1 Syfte. 2 Moment hos och faltning av fördelningar MATEMATISK STATISTIK, AK FÖR L, FMS 033, HT Angående grafisk presentation
|
|
- Maria Ekström
- för 8 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 LUNDS TEKNISKA HÖSKOLA ATEATIKCENTRU ATEATISK STATISTIK ATEATISK STATISTIK, AK FÖR L, FS 33, HT-4!"$&' (*) 1 Syfte I den första delen av detta projekt skall vi försöka hitta begripliga tolkningar av begreppen väntevärde och varians, dels utifrån de teoretiska fördelningarna och dels utifrån datorsimuleringar. Vi skall också titta på några standardfördelningar och bland dessa välja en lämplig fördelning som passar till hastighetsmätningarna. Vi skall också studera fördelningarna för summor av stokastiska variabler och vad som händer när antalet termer i summan växer. Vi skall också fördjupa begreppet sannolikhet via frekvenstolkning genom att genomföra en enkel riskstudie dels via datorsimuleringar och dels genom teoretiska överläggningar. Projektet skall redovisas i form av en rapport. Rapporten skall omfatta vissa nyckelmoment så det är viktigt att du läser igenom projekthandledningen och gör upp en disposition för hur rapporten skall se ut innan du börjar själva arbetet. Tänk till exempel efter vilka frågor det är som skall besvaras och vilka figurer och histogram som då bör vara med i rapporten. 2 oment hos och faltning av fördelningar,,,. 2.1 Förberedelseuppgifter (a) Hur lyder definitionen av väntevärde? (b) Hur lyder definitionen av varians? (c) Hur kan variansen beräknas på annat sätt än direkt genom definitionen? (Det finns en omskrivning som ofta är mer användbar i praktiska sammanhang.) (d) Om E(X ) 2 och V(X ) 1-3, vad får då Y (X 1)- 3 för väntevärde respektive varians? (e) Om X är likformigt fördelad på intervallet (1/ 3), vilken fördelning får då Y, (X. 1)- 3? Vad har en sådan fördelning för väntevärde och varians? Vad har X för väntevärde och varians? Hur stämmer detta överens med föregående uppgift? (f) Låt X R(. 1/ 1) och beräkna 1, E(X ) och V(X ). Sätt Y, (X.21 ) 2. Kan man få fram täthetsfunktionen för Y på samma sätt som i förra uppgiften? Se efter i exempel sid. 9 i Blom hur man skall göra istället. Vad blir E(Y )? Jämför med V(X ). (g) Om X och Y är oberoende och P(X, ), 1-3/ P(X, 1), 1-2/ P(X, 2), 1-6/ medan Y kan anta värdena / 1/ 2/ 3 med lika sannolikheter, vad är då sannolikhetsfunktionen för den stokastiska variabeln Z, Y 3 X? 2.2 Angående grafisk presentation Först en liten kommentar angående stolpdiagram och histogram. Då vi arbetar med diskreta stokastiska variabler och vill plotta resultat från studier av dessa använder vi stolpdiagram, just för att understryka variablernas diskreta karaktär. I ett stolpdiagram är det höjden av varje stolpe som representerar den relativa frekvensen (se Fig. 1). Vid arbete med kontinuerliga stokastiska variabler är det mera ändamålsenligt att indela materialet i klasser och rita ett histogram. I ett histogram är
2 $! : $ det arean av varje stapel som representerar den relativa frekvensen (se Fig. 2). På detta sätt får histogrammet en viktig egenskap gemensam med täthetsfunktionen nämligen att den sammanlagda arean under grafen är lika med ett. (Se i övrigt avsnittet om beskrivande statistik i kursboken.) b v Figur 1: Stolpdiagram Figur 2: Histogram Slumptalsgeneratorn i ATLAB genererar slumptal från en rektangelfördelning över intervallet från noll till ett, dvs observationer av en stokastisk variabel X R(/ 1). "$ '&)(*,('*-.,('*! / : 2 < "$= < C 1 2 2A! /D C 1 2!B2A! 2;( ( Uppgift 2.1: ger dis- Är den stokastiska variabeln X som kret eller kontinuerlig? Uppgift 2.2: Hur bär du dig åt för att plotta en diskret funktion i ATLAB? Uppgift 2.3: Hur bär du dig åt för att plotta en kontinuerlig funktion i ATLAB? Uppgift 2.4: Börja med att plotta täthetsfunktionen för X. "! enerera sedan, till exempel, hundra slumptal från denna fördelning och plotta histogrammet över de relativa frekvenserna för detta stickprov i samma figur som täthetsfunktionen: E7 /FH =6== "!BI E7 $ J14FK!BI