Tillämpad Matematik I Övning 3

Transkript

1 HH/ITE/BN Tillämpad Matematik I, Övning Tillämpad Matematik I Övning llmänt Övningsuppgifterna, speciellt Typuppgifter i första hand, är eempel på uppgifter du kommer att möta på tentamen. På denna är du ensam, så det är viktigt att du klarar av uppgifterna på egen hand! Trots detta rekommenderas och uppmuntras arbete i grupp samt användning av Mathematica även där endast handräkning förväntas! I lösningsförslagen hittar du oftast både handräkning och Mathematica, detta för att du ska få träning på båda! vsaknad av lösningsförslag eller "snåla" sådana ska tolkas positivt som en inspiration och utmana dig till att fylla igen luckor och verifiera det som är gjort. Ha teorikompendierna till hands, där finns många lösta eempel. Uppgifter Typuppgifter i första hand. Bestäm f ' då f är,, 5, sin, Lösningsförslag: Fingerfärdighetsträning på derivation. 9,, ln,, cos, 8 4 respektive sin. f 5 sin f 5 9 cos 7 4 ln cos 8 4 sin sin 4 8 cos. Bestäm f ' då f är 4, sin5, Lösningsförslag: Å en gång till 4, ln, 7, cos6 respektive 8 4. f 4 sin5 f 4 5cos5 4 ln 7 cos sin Bestäm f ' då f är sin, Lösningsförslag: Å ännu en gång,, cos 4, ln4, 7 ln, cos 6, sin4, sin respektive 8 4. f sin cos 4 ln4 f cossin tan cos f 7 ln cos 6 sin4 sin 8 4 f 7 7 ln 6sin 4cos4sin4 cos Bestäm största och minsta värde till f i intervallet,. Lösningsförslag: Vi börjar väl med att rita... f : Plotf,,,, PlotStyle Red, eslabel "", "f" f 0.5.0

2 Tillämpad Matematik I, Övning HH/ITE/BN Globalt minimum antas i den enda etrempunkten f' minpkt Solvef' 0 First f. minpkt Globalt maimum antas i högra ändpunkten av intervallet. f 5. Sök ekvationer för tangenten och normalen till kurvan y i den punkt på kurvan som har koordinaten lika med. 4 y,y T,y N Lösningsförslag: Funktionen och dess derivata f : f' samt önskad punkt där skådespelet ska äga rum. 0 4 ; Enpunktsformeln y y 0 k T 0 med k T f ' 0 ger nu först tangenten ekv y f 0 f' 0 0 y 4 Lös ut tangentens ekvation på eplicit form y k m. yt y. Solveekv, y First part 4 Sedan med k T k N normalen ekv y f 0 f' 0 0 y 4 yn y. Solveekv, y First part 4 En bild piggar alltid upp. Den första raden är viktigast. spectratio satt till utomatic gör att och y ritas med "samma skala". Prova gärna utan, då blir tangent och normal inte utritade vinkelräta mot varann!

3 HH/ITE/BN Tillämpad Matematik I, Övning Plotf, yt, yn,, 0, 0.5, spectratio utomatic, PlotRange 0., 0.7, eslabel "", "y,y T,y N ", PlotStyle Red, Blue, Orange, Dashed y,y T,y N Vilket värde har y då, y sin4t och t? Ledning: Kedjeregeln! tant Lösningsförslag: Vi har med kedjeregeln y y t t, så nu är det bara att derivera och sätta in önskat värde på t. y' DSin4 t, t D,t Tant 4sin t cos4 t y'. t 7. Bestäm f, fy, f '', f '' y, f '' y och f '' yy i punkten, då f, y y y och i, då f, ysiny cosy. Lösningsförslag: Derivera på partiellt Notera Mathematicas beteckningar för partiella derivator, i superindeet anges hur många gånger man deriverat med avseende på respektive variabel. Eempelvis är f, y f,0 '', y och f yy, y f 0,, y. f, y y y f, 8 f,0, y9 y y y f,0, 8 f 0,, y 6 y y f 0,, 9 8 f,0, yy y y 8 y f,0, 54 f,, y y y 8 y f,, y y y 8 y f 0,, y6 y f,, 54 f,, 54 f 0,, 7 6 f, ycos yy sin f, sin f,0, ysin y y cossin f,0, cossin f 0,, y y cos yysin y f 0,, f,0, y4cos y y 4 cossin f,0, 4 4 cossin f,, y y ycos ysiny f,, 8 f,, y y ycos ysiny f,, 8 f 0,, y4 y cos y8ysin y f 0,, 6 8. Bestäm y' i punkten, då 4y y 5. Lösningsförslag: Implicit derivering. ekv Dt4 y y 5, 8 y y y 4 y y 5

4 4 Tillämpad Matematik I, Övning HH/ITE/BN dyd Solveekv, Dty, y 4 y y 5 4 y Lite teknisk Replace för att undvika att och y byts ut i y. Enklare för hand dyd. Rulea, b Rulea, b., y y 4 Enklare insättning i Mathematica med vanlig derivering av funktioner. ekv D4 y y 5, 8 y y y 4 y y5 Solveekv, y'., y y 4 9. Sök y i punkten, y på kurvan y sin y. Lösningsförslag: Implicit derivering. Lös ut y. dekv Dt y Sin y, y 4 y cos y y y dyd Solvedekv, Dty, y y 4 y cos y Lite teknisk Replace för att undvika att och y byts ut i y. Enklare för hand dyd. Rulea, b Rulea, b., y y 4 4 Enklare insättning i Mathematica med vanlig derivering av funktioner. ekv D y Sin y, y 4 y y cos y y Solveekv, y'., y y En räv promenerar längs stigen y. Sök y då 0, y och y Lösningsförslag: Implicit derivering. dekv Dt y, t

