Lektionsanteckningar 2: Matematikrepetition, tabeller och diagram
|
|
- Björn Nyström
- för 8 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Lektionsanteckningar 2: Matematikrepetition, tabeller och diagram 2.1 Grundläggande matematik Potensfunktioner xmxn xm n x x x x x x m n x mn x x 4 3 x4 3 x1 x x n 1 x n x 3 1 x 3 x0 1 1
2 x1 n n x x12 x x m n xmn 2 x x x x m ymx y m 2 x2y2 x y 2
3 2.1.2 Logaritmer En logaritm är en matematisk funktion som anger storleksordningen av ett tal. Logaritmer kan användas för att underlätta multiplikation och division. Logaritmer beräknas oftast med basen 10, betecknas log, eller med basen e, betecknas ln. För godtyckliga tal a, b, c, d, så gäller följande för logaritmer med basen 10 (och basen e) log ab log a log b log a loga logb b log cd d logc log 1 = 0 log 10 = 1 3
4 i) Skriv som en funktion av log 2 a) log4 log 22log2log2 0, b) log 2 log2 log log 2 log 2 log 2 log2 log log2 0,502 3 ii) Skriv som en funktion av log(y) y x log y log x log100 log20 x log100x log20 21,309 x iii) Skriv som en funktion av y log y4 2x log y 42x y x x 4
5 2.1.3 Summor Den grekiska bokstaven Sigma,, används för att förenkla komplicerade och/eller långa uttryck med summor av variabler. Till exempel, anta att variabeln X mäter total kostnaden för ett antal projekt (i miljoner kronor) för en koncern. Tänk att vi har ett urval på fem projekt som genomförs av koncernen; numrerade 1, 2, 3, 4, och 5. Låt x 1, x 2, x 3, x 4, och x 5 beteckna dessa fem projekts kostnader, dvs. x 1 mäter kostnaden för projekt nummer 1, x 2 mäter kostnaden för projekt nummer 2, osv. Då kan vi kortfattat uttrycka detta som; x i mäter kostnaden för projekt i urvalet för koncernen, där i går från ett till fem. 5
6 Den totala kostnaden för dessa fem projekt för koncernen är därmed X = x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 Detta kan vi mera kortfattat skriva som X 5 x i1 i ska tolkas som summan av eller här adderar vi x i, där vi startar med i = 1 och slutar med i = 5. Kostnaden (i miljoner kronor) för dessa fem projekt är; 24, 22, 33, 17, och 19, dvs. x 1 = 24, x 2 = 22, x 3= 33, x 4 =17, och x 5 =19. Då kan vi skriva den totala kostnaden för koncernen för dessa fem projekt som X 5 x = = 115 i1 i De totala kostnaderna för dessa fem projekt är alltså 115 (i miljoner kronor). 6
7 Ibland kan det vara så att vi har samma värde på en variabel för varje projekt, dvs. en konstant. Koncernen betalar en fast miljöskatt på 2 (i miljoner kronor) för varje projekt och vi benämner miljöskatten med variabeln Y. Låt y 1, y 2, y 3, y 4 och y 5 beteckna dessa fem projekts miljöskatter. Miljöskatten (i miljoner kronor) för dessa fem projekt är således; 2, 2, 2, 2, och 2, dvs. y 1 = 2, y 2 =2, y 3 =2, y 4 =2 och y 5 = 2. Då kan vi skriva den totala miljöskatten för dessa fem projekt som 5 y i1 i = = 5 2 = 10 Detta kan vi skriva mera generellt som n i1 ana 7
8 De totala kostnaderna för dessa fem projekt när vi tagit hänsyn till den fasta miljöskatten blir således 5 i i X x y i1 8
9 2.1.4 Olikheter Om vi antar att lönen för en person är kronor i månaden (efter skatt). Då ligger det i denna persons intresse att utgifterna, c, är kronor eller mindre varje månad, det vill säga c Detta är ett exempel på en olikhet. Olikheten c < utläses c är mindre än och olikheten c utläses c är mindre än eller lika med På motsvarande sätt kan olikheten representera något som är större än eller lika med något visst värde. En dubbelolikhet innehåller två olika olikhetstecken, exempelvis om x ligger i intervallet sådant att x är större än eller lika med 10 men mindre än eller lika med 20 skrivs detta som 10 x 20. 9
10 2.2 Tabeller och diagram Tidningar, radio och TV förmedlar dagligen statistiska uppgifter i form av medelvärden, procenttal, diagram och tabeller. Den statistik vi möter i massmedia är naturligtvis i stor utsträckning korrekt. Men ofta händer det tyvärr att uppgifterna är felaktiga, vilseledande eller åtminstone lätta att missuppfatta. Därför är det viktigt att kunna granska statistik kritiskt. Vid redovisning och kritisk granskning av statistik är det lämpligt att rent rutinmässigt ställa sig frågorna i) Är redovisningen meningsful? ii) Ger redovisningen en korrekt bild? iii) Är redovisningen lätt att begripa? 10
11 2.2.1 Kategorivariabler Kategoriska data är observationer av kvalitativa variabler för vilka det inte är meningsfullt att använda sifferskalor. Under hösten 2007 delades en enkät ut till studenter på Handelshögskolan. Syftet var att undersöka vad universitetsstudenter tycker är viktigt i arbetslivet. Enkäten innehöll några frågor om respondentens bakgrund och ett antal attitydfrågor. Kön är en kategorisk variabel. Vi vill nu ta fram hur många studenter har medverkat i undersökningen och hur könsfördelningen är. Vi kan presenterna resultatet i en frekvenstabell, cirkeldiagram, eller stapeldiagram 11
