Tentamensskrivning, Kompletteringskurs i matematik 5B1114. Onsdagen den 18 december 2002, kl

Transkript

1 Institutionen för Matematik TH irsti Mattila Tentamensskrivning, ompletteringskurs i matematik 5B4 Onsdagen den 8 december, kl 8.-. Preliminära betgsgränser för, 4 och 5 är 8, 4 och 54 poäng. Inga hjälpmedel är tillåtna Lös ekvationen z 8i)z 6i =.. Bestäm ekvationen för tangentplanet till tan z = x i punkten,, ).. Bestäm alla vektorer v med längden ett som uppfller följande villkoret: Riktningsderivatan till funktionen fx, ) = x + x i punkten, ) i riktningen v är =. 4. Beräkna integralen dxd där D är området mellan kurvorna D = x, = + x och linjen =. 5. Bestäm egenvärden och egenvektorer till matriserna A = och B =. 6. Bestäm det största och det minsta värdet av funktionen fx, ) = x 4x i området x Antag att funktionen f : R R har kontinuerliga partiella derivator och D f, ) =, D f, ) =. Låt hx, ) = fln x, x + ). Bestäm grad h, ). 5p) v.g. vänd

2 8. Beräkna volmen av den kropp som begränsas av paraboloiden z = x + och konen z = x +. 6p) 9. Vektorfältet Fx, ) = x +, x 6 ) är konservativt i halvplanet {x, ) : > }. a) Bestäm en potentialfunktion till F. b) Beräkna linjeintegralen x + ) dx + x 6 ) d där C C är kurvan = e x från, ) till, e). p). Beräkna tintegralen F Nd, där Fx,, z) = xz, z, z ), är sfären x + + z =, och N är den utåtriktade enhetsnormalen på. 6p). Beräkna linjeintegralen x + ) dx + x + ) d längs följande väg: parabeln = x från punkten, ) till punkten, ) och sedan tillbaka till punkten, ) längs en rät linje. 6p). Antag att A = a a där a är en konstant, a. Bestäm en diagonalmatris D och en ortogonalmatris P så att A = P DP t. 6p). Beräkna integralen xz dx d dz där är tetraedern som bestäms av olikheterna x,, z, x + + z. 7p)

3 Lösningar till tentamensskrivningen den 8 december ompletteringskurs i Matematik, 5B4. Genom kvadratkomplettering får vi z 4i)) = 4i) +6i. Låt z 4i) = a+bi. Ekvationen blir a+bi) = 5+8i dvs. a b = 5 och ab = 8. ubstitutionen b = 4 i första ekvationen ger a a4 + 5a 6 =. Lösningarna är a = ± och b = 4 = ±4. var: z = och z = 8i. a. De partiella derivatorna till fx, ) = är D x fx, ) = och x D fx, ) =. En normal till tan i punkten,, ) är,, ). x Tangentplanets ekvation är x ) + ) + z = dvs. x z 6 =.. Gradienten till fx, ) = x + x är gradfx, ) = x +, x ), och gradf, ) =, ). Låt v = α, β) där α +β =. Riktningsderivatan D v f, ) = gradf, ) v =, ) α, β) = α β. För att D v f, ) skulle vara =, måste α = β. Eftersom α + β =, får vi att β = dvs. β = ±. var: v = ±, ). 4. I x-riktningen ligger området D mellan kurvorna x = och x =. Eftersom, får vi D dxd = = dx) = )d = ) )) d 5. Det karakteristiska polnomet till A är deta λi) = 5 λ) λ) = λ 7λ + 6. Egenvärden är 6 och. Egenvektorerna är lösningar rill ) 4 ekvationen A λi)x =. För λ = 6 är koefficientmatrisen 4 Egenvektorerna är t4, ), t R, t. Egenvektorerna som motsvarar egenvärdet är t, ), t R, t.

4 detb λi) = λ ). Matrisen har ett egenvärde: λ =. Motsvarande egenvektorerna är t, ), t R, t. 6. ) I de kritiska punkterna är D fx, ) = x 4 = och D fx, ) = 8x =. Origo är den enda kritiska punkten och f, ) =. ) På ellipsen x +4 = är fx, ) = gx) = x x x ). Derivatan g x) = x + x = för < x < ) om x =, f, ± ) = 5. 7 Intervallets ändpunkter är ± och f±, ) =. Från ) och ) följer att största värdet av f är och minsta värdet Låt hx, ) = fgx, )), där Gx, ) = ln x, x + ). Jacobimatrisen av G är J G = ) x. Enligt kedjeregeln D h, ) D h, ) ) = J f G, ))J G, )) = D f, ) D f, ) ) = ) = ). var: grad h, ) =, ). 8. Ytornas skärningskurvans projektion i x -planet är x + =. Eftersom tan z = x + är ovanför tan z = x + är volmen V = x + x + )) dx d. I polära koordinater V = π x + r r )r dr) dϕ = π[ r r4 4 ] = π a) Om F = grad u, så är D u = x +. Genom integration får vi ux, ) = x +x+g). Då är D u = x +g ) = x 6. Det följer att g ) = 6. Eftersom funktionen ux, ) = x + x ln uppfller villkoret F = grad u, så är F konservativt och u är en potentialfunktion till F. b) x + ) dx + x 6 ) d = u, e) u, ) = e + e C + = e.. Med hjälp av divergenssatsen får vi F N d = z dxddz. 4

5 där är enhetsklotet. Med sfäriska koordinater π π F N d = r 4 cos θ sin θdθdϕdr = 4π 5.. Enligt Green s formel är integralen I = D A F D F )dxd = x )dxd där A är området innanför den slutna integrationsvägen. A Vi får I = x )dx)d = x ) x x )dx = = x x )dx x )dx där integranden är udda resp. jämn. Integralen I = x )dx = 4.. Det karakteristiska polnomet är deta λi) = λ) a = λ λ + a. Egenvärden är ± a. Egenvektorerna är lösningar till ) a a ekvationen A λi)x =. För λ = + a är koefficientmatrisen a a som är radekvivalent med, Lösningarna är X = t, t R. För λ = a är lösningarna X = t, t R. Egenvektorerna och är ortogonala eftersom A är en smmetrisk matris). A kan diagonaliseras med matrisen. Matrisen P = är ortogonal + a och P AP = D =. Då är A = P DP a = P DP t. Eftersom P är ortogonal.. Låt T vara triangeln: x,, x +. xz dz d dx = T = x x x ) d)dx = 6 = 6 x x) dx = 6 x xzdz) dx d = T x x ) dx d x[ x ) ] x =dx x x + x x 4 )dx =. 5