E7 Eftersom ett histogram enligt definitionen i kursboken (och avsnitt 2.2 ovan) är arean av varje stapel som representerar den relativa frekvensen, använder vi 7 $ istället för den i ATLAB inbyggda 7 $ som använder absoluta frekvenser till staplarnas höjd. 2.3 Väntevärde ör om simuleringarna ovan men med 1 observationer från X R(/ 1) istället och rita om histogrammet tillsammans med täthetsfunktionen. Öppna sedan ett nytt grafikfönster med kommandot ;$L<9. I detta fönster skall du plotta de successiva medelvärdena, N 9B=9 4F"!O(4PO=RQS= "!, för de 1, 2, 3,..., 1 första observationerna tillsammans med den linje som anger vad medelvärdena bör konvergera mot: E 2
3 9 $ C C $ 9 : C & - D $= 1 = ; 9/9 Uppgift 2.: "! < 6 /D C 1 2 E7 E7 $ O 6! E7 4DK!K2A! Använd dina figurer och beräkningar för att förklara vad väntevärdet för den stokastiska variabeln X är. 2.4 Varians Vi skall nu titta på variansen för X. Eftersom V(X ) är definierad som E((X.!1 ) 2 ) där 1, E(X ) (X. 1 ) 2. Detta skall vi bilda slumptal från Y, görs genom kommandot 4F & 9!O( LJ D 9-?'FK! Plotta sedan, i ett annat fönster och på samma sätt som för väntevärdet, de successiva medelvärdena D N 9R=9 K!O('PO=,Q ;! tillsammans med en linje som anger vad de borde konvergera mot. Uppgift 2.6: Använd dina figurer och beräkningar för att förklara vad variansen för den stokastiska variabeln X är. Vi skall nu studera R(. 1/ 1)-fördelningen på samma sätt och sedan jämföra de två. enerera alltså, i en vektor F6, 1 slumptal från denna fördelning (uppgift 3 kanske kan ge en viss ledning) och plotta de successiva medelvärdena på sätt som ovan. Beräkna också 6 = (X ) 2, där 1 1, E(X 1 ), och plotta de successiva medelvärdena. I förberedelseuppgift (f) beräknade du täthetsfunktionen för Y, (X. 1 ) 2 när X R(. 1/ 1). Plotta den tillsammans med ett histogram över de 1 Y 1-värdena. Detta görs genom kommandona: D )Q)(K,Q 6I D < 4D DK! L 9 : LC 1 2'D2A! 4DK! 'F;& 9! LJ12A! Uppgift 2.7: e en tolkning av väntevärde och varians för en R(. 1/ 1)-variabel. Hur förhåller sig dessa till väntevärde och varians för en R(/ 1)-variabel? 3 Simulering av stokastiska variabler, några statistiska standardfördelningar I den här delen av projektet kommer du att simulera slumptal från fördelningarna, rita histogram över slumptalen och även jämföra simulerade värden med motsvarande täthetsfunktioner. 3.1 Rektangelfördelning (likformig fördelning) Fördelningen, som är beskriven på sidan 62 i kursboken, är användbar för att till exempel beskriva avrundningsfel vid mätningar. Den är också grundfördelningen vid simulering av andra fördelningar och vid onte Carlo-metoder. Funktionen genererar rektangelfördelade slumptal i intervallet [/ 1). ed J=!BI genereras 2 rektangelfördelade slumptal i intervallet [/ 1) och läggs i en 2 1-matris. Ett rektangelfördelat slumptal i intervallet [a/ b) fås med! (tänk efter att det är rimligt!). Uppgift 3.1: enerera 1 slumptal från en rektangelfördelning med a, 2 och b, 1. Plotta data i ett histogram med hjälp av 7 $. Verkar det stämma med en rektangelfördelning? Öka antalet slumptal till 1, 1 och 1 och gör respektive normerade histogram. Vad händer? 3
4 !! 3.2 Weibullfördelning Weibullfördelningen är mycket användbar för att beskriva variationer i hållfasthetsdata, till exempel sträck-, brott-, och utmattningsgränser. Fördelningsfunktionen ges av F(x), 1. e (x a) c om x och där a och c är konstanter som kan ges olika värden. Slumptal från Weibullfördelningen med parametrar a och c läggs i en p q matris med hjälp av ATLAB-kommandot $=C = P! N N!. Om man använder STIXBOX blir kommandot istället $=C 1 N för en p q-matris eller $=C ) N för en vektor med p element. Uppgift 3.2: enerera 1 slumptal från en Weibullfördelning med a, och c, 7 och lägg dem i en vektor. Sätt alltså p, 1 och q, 1 i $=C -kommandot. Plotta data i ett histogram med hjälp av 7 $. Uppgift 3.4: enerera 1 slumptal från en Weibullfördelning med a, 2 och c, 1. Plotta data i ett histogram med hjälp av 7 $. ed konstanten c, 1 får man som specialfall exponentialfördelningen. Rita upp dess täthetsfunktion. 