 3 f y = λg y + µh y y = λ yµ, 4 f z = λg z + µh z z = λ + µ. 5 Från 3 och 4 härleds att λ = x + µ = y + µ, som lämnar två möjligheter: Fall : µ = och λ =.

2 Insättning i 5 ger z = /, som motsäger, ty den senare tvingar z att vara ickenegativt. Fall : x = y. Insättning i ger z = x medan att insättning i ger z = x. Således måste x = x x + x 6 = x + 3x = x = 3 ellerx =. Om x = 3 så är y = x = 3 och z = x = 8, dvs punkten är 3, 3, 8. Om x = så är y = x = och z = x = 8, dvs punkten,, 8. Slutligen har vi f 3, 3, 8 = = 34, f,, 8 = = 7. Så 34 måste vara det största avståndet från origo på cirkeln och 7 det minsta. 7. a Bestäm volymen av det område som ligger innanför både x + y + z = z och z = x + y. b Använd Stokes sats för att beräkna C F dr, där F = x + 3y, cos y, z 3 och C är skärningskurvan mellan ytorna z = 4 x y och x +z = med y >, orienterad medurs sett från långt ut på den positiva y-axeln. Lösning a: Det är inte nödvändigt, men vill man se hur området ser ut kan man observera att x + y + z = z x + y + z =, så detta är en sfär av radie och mittpunkt i,,. Området skärs ut av denna sfär och 45-graders halvkonen z = x + y. Det är enklast att beskriva området i sfäriska koordinater. Man ser direkt att 4p 5p θ π, φ π/4. När det gäller ρ är det enklast att skriva den givna ekvationen för sfären direkt i sfäriska koordinater. På så sätt får vi x + y + z = z ρ = ρ cos φ ρ = cos φ. Så för ett givet φ går ρ från noll upp till cosφ. Volymen av området är således π π/4 cos φ dθ sinφdφ ρ dρ = 6π π/4 cos 3 φsin φ dφ. 3 Integralen beräknas m.h.a. substitutionen u = cosφ och blir Volymen är alltså 6π = π. b: Stokes sats medför att C / u 3 du = = 3 6. S F dr = F ˆN ds, 6 där S är den del av upp-och-ner paraboloiden z = fx, y = 4 x y som ligger över, och därmed begränsas av, den del av skärningskurvan med cylindern x + z = som tillhör y >. Först har vi i j k F = x = = 3k. 7 x + 3y cos y z 3

3 Näst har vi ˆN ds = ±f x, f y, dx dy = ± x, y, dx dy. 8 Eftersom vi går medurs längs C sett högerifrån så kommer paraboloiden att ligger till höger om färdriktningen, så ˆN ska peka in i paraboloiden och därmed neråt. Därför väljer vi plus tecknet i 8. Från 7 och 8 härleder vi sedan att Insättning i 6 ger att F ˆN =,, 3 x, y, = 3. C F dr = πs 3 dx dy = 3 AreaπS, 9 där πs är projektionen av S på xy-planet. Att ta reda på projektionen är lite klurigt. Först, eftersom skärningskurvan tillhör x + z = så är z. Sedan på paraboloiden har vi x + y = 4 z, så om z [, ] så kommer x + y [3, 5]. Dessutom är y >. Det hela innebär att πs är den övre halvan av annulus:en 3 x + y 5, så AreaS = π 5 π 3 = π. Insättning i 9 ger svaret 3π. 8. Visa att om F och G är virvelfria vektorfält från R 3 till R 3, då är fältet H = F G 4p källfritt. Lösning: Skriv F = F, F, F 3, G = G, G, G 3, H = H, H, H 3. F är virvelfritt så F =, som motsvarar de tre ekvationerna F = F 3, F 3 x = F, F = F x. På samma sätt för G har vi G = G 3, G 3 x = G, G = G x. Efterom H = F G så gäller H = F G 3 F 3 G, H = F 3 G F G 3, H 3 = F G F G. Per definition, H = H H x = H = H 3 = x + H + H 3 G 3 F x + G 3 G F 3 + G G F + G G H = F G 3. Från och produktregeln får vi G F 3 x + G F 3, x G 3 F + G F 3, G F + G F. F x F 3 F Efter omgruppering av termerna får vi sedan G3 + F F3 +G F x G F + G F 3 x G + F 3 G + x F + G 3 x F. 3 Från och ser vi att var och en av de sex termerna inom parantes är noll, som slutför beviset. Anmärkning: Det vi har faktiskt visat med 3 är ekvationen F G = F G G F.