12 Frekvenstabell: Kön Valid Kvinna Man Total Frequency Percent I denna undersökning har vi alltså mätt variabeln kön. Variabelvärdena är kvinna och man. Klassen Kvinna har frekvensen 190 och klassen Man frekvensen 170. Summan av frekvenserna, 360, anger totala antalet studenter som deltog i undersökningen. Den andra kolumnen redovisar den relativa fördelningen. Då räknar man om frekvenserna till relativa frekvenser, som ofta anges i procent. För varje klass bildar man kvoten mellan antalet individer i klassen och totalantalet individer i materialet. 12
13 För klassen Kvinna blir den relativa frekvensen 190/360=0,528, vilket motsvarar 52,8 %. För klassen Man blir den relativa frekvensen 170/360=0,472, vilket motsvarar 47,2 %. Vi får samma information genom ett cirkeldiagram eller ett stapeldiagram. Det finns inget rätt eller fel, utan det beror på vad du tycker är lämpligt att använda för att belysa materialet med. 13
14 Cirkeldiagram: 14
15 Stapeldiagram: 15
16 Respondenterna fick en fråga om hur viktig anställningstrygghet var för dem i arbetslivet och dem skulle svara på en 7-gradig skala, från inte så viktigt (=1) till ytterst viktigt (=7). Några få studenter svarade vet ej, varför vi tog bort dessa observationer. Vi fick då följande resultat som presenteras i frekvenstabellen och stapeldiagrammet nedan 16
17 Valid Inte så viktigt Ytterst viktigt Total Frequency Percent
18 Cirka 26 procent av studenterna tyckte att det är ytterst viktigt med en anställningstrygghet i arbetslivet. Fördelningen är skev till höger och det tyder på att de flesta studenter som deltog i undersökningen tycker att anställningstrygghet i arbetslivet är viktigt för dem i arbetslivet. 18
19 Är anställningstrygghet i arbetslivet oberoende av kön? För att kunna besvara denna fråga kan vi använda oss av en korstabell eller stapeldiagram. 19
20 Anställningstrygghet och kön % within Kön Inte så viktigt Ytterst viktigt Total Kön Kvinna Man Total.5% 1.8% 1.1% 1.1% 3.6% 2.3% 4.8% 10.8% 7.7% 9.7% 16.3% 12.8% 21.5% 30.1% 25.6% 27.4% 20.5% 24.1% 34.9% 16.9% 26.4% 100.0% 100.0% 100.0% 20
21 Det verkar vara så att anställningstrygghet i arbetslivet är viktigare för kvinnor än män. Av kvinnorna tyckte 34,9 % att det är ytterst viktigt med anställningstrygghet i arbetslivet men bara 16,9 % av männen hade samma åsikt. 21
22 2.2.2 Kontinuerliga variabler Kontinuerliga data är observationer av kontinuerliga variabler. För dem kan alla tal inom ett givet intervall användas för att ange egenskaper. Man hade frågat om studenternas födelseår och kan således ta fram studenternas ålder. Ålder är en kontinuerlig variabel. Vid kontinuerliga variabler är frekvenstabeller inte lämpliga då tabellen riskerar att bli ohanterligt stor. Då brukar man vanligen klassindela den kontinuerliga variabeln och sedan redovisa den klassindelade variabeln i ett histogram. De olika klasserna representerar då av rektanglar vars ytor är proportionella mot klassens frekvens. Klassindelningen kan göra på detta sätt Klassbredd =(Största värdet - Minsta värdet)/antal klasser 22
23 Man brukar rekommendera att man använder mellan 8 till 12 klasser beroende på vilken data som man har till sitt förfogande. Ett approximativt värde för de individer som tillhör en viss klass är klassmitten. Undre klassgränsen plus halva klassbredden ger klassmitten. Klassindelningen gör materialet mer överskådligt men innebär också informationsförlust. Ju färre klasser desto mera information förlorar vi. Detta innebär att man inte i onödan ska göra beräkningar med utgångspunkten från klassindelat material. Det är bättre att räkna på de ursprungliga mätvärdena om de finns tillgängliga. Man brukar oftast avrunda mätvärdena så att t.ex. individer med längden 174,5 cm och 175,5 cm fått värdet 175 cm. Detta innebär att individer som finns i klassen är mellan 174,5 cm och 179,5 cm. Klassbredden är då 5 cm och då blir undre klassgränsen plus halva klassbredden, dvs. 174,5 + 2,5 = 177 klassmitten. 23
24 Variabeln ålder avrundas alltid nedåt till närmaste heltal. Det innebär att klassen år innehåller de individer som fyllt 25 år men ännu inte 30 år. Klassgränserna i denna klass är därför 25 år och 30 år, klassbredden 5 år, vilket innebär att klassmitten är ,5 = 27,5 år. Om man således tar undre gränsen plus den övre gränsen dividerat med två klarar man de flesta situationer om man kommer ihåg att lägga till ett år på den övre gränsen när man har åldern i en frekvenstabell. 24
25 Ett histogram för studenternas ålder ges av Snedhet (skewness) och toppighet (kurtosis) är två tal som strävar efter att uttrycka något om formen på histogrammet. Ett perfekt klockformad histogram har snedheten 0 och en toppighet på 3. 25
26 Om histogrammet (fördelningen) är nästan symmetrisk ska den absoluta snedheten vara mindre än 0.5. Ett histogram som är något sned har en absolut snedhet mellan 0.5 och 1. En mycket sned fördelning har en absolut snedhet större än 1. Toppigheten är ett tal som ska säga hur spetsigt histogrammet är. Om toppigheten är positiv betyder det att histogrammet liknar en spetsig bergstopp. Är toppigheten omkring 3 har vi den berömda normalfördelningskurvan. Om toppigheten är negativ betyder det att histogrammet är mera jämnt. I histogrammet för studenternas ålder är snedheten -0,21 och toppigheten 3,3. Histogrammet för studenternas ålder är nästan symmetrisk och liknar normalfördelningskurvan. 26
