SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 26 maj, 2014

Transkript

1 SF1626 Flervariabelanals Tentamen Måndagen den 26 maj, 214 Skrivtid: 14:-19: Tillåtna hjälpmedel: inga Eaminator: Mattias Dahl Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maimalt fra poäng. Del A på tentamen utgörs av de tre första uppgifterna. Till antalet erhållna poäng från del A adderas dina bonuspoäng. Poängsumman på del A kan dock som högst bli 12 poäng. Bonuspoängen beräknas automatiskt. Antal bonuspoäng framgår från resultatsidan. De tre följande uppgifterna utgör del B och de tre sista uppgifterna del C, som främst är till för de högre betgen. Betgsgränserna vid tentamen kommer att ges av Betg A B C D E F Total poäng varav från del C 6 3 För full poäng på en uppgift krävs att lösningen är väl presenterad och lätt att följa. Det innebär speciellt att införda beteckningar ska definieras, att den logiska strukturen tdligt beskrivs i ord eller smboler och att resonemangen är väl motiverade och tdligt förklarade. Lösningar som allvarligt brister i dessa avseenden bedöms med högst två poäng. Var god vänd!

2 2 SF1626 Flervariabelanals Tentamen DEL A 1. Skissera definitionsmängden till funktionen f (,) 2 ln(2 ). Är definitionsmängden kompakt? (4 p) 2. Funktionen f (,) är definierad i hela -planet. a) Bestäm alla stationära punkter till f. (2 p) b) Avgör de stationära punkternas karaktär. (2 p) 3. Beräkna kurvintegralen ( 2)d + 2 d γ där γ är kvartscirkelbågen uppritad i figuren. (4 p) (1, 1) γ (2, )

3 SF1626 Flervariabelanals Tentamen DEL B 4. Funktionen f (, ) är en kontinuerligt deriverbar funktion definierad i en omgivning av punkten (1,) i R 2. Om denna funktion vet vi att riktningsderivatan i (1,) längs -aeln i positiv riktning är lika med 5, riktningsderivatan i (1,) längs linjen 1 i riktning mot positiva är lika med 2. a) Bestäm gradienten till f (,) i punkten (1,). (2 p) b) Bestäm riktningsderivatan av f (,) i punkten (1,) i riktning mot punkten (3, 1). (2 p) 5. Betrakta funktionen f (,) 3 4 i området som bestäms av olikheten a) Förklara hur man vet att f antar ett största och ett minsta värde i området. (1 p) b) Bestäm det största och det minsta värdet för f i området. (3 p) 6. Ett torn K har formen av en massiv stmpad kon med cirkulärt tvärsnitt och mått enligt figuren. Av smmetriskäl ligger masscentrum för K på z- aeln. Beräkna z-koordinaten för masscentrum som ges av m z 1 z dddz vol(k) K där vol(k) är volmen av K. (4 p) H z R 2R Var god vänd!

4 4 SF1626 Flervariabelanals Tentamen DEL C 7. Beräkna integralen E f (,) dd där E är kvadraten {(,): 1, 1} och f (,) det kortaste avståndet från punkten (,) till randen av E. (4 p) 8. a) Formulera divergenssatsen (Gauss sats). Ange alla förutsättningar. (1 p) b) Bestäm den slutna kompakta C 1 -ta S som gör att flödesintegralen F N ds blir så stor som möjligt, då S F ( 3, 3z 2,z 3 2 z) och normalvektorn N är utåtpekande. Beräkna även flödesintegralen för detta fall. (3 p) 9. En kropp består av den del av ett klot som befinner sig mellan två parallella plan och har måtten a 3 ±,1 cm, b 4 ±,1 cm, h 1 ±,1 cm, där a och b är radien av respektive cirkulära ändcirkelskiva och h är avståndet mellan planen. Använd linjarisering (linjär approimation) för att bestämma klotets radie med felgränser. (4 p) b a h

5 SF1626 Flervariabelanals Lösningsförslag till tentamen DEL A 1. Skissera definitionsmängden till funktionen f (,) 2 ln(2 ). Är definitionsmängden kompakt? (4 p) Lösning. Termen 2 är definierad när 2 och termen ln(2 ) är definierad när 2 >. Tillsammans avgränsar dessa villkor definitionsmängden till f Området 2 Området 2 > Definitionsmängden till f Eftersom inte hela randen tillhör definitionsmängden så är den inte en kompakt mängd.