5 HH/ITE/BN Tillämpad Matematik I, Övning 5 y y t t 0 dyd Solvedekv, Dty, t y t t y Lite teknisk Replace för att undvika att och y byts ut i y t och. Enklare för hand t dyd. Rulea, b Rulea, b. Dt, t 4. 0, y y t 4 Enklare insättning i Mathematica med vanlig derivering av funktioner. Notera att t och yt ekv Dt yt, t t yt y t0 Solveekv, y't. t 0, yt, 't 4 y t 4. Låt V och vara volymen respektive arean för ett klot. Sök V som funktion av. Ledning: V klot 4r, klot 4r. Lösningsförslag: Lös ut V som funktion av ur formlerna för klotets volym och area, det vill säga eliminera r. VÅr SolveV 4 r,4r, V, r V 6, r, V 6, r Här duger bara andra lösningen, eftersom vi inte befattar oss med varken negativ volym eller radie. Bestäm önskad derivata. dvd DV. VÅr, 4 PlotV. VÅr, dvd,, 0, 5, PlotStyle Red, Blue, eslabel "", "V,V'" V,V' En vattentank läcker så att volymen i m är Vt50 4t, där tiden t mäts i sekunder. Sök volymflödet ur tanken då t s samt precis då den blir tom. Lösningsförslag: En liten reseberättelse över läckaget...

6 6 Tillämpad Matematik I, Övning HH/ITE/BN Plot50 4t, t, 0, 8, PlotStyle Cyan, eslabel "t", "Vt" Vt t Volymflödet i m s vid tiden t q D50 4t,t 8 t q. t 6 Slutligen är tanken tom då tom Solve50 4t 0, t t 5 5, t 5 5 med volymfödet q. tom 0 0. Om t mäts i sekunder ges läget för en bil av uttrycket st 4 tt t m. Sök läge, hastighet och acceleration då t 4s. Lösningsförslag: Hastighet och acceleration ges av första respektive andraderivatan av läget med avseende på tiden, så de tre efterfrågade storheterna sva TableD 4 t t t, t, i, i, 0, 4 t t t, 4 t t 4 t t, t t PlotEvaluatesva, t, 0, 5, PlotStyle Orange, Blue, Red, eslabel "t", "st,vt,at" st,vt,at t vslutningsvis de tre efterfrågade storheterna vid 4 s. sva. t 4 4, 6, 7

7 HH/ITE/BN Tillämpad Matematik I, Övning 7 4. Enligt Newton är kraften F m. Bestäm erforderlig kraft då massan 5 kg svänger enligt t sin4t m Lösningsförslag: Vi börjar med att definiera t som en funktion eftersom den ska användas några gånger t : 00 Sin4 t 4 Visst svänger dé Plott, t, 0, 4, PlotStyle Red, eslabel "t", "t" t t Derivera två gånger för accelerationen och bestäm erforderlig kraft i N. F 5''t 4 5 sin 4 t 4 PlotF, t, 0, 4, PlotStyle Blue, eslabel "t", "Ft" Ft t 5. Vid medicinering mot transpirationsproblem är det viktigt att uppskatta arean av patientens hud. Mosteller har föreslagit modellen S c mh, där S är hudarean i m, c, m patientens vikt i kg och h längden i m. 6 a nge enheten på konstanten c. b En patient med längden 80 cm håller diet. Vikten rasar med kgvecka. Med vilken hastighet minskar arean på huden då patienten väger 0 kg? Lösningsförslag: Vi börjar väl med uppgift a) m c kgm m c kg m c m kg. Solvem c kg m, c PowerEpand c m kg Sedan uppgift b) Vi söker hastighet så derivera med avseende på t. nvänd kedjeregeln och produktregelnonödigt duktigt eftersom h är konstant här, men bra med höghöjdsträning S t 6 t mh u mh 6 u u u 6 t u m h h m t t mh m h h m t t dsdt DtS 6 mh,t S t m h h m t t hm

8 8 Tillämpad Matematik I, Övning HH/ITE/BN Nu är det bara att meka in de angivna numeriska värdena. dsdt. Dtm, t, Dth, t 0. m 0, h.8 S t Enklare derivering blir det om vi som ovan noterar att h är konstant. S t 6 t mh h 6 t m h 6 m m t h m m t S t En investering I 0 i $ tillväer med räntan r enligt ItI 0 rt 00. Bland finansfolk brukar man höra ''69 regeln'' som innebär att tiden T till dess att en investering fördubblat sitt värde är ungefär T 69. Ge ett stöd för detta r Lösningsförslag: Vi söker tydligen tiden T tills dess att ITI 0. Så I 0 I 0 rt 00 ln rt 00ln T r r r Solve.0 I 0 I 0 rt 00,T T r 7. För en viss typ av gas gäller sambandet pv 8 mellan tryck och volym. Bestäm p då p, V och V 6. Lösningsförslag: Först en liten bild över situationen, sedan implicit derivering. Plot 8, V,, 4, PlotStyle Orange, eslabel "V", "p" V p V dvdt Dtp V 8, t V p t pv V t 0 p SolvedVdt, Dtp, t p t p V t V Lite teknisk Replace för att undvika att p och V byts ut i p t V och. Enklare för hand t p. Rulea, b Rulea, b. DtV, t 6. p, V p t 8