27 Ett alternativ till den relativa frekvensen är de ackumulerade eller kumulerade frekvensen. Man beräknar de kumulerade frekvenserna genom att stegvis addera frekvenserna från det lägsta variabelvärdet till det högsta. Den kumulerade relativa frekvensen visar de summerade andelarna från det lägsta variabelvärdet till det högsta. Ett diagram av de kumulerade frekvenserna kallas för en summapolygon, dvs. ett diagram över fördelningen av de kumulerade frekvenserna. 27
28 Ett annat sätt att presentera är stambladdiagram. Det ger en liknande bild som histogrammet, men grundas på en siffermässig uppställning. Vi gör diagrammet genom att sortera data och ordna dem i rader efter den första siffran (eller de första siffrorna). Antag att vi har dessa resultat från en tentamen med 35 studenter; 97, 117, 89, 145, 124, 73, 84, 95, 136, 112, 135, 92, 95, 136, 112, 135, 92, 108, 88, 102, 116, 138, 97, 141, 78, 98, 103, 103, 113, 94, 45, 97, 101, 121,
29 Ett stambladdiagram för tenta resultatet ges då av Diagrammet ska läsas så här: Raden 4 5 motsvarar talet 45 medan motsvarar talen 141 och 145 osv. 29
30 Vi är oftast intresserade av att se om det finns något samband mellan två variabler. Ett spridningsdiagram kan användas för detta syfte. I ett spridningsdiagram plottar vi således två variabler mot varandra. Ett spridningsdiagram kan ge en antydan om att det finns ett samband mellan variabler. Läraren hade gjort en närvarolista på varje föreläsning och visste närvaroprocenten och tentamensresultat för varje student. Finns det ett samband mellan deltagande på föreläsningarna och tentamensresultatet? Således skapade läraren två variabler, provresultat och närvaroprocent, och plottade dem i ett spridningsdiagram 30
31 Kan vi dra slutsatsen att studenterna lärde sig något av föreläsningarna? Det ser ut som det är ett positivt samband mellan provresultat och deltagande på föreläsningar. Vi återkommer till detta senare i kursen. 31
32 Många variabler ändras med tiden. Flera mätningar över tiden på samma variabel kallas för en tidsserie. Vanligtvis görs mätningarna med jämna intervall, dagligen, per månad, per kvartal eller per år. Tidsserien illustreras enkelt genom tidsserieplottning. Vi har försäljningen för ett företag på årsbasis från 1983 till 2007, och vi kan illustrera utvecklingen över tiden med en tidsserieplottning 32
33 Vi gör diagram därför att vi vill förmedla information till dem som läser dem. När vi gör diagrammen måste vi därför hela tiden tänka vilket budskap vi vill förmedla och vilken målgrupp vi vänder oss till. Gör enkla figurer och undvik onödiga effekter. Kom ihåg förklaringar och enhet på axlarna. Låt om möjligt y axeln börja på noll. Storleken på intervall längs axlarna ska vara konstanta. Tolka diagrammet försiktigt. 33
Statistiska undersökningar
Arbetsgång vid statistiska undersökningar Problemformulering, målsättning Statistiska undersökningar Arbetsgången mm Definition av målpopulation Framställning av urvalsram Urval Utformning av mätinstrument
Läs merBeskrivande statistik Kapitel 19. (totalt 12 sidor)
Beskrivande statistik Kapitel 19. (totalt 12 sidor) För att åskådliggöra insamlat material från en undersökning används mått, tabeller och diagram vid sammanställningen. Det är därför viktigt med en grundläggande
Läs merLULEÅ TEKNISKA UNIVERSITET Ämneskod S0006M Institutionen för matematik Datum 2009-12-17 Skrivtid 0900 1400
LULEÅ TEKNISKA UNIVERSITET Ämneskod S0006M Institutionen för matematik Datum 2009-12-17 Skrivtid 0900 1400 Tentamen i: Statistik 1, 7.5 hp Antal uppgifter: 5 Krav för G: 11 Lärare: Robert Lundqvist, tel
Läs merF4 Beskrivning av ett datamaterial. Val av diagram, lägesmått och spridningsmått.
Tabellering av kvalitativ variabel En variabel varierar över ett antal kategorier. F4 Beskrivning av ett datamaterial. Val av diagram, lägesmått och spridningsmått. T ex, individer är kvinnor eller män.
Läs merTypvärde. Mest frekventa värdet Används framförallt vid nominalskala Ex: typvärdet. Kemi 250. Ekon 570. Psyk 120. Mate 195.
Lägesmått Det kan ibland räcka med ett lägesmått för att beskriva datamaterial Lägesmåttet kan vara bra att använda då olika datamaterial skall jämföras Vilket lägesmått som skall användas: Typvärde Median
Läs merDatorövning 1 Statistik med Excel (Office 2010, svenska)
Datorövning 1 Statistik med Excel (Office 2010, svenska) I processövningen som ni ska genomföra ingår det att konstruera samt sammanställa en enkät. Denna sammanställning ska göras med hjälp av programmet
Läs merDatorövning 1 Statistik med Excel (Office 2007, svenska)
Datorövning 1 Statistik med Excel (Office 2007, svenska) I processövningen som ni ska genomföra ingår det att konstruera samt sammanställa en enkät. Denna sammanställning ska göras med hjälp av programmet
Läs merTal Räknelagar Prioriteringsregler
Tal Räknelagar Prioriteringsregler Uttryck med flera räknesätt beräknas i följande ordning: 1. Parenteser 2. Exponenter. Multiplikation och division. Addition och subtraktion Exempel: Beräkna 10 5 7. 1.
Läs merStatistisk undersökningsmetodik (Pol. kand.)