6 2 SF1626 Flervariabelanals Lösningsförslag till tentamen Funktionen f (,) är definierad i hela -planet. a) Bestäm alla stationära punkter till f. (2 p) b) Avgör de stationära punkternas karaktär. (2 p) Lösning. a) De stationära punkterna är de punkter (,) där f (,). Vi ska alltså hitta de punkter där f 2 2, och f Den andra av dessa ekvationer säger att 1, och därefter ger den första att 1. Den enda stationära punkten är alltså (1,1). b) I den stationära punkten är förstaderivatorna lika med noll, så Talorutvecklingen till andra ordningen i punkten är f (1 + h 1,1 + h 2 ) f (1,1) ( 2 f 2 2 (1,1)h f (1,1)h 1h ) f 2 (1,1)h För att avgöra punktens karaktär studerar vi den kvadratiska formen Q(h 1,h 2 ) 2 f 2 (1,1)h f (1,1)h 1h f 2 (1,1)h2 2. Vi har 2 f 2 2, 2 f 2, 2 f 2, i alla punkter, så speciellt i punkten (1,1). Den kvadratiska formen Q blir alltså vilket vi kvadratkompletterar till Q(h 1,h 2 ) 2h 2 1 4h 1 h 2 +, Q(h 1,h 2 ) 2(h 1 h 2 ) 2 2h 2 2. Detta är en indefinit kvadratisk form, så punkten (1,1) är en sadelpunkt.

7 SF1626 Flervariabelanals Lösningsförslag till tentamen Beräkna kurvintegralen ( 2)d + 2 d γ där γ är kvartscirkelbågen uppritad i figuren. Lösning. En parametrisering av γ är 1 + cost, (4 p) sint, där t går från till π/2. Med denna parametrisering är och vi får att γ d d dt sint dt, dt ( 2)d + 2 d π/2 π/2 π/2 [ 2t + sint d d dt cost dt, dt (1, 1) 2sint ( sint)dt + (1 + cost) 2 cost dt ( 2sin 2 t + cost + 2cos 2 t + cos 3 t ) dt ( 2 + cost + cost ( 1 sin 2 t )) dt ] π/2 {substituera u sint} 1 ( π u 2 ) du π π/2 + cost ( 1 sin 2 t ) dt γ (2, ) π

8 4 SF1626 Flervariabelanals Lösningsförslag till tentamen DEL B 4. Funktionen f (, ) är en kontinuerligt deriverbar funktion definierad i en omgivning av punkten (1,) i R 2. Om denna funktion vet vi att riktningsderivatan i (1,) längs -aeln i positiv riktning är lika med 5, riktningsderivatan i (1,) längs linjen 1 i riktning mot positiva är lika med 2. a) Bestäm gradienten till f (,) i punkten (1,). (2 p) b) Bestäm riktningsderivatan av f (,) i punkten (1,) i riktning mot punkten (3, 1). (2 p) Lösning. a) Vi söker gradienten f (1,) och ansätter denna vektor till f (1,) (a,b). En enhetsvektor längs -aeln i positiv riktning är v 1 (1,), och riktningsderivatan i den riktningen är alltså f (1,) v 1 (a,b) (1,) a 5. En enhetsvektor längs linjen 1 i positiv riktning är v (1,1). Riktningsderivatan i den riktningen är 1 f (1,) v 2 (a,b) (1,1) 1 (a + b) Vi har alltså ekvationerna a 5, a + b 2, vilket ger lösningen f (1,) (5, 7). b) En enhetsvektor som pekar från punkten (1,) mot punkten (3, 1) är v 1 5 (2, 1). Riktningsderivatan i den riktningen är 1 f (,) v (5, 7) (2, 1)