3.3 Normalfördelningen Täthetsfunktionen för en normalfördelad stokastisk variabel ges av f X (x), e (x ) för 2. x. Den beror alltså på två parametrar 1 och där 1 är väntevärdet i fördelningen och är standardavvikelsen. Normalfördelningen är en av de fördelningar som används mest inom sannolikhets- och statistikteorin. Funktionen L ( L i STIXBOX) i AT- LAB genererar normalfördelade slumptal. Kommandot /DH L 1=6? "!KI Uppgift 3.3: Bestäm täthetsfunktionen för Weibullfördelningen genom att derivera fördelningsfunktionen F(x), 1. e (x a) c med a, och c, 7. Täthetsfunktionen blir f (x), Du kan rita ut täthetsfunktionen med kommandona )Q)(SRQI 2 &,2A! där ersätts med det uttryck som du just beräknat. Jämför täthetsfunktionen med histogrammet i föregående uppgift. Du kan plotta histogrammet i samma figur om du har skrivit 7;. löm inte att skriva 7 innan du fortsätter att rita figurer. genererar slumptal från en normalfördelning med väntevärdet 3 och standardavvikelsen 1 och placerar dem i matrisen D med dimensionen p q. (STIXBOX: O=! ) Uppgift 3.: enerera 1 slumptal från en normalfördelning med m, 2 och,. Plotta data i ett histogram med hjälp av 7 $ Uppgift 3.6: enerera 1 slumptal från en normalfördelning med m, 2 och, 2. Plotta data i ett histogram med hjälp av 7 $ J. Hur påverkar - värdet dina histogram?. 4
5 < < Normalfördelningens täthetsfunktion, f X (x) fås genom (STIXBOX: ). Rita ut normalfördelningar för olika värden på m och och se hur fördelningarna påverkas:?q)(s,q I 7 7 JO@('*;!! O@('*;!62 2A! *O J!B2 2A! *O@(S!624D12A! Fördelningsfunktionen, F X (x), för en normalfördelad stokastisk variabel fås med kommandot L N (STIXBOX: L ). Uppgift 3.7: Rita ut samma normalfördelningar som ovan men nu med hjälp av fördelningsfunktioner. Lägg märke till hur olika värden på 1 och påverkar fördelningsfunktionerna: N N N N?Q)(S,Q I 7 7 JO@('*;!! 3.4 Andra fördelningar O@('*;!62 2A! *O J!B2 2A! *O@(S!624D12A! Andra ATLAB-funktioner som genererar slumptal från olika fördelningar är listade i Appendix A. Ett generellt sätt att generera ett slumptal från en given fördelningsfunktion F(x) är att använda inversmetoden. Denna innebär att man löser ekvationen F(x), u där u är ett slumptal från en rektangelfördelning på intervallet (/ 1). Några fördelningar är lätta att invertera direkt, till exempel Exponentialfördelning F(x), 1. e x a x,. a ln(1. u) Weibullfördelning F(x), 1. e (x a) c x, a(. ln(1. u)) 1 c Extremvärdefördelning F(x), exp(. e (x b) a ) x, b. a ln(. ln(. u)) I andra fall, till exempel för normalfördelningen, måste inverteringen ske numeriskt. Det finns olika specialkonstruerade metoder för att simulera slumptal från sådana fördelningar. Det finns för normalfördelningen den så kallade Box-üllertransformationen samt arsaglias metod för generering av slumptal. Som beskrivs i kursboken är de relativa frekvenserna uppskattningar av ett antal areor under täthetsfunktionen. Om man har ett stort stickprov kan man välja en fin klassindelning och med ett histogram över de relativa frekvenserna få en god bild av täthetsfunktionens utseende. En naturlig fråga är om vi kan hitta någon statistisk standardfördelning som väl beskriver den variation som vi observerat? Vi skall undersöka detta på två sätt: med hjälp av empirisk fördelningsfunktion och med hjälp av sannolikhetspapper, att grafiskt jämföra en fördelning baserad på data med en hypotetisk fördelning. De två olika sätten som vi beskriver är egentligen i princip samma sak Empirisk fördelningsfunktion Från en dags produktion av tegelstenar tog man slumpmässigt ut 12 stycken och mätte deras vikt (kg). Vikterna är lagrade i filen <. Uppgift 3.: Ladda in data och gör ett histogram över vikterna. Beräkna även medelvärde L och standardavvikelse. Vilken fördelning tror du kan beskriva variationen i vikt? För att undersöka om du har rätt ska du jämföra den empiriska fördelningsfunktionen med din hypotetiska fördelningsfunktionen.