TENTAMEN Tentamensdatum 2008-10-02 Statistisk undersökningsmetodik (Pol. kand.) Namn:.. Personnr:.. Tentakod: Obs! Var noga med att skriva din tentakod på varje lösningsblad som du lämnar in. Skrivtid
Läs merF2 Beskrivning av ett datamaterial. Tabellering och val av diagram. Summatecknet
F2 Beskrivning av ett datamaterial. Tabellering och val av diagram. Summatecknet Tabellering av kvalitativ variabel En kvalitativ variabel varierar över ett antal kategorier. Antag att vi har observerat
Läs merStatistik för Brandingenjörer. Laboration 1
LUNDS UNIVERSITET 1(6) STATISTISKA INSTITUTIONEN Statistik för Brandingenjörer Laboration 1 Beskrivande statistik VT 2012 2 En marknadsundersökning Bakgrund Uppgiften kommer att omfatta en del av en marknadsundersökning
Läs merDatorövning 1 Statistik med Excel (Office 2007, svenska)
Datorövning 1 Statistik med Excel (Office 2007, svenska) I processövningen som ni ska genomföra ingår det att konstruera samt sammanställa en enkät. Denna sammanställning ska göras med hjälp av programmet
Läs mer2 Dataanalys och beskrivande statistik
2 Dataanalys och beskrivande statistik Vad är data, och vad är statistik? Data är en samling fakta ur vilken man kan erhålla information. Statistik är vetenskapen (vissa skulle kalla det konst) om att
Läs merÄr sjukvården jämställd och går det åt rätt håll?
Inledning Som titeln antyder är syftet med den här undersökningen att ta reda på om svensk hälso- och sjukvård är jämställd. Det är en fråga som kan analyseras utifrån olika perspektiv, vilka i huvudsak
Läs merBeskrivande statistik
Beskrivande statistik Tabellen ovan visar antalet allvarliga olyckor på en vägsträcka under 15 år. år Antal olyckor 1995 36 1996 20 1997 18 1998 26 1999 30 2000 20 2001 30 2002 27 2003 19 2004 24 2005
Läs merUppgift 1. Deskripitiv statistik. Lön
Uppgift 1 Deskripitiv statistik Lön Variabeln Lön är en kvotvariabel, även om vi knappast kommer att uppleva några negativa värden. Det är sannolikt vår intressantaste variabel i undersökningen, och mot
Läs merSidor i boken 110-113, 68-69 2, 3, 5, 7, 11,13,17 19, 23. Ett andragradspolynom Ett tiogradspolynom Ett tredjegradspolynom
Sidor i boken 110-113, 68-69 Räkning med polynom Faktorisering av heltal. Att primtalsfaktorisera ett heltal innebär att uppdela heltalet i faktorer, där varje faktor är ett primtal. Ett primtal är ett
Läs merTentamen i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäng) Onsdag 1 november 2006, Kl 08.15-13.15
Tentamen i Statistik, STA A och STA A13 (9 poäng) Onsdag 1 november 00, Kl 0.15-13.15 Tillåtna hjälpmedel: Bifogad formelsamling, approximationsschema och tabellsamling (dessa skall returneras). Egen miniräknare.
Läs merResultatet läggs in i ladok senast 13 juni 2014.
Matematisk statistik Tentamen: 214 6 2 kl 14 19 FMS 35 Matematisk statistik AK för M, 7.5 hp Till Del A skall endast svar lämnas. Samtliga svar skall skrivas på ett och samma papper. Övriga uppgifter fordrar
Läs merStatistikens grunder 1 och 2, GN, 15 hp, deltid, kvällskurs
Statistikens grunder och 2, GN, hp, deltid, kvällskurs TE/RC Datorövning 3 Syfte:. Lära sig göra betingade frekvenstabeller 2. Lära sig beskriva en variabel numeriskt med proc univariate 3. Lära sig rita
Läs mer8-1 Formler och uttryck. Namn:.
8-1 Formler och uttryck. Namn:. Inledning Ibland vill du lösa lite mer komplexa problem. Till exempel: Kalle är dubbelt så gammal som Stina, och tillsammans är de 33 år. Hur gammal är Kalle och Stina?
Läs merFörtest. Hur kan jag arbeta med förtesten? Hur dokumenterar jag elevens kunskapsutveckling? Uppfattar du det som att eleven kan matematikinnehållet
AB Höst LP 1-2 Flik 02 Förtest (8768) Lev 1.qxd 2004-01-20 18:10 Sida 1 Förtest För alla lärare är det viktigt att skaffa sig en god bild av elevens kunskaper för att veta vad eleven behöver för att gå
Läs merTentamen i Sannolikhetslära och statistik (lärarprogrammet) 12 februari 2011
STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISK STATISTIK Louise af Klintberg Lösningar Tentamen i Sannolikhetslära och statistik (lärarprogrammet) 12 februari 2011 Uppgift 1 a) För att få hög validitet borde mätningarna
Läs merOlika typer av variabler och skalor. 1. Nominalskala 2. Ordinalskala 3. Intervallskala 4. Kvotskala. Intervallskala. Nominalskala.
