Matematik 3000 kurs B

Transkript

1 Studieanvisning till läroboken Matematik 3000 kurs B Innehåll Kursöversikt...4 Så här jobbar du med boken...5 Studieenhet Sannolikhetslära...6 Studieenhet Linjära modeller...8 Studieenhet Icke-linjära modeller Studieenhet Geometri...19 Studieenhet Statistik...22

2 Studieanvisning Matematik3000 kurs B/Komvux Kursöversikt Studieenhet Handlar om Att göra Sannolikhetslära Se kursguiden Kapitel 1 Diagnostiskt test 1 Linjära modeller Icke-linjära modeller Se kursguiden Kapitel 2 Studiearbetet Sannolikheter och linjära modeller Se kursguiden Kapitel 3 Studiearbetet Icke-linjära modeller Geometri Se kursguiden Kapitel 4 Diagnostiskt test 2 Anmäl dig till examinationen Statistik Se kursguiden Kapitel 5 Studiearbetet Geometri och statistik Nationellt centrum för flexibelt lärande / Studieanvisning MaB 3000 Komvux,

3 Studieanvisning Matematik 3000 kurs B/Komvux Så här jobbar du med boken 1. Läs Till lärare och elever före innehållsförteckningen. Där skriver författarna hur boken är upplagd och hur de har tänkt att boken ska användas. 2. Titta sedan i innehållsförteckningen och skaffa dig en överblick över vilka moment som ingår i kursen. Om du inte har gjort en personlig tidsplan för dina studier än så är det dags att göra den nu. 3. Läs studieanvisningen som kommer direkt efter innehållsförteckningen. 4. Studera momentet problemlösning i webbmaterialet eller i detta häfte. Håll detta aktuellt oavsett vilka problem du löser. Då du börjar med ett nytt kapitel i boken (moment i kursen) gör du så här Läs studiehandledningen i början av kapitlet för att få en överblick av vad du skall kunna när kapitlet är klart. Där kopplas även innehållet ihop med Skolverkets kursplan. Läs sammanfattningen i slutet av kapitlet för att få en mer konkret bild av vad du ska kunna när kapitlet är klart. Varje kapitel innehåller ett antal färdiglösta exempel i blå text. Studera dem noga och hör av dig till din lärare om du inte förstår dem. Gör uppgifterna som finns under rubriken "Kan du det här?" och följ de anvisningar som du får beroende på hur många rätt du har. Om du tycker att uppgifterna är för lätta eller enformiga kan du hoppa över en del så att du kommer framåt. Räkna de överhoppade övningarna när du repeterar. Efter sammanfattningen finns Blandade övningar. Spara med att göra dem tills det börjar bli dags för provet. När man repeterar är det bra att lösa några nya uppgifter som man inte sett förut. De uppgifter som finns under rubriken "Problemlösning" är bra övningar. Lös några sådana lite nu och då under kursens gång. 5 Nationellt centrum för flexibelt lärande / Studieanvisning MaB3000 Komvux,

4 Studieanvisning Matematik3000 kurs B/Komvux Studieenhet Sannolikhetslära Kapitel 1 Läs först studiehandledningen på sidan 12. Titta sedan igenom sammanfattningen på sidan 31 för att bilda dig en mer detaljerad uppfattning om innehållet i kapitlet. Enkla slumpförsök (sid ) Se till att Du uppfattar betydelsen av begreppen på sidan 13 ordentligt. För beräkningarna av sannolikheter är det viktigt att Du håller ordning på vilka utfall som är gynnsamma i den aktuella situationen. Det är naturligtvis viktigt att ha klart för sig vilka utfall som är möjliga också. Beräkningen av sannolikheten är f.ö. inte svår, den framgår av definitionen på sidan 14. Vad som här behandlas är likformig sannolikhetsfördelning, vilket innebär att alla utfall (händelser) har samma sannolikhet eller med andra ord är lika troliga. Exemplen 1101 och 1102 beskriver väl hur det här fungerar. Slumpförsök med flera föremål eller steg Den klassiska introduktionen till försök i flera steg är kast med två tärningar. Utfallsrummet kommer här att bestå av 36 element, nämligen alla kombinationer av vad tärningarna kan visa. Oberoende av vad tärning nummer 1 visar kan ju tärning nummer 2 visa 1, 2, 3, 4, 5 eller 6. Utfallsrummet blir tvådimensionellt och kan avbildas som diagrammet på sidan 20. Observera i exemplet 1201 d) att sannolikheterna för händelserna H 1 och H 3 kan adderas eftersom dom är varandra uteslutande det är alltså omöjligt att dom ska kunna inträffa samtidigt. Träddiagram (sidan 22) är en smidig metod att grafiskt avbilda ett händelseförlopp om det inte är alltför mångförgrenat. Hur skulle Du rita ett träddiagram för kast med två tärningar? Ett grafiskt sätt att åskådliggöra multiplikationsprincipen hittar Du längst ner på sidan 22. I exempel 1213 bör Du dessutom lägga märke till att summan av sannolikheterna i a), b) och c) är lika med ett. Några andra utfall än de som finns uppräknade här finns ju inte, så något av dem måste ju inträffa det är vad som kallas en säker händelse, vil- Nationellt centrum för flexibelt lärande / Studieanvisning MaB 3000 Komvux,