9 HH/ITE/BN Tillämpad Matematik I, Övning 9 Som vanligt enklare insättning i Mathematica med vanlig derivering av funktioner. Notera att pt och pt dvdt Dp t Vt 8, t Vt p t pt Vt V t0 SolvedVdt, p't. pt, Vt, V 't 6 p t8 8. Under en arbetsdag med grävskopan ökar volymen av en konformad grushög med V 9. Vid en tidpunkt var t radien r, höjden h och r. Sök h vid denna t t tidpunkt. Ledning: V kon r h. Lösningsförslag: Implicit derivering. imp DtV r h, t V t h t r r h t r Lös nu ut h t. dhdt Solveimp, Dth, t Simplify h V h r r t t t r Slutligen är det da för numeriska data. Lite teknisk Replace för att undvika att r och h byts ut i r t sätta in värden direkt efter implicit derivering ovan dhdt. Rulea, b Rulea, b. DtV, t 9, Dtr, t. r, h h t 4 Som vanligt enklare insättning i Mathematica med vanlig derivering av funktioner. Notera att allt varierar med t! och h. Enklare för hand att t dhdt DVt rt ht, t V t rt h t ht rt r t Solvedhdt, h't. rt, ht, r't, V 't 9 h t 4 9. Ur en sfärisk ballong strömmar luft med konstant flöde 00 cm min. Med vilken hastighet minskar radien då den är 5 cm? Ledning: V sfär 4 r. Lösningsförslag: Implicit derivering. dekv DtV 4 r,t V t 4 r r t

10 0 Tillämpad Matematik I, Övning HH/ITE/BN drdt Solvedekv, Dtr, t V r t t 4 r Lite teknisk Replace för att undvika att r byts ut i r. Enklare för hand t drdt. Rulea, b Rulea, b. DtV, t 00. r 5 r t Som vanligt enklare insättning i Mathematica med vanlig derivering av funktioner. Notera att allt varierar med t! drdt DVt 4 rt,t V t4 rt r t Solvedrdt, r't. rt 5, V 't 00 r t 0. I en rak cirkulär kon enligt figur rinner vatten med flödet 5 cm min ut genom en öppning i spetsen. Sök r t och y då djupet y 9cm.Ledning: V t kon r h. Lösningsförslag: Vi börjar med r. Eliminera vattendjupet y mellan formel för volym och samband i likformiga trianglar. t ekv EliminateV r y, r y 4 6,y V 4 r Derivera implicit med avseende på tiden, vad annars Lös ut r dekv Dtekv, t V t r r t drdt Solvedekv, Dtr, t V r t t 4 r Meka in likformigheten igen tillsammans med numeriska data. Tänk på att volymändringen är negativ eftersom det strömmar ut. En något teknisk Replace för att undvika att r byts ut i r. Enklare för hand t drdt. Rulea, b Rulea, b. DtV, t 5. r r 0 t 8 Som vanligt enklare insättning i Mathematica med vanlig derivering av funktioner. Nu tar vi ett generellare grepp med likformigheten ordentligt med redan från början, så får vi enkelt både r och y och all annan information vid det välsignade tillståndet t t y 9 Notera att allt varierar med t Häng mé the Mathematica way!

11 HH/ITE/BN Tillämpad Matematik I, Övning ekv Vt rt yt, rt yt 4 6 Vt rt yt, rt yt 4 allt SolveJoinekv, Dekv, t, rt, r't, y't, Vt rt yt 4, r t 4 V t yt, y t 6 V t yt, Vt allt. V't 5, yt 9 rt 9 4, r t 0 8, y t 80 4, Vt yt. En rektangel med basen är inskriven i en cirkel med radien. Sök då rektangelns area är maimal. Lösningsförslag: Rita figur! Vi ser då att rektangelns bas och höjd y kopplas av Pytagoras sats via cirkelns diameter. Nu är det bara att låta Solve göra jobbet. Nästan allt i tillämpad matematik går ut på att formulera samband, och sedan låta datorn arbeta med dessa. Gör inget handarbete, det tar tid och blir oftast fel, vilket inget företag betalar dig för! Åyr Solve y, y r,r,, y, r 6, y 6, r, 6, y 6, r Eftersom vi inte befattar oss med varken negativa areor eller omkretser duger bara den sista lösningen. nledningen att vi får två lösningar är att y löses ur en andragradsekvation. Vi ser att kan variera mellan 0 och r, så D 0, 4. Plot. LastÅyr,, 0, 4, eslabel "", "", PlotStyle Blue Vi har ett uppenbart maimum dekv D. Åyr, 6 6 Solvedekv 0, Negativa längder befattar vi oss inte med, så rektangelns area och höjd utom tävlan. Som vi misstänkte är kvadraten maimal. Notera byte i regler för självdokumenterande svar. Åyr. 8, y,r Till slut den riktigt snabba ingenjörslösningen. Maimize. Åyr,