6 I Uppgift 3.9: Rita den empiriska fördelningsfunktionen för tegelstensvikterna med hjälp av följande ATLAB kommandon: " "$: K!6I H < 7? "!BI,Q P ;$L" "!BI Avläs från figuren vad medianvärdet är för vikterna, och vilken vikt som understigs av 9 av tegelstenarna. Använd kommandot för att se detaljer i plotten. En fördelningsfunktion för normalfördelningen kan plottas med funktionen N (normal cumulative distribution function) men kräver värden på parametrarna 1 och i fördelningen. Håll kvar den empiriska fördelningsfunktionen i figuren med 7; och rita in en normalfördelning 1,, med 1 och standardavvikelsen i figuren. N )Q)(",Q'JI Uppgift 3.1: =K4?(*!! Identifiera väsentliga avvikelser mellan de två fördelningarna. Relatera dessa avvikelser till dem som du sett i de tidigare plottarna. 4 Summor av stokastiska variabler faltning 4.1 Symmetrisk fördelning Börja med att hitta på en diskret sannolikhetsfunktion med några möjliga utfall, till exempel den likformiga fördelningen över 1,2,...,6, dvs ett tärningskast. ata sedan in denna sannolikhetsfunktion i form av en vektor. P Nollan finns där för att det blir lättare att hålla reda på saker och ting om det första elementet i vektorn är sannolikheten för att utfallet är noll. Rita upp sannolikhetsfunktionen med < 7) B! &;K K! Funktionen < 7 ger antalet element i en vektor. Som du vet beräknas sannolikhetsfunktionen för en summa av två oberoende diskreta stokastiska variabler genom en diskret faltning (se kursboken). I ATLAB finns en funktion, N, som utför just en sådan faltning (faltning heter convolution på engelska). E J- E E - N N N? B!BI ;J1 J!6I K!6I Här blir alltså sannolikhetsfunktionen för en summa av åtta stycken oberoende stokastiska variabler med sannolikhetsfunktionen. Rita upp var och en av dessa nya sannolikhetsfunktioner med hjälp av (om du använder =9C - kommandot kan du få plottarna i följd på ett överskådligt sätt). Nu kan vi också åstadkomma slumptal från fördelningen genom att generera åtta stycken slumptal från fördelningen och sedan lägga ihop dem. Om vi gör detta, till exempel, hundra gånger kan vi sedan rita ett stolpdiagram över de relativa frekvenserna och jämföra detta med sannolikhetsfunktionen för. I ATLAB gör vi detta lätt och snabbt genom att först generera en 1-slumptalsmatris 1!!, där vi kan betrakta varje kolonn som observationer av åtta stycken tärningskast. Ta, innan du går vidare, reda på hur funktionen =9 fungerar. =9 K!BI D D //7 $ 4DD;P < 7) ;! &!6I Den andra inparametern till funktionen 7 $ är en vektor vars element anger klassmitten för respektive klass, och på detta sätt får vi samma indelning som i stolpdiagrammet över sannolikhetsfunktionen. Nu kan det vara dags att ta det lite lugnt ett slag och fundera över några frågor: 6
7 Uppgift 4.1: (a) Hur stämmer fördelningen för de simulerade värdena överens med den teoretiska fördelningen för? (b) Varför förskjuts den resulterande fördelningen allt längre mot höger för varje faltning? (c) Varför blir sannolikhetsfunktionen för den resulterande fördelningen bredare för varje faltning? (d) Kan du skönja någon tendens beträffande resultaten av de successiva faltningarna? 