5 Studieanvisning Matematik 3000 kurs B/Komvux ken alltså har sannolikheten = 1. På motsvarande sätt har en omöjlig händelse sannolikheten = 0. Komplementhändelse är som namnet anger komplementet till en händelse, d.v.s. att händelsen inte inträffar. Betrakta som ett enkelt exempel att Du skjuter att skott med ett eldhandvapen. Det finns då en viss sannolikhet för träff, P(träff) och en viss sannolikhet för bom, P(bom). Det måste ju med naturnödvändighet bli antingen eller, vilket medför att P(träff) + P(bom) = 1. Detta kan, som Du säker inser, i vårt exempel utvecklas till P(träff) = 1 - P(bom), eller språkligt uttryckt : Sannolikheten för en händelse är lika med 1 minus sannolikheten för komplementhändelsen. Texten på sidorna beskriver på ett överskådligt sätt hur man många gånger kan förenkla beräkningarna genom att gå vägen över komplementhändelsen Gör test 1:1 A på sidan 28. Avsnitten "Arbeta utan räknare 1" på sidorna 30 och "Problemlösning 1" på sidan 29 är mycket bra övningar som tränar huvudräkning och analytisk förmåga. Om du vill kan du spara de blandade övningarna tills du skall repetera kursen inför provet. 7 Nationellt centrum för flexibelt lärande / Studieanvisning MaB3000 Komvux,

6 Studieanvisning Matematik3000 kurs B/Komvux Studieenhet Linjära modeller Kapitel 2: Läs först studiehandledningen på sidan 34. Titta sedan igenom sammanfattningen på sidorna för att skaffa dig en mer detaljerad uppfattning om innehållet i kapitlet. 2.1 Funktionsbegreppet Se till att Du uppfattar betydelsen av begreppet funktion ordentligt. Du hittar definitionen på sidan 36. Att y är en funktion av x brukar man uttrycka som y = f(x), och ofta skriver man f(x) i stället för y i funktionsuttrycken. Funktionen i exempel 4 på sidan 37 skulle alltså lika gärna kunna skrivas som : f(x) = x(12 2x). Intervallbegreppet återkommer Du till längre fram i boken, men lär Dig gärna det här redan nu, då begreppet är mycket användbart bl.a. vid beskrivning av talmängder. Definitionsmängd och värdemängd förklaras tydligt i det här exemplet. Här kan Du också se kopplingen till intervallbegreppet. Man talar om oberoende och beroende variabler. Den oberoende variabeln, som ofta betecknas med x, förfogar man över fritt frånsett eventuella begränsningar till intervall. Ett valt värde på den oberoende variabeln ger direkt ett värde på den beroende, och det värdet (funktionsvärdet) räkna man fram med hjälp av funktionsuttrycket. Grafen ( kurvan ) är en bild av funktionen och visar hur funktionsvärdena varierar med värdena för den oberoende variabeln. I exemplet är det ju så att arean blir 16 m 2 på grund av att x har valts lika med 2. Jämför med temperaturexemplet på sidan 35. Där är det naturligtvis inte så att temperaturen är +4 C p.g.a. att klockan är 20. Det här exemplet bygger ju på observationer av faktiska förhållanden, som inte alltid följer enkla matematiska samband. Det ska avslutningsvis nämnas att beteckningen x för den oberoende variabeln inte är självklar. Många andra beteckningar är vanliga i tillämpade sammanhang, t.ex. t för tider. Nationellt centrum för flexibelt lärande / Studieanvisning MaB 3000 Komvux,

7 Studieanvisning Matematik 3000 kurs B/Komvux 2.2 Linjära funktioner Det här har Du stött på tidigare i kurs A, och förmodligen kommer Du ihåg att en linjär funktion avbildas med en rät linje. Det vanligaste sättet att ange en linjär funktion är den s.k. k-x-plus-m-formen, d.v.s.: y = k x + m men lägg märke till en linjär funktion kan anges även på annat sätt, t.ex.: ax + by + c = 0. Ur den här formen kan Du ju utveckla den förra genom att flytta ax och c till andra sidan och sedan dividera hela uttrycket med b. I exempel 2271 på sidan 52 ser Du hur det går till. Var noga med att fatta betydelsen av k och m i det här sammanhanget! Parallella och vinkelräta linjer (sid. 48) Säkert inser Du att två parallella linjer måste ha samma k-värde. Det är ju k-värdet som anger lutningen. Det här visas tydligare på sidan 49 i boken. För linjer som är vinkelräta mot varandra måste rimligen gälla att om den ena är stigande så måste ju den andra vara fallande, eller m.a.o. ha negativ lutning. Om kvoten y-skillnad/x-skillnad för den ena linjen är lika med 4 så måste motsvarande kvot för den andra linjen vara lika med 1/4. Här har bara längdmåtten angivits utan hänsyn till tecken. Linjära modeller (sid. 54) Mycket som Du stöter på i vardagslivet kan beskrivas med en linjär funktion. El-räkningen t.ex. innehåller ju en fast avgiftsdel (som motsvarar m) och pris per kwh (som motsvarar k). Antalet använda kilowattimmar motsvarar x, och totalkostnaden kan då beräknas med ett uttryck av typen y = k x + m. Telefonräkningen och taxiresor är ju också prissatta på motsvarande sätt. I många situationer måste man komma ihåg att funktionens definitionsmängd i praktiken är begränsad. Ta t.ex. plantan i tal X kan naturligtvis inte bli hur stort som helst här, det skulle ju i så fall innebära att plantan blev oändligt hög. Ytterligare ett drastiskt exempel. Lisa tänker banta inför sommaren och gör följande studie av utvecklingen under ett antal veckor : Vecka Vikt (kg) Om den här utvecklingen fortsätter linjärt kommer Lisa att helt försvinna i och med vecka 38, vilket inte var hennes målsättning från början. 9 Nationellt centrum för flexibelt lärande / Studieanvisning MaB3000 Komvux,