12 Tillämpad Matematik I, Övning HH/ITE/BN 8,. En öppen låda med kvadratisk botten har en total mantelarea av 5 m. Sök sidan på den kvadratiska bottnen så att lådans volym blir maimal. Lösningsförslag: Om lådans höjd är h så har vi volymen V samt arean som är given. Så dessa som funktion av. Vh SolveV h, 4h, 5, V,, h V 4 5, 5, h 5 4 Eftersom 5 måste, V 0 så D V 0, 5. Vi kollar! PlotV. Vh,, 0, 5, PlotStyle Orange, eslabel "", "V" V Vi har ett uppenbart maimum dekv DV. Vh, 4 5 Solvedekv 0 5, 5 Negativa längder befattar vi oss inte med, så även volym och höjd utom tävlan. Vh. V 5 6 5, 5, h 5 Till slut den riktigt snabba ingenjörslösningen. MaimizeV. Vh, 0, 5 6 5, 5. v ett snöre med längden L formas en rektangel som sedan får svepa runt längs sin ena sida så att en cylinder bildas. Hur stor volym kan en sådan cylinder ha? Lösningsförslag: Om cylindern har radien r och höjden h blir dess volym V r h. Nu kan inte r och h varieras fritt eftersom de är kopplade till varann via L. Vi finner följande samband

13 HH/ITE/BN Tillämpad Matematik I, Övning ekv V r h, L r h V hr, L h r Lös ut Vr och hr. Vi vill veta "allt" om cylindern! VÅh Solveekv, V, h V Lr r, h L r En liten bild över situationen. Lägg märke till dimensionen [] på alarna. Vanligt trick när man bara har symboliska uttryck. PlotV L. VÅh. r L,, 0, 0.5, PlotStyle Purple, eslabel "rl", "VL " VL rl Nu är det bara att söka derivatans nollställe för att finna etremvärde. dvdr DV. VÅh, r Lr 6 r r SolvedVdr 0, r r 0, r L Här är r 0 ointressant, varav slutligen tillståndet vid maimal volym. VÅh. r V L 54, h L 6 4. I en halvcirkel med radien är en parallelltrapets inskriven enligt figur. Sök så att parallelltrapetsens area blir så stor som möjligt Lösningsförslag: Eftersom man ska hålla sin verktygslåda så liten och effektiv som möjligt väljer vi att meka ihop figuren av tre (eller fyra) naturliga trianglar. Samtliga med höjden h sin, två med basen b och en med toppen nedåt och basen b cos. Naturligtvis går det lika bra att betrakta parallelltrapetsen direkt och komma ihåg att formeln för arean är "halva produkten av höjden och summan av de båda parallella sidorna", det vill säga hb b. Så pll Solve b h b h, h Sin, b, b Cos,, h, b,b 4 sin sin cos, h sin, b, b 4cos Då vinkeln varierar från 0, då parallelltrapetsen är ett streck, väer den sedan till en äkta parallelltrapets, för att slutligen urarta till en triangel då, så D 0,. Plot. pll,, 0,, eslabel "", "", PlotStyle Green

14 4 Tillämpad Matematik I, Övning HH/ITE/BN Sök nu det som maimerar, det vill säga lös ekvationen sin sin cos cos cos cos cos 0 cos cos 0 cos och ointressanta cos så optimalt arccos. varav arean sin sin dekv D. pll, First 4 sin cos cos. Samma sak i Mathematica. Solvedekv 0, 0, pll.,h,b, b Till slut den riktigt snabba ingenjörslösningen. Maimize. pll,, 5. En cirkelsektor med medelpunktsvinkeln, radien r och båglängden b har omkretsen. Sök så att arean blir maimal. r b Lösningsförslag: Om är arean, r radien och b båglängden har vi sambanden r b r r b rea Båglängd Omkrets Eliminera bort r och b så har vi med naturliga D 0, br Solve r,br, r b,, r, b, r, b Plot. br,, 0,, PlotStyle Orange, eslabel "", "" Sök nu det som maimerar, det vill säga lös ekvationen

15 HH/ITE/BN Tillämpad Matematik I, Övning , varav roten rad. Denna konfiguration återges i figuren ovan. SolveD. br, 0 br. First 6, r 4, b Till slut den riktigt snabba ingenjörslösningen. Maimize. br,, 6 6. I triangeln BC är sidorna B och BC lika långa. Punkten D ligger mitt på C och punkten E mitt på BC. vståndet mellan D och E är alltid konstant L. Hur stor kan en sådan triangel bli? B L E D C Lösningsförslag : Låt C vara triangelns bas vara 4b och h dess höjd. Likformiga trianglar hjälper oss nu att koppla b och h till L kravet med Pytagoras sats h B E h L b b D b b C Bestäm arean h samt bh ur de geometriska samband som hittas i figuren ovan. Vi vill veta allt om triangeln! Åb Solve 4bh,b h L,, b 4 h L h, b L h, 4 h L h, b L h Eftersom vi inte befattar oss med negativa areor eller längder duger bara den andra lösningen. Vi inser att D h 0, L. Hur ser det ut i dessa två etremfall? Slutligen en liten bild över situationen. PlotPowerEpand. Åb.h L,, 0,, PlotStyle Orange, L eslabel "hl", "L " L hl Ser sunt ut med ett maimum. Sök nu det h som maimerar, det vill säga lös ekvationen varav roten h 4h L h 4 L h h L h L h 4 Lh L h 0,. Negativa roten befattar vi oss inte med! ddh D. Åb, h