4 Formelblad för TMA43 och MVE85, 3/4 Trigonometri. cosx + y = cosxcosy sinxsiny sinx + y = sinxcosy + cosxsiny cosxcosy = cosx y + cosx + y Integralkatalog x a dx = xa+ a + + C, a sin x dx = cos x + C cos dx = tanx + C x e x dx = e x + C x + a dx = a arctan x a + C, a a x dx = arcsin x a + C, a > x + a dx = ln x + x + a + C, a sinxsiny = cosx y cosx + y sinxcosy = sinx y + sinx + y tanx + y = tanx + tany tanxtany dx = ln x + C x cos x dx = sin x + C sin dx = cot x + C x a x a x dx = lna + C, < a f x dx = ln fx + C fx a x dx = x a x + a arcsin x + C, a > a x + a dx = x x + a + aln x + x + a + C Maclaurinutvecklingar e x = sinx = cos x = + x α = ln + x = arctan x = k= x k k! k x k k! k= k= k= k xk α k k= k= k! = + x + x! + x3 3! +... x k = + αx + k+ xk k k xk k = x x3 3! + x5 5! x7 7! +... = x! + x4 4! x6 6! +... αα x +..., x <,! = x x + x3 3 x4 +..., < x 4 = x x3 3 + x5 5 x7 +..., x 7 α k = αα...α k + kk... Övrigt Masscentrum x T,y T,z T för Ω ges av x T = ρx,y,z är densiteten. Ω xρx,y,zdxdydz Ω ρx,y,zdxdydz, analogt för y T,z T.

5 Anonym kod sid.nummer Poäng TMA44 Flervariabelanalys E 5-- Godkäntdelen: del. Till nedanstående uppgifter skall korta lösningar redovisas, samt svar anges, på anvisad plats endast lösningar och svar på detta blad, och på anvisad plats, beaktas. a Låt fx, y, z = 3x y + 4z. Bestäm ekvationen för tangentplanet till nivåytan fx, y, z = 6 i punkten,,. Bestäm även riktningsderivatan till f i denna punkt i riktningen u = 6 i j + k. Lösning: Tangentplanets ekvation i punkten x, y, z lyder 3p f x x, y y, z z =. 4 Vi har f = f x, f y, f z = 6x, y, 8z så i punkten,, är f = 6,, 8. Insättning i 4 ger 6,, 8 x, y, z =...3x y + 4z = 6. Notera sedan att u är en enhetsvektor. Så riktningsderivatan i riktningen u är f u = 6,, 8 6,, = = 4 6. b Bestäm Taylorpolynomet av grad i punkten, för funktionen fx, y = lnx + y + sinx y. Ange svaret på formen f + h, + k.... Lösning: Man beräknar i tur och ordning 3p f = lnx + y + sinx y, f x = x + y + cosx y, f y = cosx y, x + y f xx = x + y sinx y, f xy = x + y + sinx y, f yy = sinx y. x + y Med tanke på att cos = och sin = så har vi i punkten, att f = ln, f x = 3, f y =, f xx = f xy = f yy = 4. 5 Formeln för Taylorapproximationen av grad lyder fa + h, b + k f + hf x + kf y + h f xx + hkf xy + k f yy, där alla funktionerna beräknas i punkten a, b. Insättning av värdena i 5 ger slutligen f + h, + k ln + 3h k 8 h + k.

6 c Bestäm längden av kurvan rt = xti + ytj, t, där xt = t t, yt = t + t. Lösning: Längden ges av 3p = r t dt = x t + y t dt = t + t + dt = = t + dt. 6 Den sista integralen är en standardintegral som finns på formelbladet. Nämligen gäller att t + dt = t t + + ln t + t + = = + ln +. Insättning i 6 innebär att längden av kurvan är + ln +. Till följande uppgift skall fullständig lösning redovisas på separat skrivpapper. Motivera och förklara så väl du kan.. Låt fx, y = x+y x +y +. a Förklara varför funktionen f måste ha både ett globalt maximum och minimum i hela R. b Bestäm dessa globala extremvärden. p 4p Lösning a: Funktionen f är uppenbarligen definierad och kontinuerlig i hela planet. Dessutom ser man tydligt att fx, y då avståndet av x, y från origo går mot oändlighet. Därför kommer både ett globalt maximum och ett globalt minimum att antas inom någon skiva kring origo. b: De globala extremvärdena måste antas i kritiska punkter, så vi bestämmer dessa. Vi har f x = y x xy + x + y +, f y = x y xy + x + y +. 7 I en kritisk punkt är f x = f y =, som innebär att täljarna i 7 måste vara noll, alltså y x xy + = samt x y xy + =. Subtraherar vi den ena ekvationen från den andra får vi att y = x, som medför att y = ±x. Fall : y = x. Insättning ger x x x x + = x + =, som är osatisfierbar ty VL är alltid positivt. Fall : y = x. Insättning ger i stället x x x + = x = x = y = ±/. Sedan kontrollerar vi att f, =, f, =. Eftersom dessa är de enda två kritiska punkterna kan vi dra slutsatsen att är den globala maximum och att är den globala minimum.