9 SF1626 Flervariabelanals Lösningsförslag till tentamen Betrakta funktionen f (,) 3 4 i området som bestäms av olikheten a) Förklara hur man vet att f antar ett största och ett minsta värde i området. (1 p) b) Bestäm det största och det minsta värdet för f i området. (3 p) Lösning. (a) Funktionen f antar ett största och ett minsta värde eftersom den är kontinuerlig och definierad på ett kompakt område. Se Sats 4, sidan 41, i kursboken. (b) De sökta värdena antas i stationära punkter eller randpunkter eftersom singulära punkter saknas. Området är en sluten ellipsskiva med centrum i origo. Vi har att f (3, 4) vilket inte är lika med nollvektorn, så det finns inte någon stationär punkt där största eller minsta värde kan antas. För att studera funktionens beteende på randen g(,) använder vi Lagranges metod. Tänkbara största och minsta värden fås då f λ g för något tal λ. Eftersom g (2,8) ger detta ekvationerna 3 2λ, 4 8λ. Om λ har detta ingen lösning, så vi kan dela med λ och får λ 2 eller 3. Insatt i g(,) ger detta eller 2 1 vilket ger ±1. Tillsammans får vi två tänkbara punkter där ma och min kan antas, (,) ( 3,1), (,) (3, 1). Eftersom detta är de enda kandidaterna måste ma resp. min antas i dessa punkter. Vi har f ( 3,1) 13 vilket alltså är det minsta värdet funktionen antar, och f (3, 1) 13 vilket är det största.

10 6 SF1626 Flervariabelanals Lösningsförslag till tentamen Ett torn K har formen av en massiv stmpad kon med cirkulärt tvärsnitt och mått enligt figuren. Av smmetriskäl ligger masscentrum för K på z- aeln. Beräkna z-koordinaten för masscentrum som ges av m z 1 z dddz vol(k) K där vol(k) är volmen av K. (4 p) H z R 2R Lösning. I clindriska koordinater beskrivs tornet K av z H, r R(2 z/h), θ 2π. Volmen av K ges av vol(k) r dr dθ dz K ( H ( R(2 z/h) ( H ( R 2 R H 1 ( 2 R2 2 z H ( 4 4z (4H 2H2 H ) ) r dr dz dθ ) ) 2 dz dθ ) H + z2 H 2 ) + H3 3H 2 dθ ) dz dθ 2π R2 2 7H 3 7πR2 H. 3 Masscentrums z-koordinat är alltså m z 1 vol(k) 3 7πR 2 H 3 7πR 2 H zdddz K ( H ( R(2 z/h) ( H z 1 2 R2 ( 2 z H ) ) zr dr dz dθ ) ) 2 dz dθ

11 SF1626 Flervariabelanals Lösningsförslag till tentamen πR 2 H 3 7πR 2 H ( R 2 H ) ) (4z 4z2 2 H + z3 H 2 dz dθ R 2 ) (2H 2 4H3 2 3H + H4 4H 2 dθ 3 7πR 2 H 2π R2 2 11H H 28.

12 8 SF1626 Flervariabelanals Lösningsförslag till tentamen DEL C 7. Beräkna integralen E f (,) dd där E är kvadraten {(,): 1, 1} och f (,) det kortaste avståndet från punkten (,) till randen av E. (4 p) Lösning. Diagonalerna delar upp kvadraten i fra områden där punkten (, ) har kortast avstånd till respektive randlinje: E 2 E 1 I området E 1 har (, ) kortast avstånd till linjen. I området E 3 har (, ) kortast avstånd till linjen 1. E 3 E 4 I området E 3 har (, ) kortast avstånd till linjen 1. I området E 4 har (, ) kortast avstånd till linjen. På grund av smmetrin är f (,) dd 4 E f (,) dd 4 E 1 dd. E 1 Området E 1 kan beskrivas genom 1/2, 1,

13 SF1626 Flervariabelanals Lösningsförslag till tentamen och vi får att 4 dd 4 E 1 4 1/2 ( 1 1/2 (1 2)d [ ( ) 12 ) d d ] 1/2 1 6.