16 6 Tillämpad Matematik I, Övning HH/ITE/BN 4 L h 4 h L h Solveddh 0, h h L, h L Slutligen alla andra storheter som kan intressera bh. PowerEpand L, b L 7. I en rektangel är avståndet från mittpunkten på basen till ett motstående hörn konstant L. Hur stor kan en sådan rektangel bli? L Lösningsförslag: Låt och y vara rektangelns bas respektive höjd. Då har vi arean och bivillkoret enligt uppgift med P:s sats. ekv y, y L y, 4 y L Lös ut arean och y. Åy Solveekv,, y 4 L, y 4 L, 4 L, y 4 L Vi ser att D 0, L. En liten bild över situationen. PlotPowerEpand. Åy. zl, z, 0,, PlotStyle Magenta, L eslabel "L", "L " L L Så det som maimerar arean dekv D. Åy, 4 L 4 L Solvedekv 0, L, L

17 HH/ITE/BN Tillämpad Matematik I, Övning 7 8. Sök minsta avståndet L från punkten 0, till kurvan y, 0. y L Lösningsförslag: En linje parallell med -aeln genom punkten, y på kurvan formerar tillsammans med y-aeln och linjestycket L en rätvinklig triangel. Lös ut L och y. LÅy Solve y L,y, L, y L 4,y, L 4,y Definitionsmängden D L 0, och så här ser grafen till L ut PlotL. LÅy,, 0,, PlotStyle Blue, eslabel "", "L" L dld DL. LÅy, 4 4 SolvedLd 0 0,, L vid dessa kandidater... LÅy. L, y 0, L, y, L, y Eftersom 4 så får vi det kortaste avståndet L då vi sammanbinder med punkten, på kurvan. Slutligen en liten bild över optimal situation där också L är inritad. y,l L Till slut den riktigt snabba ingenjörslösningen. MinimizeL. LÅy, 0,,

18 8 Tillämpad Matematik I, Övning HH/ITE/BN 9. I en rätvinklig triangel är en rektangel inskriven enligt figur. Bestäm dess dimensioner då arean är maimal. 6 8 Lösningsförslag: Låt b och h vara rektangelns bas respektive höjd. Likformiga trianglar ger oss kopplingen mellan dessa. 6 b h 8 Åh Solve bh, h 6 8 b,, h 8 4 b 8 b, h b 8 4 Plot. Åh, b, 0, 8, PlotStyle Green, eslabel "b", "" b Ser sunt ut med ett maimum. Nu är det bara att söka etremvärde på. Vi har ett uppenbart maimum. ddb DtÅh, b b h b 8, 4 b 4 Varav slutligen de efterfrågade dimensionerna och arean då denna är maimal. Dt, b 0. ddb Solve Åh. b 4, h Till slut den riktigt snabba ingenjörslösningen. Maimize. Åh, 0 b 8, b, b 4 0. En stege med längden L lutas mot en vägg. Hur långt ut från väggen ska dess kontaktpunkt med marken vara för att en så lång person som möjligt ska kunna gå under stegen på avståndet L från väggen? 4 h y ma? L L4 Lösningsförslag: Låt stegens kontaktpunkter vara och y så har vi med Pyttans sats och likformiga trianglar. ekv y L, h L y 4

19 HH/ITE/BN Tillämpad Matematik I, Övning 9 y L, h L y 4 Lös ut h och y. håy Solveekv, h, y h L L 4 L 4, y L, h 4 L L L 4, y L Här duger uppenbarligen bara den andra lösningen eftersom vi befinner oss ovan mark. PlotEvaluateh. håy.l,, 0.5, 0.8, PlotStyle Red, eslabel "L", "hl" hl L Ser ut att vara ett maimum som sig bör, eftersom h 0 då L. Sök nu det som maimerar h, det vill säga lös ekvationen h 0. dhd Dh. håy, Simplify L 4 4 L Solvedhd 0, N L, L L, L, L, L I stegarnas värld duger bara den andra lösningen. Slutligen svaret på den brännande frågan så att man inte slår i huvudet. håy. Simplify N PowerEpand h 4 L 4, y 4 L h L, y L. Man vill av tunn plåt tillverka en cylindrisk konservburk med given volym V. Bestäm radie och höjd i den burk som kräver minst materialåtgång, det vill säga har minst total area. Lösningsförslag: ntag att konservburken har höjden h och radien r. Då blir dess volym och area ekv V r h, rh r V hr, hr r Utnyttja att V är given för att lösa ut och h som funktioner av r.

20 0 Tillämpad Matematik I, Övning HH/ITE/BN Åh Solveekv,, h First r V, h V r r Plot V. Åh. r V,, 0.,, PlotStyle Red, eslabel "rv ", "V " V rv Sök nu det r som minimerar. ddr D. Åh, r 6 r r V r r Solveddr 0, r r V, r V, r V Här är det bara den mittersta lösningen som är reell. Vi har minimum eftersom andraderivatan är uppenbart positiv. Dddr, r.r Varav slutligen även och h. Åh. r V, h V Slutligen ser vi att burken får en "kvadratisk" profil, eftersom r h. Åh. r. Bestäm maimala volymen för en cylindrisk konservburk om totala arean är konstant. Lösningsförslag: Om burken har radien r och höjden h blir dess volym V r h. Nu kan inte r och h varieras fritt eftersom de är kopplade till varann via arean r rh som ju ska vara konstant. Idé: Eliminera h mellan ekvationerna så får vi Vr och hr det vill säga beroende av endast en variabel r. VÅh SolveV r h, r rh, V, h First V r r, h r r PlotV. VÅh. r,, 0, 0.4, PlotStyle Orange, eslabel "r ", "V "

