MATEMATIKPROV, KORT LÄROKURS BESKRIVNING AV GODA SVAR

Transkript

1 MATEMATIKPROV, KORT LÄROKURS BESKRIVNING AV GODA SVAR De beskrivningar av svarens innehåll och poängsättningar som ges här är inte bindande för studentexamensnämndens bedömning. Censorerna beslutar om de kriterier som används i den slutgiltiga bedömningen. Av en god prestation framgår det hur examinanden har kommit fram till svaret. I lösningen måste det ingå nödvändiga uträkningar eller andra tillräckliga motiveringar och ett slutresultat. I bedömningen fästs uppmärksamhet vid helheten och vid de tre stegen start, mellansteg och slutresultat. Räknefel som inte väsentligt ändrar uppgiftens natur ger ingen betydande sänkning av antalet poäng. Räknefel och fel i den matematiska modellen som ändrar uppgiftens natur kan däremot sänka antalet poäng avsevärt. I provet är räknaren ett hjälpmedel, och dess roll bedöms separat för varje uppgift. Om symbolräknare använts i en uppgift ska det framgå av prestationen. I lösningar av uppgifter som kräver analys räcker det inte enbart med ett svar som erhållits med hjälp av räknaren utan övriga motiveringar. Däremot räcker ett svar som examinanden fått med räknaren i allmänhet i rutinberäkningar. Detsamma gäller rutinmässiga delar av mera omfattande uppgifter. Exempel på sådana är omskrivning av uttryck, ekvationslösning samt derivering och integrering av funktioner. Preliminär poängsättning. Det motsatta talet är ( ) och det inverterade talet 5. 6 Medelvärdet är b) Kvadratens sida s, varvid dess area är An 4. Cirkelns diameter =, varvid cirkelns radie r och dess area Ay. A 4 Jämförelse: n,73, dvs. kvadratens area är ca 7 % Ay större. c) Eftersom baserna är lika kan vi likställa exponenterna: 3x x x3 x 3. Matematikprov, kort lärokurs

2 . Genom att förena hörnen i den mindre parallellogrammen märker vi att den stora parallellogrammen består av åtta trianglar. Varje triangel har basen och höjden. Den mindre parallellogrammen innehåller hälften av trianglarna och dess area är 4 cm = 4 cm. (Eller: Arean = hälften av den stora parallellogrammens area, dvs. 4 = 4 cm.) 3. Enligt figuren är de x-koordinater som motsvarar y-koordinaten för denna funktion x och x 3. b) Grafen skär x-axeln eller är under denna då 0 x. c) Enligt figuren är funktionen avtagande då x. 4. Vi får massan m a för hundens hjärna från ekvationen m, 0 a /3 0,0 0 /3 vilket ger ma 0,0 0 0, ,056 (kg). b) Vi får människans genomsnittliga massa m från ekvationen,35 7,5 /3 0,0 m /3,35 vilket ger m 5. 0,0 7,5 3/ Därmed är m 5 58, (kg) 5. Den övre triangelns höjd är h. Eftersom trianglarna är likformiga (vv), 3 h 55 får vi analogin vilket ger h , Brädets höjd är därmed h + 55 = 83, (cm). Matematikprov, kort lärokurs

3 6. Uttrycken är ax ( ) 0,066x 4,0 och bx ( ) 0,0799x 3,75 b) Totalpriserna är lika då 0,066x 4,0 0,0799x 3,75 0,7 0,037x0,7 x 9, ,037 Månadsförbrukningen ska vara cirka 9,7 kwh. c) Det årliga totalpriset för bolaget A: 4, ,066 80,64euro Bolaget B: 3, ,0799 =04,80 euro På ett år debiterar bolaget B 04,80 80,64 4,6 euro mera. 7. Anta att vi har 00a medvurst av vilket fett 36a. Vi avlägsnar fett x. 36a x 30 Ekvationen enligt den nya fetthalten: 00a x 00 vilket ger 360a0x300a 3x 7x 60a x 60 a. 7 Jämförelse: 5 60a 7 36a 0, % % 8. Längden av sektorns omkrets är b r. Villkorsekvationen br ger b r. Sektorns area A() r br r r där 0 r. Eftersom grafen av areafunktionen är en nedåtvänd parabel, får vi största värdet av arean i parabelns topp. Där är A() r r 0 som uppfylls då r 0,5 (m). Detta är samtidigt den efterfrågade 4 radiens längd. Matematikprov, kort lärokurs