Olika typer av variabler och skalor Kvalitativ variabel -variabeln antar inte numeriska värden utan bara olika kategorier. vis olika bilmärken, eller man, kvinna. Kvantitativ variabel Antar numeriska värden
Läs merKompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs A, kapitel 3
Kapitel 3.1 3101 Exempel som löses i boken. 3102, 3103, 3104 Se facit, kontakta din lärare om du behöver hjälp. 3105 a) Se facit. b) Lägg ihop höjden på alla staplar 15 + 10 + 25 = 50 st c) Se facit. 3106
Läs merSvar och arbeta vidare med Student 2008
Student 008 Svar och arbeta vidare med Student 008 Det finns många intressanta idéer i årets Känguruaktiviteter. Problemen kan inspirera undervisningen under flera lektioner. Här ger vi några förslag att
Läs mer13.1 Matematisk statistik
13.1 Matematisk statistik 13.1.1 Grundläggande begrepp I den här föreläsningen kommer vi att definiera och exemplifiera ett antal begrepp som sedan kommer att följa oss genom hela kursen. Det är därför
Läs merRödGrön-spelet Av: Jonas Hall. Högstadiet. Tid: 40-120 minuter beroende på variant Material: TI-82/83/84 samt tärningar
Aktivitetsbeskrivning Denna aktivitet är utformat som ett spel som spelas av en grupp elever. En elev i taget agerar Gömmare och de andra är Gissare. Den som är gömmare lagrar (gömmer) tal i några av räknarens
Läs merÖVNINGSUPPGIFTER KAPITEL 9
ÖVNINGSUPPGIFTER KAPITEL 9 STOKASTISKA VARIABLER 1. Ange om följande stokastiska variabler är diskreta eller kontinuerliga: a. X = En slumpmässigt utvald person ur populationen är arbetslös, där x antar
Läs merLektionsanteckningar 11-12: Normalfördelningen
Lektionsanteckningar 11-12: Normalfördelningen När utfallsrummet för en slumpvariabel kan anta vilket värde som helst i ett givet intervall är variabeln kontinuerlig. Det är väsentligt att utfallsrummet
Läs merFöreläsning 1. 732G60 Statistiska metoder
Föreläsning 1 Statistiska metoder 1 Kursens uppbyggnad o 10 föreläsningar Teori blandas med exempel Läggs ut några dagar innan på kurshemsidan o 5 räknestugor Tillfälle för individuella frågor Viktigt
Läs merSannolikhetslära. 1 Grundläggande begrepp. 2 Likformiga sannolikhetsfördelningar. Marco Kuhlmann
Marco Kuhlmann Detta är en kompakt sammanfattning av momentet sannolikhetslära som ingår i kurserna Matematik 1b och 1c på gymnasiet. I slutet av dokumentet hittar du uppgifter med vilka du kan testa om
Läs merSödervångskolans mål i matematik
Södervångskolans mål i matematik Mål som eleverna lägst ska ha uppnått i slutet av det första skolåret beträffande tal och taluppfattning kunna läsa av en tallinje mellan 0-20 kunna läsa och ramsräka tal
Läs merANDRA BASER ÄN TIO EXTRAMATERIAL TILL. Matematikens grunder. för lärare. Anders Månsson
ANDRA BASER ÄN TIO EXTRAMATERIAL TILL Matematikens grunder för lärare Anders Månsson Extramaterial till boken Matematikens grunder för lärare (art.nr. 38994), Anders Månsson. Till Tallära-kapitlet: Andra
Läs merKompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs B, kapitel 1
Här presenteras förslag på lösningar och tips till många uppgifter i läroboken Matematik 3000 kurs B som vi hoppas kommer att vara till hjälp när du arbetar dig framåt i kursen. Vi har valt att inte göra
Läs merValresultat Riksdagen 2018
Valresultat Riksdagen 2018 I ämnesplanerna i matematik betonas att eleverna ska få möjlighet att använda digitala verktyg. Ett exempel från kursen Matematik 2 är Statistiska metoder för rapportering av
Läs merDeskription (Kapitel 2 i Howell) Moment 1: Statistik, 3 poäng
Kognitiv psykologi Moment 1: Statistik, 3 poäng VT 27 Lärare: Maria Karlsson Deskription (Kapitel 2 i Howell) Beskrivande mått, tabeller och diagram 1 2 Tabeller Tabell- och kolumnrubriker bör vara fullständiga
Läs merBeskrivande statistik
Beskrivande statistik Sorina Barza Department of Mathematics, Karlstad University, Sweden October 5, 2010 Vad är beskrivande statistik? Sammanställning av statistiska material Vad är beskrivande statistik?
Läs merLäs noggrant informationen nedan innan du börjar skriva tentamen
Tentamen i Statistik 1: Undersökningsmetodik Ämneskod S0006M Totala antalet uppgifter: Totala antalet poäng Lärare: Mykola Shykula 5 25 Tentamensdatum 2014-05-15 Skrivtid 09.00-14.00 Jourhavande lärare:
Läs merTentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen 2, 5p 24 januari 2004, kl. 09.00-13.00
Karlstads universitet Institutionen för informationsteknologi Avdelningen för statistik Tentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen, 5p 4 januari 004, kl. 09.00-13.00 Tillåtna hjälpmedel: Ansvarig lärare:
Läs merk x om 0 x 1, f X (x) = 0 annars. Om Du inte klarar (i)-delen, så får konstanten k ingå i svaret. (5 p)
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1901 SANNOLIKHETSLÄRA OCH STATISTIK MÅNDAGEN DEN 17 AUGUSTI 2009 KL 08.00 13.00. Examinator: Gunnar Englund, tel. 790 74 16. Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling
Läs merSammanfattningar Matematikboken X
Sammanfattningar Matematikboken X KAPITEL 1 TAL OCH RÄKNING Naturliga tal Med naturliga tal menas talen 0, 1,,, Jämna tal 0,,, 6, 8 Udda tal 1,,, 7 Tallinje Koordinater En tallinje kan t ex användas för
Läs merI addition adderar vi. Vi kan addera termerna i vilken ordning vi vill: 1 + 7 = 7 + 1
BEGREPP ÅR 3 Taluppfattning och tals användning ADDITION 3 + 4 = 7 term + term = summa I addition adderar vi. Vi kan addera termerna i vilken ordning vi vill: 1 + 7 = 7 + 1 SUBTRAKTION 7-4 = 3 term term
Läs mer2. Lära sig beskriva en variabel numeriskt med "proc univariate" 4. Lära sig rita diagram med avseende på en annan variabel
Datorövning 1 Statistikens Grunder 2 Syfte 1. Lära sig göra betingade frekvenstabeller 2. Lära sig beskriva en variabel numeriskt med "proc univariate" 3. Lära sig rita histogram 4. Lära sig rita diagram
Läs merRepetitionsuppgifter i Matematik inför Basår. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2014
Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår Matematiska institutionen Linköpings universitet 04 Innehåll De fyra räknesätten Potenser och rötter 7 Algebra 0 4 Funktioner 7 Logaritmer 9 6 Facit 0 Repetitionsuppgifter
Läs merStatistikens grunder (an, 7,5 hsp) Tatjana Nahtman Statistiska institutionen, SU
Statistikens grunder (an, 7,5 hsp) Tatjana Nahtman Statistiska institutionen, SU KURSENS INNEHÅLL Statistiken ger en empirisk grund för ekonomin. I denna kurs betonas statistikens idémässiga bakgrund och
Läs merStatistik 1 för biologer, logopeder och psykologer
Innehåll 1 2 Diskreta observationer Kontinuerliga observationer 3 Centralmått Spridningsmått Innehåll 1 2 Diskreta observationer Kontinuerliga observationer 3 Centralmått Spridningsmått Vad är statistik?