21 HH/ITE/BN Tillämpad Matematik I, Övning V r Nu är det bara att söka derivatans nollställe. dvdr DV. VÅh, r 6 r r SolvedVdr 0, r r 6, r 6 Eftersom vi inte befattar oss med negativa radier får vi slutligen tillståndet vid maimal volym. VÅh. r V 6, h. Bestäm maimala volymen för en öppen cirkulär kon med given mantelyta. Ledning: V kon r h. Lösningsförslag: Om vi klipper upp konens mantelyta längs generatrisen och rullar ut den får vi följande figur, en cirkelsektor med radien konens generatris S och bågvinkeln. S Om konen har bottenradien r och höjden h blir dess volym V r h och mantelyta S. Nu kan inte r och h varieras fritt eftersom de är kopplade till varann via Pytagoras sats. Vi finner följande samband ekv V r h, r h S, r S, S V hr, h r S, r S, S Vi vill veta allt om konen då den är etrem, lös ut allt som funktion av r! Vmm Solveekv, V, h,, S V r r 4, h r 4 r, r, S r, V r r 4, h r 4 r, r, S r

22 Tillämpad Matematik I, Övning HH/ITE/BN Här duger endast den andra lösningen, eftersom vi har kravet V 0. PlotV. Vmm., r, 0, 0.55, PlotStyle Orange, eslabel "r ", "V " V r Nu är det bara att söka derivatans nollställe. dvdr DV. Vmm, r r 4 r 4 r 4 r SolvedVdr 0, r r 4, r 4, r 4, r 4 Eftersom vi inte befattar oss med negativa eller komplea radier får vi slutligen tillståndet vid maimal volym. Vmm.r 4 Simplify PowerEpand V, h 4 4, 4, S 4. En leverantör av nypon behöver hyra in arbetare för att plocka rent sina 900 buskar.varje arbetare kan plocka rent 5 buskar hoch avlönas med 50 kr h. Leverantören måste även betala en förman med 75 kr h samt en fast kostnad på 80 krarbetare. Hur många arbetare ska leverantören hyra in för att minimera sin kostnad? Lösningsförslag: ntag att leverantören behöver n st arbetare som håller på i T timmar. Då blir kostnaden K 50 n T 80 n 75 T. T 900 5n n 9000 n Med optimum n SolveDK, n 0 N n.9904, n.9904 PlotK, n, 0, 0, PlotStyle Red, eslabel "n", "K" K n Kostnad och plockningstid. Eftersom vi inte kan hyra in delar av plockare måste vi checka av heltalslösningar kring lösningen ovan till den kontinuerliga modellen.

23 HH/ITE/BN Tillämpad Matematik I, Övning n, 900,K.n Range8, 5 N 5n Han bör hyra in plockare. Eller direkt med en av de kraftfulla funktionerna i Mathematica. MinimizeK, n 00, n Integers, n 44 00, n 5. En raket skjuts iväg rakt upp. På avståndet mil från uppskjutningsplatsen noterar en radarstation att vid en viss tidpunkt är avståndet 5 mil till raketen samt att detta avstånd ökar med 40 milh. Sök raketens hastighet v vid denna tidpunkt. Lösningsförslag: Låt h vara raketens höjd över marken så har vi geometrin med Pytagoras sats. ekv h r h 9 r Implicit derivering med avseende på tiden. dekv Dtekv, t h h r r t t Lös slutligen ut hastigheten v, det vill säga h. Lägg märke till att om alla storheter matas in med tecken kommer svaret också ut med rätt tecken! h Solvedekv, ekv, Dth, t, h h t r r t r 9, h t r r t r 9 Slutligen numeriska data. h.dtr, t 40. r 5 Last h 50 t 6. En person iaktar ett flygplan som flyger på konstant höjd 4000 m. Vid detta tillfälle var elevationsvinkeln 0 och dess ändringshastighet 0.0 rads. Sök plantets hastighet. Lösningsförslag: Låt vara avståndet längs marken från observatören till raketens lodlinje så har vi, i jämförelse med föregående uppgift, om vi direkt betraktar alla variabler som funktioner av tiden t. ekv t Tant 4000 t tant 4000

24 4 Tillämpad Matematik I, Övning HH/ITE/BN Implicit derivering med avseende på tiden. dekv Dekv, t tant t t t cost 0 Lös slutligen ut planets hastighet, det vill säga samt även när detta inträffar. Lägg märke till att om alla storheter matas in med tecken kommer svaret också ut med rätt tecken! Åv Solvedekv, ekv, t, 't t 4000 tant, t 4000 t sint Slutligen numeriska data. Åv. 't 0.0, t 0 t4000, t60. Vi ser att planet avlägsnar sig från observatören eftersom är positiv. Etrauppgifter i andra hand i mån av tid 7. Bestäm f ' då f är, cos, 5, sin, 8,, ln, 4, tan, 8 4 respektive tan. Lösningsförslag: Fingerfärdighetsträning på derivation. f f f f f f f f cos 5 sin sin cos ln 4 tan 4 4 cos tan cos 8. Bestäm f ' då f är 4 cos, tan 5,, ln, ln, cos respektive Lösningsförslag: Å en gång till f f f f f f 4 cos tan 5 4 cos sin 0 tan5 cos5 ln 7 ln cos 7 ln 7 7 ln 9cos sin Bestäm f ' då f är sin, 8 4. Lösningsförslag: Å ännu en gång, cos,, lnln, 7 ln, cos, tan4, sin respektive f f f f f f sin cos cos sin tan cos lnln 7 ln cos tan4 ln 7 7 ln sin sin8 4 cos4 sin cos Bestäm f '' då f cos. Lösningsförslag: Tryter visst aldrigatt derivera är tydligen vårt ständigt återkommande problem!

