MA2003 Tillämpad Matematik I, 7.5hp,

Transkript

1 MA Tillämpad Matematik I, 7.hp, 9-6- Hjälpmedel: Penna, radergummi och rak linjal. Varken räknedosa eller formelsamling är tillåtet! Tentamen består av frågor! Endast Svarsblanketten ska lämnas in! Inget tentamensomslag! Svarsalternativ i Bold Courier New ska tolkas som tet i en Input Cell. Övrig tet som i en Tet Cell. Beteckningar enligt konventionen i kompendieserien "Något om...". För bedömning och betygsgränser se kursens hemsida. ösningsförslag anslås på kursens hemsida efter tentamen. ycka till! Bertil Del A poäng med fokus på räknefärdighet för hand, samt grundläggande färdighet i Mathematica.. Beräkna argz z, då z och z betyder komplekonjugat. (p) ösningsförslag: Först w z ab z :, så argwarctan b ab a Π arctan Π. a w z z.z, Argw, Π ätt svarsalternativ: d a arctan b arctan c Π 6 d Π. Skriv det komplea talet Π på rektangulär form. (p) ösningsförslag: Använd Euler cos sin så Π cosπ sinπ. Π a b c d. ös ekvationen z z, där z betyder komplekonjugat. (p) ösningsförslag: Ansätt z a b. Sedan kravet på likhet mellan komplea tal, med andra ord identifiera real- och imaginärdelar. ab z z a ba : ikhet e : a b a b a bab ab Im : b a. b En sista ängslig test... Solvez z z a b c d ätt svarsalternativ: b. Bestäm värdemängden V f till funktionen f cos,, Π. (p) ösningsförslag: Eftersom vi har, Π kommer cos att genomlöpa hela sin värdemängd V cos,. Så min f, ma f V f,. PlotCos, Cos,,, Π, Aesabel, Plotabels Automatic cos cos a V f, b V f, c V f, d V f, ätt svarsalternativ: d

2 . ös ekvationen (p) ösningsförslag: Ta hjälp av potenslagarna Vi har en andragradsekvation i, med rötterna och 6 7, falsk ty krav 6 att. Så till slut. Dessa tröttande räkningar klarar naturligtvis vår bästa kompis oå Solve ,, eals a b c d 6. ös ekvationen lnln 8. (p) ösningsförslag: ogaritmlagarna lnln 8 ln 8 ln,, så ok. Mathematica är försiktig med logaritmlagarna eftersom den inte vet vad kan vara. Vi får hjälpa till. Solveog og 8,, eals, a b c d 7. åt f lntancos. Bestäm f ' Π. (p) ätt svarsalternativ: b ösningsförslag: Jobba på med lämpliga regler. lntancos u tancos u lnu tancos u lnu tan cos SD u cossin Byt tillbaka cossin. cos tancos cos Sedan tan Π och cos Π sin Π. Undrar om Mathematica klarar detta Df ogtancos,. Π Simplify f sin cos cos tan cos f Π 6 a 6 b c d 8. Bestäm normalen till kurvan y i punkten. (p) ösningsförslag: Funktionen och dess derivata f ;f' Enpunktsformeln y y k N där k T k N, k T f ' och ger normalen Solvey f k N,k T k N, k T f'., y, k T,k N y En bild piggar alltid upp... PlotEvaluatef, y. normalen,,,, Plotange,, Aspectatio Automatic, Plotabels Automatic, Aesabel, y

3 y a y b y c y d y ätt svarsalternativ: b 9. Givet kurvan y y sin Π y. Sök i punkten, y då y. (p) ösningsförslag: Derivera implicit och sätt in numeriska värden. ös slutligen ut. Dyt yt Sin Π t yt, t. t, yt, y't Solve yt y t y t Π yt t Π t y t cos Π t yt Π t Π t a b c d. Funktionen f har en primitiv funktion F. Grafen till F är uppritad i figuren till höger. Beräkna f. p F ösningsförslag: Vi får direkt f F FF. a 9 b c d ätt svarsalternativ: e. Beräkna. (p) ösningsförslag: Vi får ln lnlnln. log a ln b ln c ln d ln6. Bestäm. (p) ösningsförslag: Variabelsubstitution. Sätt u, så har vi u, med gränserna u u u och ö u ö 9. Nu är det bara att meka ihop det hela 9 u u lnu 9 ln9ln ln 9. log 9

4 a ln9 b ln9 c ln 9 d ln 9. Beräkna Π sincos. (p) ösningsförslag: Variabelsubstitution, u cos, så har vi u sin, med gränserna u u u cos och ö Πu ö cosπ. Nu är det bara att meka ihop det hela Π sincos u u u. Π Sin Cos a b c d. En partikel rör sig på -aeln så hastigheten efter t s är t, t. Hur långt rör den sig under den tredje sekunden? (p) ösningsförslag: Vi får direkt 9 t t a 9 b 7 c d. Bestäm volymen av den kropp som uppkommer då området som innesluts av aeln, linjen samt grafen till y, roterar ett varv kring linjen y. p y ösningsförslag: ägg samman tunna ananasringar med V Πr y r i Πy. Så V Π Π Π Π Π. V V Π V Π a 9Π b Π c Π d Π 7 6. I en liksidig triangel med sidan a är en rektangel inskriven enligt figuren till höger. Vi söker den rektangel som har störst area. Del B poäng med fokus på modellering och Mathematica. 6. åt rektangeln ha basen b och höjden h. Sök sambandet mellan dessa. (p) ösningsförslag: Efter en stund funderande får vi båh h a b Tan Π h a b