9 =9 = 6! ;! & 9!O( LJ( B!! Funktionen =9 ger summan av elementen i en vektor, notationen ( J betyder elementvis kvadrering av en vektor och är kvadratroten. Vi kan nu jämföra sannolikhetsfunktionen med den normalfördelning N(4m/ 4) som har samma väntevärde och varians/standardavvikelse som. 4)Q' < 7) "! & 6 "! E7 )Q)('*?Q E 9 E7 1 "! $=<"!! Sist, men inte minst, några frågor: 4.2 Skev fördelning Uppgift 4.3: Utför sedan ett antal faltningar på samma sätt som ovan, men med en skev fördelning, till exempel * J P väl av normalfördelning- (a) Approximeras en? (Vad skall vara?) Börja med att rita upp sannolikhetsfunktionen med hjälp av, så att du vet hur den ser ut. Uppgift 4.2: (a) Kan du se samma tendens här som du såg i föregående fall? (b) Om du svarat ja på ovanstående fråga, hur många faltningar tycker du behövs för att tydligt kunna se tendensen? Om du svarat nej, fortsätt med ett par faltningar till! (b) Hur stort måste antalet termer n i summan vara, för att approximationenskall bli bra? (Pröva med summor av fler och färre stokastiska variabler, och notera det värde på n, för vilket du tycker att approximationen är bra.) (c) Beror approximationen till normalfördelningen på något mer än antalet termer i summan? Jämför med den inritade normalfördelningen Jämförelse med normalfördelningen Vi skall nu avsluta denna seans med en liten jämförelse med normalfördelningen. Det kan kanske verka en aning långsökt, men det skall så småningom visa sig, att det ligger goda skäl bakom. Räkna först ut väntevärde och standardavvikelse för en stokastisk variabel med sannolikhetsfunktionen. Riskanalys Om igelkottar kilar över en väg vid n oberoende tillfällen och varje gång en igelkott passerar över vägen riskerar den att råka ut för en olycka med en sannolikhet som är 1- n, hur stor är då risken att någon av igelkottarna råkar ut för en olycka? 7
8 : Uppgift.1: (a) Simulera fram olycksrisken för några olika n. Du kan använda den färdigskrivna - filen $L<. (b) Beräkna olycksrisken då n, 1 exakt, med hjälp av oberoende händelser. (c) Om vi utsätter oss för små risker, så små att de nästan inte kan inträffa, många gånger, hur stor är då sannolikheten att vi någon gång råkar ut för denna olycka? Om du räknar med P(olycka en viss gång), 1- n, vad är då sannolikheten att olyckan inträffar någon gång av n? Vad händer då n? 6 Avslutning När man som ingenjör utför sina beräkningar, räcker det inte att de är formellt korrekta. Resultaten måste också sättas i relation till den omgivande verkligheten, tolkas i ett sammanhang. Väntevärde och varians är viktiga begrepp i sannolikhets- och statistikteorin, men de är abstraktioner som i varje enskilt fall måste tolkas för att få en mening. Den mekaniska analogin vid sannolikhets- eller täthetsfunktioner samt frekvenstolkningen är två möjliga vägar som illustrerats i första delen av denna laboration. I statistiken arbetar man ofta med summor av stokastiska variabler, inte minst när man bildar medelvärden. Avsnittet om faltning handlade just om detta, och de avslutande jämförelserna med normalfördelningen kan ses som en heuristisk härledning av centrala gränsvärdessatsen. Denna sats intar en central plats inom statistikteorin och förklarar också till viss del varför normalfördelningen är så ofta förekommande i statistiska sammanhang. I mitten av projektet fick du tillfälle att lite mera ingående studera några standardfördelningar och några av deras egenskaper. Varje fördelning har sina speciella egenskaper som gör den mer eller mindre användbar i olika sammanhang. För att kunna modellera den komplexa värld vi lever i behöver vi därför en bred repertoar av fördelningar, och vi skulle kunna underkasta var och en av de fördelningar som presenteras under kursens gång ett liknande specialstudium. Nu räcker inte den utmätta tiden till detta, och detta moment får därför samtidigt stå som ett exempel på hur man kan studera en fördelning och dess egenskaper för att kunna välja fördelning till ett specifikt problem. 