Lektion 1: Fördelningar och deskriptiv analys

Transkript

1 Density Lektion 1: Fördelningar och deskriptiv analys 1.,3 Uniform; Lower=1; Upper=6,3,2,2,1,, X Figuren ovan visar täthetsfunktionen för en likformig fördelning. Kurvan antar värdet.2 över intervallet 1 till 6 och är noll för värden under 1 eller över 6. Detta betyder att data som beskrivs av denna fördelning antar värden som är likformigt fördelade mellan 1 och 6. Arean under kurvan kan användas för att följa på följande frågor. (1) Hur stor är arean under kurvan? Förklara varför? (2) Hur stor andel av fördelningen har ett värde större än? (3) Hur stor andel ligger mellan 3 och 4? (4) Vad är µ = populationsmedelvärdet (väntevärdet) för denna fördelning? Följande 1 observationer kommer från fördelningen ovan. Observationerna är slumpmässiga. 2,38 4,91 2,93,1 4,1 3,2 2,71,92 1,4 4,11 () Vad skulle en bra statistika/estimator för populationsmedelvärdet kunna vara? Beräkna denna utifrån stickprovet. (6) Vad är medianen för stickprovet? Finns det någon koppling mellan median, resultatet i uppgift () och fördelningsantagandet? (7) Vad är standardavvikelsen (s) i stickprovet?

2 Density Frequency Om stickprovet (n=1) i uppgiften innan upprepas m=1 gånger ser fördelningen för de 1 stickprovsmedelvärdena ut som följande: 2 Histogram 1 1 2,4 2,8 3,2 3,6 Medelvärde, n=1, m=1 4, 4,4 (8) Verkar grafen illustrera den teori som gäller för fördelning för stickprovsmedelvärden och vad kallas denna fördelning? Diskutera. Motsvarande teoretisk fördelning för stickprovsmedelvärdena ser ut som följande,9,8,7,6,,4,3,2,1, 2, 2, 3, 3, 4, 4,, (9) Enligt denna (teoretiska) fördelning beräkna hur stor andel som ligger över? Standardavvikelsen i fördelningen är,47. (1) Hur stor andel som ligger mellan 3 och 4?

3 2. (Exempel från tidigare års tenta) En studie av datorers livslängd har visat att för en viss datortillverkare är livslängden i genomsnitt 6 månader med en standardavvikelse på 8 månader. Det kan antas att variationen i livslängd kan beskrivas av en normalfördelning. (1) Vad betyder det att standardavvikelsen är 8 månader och att den genomsnittliga livslängden kan beskrivas av en normalfördelning? Illustrera informationen med en graf (2) Hur stor andel av datorerna har en livslängd på mer än fyra år? (3) Hade andelen datorer varit större eller mindre om standaravvikelsen istället hade varit 12? (4) Hade andelen datorer varit större eller mindre om den genomsnittliga livslängden istället hade varit? Tillverkaren vill förbättra produktionen så att 9 procent av de tillverkade datorerna har en livslängd på mer än 6 månader. () Hur stor skall den genomsnittliga livslängden vara för att tillverkaren skall uppnå det uppställda målet? (Anta att standardavvikelsen är oförändrad/8 månader). Efter justeringar i produktionen förväntar sig tillverkaren ha uppnått sitt mål att 9 procent av tillverkade datorerna ska ha en livslängd på mer än 6 månader. För att undersöka detta tas ett stickprov om 3 datorer. Tyvärr slarvades stora delar av stickprovet bort. Det enda som finns kvar är en tabell deskriptiv statistik från stickprovet. N Mean StDev Minimum Q1 Median Q3 Maximum 3 7,77 49, 12,82 3,12 3,47 93,1 194,62 (6) Vad kan vi dra för slutsats från stickprovet? Verkar det vara ett bra stickprov? (Antag att populationen verkligen är normalfördelad). Har tillverkaren uppnått sitt mål? Varför/varför inte? Rita en boxplot/låddiagram för att illustrera informationen ovan.

4 Probability 3. (Baserat på exempel 3.9 i boken) Kasta tärning. Genom att kasta tärning kan vi illustrera teorin om samplingfördelning. Vår population är alla utfall vi skulle få ifall vi kastade en tärning för all evighet. Parametern µ är medelvärdet (väntevärdet) i denna population. Ett stickprov är resultatet av 2 tärningskast och estimatorn/statistiskan är medelvärdet av dessa 2 kast.,18,16,14,12,8,6,4,2, Antal prickar på tärning 6 7 (1) Kasta en tärning 2 gånger och beräkna värdet på (2) Upprepa detta försök 1 gånger. Gör ett stambladsdiagram över de 1 värdena på. Är denna fördelning centrerad kring resultatet i uppgift (1)? (Observera att tio upprepningar av försöket bara ger en approximation av samplingfördelningen. Om möjligt slå ihop ditt försök med andra studenter för att få minst 1 upprepade försök och gör ett histogram över )

5 Täthet 4. (Extra en gammal dugga uppgift) På en bar finns en ölmaskin som häller upp öl i ölglas. Öl uppmätningen är inte perfekt så det blir olika mycket i varje glas. Fördelningen för hur mycket maskinen häller upp varje gång den används syns i nedanstående diagram.,14 Täthetsfunktion Uniform; Lower=6; Upper=7,12,8,6,4,2, 6, 67, 7, Cl öl 72, 7, Standardavvikelsen i fördelningen är 2.9cl (Avrunda svaren till hel procentsats) (1) Olle köper ett glas öl. Vad är sannolikheten (hur stor andel är möjligheten att) att han får mindre än 67cl i sitt glas? a) % b) % c) 1% d) 2% e) 8% (2) OBS! Denna kan lösas först med hjälp av information i kapitel 4 i boken. Olle och hans vänner tänker konsumera 3 glas öl ikväll. Vad är den ungefärliga sannolikheten (andelen) att de i genomsnittligt ölglas får mindre än 67cl öl? a) % b) % c) 1% d) 2% e) 8%