8 Studieanvisning Matematik3000 kurs B/Komvux 2.3 Linjära ekvationssystem Grafisk lösningsmetod Betrakta den inledande texten på sidorna Ekvationen x + y = 5 har, som Du säkert inser, hur många lösningar som helst. För varje värde på x går det ju att beräkna ett y-värde sådant att summan av x och y blir 5. Att sambandet kan avbildas med en rät linje inser Du - om inte förr - genom att skriva om ekvationen som : y = -x + 5 eller y = (-1) x + 5. Här har Du ju fått ett funktionsuttryck med k = -1 och m = 5. Med två ekvationer kan vi föra ett likartat resonemang. De båda ekvationerna högst upp på sidan 59 kan ju skrivas om som : y = -x + 5 resp. y = x 1. Genom att rita in de här båda sambanden i ett koordinatsystem inser Du att det finns oändligt många kombinationer (x, y) som uppfyller det första villkoret. På samma sätt finns det oändligt många kombinationer (x, y) som uppfyller det andra villkoret, men det finns en enda kombination (x, y) som uppfyller båda villkoren, nämligen linjernas skärningspunkt. Vi har här hittat en teknik för att lösa ett ekvationssystem av första graden grafiskt. Det skall också nämnas att det inte nödvändigtvis måste vara räta linjer (förstagradsekvationer) det handlar om. Även ekvationer av högre grad kan lösas grafiskt mera om detta längre fram i kursen. Den grafiska lösningsmetoden är snabb Du behöver ju bara två punkter för att rita en rät linje, men den är i praktiken ofta inte exakt. För att göra en grafisk lösning med tillräckligt hög precision kan man rita i flera steg. Först en grov lösning som visar i stort sett var den sökta skärningspunkten ligger. Därefter ritar man en förstorad bild av det området med en skala t.ex. 1 dm = 1 enhet. Det här medför ju att 1 mm på pappret motsvarar 0,01. Förstoringen kan naturligtvis drivas ännu längre om det är nödvändigt. Analytiska lösningsmetoder Substitutionsmetoden Den här metoden visas på ett överskådligt sätt i exempel 2310 på sidan 62. För att det här inte ska framstå som hokus-pokus i fortsättningen måste Du komma ihåg att en ekvation uttrycker en likhet, m.a.o. det som står till vänster i ekvationen är lika med det som står till höger. Nationellt centrum för flexibelt lärande / Studieanvisning MaB 3000 Komvux,

9 Studieanvisning Matematik 3000 kurs B/Komvux Storheter som är lika kan alltid ersätta varandra. Om vi tillämpar det här på ekvation 2 i exemplet kan vi säga att y 5z är bara ett annat sätt att uttrycka talvärdet 2. Genom att skriva om den här ekvationen för sig kan vi få formen y = 2 + 5z, och som en följd av ovanstående resonemang kan vi då alltid ersätta y med 2 + 5z. Det är ju den tekniken som tillämpas här i ekvation 1 ersätts y med uttrycket (2 + 5z). Därmed kommer ekvationen att innehålla bara en obekant och kan sedan lösas som en vanlig ekvation. Additionsmetoden Exemplet 2327 på sidan 64 visar den här metoden. Kom ihåg att det hela tiden är ekvationer som vi hanterar här, vilket bl.a. innebär att 4x 3y i ekvation 2 bara är ett annat sätt att uttrycka talvärdet 14. Den addition som utförs i exemplet (ledvis addition) medför alltså att båda leden i ekvation 1 ökas med 14. Du vet ju sedan tidigare att om två storheter som är lika med varandra ökas med lika mycket vardera så blir summorna lika. Eftersom summan av 3y och 3y är lika med noll så får vi med den här tekniken återigen en ekvation som bara innehåller en obekant. Nu var den här ekvationen tillrättalagd från början för att ge den här möjligheten. Om man inte har den turen och det är ju faktiskt inte särskilt vanligt så får man skaffa den förutsättningen själv, vilket visas i exempel Här multipliceras ekvation 1 med (-3) och ekvation 2 med 2. Åtgärden ger ju som resultat 6y i ekvation 1 och 6y i ekvation 2. Efter ledvis addition kommer sedan y-termerna att ta ut varandra. Hittills har Du bara stött på ekvationssystem med två obekanta. Det finns ingenting som säger att den begränsningen måste gälla. Teoretiskt sett kan ett ekvationssystem bestå av hur många ekvationer som helst men då överlåter man gärna jobbet åt någon annan. Som i övriga fall när det gäller ekvationer så är svårigheten normalt inta att lösa problemet, utan svårigheten ligger i att formulera förutsättningarna i matematiskt hanterbar form. För att ett ekvationssystem skall gå att lösa krävs det att man kan formulera lika många ekvationer som det finns obekanta. I exempel 2341 hittar Du en enkel tillämpning från produktionsindustrin, och i exempel 2342 ser Du en möjlighet att bestämma ett funktionsuttryck med hjälp av ett ekvationssystem. Det senaste exemplet har Du ju tidigare sett en annan metod att lösa, nämligen att beräkna k med tvåpunktsformen och därefter med k känt använda en av de kända punkterna för att bestämma funktionsuttrycket. 11 Nationellt centrum för flexibelt lärande / Studieanvisning MaB3000 Komvux,