7 Redovisning Rapport Projektet utförs i grupper om två eller tre personer och skall redovisas i form av en kort rapport koncentrerad kring de nyckelfrågor som är markerade med en bomb,. Figurer och histogram som kan förtydliga resonemang och slutsatser skall givetvis också vara med. Rapporten skall senast vara inlämnad den tid som meddelas på undervisningen. Du kan lämna den till antingen labbhandledaren eller sekreteraren. Om rapporten inte är inlämnad senast detta datum rättas den inte förrän nån gång i framtiden när vi har tid. Rättade rapporter delas ut på föreläsningarna och finns sedan i fack i korridoren på andra våningen i mattehuset. Icke godkända rapporter skall kompletteras och lämnas in igen så fort som möjligt. Utformningen av rapporten skall i görligaste mån följa instruktionerna i den utdelade promemorian angående redovisning av datorlaborationer. Rapporten skall bara omfatta väsentligheterna i projektet. Det finns delmoment och Uppgifter som är till för att stödja nyckelmomenten. Dessa behöver så klart ej redovisas i detalj och bör bara tas med för att stödja och förtydliga eventuella resonemang.
9 LUNDS TEKNISKA HÖSKOLA ATEATIKCENTRU ATEATISK STATISTIK REDOVISNIN AV PROJEKT 1: O FÖRDELNINAR OCH RISKER ATEATISK STATISTIK, AK FÖR L, FS 33, HT-4 Detta blad skall lämnas som försättsblad till rapporten. Checklista 1. Är alla momenten i projektet (inklusive förberedelseuppgifter) utförda? 2. Har rapporten blivit korrekturläst? Är språk- och skrivfel rättade? 3. Är figurer, tabeller och liknande försedda med figurtexter och tydlig numrering? 4. Har alla figurer storheter inskrivna på alla axlar?. Är de beräkningar som kan kontrollräknas kontrollräknade? 6. Har du gjort en rimlighetsbedömning av samtliga resultat? 7. Har eventuella orimliga resultat blivit vederbörligen kontrollerade och kommenterade?. Är den löpande texten väl strukturerad med tydliga avsnittsrubriker? 9. Är skriften försedd med: Sammanfattning? Innehållsförteckning? Referenslista? Sidnumrering? Datum? 1. Har förutsättningar, förenklingar och gjorda antaganden tydligt redovisats? 11. Är din rapport läsbar utan tillgång till laborationshandledningen? 12. Har ni samarbetat med annan grupp? I så fall vilken? Är detta försättsblad med checklista fullständigt ifyllt? [ort och datum] [underskrifter] [namnförtydliganden] Ja Nej Rättarens anteckningar Rättat av: odkänt (datum):
1 Syfte. 2 Moment hos och faltning av fördelningar MATEMATISK STATISTIK, AK FÖR L, FMS 033, HT Angående grafisk presentation
UNDS TEKNISKA ÖGSKOA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK MATEMATISK STATISTIK, AK FÖR, FMS 33, T-3!"$&' (*) 1 Syfte I den första delen av detta projekt skall vi försöka hitta begripliga tolkningar av
Läs merSyftet med den här laborationen är att du skall bli mer förtrogen med följande viktiga områden inom matematisk statistik
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK DATORLABORATION 4 MATEMATISK STATISTIK, AK FÖR I, FMS 01, HT-07 Laboration 4: Stora talens lag, Centrala gränsvärdessatsen, enkla punktskattningar
Läs merProjekt 1: Om fördelningar och risker
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK MATEMATISK STATISTIK, AK FÖR L, FMS 033, HT-02 Projekt 1: Om fördelningar och risker 1 Syfte I den första delen av detta projekt skall vi försöka
