UPPSALA UNIVERSITET Envariabelanalys IP1/Hösten L.Höglund, P.Winkler, S. Zibara Ingenjörsprogrammen Tel: , ,

Transkript

1 UPPSALA UNIVERSITET Envariabelanalys IP/Hösten 00 Matematiska institutionen Sluttentamen LHöglund, PWinkler, S Zibara Ingenjörsprogrammen Tel: 7, 789, Tid : Hjälpmedel : godkänd miniräknare och bifogad formelsamling Mapoäng : 0 poäng Betygsgränserna : 8, 5 respektive poäng Fullständiga lösningar behöver ges för problemen till 8 Det krävs endast svar för problem Problem ger 0 poäng, problem,,, 5 och 6 ger poäng var medan problem 7 och 8 ger 5 poäng var ) a) Bestäm Vf för f ( ) 6π b) Beräkna arctan tan c) Bestäm då f f d) Beräkna d 0 e) Bestäm alla asymptoter till f ( ) ln 5 e f) Bestäm lim 5 e ( ) g) f ln har en infleionspunkt Bestäm den h) f e Beräkna f i) När området som begränsas av funktionskurvan y aeln samt linjen roteras kring aeln uppkommer en kropp Beräkna kroppens volym j) Vilken av funktionerna e, e och löser diffekv y y 0? ( y ) ) Bestäm ekvationen för tangenten till kurvan y sin i punkten med π, ) Bestäm : a) ln d b) d 5 sin e ln ( ) ) Beräkna : a) lim b) lim 0 cos 0

2 5) Funktionskurvan y, aeln samt linjen omsluter ett område Detta roteras kring aeln Beräkna volymen av den uppkomna kroppen 6) Bestäm f ( 0 ) så att f ( ) blir kontinuerlig tan sin i 0 7) Lös den separabla differentialekvationen : y y, > 0 med begynnelsevillkoret y 8) En rektangel har två av sina hörn på aeln och de två övriga hörn på kurvan y e Bestäm den största arean som rektangeln kan ha LYCKA TILL

3 SVAR ( ] ) a) 0, b) π c) d) ln e) & y 0 f) g) h) i) π j) e ) y π ln ) a) C b) π ) a) b) π 5) π ve 6) 7) 8) ae e

4 FÖRSLAG TILL LÖSNING ( ] ) a) 0, b) π c) ln d) e) & y 0 f) g) h) i) π j) e ) SVAR : y π y sin y ( ) Implicitderivering av med avseende på ger : ( ) cos y y y y dvs y cos ( y ) y cos y π insatt i ger y 0 Alltså : y π Tangentens ekvation ges därför av : y π

5 ln ) SVAR : a) C b) π u ln dv d a) ln d du d v ln ln d C b) d 5 d ( ) ( ( )) arctan arctan arctan 0 π ) SVAR : a) b) sin sin sin e e e a) lim lim lim 0 0 cos sin 0 sin b) lim 0 0 ( ) ln lim ( ( ) ) ( ) ( ln ( ) ) ln ln ( ) ( ) ln lim 0 ( ln ) ( ) ln lim lim 0 0 ( ) ln

6 π 5) SVAR : V π Skivformeln ger : V π d π π d π π π arctan π 0 d d 6) SVAR : f är kontinuerlig i 0 f 0 lim f f 0 tan sin tan sin lim lim 0 0 lim lim 0 0 tan sin 0 7) SVAR : STEG : Separera variablerna y ( ) y y y ( ) ( ) STEG : Integrera med avseende på både led i y d y d ln y d ( ) ( ) d d ( ) ( ) y e y C e

7 STEG : Partialbråkuppdela samt integrera den ( ) ( ) ( ) A B A B A A B 0 Alltså : vilket innebär att A B A d d d ( ln ln ( )) ln STEG : Bestäm värdet av konstanten C ln ln e e y C C C y C C Lösningen ges slutligen av : y 8) SVAR : ae e Låt A beteckna arean av rektangeln med bredd och höjd e e e, [ 0, ) A( ) A Om A( ) [ ) A( ) har ett största värde, då antas detta i en ändpunkt, en singulär punkt eller en kritisk punkt A 0 0 och eftersom och dess derivata är definierade överallt i 0, då har inga singulära punkter A( ) lim A 0 Detta medför att har ett största värde och att detta antas i en kritisk punkt

8 A e 0 0 A A:s största värde ges då av : A e e