Läs merLokala kursplaner i Matematik Fårösunds skolområde reviderad 2005 Lokala mål Arbetssätt Underlag för bedömning
Lokala kursplaner i Matematik Fårösunds skolområde reviderad 2005 Lokala mål Arbetssätt Underlag för bedömning Eleven skall år 1 Begrepp Jämförelse- och storleksord, t.ex. stor, större, störst. Positionssystemet
Läs merJavisst! Uttrycken kan bli komplicerade, och för att få lite överblick över det hela så gör vi det så enkelt som möjligt för oss.
8-2 Förenkling av uttryck. Namn: eller Konsten att räkna algebra och göra livet lite enklare för sig. Inledning I föregående kapitel lärde du dig vad ett matematiskt uttryck är för någonting och hur man
Läs merGrunderna i stegkodsprogrammering
Kapitel 1 Grunderna i stegkodsprogrammering Följande bilaga innehåller grunderna i stegkodsprogrammering i den form som används under kursen. Vi kommer att kort diskutera olika datatyper, villkor, operationer
Läs merF14 Repetition. Måns Thulin. Uppsala universitet thulin@math.uu.se. Statistik för ingenjörer 6/3 2013 1/15
1/15 F14 Repetition Måns Thulin Uppsala universitet thulin@math.uu.se Statistik för ingenjörer 6/3 2013 2/15 Dagens föreläsning Tentamensinformation Exempel på tentaproblem På kurshemsidan finns sex gamla
Läs merFÖRELÄSNING 1 ANALYS MN1 DISTANS HT06
FÖRELÄSNING ANALYS MN DISTANS HT06 JONAS ELIASSON Detta är föreläsningsanteckningar för distanskursen Matematik A - analysdelen vid Uppsala universitet höstterminen 2006. Förberedande material Här har
Läs merGrundläggande statistik kurs 1
Grundläggande statistik kurs 1 Problem 1 Arbeta med frekvenstabeller Sid 2: Så här ser sidan 2 ut. Vi har alltså en delad sida med kalkylbladet till vänster och en Data&Statistik-sida till höger. I den
Läs merStatistik vad är det?
Statistik vad är det? LWn/PEI / 1 Sveriges officiella statistik Statistiska CentralByrån (SCB www.scb.se) Statistikansvariga myndigheter Socialstyrelsen (www.sos.se) Riksförsäkringsverket (www.rfv.se)
Läs merStatistikens grunder 1 och 2, GN, 15 hp, deltid, kvällskurs
Statistikens grunder 1 och 2, GN, 15 hp, deltid, kvällskurs TE/RC Datorövning 4 Syfte: 1. Lära sig beräkna konfidensintervall och täckningsgrad 2. Lära sig rita en exponentialfördelning 3. Lära sig illustrera
Läs merSignalanalys med snabb Fouriertransform
Laboration i Fourieranalys, MVE030 Signalanalys med snabb Fouriertransform Den här laborationen har två syften: dels att visa lite på hur den snabba Fouriertransformen fungerar, och lite om vad man bör
Läs merBegrepp Värde (mätvärde), medelvärde, median, lista, tabell, rad, kolumn, spridningsdiagram (punktdiagram)
Aktivitetsbeskrivning Denna aktivitet är en variant av en klassisk matematiklaboration där eleverna får mäta omkrets och diameter på ett antal cirkelformade föremål för att bestämma ett approximativt värde
Läs merTentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M
Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M Poäng totalt för del 1: 25 (10 uppgifter) Tentamensdatum 2013-01-18 Poäng totalt för del 2: 30 (3 uppgifter) Skrivtid 09.00 14.00 Lärare: Adam Jonsson, Ove
Läs merTAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Datum: 28 maj 2014 Tid: 14.00-19.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar
Läs merTentamen STA A10 och STA A13, 9 poäng 19 januari 2006, kl. 8.15-13.15
Tentamen STA A10 och STA A13, 9 poäng 19 januari 2006, kl. 8.15-13.15 Tillåtna hjälpmedel: Ansvarig lärare: Räknedosa, bifogade formel- och tabellsamlingar, vilka skall returneras. Christian Tallberg Telnr:
Läs mera) Vad är sannolikheten att det tar mer än 6 sekunder för programmet att starta?
Tentamen i Matematisk statistik, S0001M, del 1, 2008-01-18 1. Ett företag som köper enheter från en underleverantör vet av erfarenhet att en viss andel av enheterna kommer att vara felaktiga. Sannolikheten
Läs merLennart Carleson. KTH och Uppsala universitet
46 Om +x Lennart Carleson KTH och Uppsala universitet Vi börjar med att försöka uppskatta ovanstående integral, som vi kallar I, numeriskt. Vi delar in intervallet (, ) i n lika delar med delningspunkterna
Läs mer1 Syfte. 2 Moment hos och faltning av fördelningar MATEMATISK STATISTIK, AK FÖR L, FMS 033, HT-04. 2.2 Angående grafisk presentation
LUNDS TEKNISKA HÖSKOLA ATEATIKCENTRU ATEATISK STATISTIK ATEATISK STATISTIK, AK FÖR L, FS 33, HT-4!"$&' (*) 1 Syfte I den första delen av detta projekt skall vi försöka hitta begripliga tolkningar av begreppen
Läs merSyftet med den här laborationen är att du skall bli mer förtrogen med följande viktiga områden inom matematisk statistik
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK DATORLABORATION 4 MATEMATISK STATISTIK, AK FÖR I, FMS 01, HT-07 Laboration 4: Stora talens lag, Centrala gränsvärdessatsen, enkla punktskattningar
Läs merExcel och Word LABORATION. Innehåll Uppgift A Diagramhantering Uppgift B Kalkylering Dokumentation Presentation i WORD
UMEÅ UNIVERSITET Tillämpad fysik och elektronik Stig Esko 2004-08-22 LABORATION Excel och Word Innehåll Uppgift A Diagramhantering Uppgift B Kalkylering Dokumentation Presentation i WORD Målsättning Genom
Läs mer8-4 Ekvationer. Namn:..