25 HH/ITE/BN Tillämpad Matematik I, Övning 5 D Cos, cos sin D Cos,, 4 cos sin 6cos 4. Bestäm y' i punkten, om sin y y sin0. Lösningsförslag: Implicit derivering. ekv D Sin y y Sin 0, sin y y y cos y sin y y cos0 dyd Solveekv, y' y Sätt in punkten sin y y cos y cos y sin dyd.,y y 6 4. Bestäm f ' då f. Lösningsförslag: Skriv om så att det blir enkelt att derivera f ln ln. Så f ' ln ln ln. D, log 4. Sök ekvationer för tangenten och normalen till kurvan y 4 i den punkt på kurvan som har. Lösningsförslag: Funktionen och dess derivata f : 4 f' 4 samt önskad punkt där skådespelet ska äga rum. y,y T,y N ; Enpunktsformeln y y 0 k T 0 med k T f ' 0 ger nu först tangenten ekv y f 0 f' 0 0 y 6 Lös ut tangentens ekvation på eplicit form y k m. yt y. Solveekv, y First part 9 6

26 6 Tillämpad Matematik I, Övning HH/ITE/BN Sedan med k T k N normalen ekv y f 0 f' 0 0 y 6 yn y. Solveekv, y First part 49 6 En bild piggar alltid upp. Den första raden är viktigast. spectratioutomatic gör att och y ritas med "samma skala". Prova gärna utan, då blir tangent och normal inte utritade vinkelräta mot varann! Plotf, yt, yn,, 0.5, 0.75, spectratio utomatic, PlotRange,.5, eslabel "", "y,y T,y N ", PlotStyle Red, Blue, Orange, Dashed y,y T,y N En partikel rör sig längs kurvan cosy y. Sök då, y och y 4. Lösningsförslag: Implicit derivering med avseende på tiden t, med variabler på funktionsform. dekv DCost yt yt, t y t yt yt tt y t sint yt 0 Sök nu ' t. ddt Solvedekv, 't t Så med givna data. y t t yt sint yt yt ddt. y't 4, t,yt Simplify t 45. Från ett rektangulärt pappersark skär man bort en kvadrat med sidan från varje hörn. Resten av pappersarket viks till en öppen låda. Sök som gör lådans volym så stor som möjligt Lösningsförslag: Om vi skär bort ett hörn med sidan blir lådans höjd och dess basyta får sidorna a respektive b. lltså V a b. Sök nollställe till derivatan dekv Da b, a b a b

27 HH/ITE/BN Tillämpad Matematik I, Övning 7 Solvedekv 0, 6 a ab b a b, 6 a ab b a b För att se vilken rot som duger skalar vi om pappret och väljer b a, så 0 för att inte klippa bort mer än sidan a..a 6 b b b, 6 b b b Nu är b b b b b 4 då b, så 6 b b b 6. lltså duger bara 6 b b b. Varför dé då... Jo, först har vi med b att 6 och sedan med konjugatregeln att b b b b b b b b b b b b b b b b b b b, vilket väer monotont mot då b. Så till slut har vi b 6 b b då b. Mathematica håller med 6 4 Limit..a, b 4 För att övertyga oss riktigt ordentligt tittar vi på en liten graf PlotEvaluate..a, b,, 5, PlotStyle Red, Blue, eslabel "b", ",rot",rot b 46. I en kvadrat med sidan a är ett kors inskrivet enligt figur. Sök så att arean av detta blir så stor som möjligt. Lösningsförslag: Vi kan eempelvis beräkna arean av korset som en kvadrat i mitten plus fyra armar. 4 a Simplify 4 a

28 8 Tillämpad Matematik I, Övning HH/ITE/BN PlotEvaluate. a,, 0,, PlotStyle Cyan, eslabel "a", "a " a Uppenbart maimum a dd D, 0 Simplify a 6 Hyfsat lätt ekvation att lösa Solvedd, a,. N a a 47. I en cirkel med radien r är tre radier och en korda dragna enligt figur. Sök, 0, så att arean av den färglagda triangeln blir så stor som möjligt. Lösningsförslag: Bestäm skärningspunkten y Solvey Tan, y 0 Sin 0 r,, y First Cos Sedan arean r cos cos tan sin tan, y r sin cos tan sin tan ry. y r sin cos tan sin tan Plot r,, 0,, PlotStyle Orange, eslabel "", "r " r Uppenbart maimum.