Läs merLaboration 2: 1 Syfte. 2 Väntevärde och varians hos en s.v. X med fördelningen F X (x) MATEMATISK STATISTIK, AK FÖR BYGG, FMS 601, HT-08
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK MATEMATISK STATISTIK, AK FÖR BYGG, FMS 601, HT-08 Laboration 2: Om väntevärden och fördelningar 1 Syfte I denna laboration skall vi försöka
Läs merLaboration 4: Stora talens lag, Centrala gränsvärdessatsen och enkla punktskattningar
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK DATORLABORATION 4 MATEMATISK STATISTIK, FÖR I/PI, FMS 121/2, HT-3 Laboration 4: Stora talens lag, Centrala gränsvärdessatsen och enkla punktskattningar
Läs merLaboration 4: Stora talens lag, Centrala gränsvärdessatsen och enkla punktskattningar
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK DATORLABORATION 4 MATEMATISK STATISTIK, AK FÖR I, FMS 120, HT-00 Laboration 4: Stora talens lag, Centrala gränsvärdessatsen och enkla punktskattningar
Läs merLaboration 3: Stora talens lag, centrala gränsvärdessatsen och enkla punktskattningar
Lunds tekniska högskola Matematikcentrum Matematisk statistik Laboration 3 Matematisk statistik AK för CDIFysiker, FMS012/MASB03, HT15 Laboration 3: Stora talens lag, centrala gränsvärdessatsen och enkla
Läs merLaboration 3: Stora talens lag, centrala gränsvärdessatsen och enkla punktskattningar
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK LABORATION 3 MATEMATISK STATISTIK AK FÖR CDIFYSIKER, FMS012/MASB03, HT12 Laboration 3: Stora talens lag, centrala gränsvärdessatsen och enkla
Läs merTAIU07 Matematiska beräkningar med Matlab
TAIU07 Matematiska beräkningar med Matlab Datorlektion 2. Villkor och Repetition 1 Logiska uttryck Uppgift 1.1 Låt a=3 och b=6 Vad blir resultatet av testerna ab? Uppgift 1.2 Låt a, b,
Läs merBeskrivande statistik Kapitel 19. (totalt 12 sidor)
Beskrivande statistik Kapitel 19. (totalt 12 sidor) För att åskådliggöra insamlat material från en undersökning används mått, tabeller och diagram vid sammanställningen. Det är därför viktigt med en grundläggande
Läs merÖVNINGSUPPGIFTER KAPITEL 9
ÖVNINGSUPPGIFTER KAPITEL 9 STOKASTISKA VARIABLER 1. Ange om följande stokastiska variabler är diskreta eller kontinuerliga: a. X = En slumpmässigt utvald person ur populationen är arbetslös, där x antar
Läs merLektionsanteckningar 2: Matematikrepetition, tabeller och diagram
Lektionsanteckningar 2: Matematikrepetition, tabeller och diagram 2.1 Grundläggande matematik 2.1.1 Potensfunktioner xmxn xm n x x x x 3 4 34 7 x x m n x mn x x 4 3 x4 3 x1 x x n 1 x n x 3 1 x 3 x0 1 1
Läs merMatematisk statistik allmän kurs, MASA01:B, HT-14 Laboration 2
Lunds universitet Matematikcentrum Matematisk statistik Matematisk statistik allmän kurs, MASA01:B, HT-14 Laboration 2 Rapporten till den här laborationen skall lämnas in senast den 19e December 2014.
Läs merMatematikcentrum 1(6) Matematisk Statistik Lunds Universitet MASB11 - Biostatistisk grundkurs VT2014, lp3. Laboration 2. Fördelningar och simulering
Matematikcentrum 1(6) Matematisk Statistik Lunds Universitet MASB11 - Biostatistisk grundkurs VT2014, lp3 Laboration 2 Fördelningar och simulering Introduktion 2014-02-06 Syftet med laborationen är dels
Läs merträna på att använda olika grafiska metoder för att undersöka vilka fördelningar ett datamaterial kan komma från
Matematikcentrum Matematisk statistik MASB11: BIOSTATISTISK GRUNDKURS DATORLABORATION 1, 1 APRIL 215 FÖRDELNINGAR, SIMULERING OCH FÖRDELNINGSANPASSNING Syfte Syftet med dagens laboration är att du ska
Läs merbli bekant med summor av stokastiska variabler.