5 a båh h a b Tan Π b båh h a b Tan Π 6 c båh h a b Tan Π d båh h a b Tan Π 7. ös ut rektangelns area Ab. (p) ösningsförslag: Typisk övning med i Solve. AÅh SolveA b h, båh, A, h A b a b, h a b a b c AÅh SolveA b h, båh, A, h AÅh SolveA b h, båh, A, b AÅh SolveA b h, båh, A, b d AÅh SolveA b h, båh, A, h 8. åt a och rita Ab, b,, i orange. Pynta alarna! (p) ösningsförslag: ita på med Plot. PlotA. AÅh. a, b,,, PlotStyle Orange, Aesabel b, Ab Ab b a b c PlotA. AÅh. a, b,,, PlotStyle Orange, Aesabel "b", "Ab" PlotA. a. AÅh, b,,, PlotStyle Orange, Aesabel "b", "Ab" PlotAÅh. A. a, b,,, PlotStyle Orange, Aesabel "b", "Ab" d PlotAÅh. a, b,,, PlotStyle Orange, Aesabel "b", "Ab" 9. Bestäm det b som maimerar Ab. (p) ösningsförslag: Derivera och sök nollställe till derivatan. bopt SolveDA. AÅh, b, b First b a ätt svarsalternativ: e a bopt SolveDAÅh, b, b b bopt SolveDA. AÅh, b, b c bopt SolveDA, b, b d bopt SolveDAÅh. A,b, b. Bestäm maimalt A och tillhörande h. (p) ösningsförslag: Sätt in optimalt b i regeln från Solve så får vi ett snyggt självdokumenterande svar. AÅh. bopt A a 8, h a ätt svarsalternativ: b a bopt. AÅh b AÅh. bopt c AÅh. b bopt d AÅhbOpt

6 . Bestäm arean av en cirkel med radien. p ösningsförslag: Cirkelarean som fyra kvartscirklar, varav den i första kvadranten med smala rektanglar. PowerEpand Π ätt svarsalternativ: d a Π r r b Π r r c d. Bestäm omkretsen av en cirkel med radien. p ösningsförslag: Omkretsen, där en liten bit s Θ om Θ är bågvinkeln, så Π Θ Π a Π Π b Π r r c Θ d Π r Θ. Bestäm volymen av ett klot med radien. p ösningsförslag: Välj metoden med tunnväggiga rör. Så med formel V Πy Π PowerEpand Π a Π b Π c Π d Π. Bestäm volymen av en rak cirkulär kon med basradien och höjden H. p 6

7 ösningsförslag: Välj metoden med tunna cylindrar från toppen ner till botten. HΠ h H h Π H ätt svarsalternativ: b H a Π h H H h b Π h H h c Π H d ΠH. I en smal stång med längden m är densiteten Ρ kgm i varje punkt proportionell med k mot i kvadrat. Bestäm tyngdpunkten G ur m G m. p ösningsförslag: Massan för en liten bit vid är m Ρ k och slutligen tyngdpunktens läge. Solve G k, G G ätt svarsalternativ: d a Solve G k, G b Solve k G, G c Solve k G, G d Solve G k, G 6. En tunn pappskiva i form av en rätvinklig triangel med massan m år uppriggad enligt figur. Sök masströghetsmomentet J m r m då den roterar kring aeln a. p b y a ösningsförslag: Först har vi ytdensiteten Ρ m likformiga trianglar y a b a samman. J Klipp sedan upp triangeln i smala rektangulära strimlor y, där y ges av ab.. Bidraget till masströghetsmomentet från en sådan är J r m a Ρ y. Nu är det bara att lägga J a a m ab b a a J a m J a a J a m b ab a b J a J a c m ab J a J a m b a J a d ab a J a m a a ab b 7. En triangulär dammlucka enligt figur ska bära trycket från vattnet som varierar enligt pyρgynm, där y är djupet under vattenytan. 7. Strimla luckan i y led, A by. Bestäm strimlans bredd b vid y med lämpligt geometrisamband. Spara b som regel. (p) 7

8 ösningsförslag: Snegla på problemtetens figur, så har vi direkt med likformiga trianglar strimlans bredd b på djupet y, se figur till höger. bavy Solve b 6 8 y,bfirst 8 b y ätt a bavy Solve b 8,y y 6 b bavy Solve b c bavy Solve b 8y,y d bavy Solve b Bestäm tryckkraften på den lilla strimlan da vid djupet y. (p) y 8,y y,y svarsalternativ: c ösningsförslag: På djupet y har vi den lilla rektangelarean A b y på vilken den lilla tryckkraften F pya verkar. py da. da b dy, py Ρgy. bavy ätt dy g Ρ y y a py da. da b dy, py Ρgy. bavy b py da. bavy. da b dy; py Ρgy c py da. da b dy, py Ρgy,b bavy d py da. da b dy, py Ρgy. bavy svarsalternativ: e 9. Bestäm tryckkraften F på luckan. (p) ösningsförslag: Det är bara att lägga samman alla små bidrag över dammluckan. F F 8 dy y a c F g Ρ F 8 F dy b F 8 F y F F dy d F 8 F y dy. Bestäm vridmomentet M kring en ael i luckans plan vid vattenytan som orsakas av vattentrycket. (p) ösningsförslag: Det är bara att lägga samman alla små bidrag M yf över dammluckan. M M 8y dy y a c M 68 g Ρ F 8 y F dy b M 8 F yy M M y dy d M 8 y M y dy 8