TENTAMEN Kurs: HF1903 Matematik 1, moment TEN2 (analys) Datum: 29 okt 2015 Skrivtid 8:15 12:15

Transkript

1 TENTMEN Kurs: HF9 Matematik moment TEN anals Datum: 9 okt 5 Skrivtid 8:5 :5 Eaminator: rmin Halilovic Rättande lärare: Fredrik Bergholm Elias Said Jonas Stenholm För godkänt betg krävs av ma poäng Betgsgränser: För betg B C D E krävs 9 respektive poäng Komplettering: 9 poäng på tentamen ger rätt till komplettering betg F Vem som har rätt till komplettering ramgår av betget F på MIN SIDOR Komplettering sker c:a två veckor eter att tentamen är rättad Om komplettering är godkänd rapporteras betg E annars rapporteras F Hjälpmedel: Endast biogat ormelblad miniräknare är inte tillåten Till samtliga inlämnade uppgiter ordras ullständiga lösningar Skriv endast på en sida av papperet Skriv namn och personnummer på varje blad Inlämnade uppgiter skall markeras med krss på omslaget Skriv klass på omslaget B eller C Denna tentamenslapp år ej behållas eter tentamenstillället utan ska lämnas in tillsammans med lösningar Uppgit p Har du klarat KS hoppar du över uppgit a Vilken deinitionsmängd har öljande unktion: ln b Bestäm den inversa unktionen till ln 5 c Bestäm öljande gränsvärde: lim d Derivera unktionen g Uppgit p Sambandet 5 deinierar en kurva som går genom punkten Bestäm ekvationen ör tangenten till kurvan i punkten Uppgit p Studera öljande unktion: 9 Bestäm samtliga asmptoter lodräta/vågräta/sneda Bestäm samtliga stationära punkter och deras karaktär min/ma/terrass Var god vänd!

2 Uppgit p Bestäm Talorpolnom av örsta ordningen kring punkten till unktionen sin cos Uppgit 5 p Vi betraktar unktionen z a Bestäm unktionens stationära punkter och deras tp mapunkt minpunkt eller sadelpunkt b Bestäm det största värdet och det minsta värdet som unktionen har på området D som deinieras av E Uppgit p Beräkna öljande integraler: a p cos d b p d Uppgit 7 p Beräkna volmen av den kropp som uppkommer då området D : roterar ett varv kring -aeln { } Uppgit 8 p Beräkna volmen av det område som ligger mellan -planet och tan z där och Tips: nvänd polära koordinater Lcka till! FCIT

3 Uppgit p Har du klarat KS hoppar du över uppgit a Vilken deinitionsmängd har öljande unktion: ln b Bestäm den inversa unktionen till ln 5 c Bestäm öljande gränsvärde: lim d Derivera unktionen g a ln är deinierat då ln vilket ger att b ln ln e dvs den inversa unktionen är: e nmärkning: Funktionen ln har deinitionsmängden D [ och värdemängden V [ Därör är deinitionsmängden ör inversunktionen D V [ och V D [ c Lösningsalternativ : lim lim lim lim Lösningsalternativ L Hospitals regel: 5 5 Insättning ger att: då kan man använda L Hospitals regel: lim lim lim d g 5 Derivera med kedjeregeln: g 5 8 Svar: a Deinitionsmängden är b d g 5 8 e c gränsvärdet är 5 Rättningsmall: samtliga deluppgiter a-d rätt eller el Uppgit p Sambandet 5 deinierar en kurva som går genom punkten Bestäm ekvationen ör tangenten till kurvan i punkten Vi deriverar båda led av detta sambandet 5 med avseende på :

4 insättes lltså är tangentens lutningskoeicient k Tangentens ekvation är k m och k insättes i ekvationen Detta ger /m m5/ 5 Tangentens ekvation är 5 Svar: Tangentens ekvation är Rättningsmall: Rätt ger poäng llt rätt p Uppgit p Studera öljande unktion: 9 Bestäm samtliga asmptoter lodräta/vågräta/sneda Bestäm samtliga stationära punkter och deras karaktär min/ma/terrass 9 Lodräta asmptoter: 9 ± täljaren är ej ör dessa -värden lltså två lodräta asmptoter: och etersom nämnaren är och täljaren skild rån i punkterna ± Vågräta asmptoter: lim lim ± 9 ± 9 lltså en vågrät asmptot åt höger och åt vänster: -aeln därmed inns det inga sneda asmptoter Stationära punkter: 9 8 Derivera med kvotregeln: Denna ekvation saknar lösningar vilket innebär att unktionen saknar stationära punkter Svar: Två lodräta asmptoter: och En vågrät asmptot åt höger och åt vänster: -aeln Inga sneda asmptoter