8-4 Ekvationer. Namn:.. Inledning Kalle är 1,3 gånger så gammal som Pelle, och tillsammans är de 27,6 år. Hur gamla är Kalle och Pelle? Klarar du att lösa den uppgiften direkt? Inte så enkelt! Ofta resulterar
Läs merSammanfattningar Matematikboken Z
Sammanfattningar Matematikboken Z KAPitel procent och statistik Procent Ordet procent betyder hundradel och anger hur stor del av det hela som något är. Procentform och 45 % = 0,45 6,5 % = 0,065 decimalform
Läs merSplitvision. Juni 2005 Undersökningen är genomförd av Splitvision Business Anthropology på uppdrag av Göteborgsregionens kommunalförbund (GR)
GRs effektstudie 2005 Rapport gällande studerande vid kommunal vuxenutbildning i Alingsås, Härryda, Kungsbacka, Lerum, Mölndal, Partille, Tjörn och Öckerö, 2003 Juni 2005 Undersökningen är genomförd av
Läs merKommentarmaterial, Skolverket 1997
Att utveckla förstf rståelse för f r hela tal Kommentarmaterial, Skolverket 1997 Att lära sig matematik handlar om att se sammanhang och att kunna föra logiska resonemang genom att känna igen, granska
Läs merMattestegens matematik
höst Decimaltal pengar kr 0 öre,0 kr Rita 0,0 kr på olika sätt. räkna,0,0 storleksordna decimaltal Sub för lite av två talsorter 7 00 0 tallinjer heltal 0 0 Add med tiotalsövergångar 0 7 00 0 Sub för lite
Läs merDnr: 2008-311-76. Statliga pensioner trender och tendenser
Dnr: 2008-311-76 Statliga pensioner trender och tendenser Framtida pensionsavgångar 2008-2017 Innehållsförteckning Förord 2 Sammanfattning av trender & tendenser 3 1. Pensionsavgångar inom statsförvaltningen
Läs merStatistik och epidemiologi T5
Statistik och epidemiologi T5 Anna Axmon Biostatistiker Yrkes- och miljömedicin Dagens föreläsning Fördjupning av hypotesprövning Repetition av p-värde och konfidensintervall Tester för ytterligare situationer
Läs merSannolihhet. och statistik. Vad är möjligt och vad är inte möjligt? Kommer tåget fram i tid? Blir det regn imorgon? Vi bedömer ständigt risker eller
- ^^s^^^^'^^ Sannolihhet och statistik Vad är möjligt och vad är inte möjligt? Kommer tåget fram i tid? Blir det regn imorgon? Vi bedömer ständigt risker eller chanser för att olika händelser ska inträffa.
Läs merANDREAS REJBRAND 2014-04-25 Matematik http://www.rejbrand.se. Numeriska serier. Andreas Rejbrand, april 2014 1/29
Numeriska serier Andreas Rejbrand, april 2014 1/29 1 Inledning Författarens erfarenhet säger att momentet med numeriska serier är ganska svårt för många studenter i inledande matematikkurser på högskolenivå.
Läs merG VG MVG Programspecifika mål och kriterier
Betygskriterier Matematik C MA10 100p Respektive programmål gäller över kurskriterierna MA10 är en nationell kurs oc skolverkets kurs- oc betygskriterier finns på ttp://www.skolverket.se/ Detta är vår
Läs merMultiplikation genom århundraden
Multiplikation genom århundraden För många elever i skolan kan multiplikation upplevas som något oöverstigligt. Addition och subtraktion kan de förstå sig på men inte multiplikation. Utan förståelse för
Läs merAnalys av kompetensutvecklingen
Analys av kompetensutvecklingen inom landsbygdsprogrammet - Fördjupning av rapport 1:3 Efter rådgivning menar cirka procent att de har förändrat sitt arbetssätt oberoende av om det var en konsult eller
Läs merMedelpensioneringsålder och utträdesålder
1 Rapport 2010-05-06 0-18 Medelpensioneringsålder och utträdesålder Enligt regleringsbrevet för budgetåret 2010 ska Pensionsmyndigheten senast den 6 maj 2010 redovisa genomsnittsålder för uttag av pension.
Läs mer(a) Hur stor är sannolikheten att en slumpvist vald person tror att den är laktosintolerant?
LÖSNINGAR till tentamen: Statistik och sannolikhetslära (LMA12) Tid och plats: 8.3-12.3 den 24 augusti 215 Hjälpmedel: Typgodkänd miniräknare, formelblad Betygsgränser: 3: 12 poäng, 4: 18 poäng, 5: 24
Läs merLektion 1: Fördelningar och deskriptiv analys
Density Lektion 1: Fördelningar och deskriptiv analys 1.,3 Uniform; Lower=1; Upper=6,3,2,2,1,, 1 2 3 X 4 6 7 Figuren ovan visar täthetsfunktionen för en likformig fördelning. Kurvan antar värdet.2 över
Läs merBonusmaterial till Lära och undervisa matematik från förskoleklass till åk 6. Ledning för att lösa problemen i Övningar för kapitel 5, sid 138-144
Bonusmaterial till Lära och undervisa matematik från förskoleklass till åk 6 Ledning för att lösa problemen i Övningar för kapitel 5, sid 138-144 Avsikten med de ledtrådar som ges nedan är att peka på
Läs merMA 1202 Matematik B Mål som deltagarna skall ha uppnått efter avslutad kurs.
MA 202 Matematik B Mål som deltagarna skall ha uppnått efter avslutad kurs. Deltagaren skall kunna formulera, analysera och lösa matematiska problem av betydelse för tillämpningar och vald studieinriktning
Läs mer4-7 Pythagoras sats. Inledning. Namn:..