10 Studieanvisning Matematik3000 kurs B/Komvux Jämförelse mellan metoderna. Substitutionsmetoden fungerar bra med två olika ekvationer inblandade och kan väl i de flesta fall vara hanterbar även med tre ekvationer. Med efterhand fler och fler ekvationer tenderar den här metoden att ge väldigt komplicerade och svåröverskådliga uttryck. Så man kan med viss generalisering säga att ju större ekvationssystem man har desto säkrare ska man använda additionsmetoden. 2.4 Linjära olikheter Betrakta den inledande texten på sidan 70. Som Du ser av tabellsammanställningen (Fall 1-6) så kan man behandla olikheter på precis samma sätt som likheter (ekvationer), med det undantag som anges som Allmän räkneregel mitt på sidan. När Du studerar tabellen (Fall 1-6) måste Du komma ihåg att begreppet mindre betyder detsamma som längre till vänster på tallinjen. I exempel 2414 skrivs de givna olikheterna om som funktionsuttryck, alltså y 1 = 2x + 0,5 resp. y 2 = 0,5x + 1,5 som funktionsuttryck (index 1 och 2 är inte med i bokens lösning) och därefter undersöks : I uppgift a) För vilka x-värden funktionen y 1 < 0, d.v.s. grafen ligger under x-axeln I uppgift b) För vilka x-värden y 1 > y 2, d.v.s. grafen till y 1 pekar ut större y-värden än grafen till y 2. Gör test 2A på sidan 74. Avsnitten "Arbeta utan räknare 2" på sidorna 80 och "Problemlösning 2" på sidan 73 är mycket bra övningar som tränar huvudräkning och analytisk förmåga. Om du vill kan du spara de blandade övningarna tills du repeterar kursen inför provet. Nu är det dags att göra studiearbete 1. Plats för egna anteckningar och frågor: Nationellt centrum för flexibelt lärande / Studieanvisning MaB 3000 Komvux,

11 Studieanvisning Matematik 3000 kurs B/Komvux Studieenhet Icke-linjära modeller Kapitel 3: Läs först studiehandledningen på sidan 82. Titta sedan igenom sammanfattningen på sidorna för att bilda dig en mer detaljerad uppfattning om innehållet i kapitlet. Träna även på att använda din grafritande räknare, både för att lösa uppgifter och för att kolla om du verkar ha räknat rätt för hand. 3.1 Algebra Lär Dig begreppen på sidan 83 mycket noga. Det är oerhört viktigt att Du är klar över deras betydelse, då Du annars inte behärskar det matematiska språket i fortsättningen. Potensreglerna (sidan 84) har Du stött på redan i kurs A, och här dyker dom upp som en repetition. Lägg speciellt märke till att x 0 = 1 (som många anser vara förbryllande), samt betydelsen av en negativ exponent. I rutan potenslagarna, regel nummer 4, utgör basen en produkt av faktorer, och det bör här tilläggas att produkten mycket väl kan innehålla flera faktorer än två regeln fungerar på motsvarande sätt i alla fall. T.ex. (a b c) m = a m b m c m. Basen kan även utgöra ett bråk. I så fall kan regeln formuleras som (x/y) m = x m /y m. Addition och subtraktion (sidan 88) Lägg märke till vad som står allra först termer med samma grad (samma exponent) på variabeln kan adderas. Du skulle väl aldrig komma på idén att försöka addera längder, areor och volymer? T.ex.: 14 m + 9 m 2 7m 3 kan ju aldrig adderas till något vettigt helt enkelt därför att det är olika typer av storheter, vilket visar sig i form av exponentens värde. Om additioner av den här typen vore möjliga skulle man säkert kunna beräkna t.ex.: 230 V + 55 kg + 24 m också. Parentesreglerna bör Du i det här läget vara ganska bekant med, men se upp här begås det ofta slarvfel. Vi kan utveckla exemplen på sidan 88 lite ytterligare. Observera också att femman som står först i parentesen i båda fallen är en positiv storhet. 13 Nationellt centrum för flexibelt lärande / Studieanvisning MaB3000 Komvux,

