Övningstentamen i MA2003 Tillämpad Matematik I, 7.5hp

Transkript

1 Övningstentamen i MA Tillämpad Matematik I,.hp Hjälpmedel: Penna, radergummi och rak linjal. Varken räknedosa eller formelsamling är tillåtet! Tentamen består av frågor! Endast Svarsblanketten ska lämnas in! Inget tentamensomslag! Svarsalternativ i Bold Courier New ska tolkas som tet i en Input Cell. Övrig tet som i en Tet Cell. Beteckningar enligt konventionen i kompendieserien "Något om...". För bedömning och betgsgränser se kursens hemsida. ösningsförslag anslås på kursens hemsida efter tentamen. cka till! Bertil Del A poäng med fokus på räknefärdighet för hand, samt grundläggande färdighet i Mathematica.. Beräkna arg z z, då z och z betder komplekonjugat. (p) ösningsförslag: Vi har w z z, så arctan b a Π arctan Π Π om w z z.z Arg w Π Π Π. Går lika bra att svara. Π arctan Π Π Π. Beräkna abs. (p) ösningsförslag: r abs z z a b 6. Abs 6 6. Bestäm värdemängden V f till funktionen f cos,, Π. (p) ösningsförslag: Eftersom vi har, Π kommer cos att genomlöpa hela sin värdemängd V cos, ma f och min f V f,. Plot Cos,,, Π, Aesabel "", "" ,,,, Rätt svarsalternativ: d. ös ekvationen 6. (p) ösningsförslag: Potenslagar! Solve 6,

2 . ös ekvationen ln ln ln. (p) ösningsförslag: Övning på logaritmlagar, ln ln ln ln ln 8 eller. Här är falsk rot med hänsn till kravet ovan, t logaritmlagen ln a ln ln gäller ju bara om a och b. Detta vet naturligtvis Mathematica Solve og og og, 6. åt f ln. Bestäm f '. (p) ösningsförslag: ln Regler pot.lagar ln SD. dfd D og, dfd. Rätt svarsalternativ: e. åt f. Bestäm f '. (p) ösningsförslag: Kvotregeln. dfd D, Simplif dfd. Rätt svarsalternativ: e 8. åt f sin cos. Bestäm f ' Π. (p) ösningsförslag: sin cos KR Sätt u cos u sin u cos Konst.regeln u sin u cos SD cos u sin Bt tillbak cos cos sin Cos jämn fkn. cos cos sin. dfd D Sin Cos, Simplif sin cos cos dfd. Π Rätt svarsalternativ: d. Sök tangentens ekvation till kurvan cos i den punkt på kurvan som har Π. (p) ösningsförslag: Först funktionen och dess derivata f : Cos

3 f' sin Kanske är det av intresse att kolla dessa i punkten Π. f Π,f' Π, Tangentens riktningskoefficient är värdet av derivatan i punkten, så med direkt omlastning av enpunktsformeln till k m får vi Solve f Π f' Π Π, EpandAll Π Rätt svarsalternativ: e Π Π Π Π. Sök i punkten, på kurvan. (p) ösningsförslag: Derivera implicit och lös ut. Dt, impl D, dd Solve impl, ' First Slutligen numeriskt i den önskade punkten. dd., 6. Betrakta den stckvis konstanta funktionen i figuren. Beräkna sedan f. p f ösningsförslag: Dela upp integrationsområdet så att integranden är konstant k i varje intervall, då är a b k k a b k b. f. 66. Beräkna. (p)

4 ösningsförslag: Vi får ln ln ln ln. log ln ln. Bestäm 6. (p) ösningsförslag: uktar lite variabelsubstitution. Sätt u, så har vi u, med gränserna u u u och ö u ö. Nu är det bara att meka ihop det hela 6 u 6 u u Integrera Π Π sin u u. (p) ösningsförslag: Variabelsubstitution. Sätt u, så har vi u, med gränserna u u Π u Π och u ö Π ö Π Π. Så Π Π sin u u Π Π Π sin cos Π cos Π cos Π. Π Sin u Π u Rätt svarsalternativ: e. Bestäm volmen av den kropp som uppkommer då området som innesluts av aeln, linjerna och samt grafen till, roterar ett varv kring aeln. p z ösningsförslag: Direkt med "formel" V b a Π Π Π Π Π Π. Π Π Π 6 Π Π Π Del B poäng med fokus på modellering och Mathematica. 6. Genom punkten, drages en rät linje, som tillsammans med de positiva koordinatalarna begränsar en triangel. Sök den triangel som har minst area.

5 6. Inför i problemtetens figur sträckan a på aeln från till linjens skärningspunkt. Inför på motsvarande sätt sträckan b på aeln. Samla nu tillräckligt med samband i ekv som bestämmer arean A och. (p) ösningsförslag: Rita och inför sträckorna a och b enligt recept. Då har vi triangelns area och likformiga trianglar. b a ekv A, b a A a b, b a ekv A, b a ekv A, b a ekv A, b a ekv A, b a. ös ut A och ur ekv med Solve. Spara som regler i AÅb. (p) ösningsförslag: Följ rådet. AÅb Solve ekv, A, First A a a, b a a Rätt svarsalternativ: d AÅb Solve ekv Solve ekv AÅb AÅb Solve ekv, A, AÅb Solve ekv, A, 8. Rita A, a,, i rött med Plot. Pnta alarna på lämpligt sätt! (p) ösningsförslag: Alltid bra att pigga upp sig med en liten bild över situationen som vi ska optimera. Plot A. AÅb, a,,, PlotStle Red, Aesabel "a", "A" A a Plot AÅb, a,,, PlotStle Red, Aesabel "a", "A" Plot A. AÅb, a,,, PlotStle Red, Aesabel "a", "A" Plot A. AÅb, a,,, PlotStle Red, Aes "a", "A" Plot A AÅb, a,,, PlotStle Red, Aesabel "a", "A". Sök a som minimerar A med D och Solve. Spara som regel i a. (p) ösningsförslag: Ser ut att vara ett minimum i figuren ovan, som sig bör, eftersom A både då a och a. Sök nu det som minimerar arean, det vill säga lös ekvationen A. a dada D A. AÅb, Simplif