29 HH/ITE/BN Tillämpad Matematik I, Övning 9 dd D, Simplify r cos cos tan sin ndragradsekvation i sin. Lite jobbig för att handräkning. nvänd Mathematica. Solvedd 0, 0, tan 5 5,. N r 48. Bestäm maimala volymen för en öppen cirkulär kon med generatrisens längd lika med S. Ledning: V kon r h. Lösningsförslag: Om vi klipper upp konens mantelyta längs generatrisen och rullar ut den får vi följande figur, en cirkelsektor med radien konens generatris S och bågvinkeln. S Om konen har bottenradien r och höjden h blir dess volym V r h. Nu kan inte r och h varieras fritt eftersom de är kopplade till varann via generatrisen S. Kopplingen är Pytagoras sats. Lös sedan ut så att Vh och rh. Det går naturligtvis lika bra att uttrycka dem i h men det blir något "risigare" uttryck att derivera, om man deriverar för hand ;-). VÅh SolveV r h, r h S, V, r V h hs, r S h, V h hs, r S h Här duger bara den andra lösningen. Nu är det bara att söka derivatans nollställe. dvdh DV. VÅh, h h S h SolvedVdh 0, h h S, h S Eftersom vi inte befattar oss med negativa höjder får vi slutligen tillståndet vid maimal volym. VÅh.h PowerEpand S V, r 9 S

30 0 Tillämpad Matematik I, Övning HH/ITE/BN 49. Bestäm minimala begränsningsytan för en sluten cirkulär kon med given volym V. Ledning: V kon r h. Lösningsförslag: Om vi klipper upp konens mantelyta längs generatrisen och rullar ut den får vi följande figur, en cirkelsektor med radien konens generatris S och bågvinkeln. S Om konen har bottenradien r och höjden h blir dess volym V r h mantelyta S och totala area r. Nu kan inte r och h varieras fritt eftersom de är kopplade till varann. Vi finner följande samband ekv S r,v r h, r h S,rS r S, V hr, h r S, r S Men vi vill veta "allt" om konen då den är etrem, lös ut allt som funktion av r! mm Solveekv,, h,, S r r 6 9 V r, h V r, r r6 9 V, S r6 9 V, r 6 9 V r r 6 9 V r r, h V r, r r 6 9 V, S r 6 9 V r Här duger bara sista lösningen eftersom vi inte befattar oss med negativa mantelytor. En liten bild över situationen. PlotPowerEpand V. mm.r V,, 0,, PlotStyle Red, eslabel "rv ", "V " V rv Typiskt minimum. Nu är det bara att söka derivatans nollställe för att finna etremvärde. ddr D. mm, r r 4 r 6 9 V r 6 9 V r r r Solveddr 0, r r V, r V, r V, r V, r V, r V

31 HH/ITE/BN Tillämpad Matematik I, Övning Vi befattar oss inte med komplea eller negativa radier så vaska fram rätt kandidat. r Selectr, Imr V 0 r V 0. & First r V Varav slutligen, tillsammans med r ovan, tillståndet vid minimal mantelyta. mm.r PowerEpand V, h V,, S V Hur ser en sådan kon ut? Jo, t.e. är h r h r.r. mm.r Fördjupningsuppgifter i tredje hand eller inte alls 50. I en rätvinklig triangel är en rektangel inskriven enligt figur. Bestäm dess dimensioner då arean är maimal. 6 Lösningsförslag: Låt b vara rektangelns bas och h dess höjd. Inför hjälpvariablerna och y. Likformiga trianglar och Pytagoras sats ger oss tillräckligt med kopplingar. 8 6 y b h 8 mm Solve bh, y 6 8, y b 5 b 0 b, h b b 0, 4 5 h 8, y b,, h,, y 5, y b 5 Här duger bara den sista lösningen. Nu är det bara att söka etremvärde på b. ddb D. mm, b b 0 5 b Solveddb 0, b b 5 Varav slutligen de övriga dimensionerna och arean då denna är maimal. mm.b, 5 b 0 b, h 4 b b 0, 5 5, y b 5, h, 4, y 5

32 Tillämpad Matematik I, Övning HH/ITE/BN 5. Två cirklar med radierna r och R r är placerade på centrumavståndet a. De belyses med en lampa placerad på sammanbindningslinjen utanför de två cirklarna. Sök lampans positionen i förhållande till cirkeln med radien r så att den sammanlagda längden av de två bågarna som är belysta blir så lång som möjligt. Lösningsförslag: Placera cirkeln med radien r i origo och den med radien R i a, 0. Lampan placerar vi i, 0. Ljusstrålarna bildar rät vinkel med radierna, så den sökta längden är Eempelvis S r rccos r R R rccos a R cos R a r cos r data r 5., R 0, a 0; PlotS. data, Evaluate, r, a R. data, PlotStyle Red, eslabel "", "S" S Uppenbart maimum. dsd DS, r R r a R a lldeles för svår att lösa för hand. nvänd Mathematica. För att Solve ska klara matchen utan att leverera mängder med konstiga lösningar krävs att vi hjälper till med det vi vet om r, R och a. SolvedSd 0, a R r 0, r a R, ConditionalEpression a r, R 0 0 r R a r R r R 5. I en cirkel med radien r är en cirkelsektor inskriven enligt figur. Sök så att arean av denna blir så stor som möjligt. Lösningsförslag: Vi får direkt arean rcos 4 r cos

33 HH/ITE/BN Tillämpad Matematik I, Övning Plot r,, 0,, PlotStyle Orange, eslabel "", "r " r Uppenbart maimum. dd D, Simplify 4 r cos cos sin Saknar intressant analytisk lösning. nvänd numeriska lösare i Mathematica. NMaimize,0, r.6478, FindMaimum,, 0.5 r.6478, FindRoot dd r 0,, Visa att om f, yghy, så är ff'' y f fy. Lösningsförslag: Diskutera med dina kamrater