12 Studieanvisning Matematik3000 kurs B/Komvux Exempel 1 : Här ska (5 2) = 3 adderas till 7. Resultatet bör bli 10. Sedan parentesen tagits bort får vi formen Addition av femman till sju ger resultatet 12. Vi har alltså lagt till för mycket, vilket kompenseras av att vi som nästa åtgärd subtraherar 2 och får resultatet 10. Parentesen kan alltså tas bort utan andra åtgärder. Exempel 2 : Här ska (5 2) = 3 subtraheras från 7. Resultatet bör bli 4. Sedan parentesen tagits bort får vi formen Subtraktion av femman från sju ger resultatet två. Vi har alltså dragit bort för mycket, vilket kompenseras av att vi som nästa åtgärd adderar 2 och får resultatet 4. Parentesen kan alltså tas bort om samtliga tecken inne i parentesen byts ut. Vi påminner igen om att 5:an i parentesen är ett positivt tal i sig. Distributiva lagen (sidan 90) beskrivs på ett lättfattligt sätt i och med att arean för rektangeln anges på två olika sätt. Det är ju ingen ändring på själva rektangeln så de båda uttrycken måste ju betyda en och samma sak. Lär Dig betydelsen av begreppen Multiplicera in och Bryta ut ordentligt, liksom de andra sätt som finns att språkligt uttrycka samma sak. Begreppet Faktorisera används ibland i stället för Bryta ut. Om man ska vara helt korrekt med språkbruket så bör Faktorisera beskriva en fullständig omskrivning av ett polynom till faktorform, medan bryta ut antyder att någon gemensam faktor flyttats ut utanför en parentes. Lägg också märke till att Summaform lika gärna eller t.o.m. hellre kan kallas för Polynomform. 3.2 Andragradsfunktioner På sidan 93 ser Du andragradsfunktionens graf principiellt avbildad i några olika varianter. Texten på sidorna utgör en bra och heltäckande framställning av andragradsfunktionens egenskaper så studera den noga. Gå igenom exempel 3201 på sidan 95. Här ska Du se upp med att figuren är ritad med olika skalindelning på x- och y-axlarna, vilket gör att man kan tro att den är felritad vid en snabb titt. Figuren är emellertid helt OK. Exempel 3222 på sidan 98 bör Du också studera ordentligt. Världens enklaste andragradsfunktion ser ut så här : y = x 2. Som Du ser kommer x-värdet 0 att ge funktionsvärdet 0. Alla andra funktionsvärden blir > 0 eftersom x 2 = (-x) 2. Grafen blir symmetrisk kring y-axeln av samma skäl. Nationellt centrum för flexibelt lärande / Studieanvisning MaB 3000 Komvux,

13 Studieanvisning Matematik 3000 kurs B/Komvux 3.3 Andragradsekvationer Inledningen till det här avsnittet (sidan 100) har likheter med inledningen till avsnittet ekvationssystem på sidan 58. För att hitta en grafisk lösning till ekvationen x 2 = 5, skriver vi om ekvationen som x 2 5 = 0 och ritar grafen till y = x 2 5. Grafens nollställen utgör då de x-värden som uppfyller villkoret. Sidorna ska Du studera mycket noga. Avsnittet behandlar multiplikation av polynom, eller som vi också kallar det multiplikation av parentesuttryck. Här hittar Du också tre av de viktigaste reglerna som Du över huvud taget stöter på i kursen, nämligen kvadreringsreglerna och konjugatregeln. Alla reglerna handlar om multiplikation av två binom (polynom med två termer) som dessutom innehåller samma termer. Termerna brukar oftast betecknas med a och b i litteraturen. Första kvadreringsregeln behandlar summan av termer (a+b) 2 = (a+b)(a+b) = a 2 + b 2 + 2ab Andra kvadreringsregeln behandlar skillnaden mellan termer (a-b) 2 = (a-b)(a-b) = a 2 + b 2-2ab Konjugatregeln behandlar en summa och en skillnad (a+b)(a-b) = a 2 - b 2 När det gäller kvadreringsreglerna är det alltså summan som kvadreras inte termerna var för sig. Observera alltså speciellt att (a+b) 2 inte är samma sak som a 2 +b 2 På sidan 104 börjar hanteringen av andragradsekvationer ordentligt. En andragradsekvation brukar kallas fullständig om den innehåller x 2 -termer, x-termer och siffertermer. Om x-termer eller siffertermer saknas talar man om en ofullständig andragradsekvation. Lösningsmetoder Om x-termen saknas tar man helt enkelt roten ur siffertermen som exempel 1 på sidan 104 visar. Om siffertermen saknas löses problemet med faktorisering m.a.o. sätt en parentes omkring vänsterledet och bryt ut x som exempel 2 på sidan 105 visar. Som Du vet kan ju aldrig en produkt bli 0 om inte minst en faktor är lika med 0. Både x och (x-a) kan ju inte vara 0 samtidigt eftersom (x-a) alltid är a enheter mindre än x. En fullständig andragradsekvation löser man enklas genom att tillämpa den s.k. p-q-formeln som Du hittar på sidan Nationellt centrum för flexibelt lärande / Studieanvisning MaB3000 Komvux,