14 1 SF1626 Flervariabelanals Lösningsförslag till tentamen a) Formulera divergenssatsen (Gauss sats). Ange alla förutsättningar. (1 p) b) Bestäm den slutna kompakta C 1 -ta S som gör att flödesintegralen blir så stor som möjligt, då S F N ds F ( 3, 3z 2,z 3 2 z) och normalvektorn N är utåtpekande. Beräkna även flödesintegralen för detta fall. (3 p) Lösning. a) Se läroboken sats 1 på sidan 368. b) Vi har att divergensen av vektorfältet är divf ( 3 ) + ( 3z 2 ) + ( z 3 2 z ) z z (1 2 2 z 2 ). Eftersom vektorfältets komponenter är polnom och vi antar att tan S är en kompakt sluten C 1 -ta så ger Gauss sats att S F N ds K divf dddz K 3(1 2 2 z 2 ) dddz där K är den kropp som tan S innesluter. Trippelintegralen blir så stor som möjligt när K är det område där integranden är icke-negativ, z z 2 1, alltså K är klotet med radie 1 och medelpunkt i origo. I detta fall är tan S enhetssfären med medelpunkt i origo. Vi beräknar trippelintegralen genom att gå över till rmdpolära koordinater, S F N ds K ( π ( 1 ( π 3(1 2 2 z 2 )dddz ) ) 3(1 r 2 )r 2 sinθ dr dθ dφ ( [ r 3 ] 1 ) ) 3sinθ 3 r5 dθ dφ 5

15 SF1626 Flervariabelanals Lösningsförslag till tentamen ( π ) ( dφ 2 5 sinθ dθ dφ ] ) π dφ [ cosθ 8π 5.

16 12 SF1626 Flervariabelanals Lösningsförslag till tentamen En kropp består av den del av ett klot som befinner sig mellan två parallella plan och har måtten a 3 ±,1 cm, b 4 ±,1 cm, h 1 ±,1 cm, där a och b är radien av respektive cirkulära ändcirkelskiva och h är avståndet mellan planen. Använd linjarisering (linjär approimation) för att bestämma klotets radie med felgränser. (4 p) b a h Lösning. Vi börjar med att bestämma R som en funktion av a, b, och h. Pthagoras sats ger att a h 1 R h 2 b R så vi har sambanden R 2 a 2 + h 2 1 Genom att eliminera h 1 får vi R 2 a 2 + h 2 1, R 2 b 2 + h 2 2, h h 1 h 2. R 2 a 2 + (h + h 2 ) 2, R 2 b 2 + h 2 2. R 2 b 2 + h 2 2 Om vi löser ut h 2 ur den andra av dessa ekvationer, h 2 R 2 b 2, och sätter in i den första får vi R 2 a 2 + ( h + R 2 b ) 2 2 a 2 + h 2 + 2h R 2 b 2 + R 2 b 2. Vi skriver om detta till och kvadrererar för att få eller 2h R 2 b 2 b 2 a 2 h 2 4h 2 (R 2 b 2 ) (b 2 a 2 h 2 ) 2 R 2 b 2 + (b2 a 2 h 2 ) 2 4h 2.

17 SF1626 Flervariabelanals Lösningsförslag till tentamen Detta samband ger R R(a,b,h). När vi deriverar med avseende på a, b, och h, får vi eller 2RR a 2(b2 a 2 h 2 ) 4h 2 ( 2a) a(b2 a 2 h 2 ) h 2, 2RR b 2b + 2(b2 a 2 h 2 ) 4h 2 2b 2b + b(b2 a 2 h 2 ) h 2, 2RR h 2(b2 a 2 h 2 ) 4h 2 ( 2h) 2 (b2 a 2 h 2 ) 2 4h 3 b2 a 2 h 2 h (b2 a 2 h 2 ) 2 2h 3, R a a(b2 a 2 h 2 ) 2Rh 2, R b b R + b(b2 a 2 h 2 ) 2Rh 2, R h b2 a 2 h 2 2Rh (b2 a 2 h 2 ) 2 4Rh 3, När a 3, b 4 och h 1 så är b 2 a 2 h 2 6 och R , Linjariseringsformeln ger att R(3 + a,4 + b,1 + h) R a R b , R h R(3,4,1) + R a(3,4,1) a + R b (3,4,1) b + R h (3,4,1) h + restterm a Om vi försummer resttermen får vi att 24 b h + restterm. 1 R(3 + a,4 + b,1 + h) R(3,4,1) a + b h a + b h

18 14 SF1626 Flervariabelanals Lösningsförslag till tentamen och eftersom a, 1, b, 1 och h, 1 ger detta feluppskattningen Vi kommer fram till att R 5 ±,8. R(3 + a,4 + b,1 + h) R(3,4,1) ,1 +, ,1,74.