7 Anonym kod sid.nummer Poäng TMA44 Flervariabelanalys E 5-- Godkäntdelen: del Till följande två uppgifter skall fullständiga lösningar redovisas på separata skrivpapper. Motivera och förklara så väl du kan. 3. a Beräkna arbetet som utförs av kraftfältet F = xe y, y först längs kurvan y = x från, till, och sedan tillbaka till, längs kurvan y = x i. genom att räkna ut kurvintegralerna direkt. 3p ii. genom att använda Greens sats. p Tips: xe x dx = x e x + C. b Ange en funktion fx, y sådan att fältet G = F + fx, yj är konservativt. Lösning a: Låt C vara sträckan längs y = x från, till, och C vara sträckan tillbaka längs y = x. Kurvintegralen är F dr + F dr = F dx + F dy + F dx + F dy, C C C C där F = xe y och F = y. Först tar vi C. Längs denna är y = x så dy = x dx och x går från till. Således är F dr = xe x dx + x 4 x dx = C [ ] = xe x + x 5 dx = ex + x6 = = e 3 6. Längs C är y = x så dy = dx och x går från ner till. Således är C F dr = xe x + x dx = Sammanlagt är alltså kurvintegralen e = e 3. ] [x e x + x3 = = b: Greens sats säger att kurvintegralen är lika med F D x F dx dy = xe y dx dy, D där D är det område som inneslutas av y = x och y = x. Alltså får vi dubbelintegralen = [ ex x e x ] x x dx = = x e y dy = e + xe x xe x dx = + = e 3. c: G = F = xe y och G = F + f = y + f. Fältet är konservaitvt om och endast om G x = G f x = xey fx, y = xe y dx = x e y + Cy, där Cy är en valfri deriverbar funktion av endast y. p 4. a Beräkna arean av den del av ytan z = 4 x y som ligger ovanför xy-planet. p b Beräkna flödet av vektorfältet F = xy, e x z, x + z upp genom den delen av ytan. 4p

8 Lösning a: Ytan är en funktionsyta z = fx, y = 4 x y så ds = f x + f y + dx dy = x + y + dx dy = 4x + y + dx dy. Vi integrerar sedan över ytans projektion πs på xy-planet, som är just insidan av cirkeln z = = 4 x y, dvs skivan x +y 4. Det är lämpligt att byta till polära koordinater och så får vi S ds = πs π f x + f y + dx dy = dθ r 4r + dr. r-integralen beräknas med hjälp av substitutionen u = 4r + och det slutgiltiga svaret är π 6 73/. b: Låt S vara locket, dvs skivan x + y 4, z =. Gauss sats säger att F N ds = FdV, 8 S S där D är det inneslutna området. Vi har F = F x + F + F 3 = y + + = y +. Av symmetriskäl kommer integralen av y över D att vara noll. Så HL i 8 är just volymen av D. Området parametriseras enklast med cylindriska koordinater och vi får VolD = π dθ 4 x y r dr dz = π D r4 r dr = = 8π. Sedan måste vi enligt 8 subtrahera flödesintegralen över locket. Där är N =,, och z = så vi får F N ds = x dx dy = S x +y 4 π π = r cos θ r dr dθ = cos θ dθ r 3 dr = = 4π. Insättning i 8 ger att S F N ds = 8π 4π = π.

9 5. Till nedanstående uppgifter skall korta lösningar redovisas, samt svar anges, på anvisad plats endast lösningar och svar på detta blad, och på anvisad plats, beaktas. a Beräkna D x =. e x x da över området D i planet som begränsas av y =, y = x och Lösning: Man måste integrera med avseende på y först. Således får vi p e x x x dx dy = xe x dx = [ ] ex = e. b Bestäm masscentrumet för den solida halvkonen z x + y, z, om densiteten i punkten x, y, z ges av ρx, y, z = z. Tips: Massan av halvkonen är π/4, detta kan man ta som givet. Lösning: Av symmetriskäl så ligger masscentrumet på z-axeln. Dess z-koordinat är zρ dv z m z = dv = ρ dv Massan = 4 z dv. 9 π 3p Integralen beräknas enklast i cylindriska koordinater. Vi får π z z dv = dθ z dz r dr = = π z 4 dz = = π 5. Insättning i 9 ger m z = 4/5, så masscentrumet ligger i punkten,, 4 5.