14 Studieanvisning Matematik3000 kurs B/Komvux Fullständig andragradsekvation Som Du vet kan Du alltid reducera antalet termer i ett uttryck eller en ekvation dithän att Du bara har kvar en x 2 -term, en x- term o.s.v. Du kan på detta sätt skaffa Dig vad man kallar ekvationen i dess allmänna form : ax 2 + bx + c = 0 där a 0 (Om a = 0 är det ju ingen andragradsekvation). Genom division med a kan Du skaffa ekvationen i sin normalform : x 2 + px + q = 0 (där p=b/a och q=c/a enligt raden ovan) Det är ur den formen som lösningsmetoden är definierad. Metoden beskrivs steg för steg på sidan 107 och bör inte vara svår att följa, men ett par kommentarer kan vara på plats. Vad man gör sedan siffertermen q flyttats till andra sida (och följaktligen bytt tecken också) är att lägga till termen (p/2) 2 på båda sidorna. Åtgärden syftar till att ge ett uttryck till vänster på vilket man kan tillämpa första kvadreringsregeln baklänges. Som Du vet är det ju helt i sin ordning att addera till termer i en ekvation så länge man adderar samma värde på båda sidorna. Genom att sedan ta roten ur båda sidorna återigen samma åtgärd både till höger och vänster får man roten ur parentesen i kvadrat d.v.s. parentesen själv till vänster. I högra leden är ju både p och q talvärden varför man måste ta hänsyn till att roten kan vara både positiv och negativ. Slutligen flyttas p/2 över till höger, x blir ensamt kvar till vänster och vi har fått lösningarna till ekvationen. Lägg märke till att det är två olika lösningar beroende på att det finns två tecken framför rotmärket i högra ledet. Vi har nu hittat en formel för lösning av fullständiga andragradsekvationer i och med att koefficienterna p och q är kända kan vi direkt ange lösningarna. I den inramade rutan på sidan 107 ser Du ekvationens lösningar uttryckta dels matematiskt, dels språkligt. Observera att p-q-formeln förutsätter + mellan alla termerna. Om det skulle stå minus någonstans måste naturligtvis detta påverka lösningarna. Om Du i ett sådant läge skulle bli tveksam så kan Du låta minustecknet följa termen, alltså betrakta koefficienten som ett negativt tal. Vi tillämpar resonemanget på exempel 3328 b) på sidan 108, men i lätt modifierad form : Nationellt centrum för flexibelt lärande / Studieanvisning MaB 3000 Komvux,

15 Studieanvisning Matematik 3000 kurs B/Komvux x x 2 2 4x 5 = 0 + ( 4)x + ( 5) = 0 4 X = ± 2 x = 2 ± ( 5) = 2 ± ( 2) Det är ju inte på något sätt nödvändigt att göra så här och förmodligen kan Du hålla reda på tecknen ändå, men om tycker att det är besvärligt så kan den här tekniken vara bra att ta till. Det bör väl avslutningsvis nämnas att även ofullständiga andragradsekvationer kan lösas så här. Den enda skillnaden är då att p eller q blir lika med noll. 3.4 Icke-linjära modeller Det här avsnittet behandlar i huvudsak två typer av problem : Likheter och olikheter mellan funktioner Exemplet 3401 och de tal som Du hittar här tar alla fasta på grafiska lösningar. Exponentiell utveckling Exemplen 3402 och 3403 beskriver enkelt och bra de typer av problem som Du rimligen kan stöta på i kursen. Exempel Att värdeminskningen är 30 % årligen är ju bara ett annat sätt att uttrycka att 70 % av värdet blir kvar. Bilens värde ett år kan då anges som 70 % (m.a.o. 0,70) av värdet året innan, och detta förhållande gäller i exemplet år efter år. Exemplen 3403 beskriver en löneutveckling på 4 % årligen. Lönen för ett år är alltså 104 % (=1,04) av lönen under föregående år. Grafritande räknare Om Du inte har en grafritande räknare kan Du hoppa över det här avsnittet. Om Du har en, kan det vara lämpligt att gå igenom avsnittet. Eftersom olika fabrikat kan skilja sig ganska mycket åt vad gäller inmatning och skrivtecken på tangenter, måste vi hänvisa Dig till räknarens manual beträffande hanteringen. Du kan beställa ett häfte som behandlar Texas TI-80, -82 och 83 samt Casio fx-7700 GE från oss på CFL. 17 Nationellt centrum för flexibelt lärande / Studieanvisning MaB3000 Komvux,

16 Studieanvisning Matematik3000 kurs B/Komvux Nu är det dags att göra test 3A på sidan 122. Avsnitten "Arbeta utan räknare 3" på sidan 125 och "Problemlösning 3" på sidan 124 är bra övningar som tränar huvudräkning och analytisk förmåga. Om du vill kan du spara de blandade övningarna tills du repeterar kursen inför provet. Därefter är det dags att göra studiearbete 2. Plats för egna anteckningar och frågor: Nationellt centrum för flexibelt lärande / Studieanvisning MaB 3000 Komvux,