6 a a Solve dada, a, a a Solve D A. AÅb,, a Solve D A. AÅb,, a Solve D A. AÅb,, a Solve D AÅb,,. Bestäm minimalt A. Tänk på att det kan vara flera lösningar på a. (p) ösningsförslag: Här duger bara sista lösningen. Slutligen svaret på den brännande frågan. På köpet får vi också den andra hjälpvariabeln. Problemtetens figur återspeglar denna optimala situation. AÅb. a A, b AÅb. a Solve a, A Solve AÅb.a, A a. AÅb. Minimalt A, ännu en gång, nu med en direkt numerisk lösare. (p) ösningsförslag: Det är bara att skedmata FindMinimum. FindMinimum A. AÅb, a,., a. Rätt svarsalternativ: e FindMinimum AÅb, FindMin A. AÅb, a, Min A. AÅb, a, FindMinimize A. AÅb, a, 6. I en smal rak stång med längden m är densiteten Ρ kg m proportionell med k mot kvadratroten ur avståndet till stångens ena ände. Stångens totala vikt är M kg. Ρ ma Ρ. Definiera densiteten som en funktion i Mathematica, Ρ[]. (p) ösningsförslag: åt, vara längskoordinat i stången räknat från "ena" ändpunkten. Enligt uppgift varierar densiteten som Ρ k. Definiera den som en funktion. Ρ : k Ρ : k Ρ : k Ρ : k Ρ k. Samla nu tillräckligt med samband i ekv som bestämmer k och Ρ ma. (p) ösningsförslag: Massan för en liten bit vid blir m Ρ. Dessutom vet vi hur mcket alla småbitar väger tillsammans, M M m. Nu är det bara att samla de önskade sambanden ekv Ρ ma Ρ, M Ρ Ρ ma k, M k ekv Ρ ma Ρ, M Ρ ekv Ρma Ρ, M Ρ ekv Ρ ma Ρ, M Ρ ekv Ρma Ρ, M Ρ 6

7 . ös ut Ρ ma och k. Spara dem som regler i rååk. (p) ösningsförslag: Passar bra att använda Solve. rååk Solve ekv, Ρ ma,k First Ρ ma M, k M Rätt svarsalternativ: d rååk Solve ekv, Ρ ma, k rååk Solve ekv, Ρ ma, k rååk Solve ekv, Ρ ma, k rååk Solve ekv, Ρ ma, k. Bestäm stångens tngdpunkt G ur ekvationen m G m. (p) ösningsförslag: Vi har att lösa ekvationen m G m G Ρ. Dessutom måste vi meka in k. Solve G Ρ. rååk, G G Rätt svarsalternativ: e Solve G Ρ. rååk, G Solve G Ρ. rååk, G Solve G Ρ. rååk, G Solve G Ρ. rååk, G 6. Bestäm stångens masströghetsmoment J m r m då den roterar runt aeln. (p) ösningsförslag: Det är bara att meka in m Ρ i definitionen. Dessutom måste vi meka in k. Ρ. rååk M Ρ. rååk Ρ. rååk r Ρ. rååk r Ρ. rååk. En triangulär dammlucka enligt figur ska bära trcket från vattnet som varierar enligt p ΡgN m, där är djupet under vattentan.. Strimla luckan i led,. Bestäm strimlans bredd b vid med lämligt geometrisamband. Spara b som regel. (p) ösningsförslag: Snegla på problemtetens figur, så har vi direkt med likformiga trianglar strimlans bredd b på djupet, se figur till höger. bav Solve b 6 8, First 8

8 b Rätt bav Solve b 6 bav Solve b bav Solve b 6 8, 8 bav Solve b 6 8, 8, 8 svarsalternativ: c 8. Bestäm trckkraften på den lilla strimlan vid djupet. (p) ösningsförslag: På djupet har vi den lilla rektangelarean A på vilken den lilla trckkraften F p A verkar. p da. da b d, p Ρg. bav Rätt d g Ρ p da. da b d, p Ρg. bav p da. bav. da b d; p Ρg p da. da b d, p Ρg. bav p da. da b d, p Ρg. bav svarsalternativ: c. Bestäm trckkraften F på luckan. (p) ösningsförslag: Det är bara att lägga samman alla små bidrag över dammluckan. F F 8 d F g Ρ F 8 F d F 8 F F 8 F d F 8 F d. Bestäm vridmomentet M kring en ael i luckans plan vid vattentan som orsakas av vattentrcket. (p) ösningsförslag: Det är bara att lägga samman alla små bidrag M F över dammluckan. M M 8 d M 68 g Ρ F 8 F d M 8 F M 8 M d M 8 M d 8