5 Stationära punkter saknas Rättningsmall: llt korrekt vad gäller asmptoter p llt korrekt vad gäller stationära punkter p Enbart lodräta asmptoter korrekt bestämda p Enbart vågrät asmptot korrekt bestämd p Uppgit p Bestäm Talorpolnom av örsta ordningen kring punkten till unktionen cos sin För att bestämma Talorpolnom av örsta ordningen kring punkten till unktionen cos sin använder vi ormeln se ormelblad n T a a a n n n I vårt all med två variabler och och blir ormeln T Först beräknar vi / / cos sin / / Vi bestämmer partiella derivator : / / sin sin / / cos cos Detta substitueras i ormeln T Talorpolnomet blir: T Svar: Rättningsmall: Rätt deriverat ger poäng Helt rätt p Uppgit 5 p Vi betraktar unktionen z a Bestäm unktionens stationära punkter och deras tp mapunkt minpunkt eller sadelpunkt b Bestäm det största värdet och det minsta värdet som unktionen har på området D som deinieras av

6 Låt z a Stationära punkter till unktionen : lltså har vi en stationär punkt: P B C Vi avgör punkternas karaktär med hjälp av öljande tabell Punkt B C C B tp minimum > nmärkning: Man kan inse att är en minpunkt genom att kvadratkomplettera z Svar a : Punkten är en minpunkt Funktionen har lokal minimum i punkten ; min b Funktionen z är en kontinuerlig unktion på det kompakta området D som deinieras av Därör antar unktionen z sitt största och sitt minsta värde dvs unktionen har globalt maimum och globalt minimum Kolla stencilen "Optimering på kompakta områden" För att bestämma unktionens största och minsta värde på en kompakt dvs begränsad och sluten mängd analserar vi eventuella stationära och singulära punkter i det inre delen av D största och minsta värden på randen med HÖRNPUNKTER och däreter väljer globalt maimum och globalt minimum Vi har redan i a-delen ått en lokal minpunkt med unktionens värde Vi undersöker randen som består av tre sträckor: OM MN och ON a Vi kan börja med hörnpunkterna : 5 5 N b Vi undersöker inre punkter på sträckorna: O M Sträckan OM har ekvationen Etersom vi har redan undersökt randen har vi kvar inre punkter på sträckan OM dvs < < Vi substituerar i z och år en unktion av en variabel < < Vi undersöker stationära punkter ör som ligger på sträckan OM

7 Vi har ått punkten där 5 Sträckan ON har ekvationen Etersom vi har redan undersökt randen har vi kvar inre punkter på sträckan ON dvs < < Vi substituerar i z och år en unktion av en variabel < < Vi undersöker stationära punkter ör som ligger på sträckan ON Vi har ått punkten där Sträckan MN har ekvationen Etersom vi har redan undersökt randen har vi kvar inre punkter på sträckan MN Vi substituerar i z och år 5 där < < / detta ger motsvarande / och / / / 7 Slutligen bestämmer vi största och minsta värden genom att helt enkelt jämöra unktionens värden i -7 Vi ser att unktionens minsta värde på D är min i punkten Funktionens största värde är ma 5 som unktionen har i punkterna och Svar b Funktionens minsta värde är Funktionens största värde är 5 Rättningsmall: a Rätt stationär punkt ger poäng Helt rätt p b Korrekt anals av hörnpunkterna ger p Korrekt anals av inrepunkter på randsträckorna ger p llt korrektp Oullständig motivering ger avdrag Uppgit p Beräkna öljande integraler: a p cos d b p d a cos d Partiellintegration ger: [ ] [ ] cos d sin sin d sin cos sin cos cos

8 Rättningsmall: - Rätt bestämning av en primitiv unktion p Resten är korrekt beräknad p - Fel bestämning av en primitiv unktion p b d Variabelsubstitution: dt t d dt d Gränser : t t dt d ln ln7 d t t Svar a b ln7 Rättningsmall: - Rätt bestämning av en primitiv unktion p Resten är korrekt beräknad p - Fel bestämning av en primitiv unktion p Uppgit 7 p Beräkna volmen av den kropp som uppkommer då området D : roterar ett varv kring -aeln { } V d d d v e Svar: v Rättningsmall: - Rätt integraluttrck med rätt integrationsgränserna p Resten korrekt dvs korrekt beräknad integral p - Fel integraluttrck p

9 Uppgit 8 p Beräkna volmen av det område som ligger mellan -planet och tan z där och Tips: nvänd polära koordinater Volmen av det område som ligger mellan -planet och tan z där och ges av dubbelintegralen: dd D Området D som ges av och är en järde del av cirkeln med radien och centrum i origo Etersom integrationsområdet är en cirkelsektor används polära koordinater dvs r cos θ r sinθ dd rdrdθ Detta ger: V r rdr D r r r cos θ r sin θ rdrdθ dθ d θ r r dr dθ dθ θ [ ] 5 v e dθ Svar: 5 v e Rättningsmall: - Rätt integraluttrck med rätt integrationsgränserna i polära koordinater p Resten korrekt dvs korrekt beräknad dubbelintegral p - Fel integraluttrck p