17 Studieanvisning Matematik 3000 kurs B/Komvux Studieenhet Geometri Kapitel 4: Läs först studiehandledningen på sidan 132. Titta sedan igenom sammanfattningen på sidan 164 för att bilda dig en mer detaljerad uppfattning om innehållet i kapitlet. Mycket av det som kapitlet behandlar har Du stött på redan i kurs A, men här finns ju också en del nyheter. 4.1 Vinklar Redan på sidan 133 stöter Du på begreppet stråle, och det kan väl vara på plats att repetera de tre grundläggande begreppen linje, stråle och sträcka : En linje är rak och oändligt lång. Den saknar alltså begränsning En stråle har en bestämd startpunkt men räcker till oändligheten åt andra hållet En sträcka är en del av en linje som är begränsad åt båda håll. Sträckan har därmed en bestämd längd. En vinkel utgörs av två strålar med gemensam startpunkt och som inte är parallella med varandra. De båda strålarna kallas här för vinkelben. Att vinkelsumman i en triangel är 180 vet du säkert redan. I det här sammanhanget bör kanske nämnas att vinkelenheten grader ( ) inte på något sätt är av naturen given. Att dela upp varvet i 360 är människors påfund och det finns även andra vinkelenheter, t.ex. s.k. nygrader ( c ) där varvet delas upp i 400 c. Yttervinkelsatsen (sidan 136) har du troligen stött på i A-kursen. Den är mycket användbar i många lägen och här ges ett bevis som inte torde vara svårt att följa för den satsen. Randvinkelsatsen (sidan 138) är även den mycket användbar. Beviset bygger i sitt steg 1 på yttervinkelsatsen, som kan tillämpas med lätthet då ett av vinkelbenen i vinklarna y resp. x i figuren utgör diameter resp. radie i cirkeln. I steg 2 har man helt enkelt delat upp beviset i två delar genom att dra den streckade linjen (= diametern i cirkeln) och genomföra beviset på delarna var för sig. I steg 3 förs ett liknande resonemang (man relaterar alltså till diametern), men här får man i stället subtrahera de delar av vinklarna som inte ska vara med. 19 Nationellt centrum för flexibelt lärande / Studieanvisning MaB3000 Komvux,

18 Studieanvisning Matematik3000 kurs B/Komvux En direkt följd av randvinkelsatsen är att randvinkeln (begreppet periferivinkel förekommer också) på en halvcirkelbåge är Likformighet och Pythagoras sats När vi talar om likformiga figurer menar vi att figurerna har samma form språkligt så är väl det ganska självklart. Ett matematiskt preciserat sätt att uttrycka saken hittar Du på sidan 140. De tre figurerna högst upp på sidan 140 är likformiga. Den högra figuren är spegelvänd i förhållande till de båda andra, men det är i sig inget hinder för likformigheten. Beträffande likformiga trianglar (sidan 142) så räcker villkoret att två vinklar är lika i de båda trianglarna för att likformighet ska föreligga. En triangel har ju vinkelsumman 180, så om två vinklar är lika så måste ju även den tredje vinkeln vara lika. Anm.: Om två vinklar är lika och sidan mellan vinklarna också är lika blir trianglarna exakt lika. Det kallas att trianglarna är kongruenta. Topptriangelsatsen kan Du nog ganska snart inse som självklar eftersom de vinklar som är markerade i figuren är likbelägna med de begrepp som används på sidan 133. Transversalsatsen rent språkligt uttryckt - säger att motsvarande storheter i likformiga figurer är proportionella mot varandra. Jämför med proportionalitet i linjära funktioner. Satsen ger betydelsefulla möjligheter i många fall vid problemlösning. Pythagoras sats kommer Du säkert ihåg från A-kursen, och här kommer den som repetition med ett av alla de bevis som finns för satsen. Om man på något sätt skulle kommentera den här texten så är det för att speciellt påpeka att satsen utgör en ekvation, där Du alltså kan lösa vilken som helst av de ingående storheterna på villkor att de båda andra är kända. 4.3 Några geometriska problem och bevis Här hittar Du ett antal uppgifter som sammanfattar geometrikapitlet, samt två bevis på sidan 154. Exempel 4311 beviset här bygger på en uppdelning i deltrianglar. Exemplet handlar om en regelbunden figur, men beviset kan appliceras på vilken polygon (månghörning) som helst. För varje månghörning och här finns inget krav på regelbundenhet - med n st. hörn gäller att vinkelsumman är (n-2) 180. Nationellt centrum för flexibelt lärande / Studieanvisning MaB 3000 Komvux,

19 Studieanvisning Matematik 3000 kurs B/Komvux För en triangel, där n = 3 får Du vinkelsumman (3-2) 180 = 180. Prova själv med några andra månghörningar så får Du se. Exempel 4312 Kordasatsen kan i vissa lägen vara mycket användbar. Beviset som Du säkert inte kommer att se som svårt bygger på likformighet. För att förstå vinkelbeteckningarna ordentligt ska Du titta på den nedre bilden. 4.4 Koordinatgeometri Det som är speciellt i detta ytterst korta avsnitt är att de sträckor som behandlas är inlagda i koordinatsystem, d.v.s. sträckornas ändpunkter anges i koordinatform. Avståndsformeln (sidan 156) här inser Du säker att Phytagoras sats ska tillämpas. Skillnaden mellan sträckans ändpunkter i x- resp. y-led utgör ju två längder som är vinkelräta mot varandra och avståndet mellan ändpunkterna kommer då att utgöra hypotenusan i en rätvinklig triangel. Mittpunktsformeln (sidan 158). Mittpunktens koordinater utgör helt enkelt medelvärdet av ändpunkternas koordinater. Här måste man naturligtvis också räkna x-riktningen och y-riktningen var för sig. Du kan säkert identifiera uttrycket i den blå rutan som en medelvärdesberäkning. Med hjälp av transversalsatsen kan Du också inse att en transversaler genom hypotenusans mittpunkt också går genom kateternas mittpunkter, på villkor att transversalerna är parallella med koordinataxlarna. Nu är det dags att göra test 4A på sidan 160. Avsnitten "Arbeta utan räknare 4" på sidan 163 och "Problemlösning 4" på sidan 162 är bra övningar som tränar huvudräkning och analytisk förmåga. Om du vill kan du spara de blandade övningarna tills du repeterar kursen inför provet. Plats för egna anteckningar och frågor: 21 Nationellt centrum för flexibelt lärande / Studieanvisning MaB3000 Komvux,