4 9. Rektangelns ursprungliga area 0,0,0 40 (m ). Bredden av den remsa som gräsmattan ska utökas med är x. Den nya rektangelns längd är 0 x och bredd x. Rektangelns area är nu (0 x)( x). Fördubblingen ger ekvationen (0 x)( x) 40, som förenklas till formen x 3x Vi får med rotformeln x av vilket endast den positiva roten 6, ,3 duger. Den nya gräsmattans längd är därmed 0,0 x 6,3 (m) och bredd,0 x 8,3(m). 0. Linjen y3 3x skär koordinataxlarna i punkterna (0,3) och (,0). Mittpunkten på hypotenusan till den rätvinkliga triangel som bildas är 0, 30 3,. Delningslinjen går genom denna punkt, eftersom deltrianglarna då har samma bas (= halva hypotenusan) och samma höjd (= avståndet från 3 origo till den givna linjen). Den efterfrågade riktningskoefficienten k 3/ 3. /. Vi betecknar tidpunkten i början av januari med t 0, varvid slutet av april motsvarar t 4 och december t. Enheten för tiden t är månad. Linjär tillväxt beskrivs av en linje som går genom punkterna (, 787) och (4, 338). Linjens ekvation är y t t Försäljningsuppskattningen är y() (st.). b) t Den exponentiella tillväxten beskrivs av ekvationen yt () y() k där k är tillväxtfaktorn. 3 3 Vi får denna med ekvationen k vilket ger k k [=, 99 ]. 787 Uppskattningen är y() 787 k 53939, (st.). Matematikprov, kort lärokurs

5 . Beteckningar: Cirkelns medelpunkt är K, cirkelns tangeringspunkt på hypotenusan är D och cirkelns radie är r. (Figur nedan) Hypotenusans längd AC KC 4 r Trianglarna ABC och KDC är likformiga (vv, båda har en rät vinkel och vinkeln C är gemensam). r 3 Vi får villkoret 4 r 5 vilket ger 5r 3r, dvs. r Den tid som hårtorken fungerar = t. Variabeln är normalfördelad N (5, ;,5). Enheten är en månad. Då är den normerade variabeln t5, T normalfördelad N (0,).,5 Sannolikheten för att hårtorken håller högst garantitiden år är 5, Pt ( ) PT,5 (,8) (,8) 0,8997 0,003. Alltså måste cirka 0 % av torkarna repareras under garantitiden. b) Sannolikheten för att hårtorken ska vara felfri över 8 månader är Pt ( 8) Pt ( 8) 85, PT,5 (,) 0,8686 0,34. Därmed håller cirka 3 % av torkarna,5 år. 4. Skattens storlek är f ( x) 0, ,3 ( x 40000) 0,3x 800 då x b) Skattens storlek är f (4700,3) 0,3 4700, , ,07 ( ). c) Den skattepliktiga andelen är 0,854700, ,0. Av detta tas i kapitalinkomstskatt 30 % dvs. 0, ,0 0633,56 ( ). Personens skatteprocent är därmed 0633, ,5 4700,3 Matematikprov, kort lärokurs

6 5. Vi får sittkorgens högsta höjd då sinustermens värde är och lägsta höjden då termens värde är. Den högsta höjden är då = 7 (m) och den minsta (m). Diametern på pariserhjulet är därmed 7 38 [ 7] 34 (m). b) Man uppnår maximihöjden när det första gången gäller att t dvs. då t n, där vi får det minsta värdet på t för värdet 5 sin, 5 n 0. Därmed är ekvationen t t 5,5 (s). 5 c) Vi får den efterfrågade tidpunkten med ekvationen yt ( ) 45, dvs. 7sin t sin t , t t , eller t 5 7 0, , , , t 5, Det negativa värdet duger inte, eftersom t 0. Svaret är cirka 30,0 s. Matematikprov, kort lärokurs