Namn:.. 4-7 Pythagoras sats Inledning Nu har du lärt dig en hel del om trianglar. Du vet vad en spetsig och en trubbig triangel är liksom vad en liksidig och en likbent triangel är. Vidare vet du att vinkelsumman
Läs merAtt beräkna t i l l v ä x t takter i Excel
Att beräkna t i l l v ä x t takter i Excel Detta kapitel är en liten matematisk vägledning om att beräkna tillväxttakten i Excel. Här visas exempel på potenser och logaritmer och hur dessa funktioner beräknas
Läs merVardagsord. Förstår ord som fler än, färre än osv. Har kunskap om hälften/dubbelt. Ex. Uppfattning om antal
TALUPPFATTNING Mål som eleven ska ha uppnått i slutet av det femte skolåret: Eleven skall ha förvärvat sådana grundläggande kunskaper i matematik som behövs för att kunna beskriva och hantera situationer
Läs merTrivsel på jobbet en åldersfråga? Jobbhälsobarometern, Delrapport 2012:2, Sveriges Företagshälsor 2013-02-27
Trivsel på jobbet en åldersfråga? 2 Om Jobbhälsobarometern Jobbhälsobarometern bygger på telefonintervjuer med ett representativt urval av svenskar i åldern 20 65 år som arbetar minst halvtid. Jobbhälsobarometern
Läs mera), c), e) och g) är olikheter. Av dem har c) och g) sanningsvärdet 1.
PASS 9. OLIKHETER 9. Grundbegrepp om olikheter Vi får olikheter av ekvationer om vi byter ut likhetstecknet mot något av tecknen > (större än), (större än eller lika med), < (mindre än) eller (mindre än
Läs mer2010-09-13 Resultatnivåns beroende av ålder och kön analys av svensk veteranfriidrott med fokus på löpgrenar
1 2010-09-13 Resultatnivåns beroende av ålder och kön analys av svensk veteranfriidrott med fokus på löpgrenar av Sven Gärderud, Carl-Erik Särndal och Ivar Söderlind Sammanfattning I denna rapport använder
Läs merTATM79 Matematisk grundkurs, 6hp Kurs-PM ht 2015
TATM79 Matematisk grundkurs, 6hp Kurs-PM ht 2015 Fredrik Andersson Mikael Langer Johan Thim All kursinformation finns också på courses.mai.liu.se/gu/tatm79 Innehåll 1 Kursinnehåll 2 1.1 Reella och komplexa
Läs merHistogram, pivottabeller och tabell med beskrivande statistik i Excel
Histogram, pivottabeller och tabell med beskrivande statistik i Excel 1 Histogram är bra för att dem på ett visuellt sätt ger oss mycket information. Att göra ett histogram i Excel är dock rätt så bökigt.
Läs merFrågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1
ATM-Matematik Mikael Forsberg 6-64 89 6 Matematik med datalogi, mfl. Skrivtid:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny sida. Använd ej baksidor.
Läs meren femma eller en sexa?
REPETITION 3 A Du kastar en vanlig tärning en gång. Hur stor är sannolikheten att du får en femma eller en sea? 2 Eleverna i klass C fick ge betyg på en bok som de hade läst. Diagrammet visar resultatet.
Läs merInlämningsuppgift 4 NUM131
Inlämningsuppgift 4 NUM131 Modell Denna inlämningsuppgift går ut på att simulera ett modellflygplans rörelse i luften. Vi bortser ifrån rörelser i sidled och studerar enbart rörelsen i ett plan. De krafter
Läs merUrfjäll. Elever År 3 - Våren 2011. Genomsnitt Upplands-Bro kommun. 2. Jag vet vad jag ska kunna för att nå målen i de olika ämnena.
Urfjäll Elever År - Våren Kunskaper och bedömning 8 0 9 Medelvärde 10,. Jag vet vad jag ska kunna för att nå målen i de olika ämnena. 70 5 1. Jag tycker att lärarna förklarar så att jag förstår. 81 1,8.
Läs merMånga elever som studerar på Barn- och Fritidsprogrammet kommer så
Linda Jarlskog Ma A på förskolan Små barn behöver uppleva att de kan förankra tidiga möten med matematik i sin egen värld. Även gymnasieelever behöver uppleva att undervisningen känns relevant för dem.
Läs merATT KUNNA TILL. MA1050 Matte Grund. 2011-06-14 Vuxenutbildningen Dennis Jonsson
ATT KUNNA TILL MA1050 Matte Grund 2011-06-14 Vuxenutbildningen Dennis Jonsson Sida 2 av 5 Att kunna till prov G1 Kunna ställa upp och beräkna additions-, subtraktions-, multiplikations- och divisuionsuppgifter
Läs merATTITYDER TILL ENTREPRENÖRSKAP PÅ HÄLSOUNIVERSITETET
ATTITYDER TILL ENTREPRENÖRSKAP PÅ HÄLSOUNIVERSITETET InnovationskontorEtt Författare Gustav Pettersson Projektledare Robert Wenemark & Johan Callenfors 21 mars 2012 2012 Skill Om Skill Skill grundades
Läs merMatematikcentrum 1(12) Matematisk Statistik Lunds Universitet. SPSS (PASW) 18 for Windows - a guided tour
Matematikcentrum 1(12) Matematisk Statistik Lunds Universitet SPSS (PASW) 18 for Windows - a guided tour VT 2010 2 Introduktion till SPSS (PSAW) Denna övning kommer steg för steg att lära oss de grundläggande
Läs merDE FYRA RÄKNESÄTTEN (SID. 11) MA1C: AVRUNDNING
DE FYRA RÄKNESÄTTEN (SID. 11) 1. Benämn med korrekt terminologi talen som: adderas. subtraheras. multipliceras. divideras.. Addera 10 och. Dividera sedan med. Subtrahera 10 och. Multiplicera sedan med..
Läs merMått på arbets- marknadsläget i den officiella statistiken
Mått på arbets- marknadsläget i den officiella statistiken Ossian Wennström SACO 2001 Tryck: SACO, Stockholm ISSN 1401-7849 Innehåll Sammanfattning 1 Inledning 2 Definitioner och urval i arbetsmarknadsstatistiken
Läs mer