20 Studieanvisning Matematik3000 kurs B/Komvux Studieenhet Statistik Kapitel 5: Läs först studiehandledningen på sidan 170. Titta sedan igenom sammanfattningen på sidan 195 för att bilda dig en mer detaljerad uppfattning om innehållet i kapitlet. 5.1 Läges- och spridningsmått Lägesmått Lägesmåtten medelvärde och median har Du stött på i kurs A, och förmodligen kommer Du ihåg hur de definierades. En kort repetition av begreppen hittar Du på sidan 171. Kom också ihåg att villkoret för att definitionen median = mellersta individens variabelvärde förutsätter att individerna är ordnade i en konsekvent ordning efter variabelvärde. I det här läget kan det vara lämpligt att också repetera de i statistiken grundläggande begreppen individ, variabel och frekvens. Vi är väl för det mesta inställda på att koppla individbegreppet till en människa eller möjligen ett djur, men inom statistiken har begreppet en mera långtgående betydelse. Individ är en undersökt enhet, t.ex. en människa, ett djur, en bil, en lägenhet eller en glödlampa Anm.: Individbegreppet nämns inte i boken. Variabeln är den egenskap hos individen som mäts, t.ex. längd, vikt, bensinförbrukning, antal rum eller brinntid Frekvensen anger antalet individer som har ett och samma variabelvärde (ev. ligger inom samma intervall av variabelvärden) Jämför med exempel 5102 (sidan 171), här är individerna dagarna i månaden, variabeln är antalet liter per dag och frekvenserna är antalet dagar med ett och samma variabelvärde. Spridningsmått Exemplet högst upp på sidan 173 visar på ett enkelt och tydligt sätt att medelvärde och median inte ger all information om en statistisk fördelning som det kan vara värt att veta. Man måste alltså finna metoder att ange hur stor spridningen är inom fördelning. Texten i det här avsnittet beskriver väl de begrepp som införs efterhand. Längst ner på sidan 173 hittar Du Nationellt centrum för flexibelt lärande / Studieanvisning MaB 3000 Komvux,

21 Studieanvisning Matematik 3000 kurs B/Komvux inledningen till ett nytt begrepp kvartilavstånd. Framställningen fortsätter in på sidan 174. Inom intervallet kvartilavstånd hittar vi alltså hälften av de undersökta individerna under förutsättning att materialet har någorlunda storlek. Vid mycket små undersökningsmaterial som i det här exemplet kan man få fram grynighetseffekter, d.v.s. de effekter som uppstår då en enda individ utgör en relativt stor andel av hela materialet. Kvartilavstånd som spridningsmått hör naturligt ihop med median som lägesmått. På motsvarande sätt hör standardavvikelsen som spridningsmått naturligt ihop med medelvärdet som lägesmått. Standardavvikelse behandlas inte i boken. I någorlunda normala fördelningar kan Du utgå från att kvartilavståndet 2 standardavvikelsen Man skulle kunna fortsätta ett steg till och säga att variationsbredd (eller variationsvidd) som spridningsmått hör naturligt ihop med typvärde som lägesmått. Vi måste ju då vara klara över att det är mycket grova förenklingar vi rör oss med. Vi tar det inledande exemplet (sidan 173) och gör vissa små justeringar i poängtalen för att illustrera detta : Klass A Klass B Om poängfördelningen i klass A hade sett ut som ovan i stället så skulle typvärdet för klassen ha varit 24 p, och som Du ser är inte det värdet speciellt representativt för klassen. Om poängfördelningen i klass B hade sett ut som ovan i stället så skulle variationsvidden för klassen ha varit 60 p, som också är tämligen missvisande då mer än 80 % av eleverna ligger inom intervallet 50 x Statistiska undersökningar Som en uppgift i studiearbetet till det här avsnittet ingår att Du själv ska göra en statistisk undersökning. På sidorna i boken förklaras de begrepp som förekommer i det här sammanhanget. 5.3 Normalfördelning Det här är en frivillig fördjupningsdel. 23 Nationellt centrum för flexibelt lärande / Studieanvisning MaB3000 Komvux,

22 Studieanvisning Matematik3000 kurs B/Komvux Nu är det dags att göra test 5A på sidan 192. Avsnitten "Arbeta utan räknare 5" på sidan 194 och "Problemlösning 5" på sidan 195 är bra övningar som tränar huvudräkning och analytisk förmåga. Det har också blivit dags att göra studiearbete 3 och att anmäla sig till examinationen. Alla studiearbeten måste vara bedömda av din lärare för att delta i examinationen. Plats för egna anteckningar och frågor: Nationellt centrum för flexibelt lärande / Studieanvisning MaB 3000 Komvux,