MVE500, TKSAM-2. (c) a 1 = 1, a n+1 = 4 a n för n 1

Transkript

1 MATEMATIK Hjälpmedel: inga Chalmers tekniska högskola Datum: 6-- kl Tentamen MVE5, TKSAM- Telefonvakt: Olof Giselsson Tentan rättas och bedöms anonymt. Skriv tentamenskoden tydligt på placeringlista och samtliga inlämnade papper. Fyll i omslaget ordentligt. För godkänt krävs 5 poäng på del. För betyget 4 krävs 35 poäng totalt, varav minst 6 poäng på del. För betyget 5 krävs 45 poäng totalt, varav minst 8 poäng på del. Varje godkänd dugga ger bonuspoäng till del. ösningar läggs ut på kursens hemsida. Resultat meddelas via adok. Del (godkäntnivå). Avgör om talföljderna (sekvenserna) a, a, a 3,... är konvergenta eller divergenta (fullstän- (6p) dig motivering krävs). (a) a n = n +3n (b) a n = ( )n n 3 Svar: (a) Konvergent (b) Divergent (c) Divergent n 3 + n + (c) a =, a n+ = 4 a n för n. (a) Hitta Taylorserien till funktionen f(x) = x i punkten x = 6. (b) Bestäm konvergensradien för Taylorserien ovan. Svar: (a) Gör variabelsubstitutionen x = 6 + 6y. Då gäller f(x) = x = 4 + y = 4 n= ( ) / y n = 4 n n= ( ) / (x 6) n n 6 n (b) Villkoret är y < x 6 < 6. Konvergensradien är alltså (a) Bestäm längden av kurvan r(t) = cos t, sin t, ln cos t för t π/4. (b) Bestäm krökningen av kurvan r(t) = e t cos t, e t sin t, t i punkten (,, ). Svar: (a) r (t) = sin t, cos t, tan t. Alltså, längden är π/4 + tan t dt = ln(3 + ). (b) r (t) = cos t, sin t, / cos t. (,, ) svarar mot t =. Krökningen ges därmed av κ() = r () r () r () 3 =,,,, = 4. åt f(x, y) = x 3 y. (a) Skissa nivåkurvor till f för x, y. (b) Bestäm tangentplanet till f i punkten (/, ).

2 Svar: (a) (b) f x (/, ) = 3/4 och f y (/, ) =. Dessutom f(/, ) = /8. Planet ges därmed av z = 3/4(x /) y + /8 5. Hitta och karaktärisera de stationära punkterna till f(x, y) = x 3 xy + 8y 3. (5p) Svar: Det finns två stationära punkter: (, ) och (, ). Den första är en sadelpunkt. Den andra är ett lokalt minimum. 6. ös värmeledningsekvationen (6p) u t = u xx x, t u(, t) = u(, t) = u(x, ) = sin πx + sin 3πx Svar: Detta är en homogen värmeledningsekvation med homogena Dirichlet-villkor. Variabelseparationsansatsen ger att lösningen måste vara på formen u(x, t) = b n e n π t sin nπx. Begynnelsevillkoren ger därmed direkt lösningen u(x, t) = e πt sin πx + e 9πt sin 3πx. Var god vänd blad!

3 Del (överbetygsnivå) 7. En rektangulär låda utan lock är konstruerad av 4 m plywood. (a) Vilken är den största möjliga volymen av lådan? (b) Vilka dimensioner (längd, höjd, bredd) har lådan med den största möjliga volymen? Svar: Se snarlikt exempel i kursboken. 8. Du ska bestiga ett berg vars höjd i meter beskrivs av h(x, y) =.5x.y. Du står i punkten med x, y koordinaterna (6, 4). Positiv x-axel pekar åt öster. Positiv y-axel pekar åt norr. (a) Om du börjar gå i sydlig riktning, går du då uppåt eller nedåt? Vad är lutningen i den riktningen? (b) Om du börjar gå i nordvästlig riktning, går du då uppåt eller nedåt? Vad är lutningen i den riktningen? (c) I vilken riktning är lutningen som störst? Svar: (a) Uppåt, lutningen är.8 (b) Nedåt, lutningen är.8 (c) Riktningen av gradienten i punkten (6, 4), vilken ges av.6,.8, alltså ungefär syd-syd-väst. 9. En stav av längd (enhet m) har en initial temperaturfördelningen (i C) som ges av (5p) ( x), för x. Formulera och lös värmeledningsekvationen för staven, om temperaturen hålls konstant C vid x = och C vid x =. Värmeledningskoefficienten för staven är (enhet m /s). Svar: Se snarlikt exempel i Fourieranalyskompendiet. ycka till! Klas M

4 Formelblad MVE5, HT-6 Trigonometri cos(x + y) = cos x cos y sin x sin y sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y tan(x + y) = Integraler x a sin x cos x e x tan x + tan y tan x tan y = xa+ a + + C, = cos x + C = tan x + C = e x + C a x + a = a arctan x a + C, a a x = arcsin x a + C, a > a + x = ln x + x + a + C, a cos x cos y = (cos(x y) + cos(x + y)) sin x sin y = (cos(x y) cos(x + y)) sin x cos y = (sin(x y) + sin(x + y)) x = ln x + C cos x = sin x + C sin x = cot x + C a x = ax ln a + C f (x) f(x) = ln f(x) + C a x = x a x + a arcsin x + C, a > a a + x = ( x a + x + a ln x + ) x + a + C Maclaurinutvecklingar e x = sin x = cos x = ( + x) α = ln( + x) = arctan x = k= x k k! ( ) k x k (k )! k= k= k= ( ) k xk = + x + x! + x3 3! +... = x x3 3! + x5 5! x7 7! +... = x! + x4 4! x6 6! +... (k)! ( ) α x k α(α ) = + αx x <, k! ( ) k= ( ) k= k xk k k xk k = x x + x3 3 x < x = x x3 3 + x5 5 x x ( ) α α(α )... (α k + ) = k k(k )...

5 Fourierserier Jämn funktion f(x) = f( x) Udda funktion f(x) = f( x) Fourierserien av en -periodisk funktion f(x) ges av a + där Fourierkoefficienterna ges av a n = a n cos nπx + b n sin nπx f(x) cos nπx b n = f(x) sin nπx Den komplex Fourierserien av en -periodisk funktion f(x) ges av n= c n e inπx/ där de komplexa Fourierkoefficienterna ges av c n = f(x)e inπx/ Sinusserien av f(x) definierad på intervallet x [, ] ges av b n sin nπx, b n = f(x) sin nπx Cosinusserien av f(x) definierad på intervallet x [, ] ges av a + a n cos nπx, a n = f(x) cos nπx Parsevals identitet för en -periodisk funktion f(x) f(x) = a + a n + b n