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK DATORÖVNING 2 MATEMATISK STATISTIK FÖR E FMSF20 Syfte: Syftet med dagens laborationen är att du skall: få förståelse för diskreta, bivariate
Läs merSF1905 Sannolikhetsteori och statistik: Lab 2 ht 2011
Avd. Matematisk statistik Tobias Rydén 2011-09-30 SF1905 Sannolikhetsteori och statistik: Lab 2 ht 2011 Förberedelser. Innan du går till laborationen, läs igenom den här handledningen. Repetera också i
Läs merStatistikens grunder 1 och 2, GN, 15 hp, deltid, kvällskurs
Statistikens grunder 1 och 2, GN, 15 hp, deltid, kvällskurs TE/RC Datorövning 4 Syfte: 1. Lära sig beräkna konfidensintervall och täckningsgrad 2. Lära sig rita en exponentialfördelning 3. Lära sig illustrera
Läs merTentamen'i'TMA321'Matematisk'Statistik,'Chalmers'Tekniska'Högskola.''
Tentamen'i'TMA321'Matematisk'Statistik,'Chalmers'Tekniska'Högskola.'' Hjälpmedel:'Valfri'räknare,'egenhändigt'handskriven'formelsamling'(4''A4Esidor'på'2'blad)' och'till'skrivningen'medhörande'tabeller.''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''
Läs merF14 Repetition. Måns Thulin. Uppsala universitet thulin@math.uu.se. Statistik för ingenjörer 6/3 2013 1/15
1/15 F14 Repetition Måns Thulin Uppsala universitet thulin@math.uu.se Statistik för ingenjörer 6/3 2013 2/15 Dagens föreläsning Tentamensinformation Exempel på tentaproblem På kurshemsidan finns sex gamla
Läs merDatorövning 1: Fördelningar
Lunds tekniska högskola Matematikcentrum Matematisk statistik FMS012/MASB03: MATEMATISK STATISTIK, 9 HP, VT-17 Datorövning 1: Fördelningar I denna datorövning ska du utforska begreppen sannolikhet och
Läs merDATORÖVNING 2 MATEMATISK STATISTIK FÖR D, I, PI OCH FYSIKER; FMSF45 & MASB03. bli bekant med summor av stokastiska variabler.
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK DATORÖVNING 2 MATEMATISK STATISTIK FÖR D, I, PI OCH FYSIKER; FMSF45 & MASB03 Syfte: Syftet med dagens laborationen är att du skall: få förståelse
Läs merDatorövning 1 Fördelningar
Lunds tekniska högskola Matematikcentrum Matematisk statistik FMSF20: MATEMATISK STATISTIK, ALLMÄN KURS, 7.5HP FÖR E, HT-15 Datorövning 1 Fördelningar I denna datorövning ska du utforska begreppen sannolikhet
Läs mer5 Kontinuerliga stokastiska variabler
5 Kontinuerliga stokastiska variabler Ex: X är livslängden av en glödlampa. Utfallsrummet är S = x : x 0}. X kan anta överuppräkneligt oändligt många olika värden. X är en kontinuerlig stokastisk variabel.
Läs merSF1900 Sannolikhetsteori och statistik, HT 2017 Laboration 1 för CINEK2
Matematisk Statistik SF1900 Sannolikhetsteori och statistik, HT 2017 Laboration 1 för CINEK2 1 Introduktion Denna laboration är inte poänggivande utan är till för den som vill bekanta sig med MATLAB. Fokusera
Läs merLULEÅ TEKNISKA UNIVERSITET Ämneskod S0006M Institutionen för matematik Datum 2009-12-17 Skrivtid 0900 1400
LULEÅ TEKNISKA UNIVERSITET Ämneskod S0006M Institutionen för matematik Datum 2009-12-17 Skrivtid 0900 1400 Tentamen i: Statistik 1, 7.5 hp Antal uppgifter: 5 Krav för G: 11 Lärare: Robert Lundqvist, tel
Läs merTATA42: Föreläsning 10 Serier ( generaliserade summor )
TATA42: Föreläsning 0 Serier ( generaliserade summor ) Johan Thim 5 maj 205 En funktion s: N R brukar kallas talföljd, och vi skriver ofta s n i stället för s(n). Detta innebär alltså att för varje heltal
Läs merrepetera begreppen sannolikhetsfunktion, frekvensfunktion och fördelningsfunktion
Lunds tekniska högskola Matematikcentrum Matematisk statistik FMSF25: MATEMATISK STATISTIK KOMPLETTERANDE PROJEKT DATORLABORATION 1, 14 NOVEMBER 2017 Syfte Syftet med dagens laboration är att du ska träna
Läs merDatorlaboration 2 Konfidensintervall & hypotesprövning
Statistik, 2p PROTOKOLL Namn:...... Grupp:... Datum:... Datorlaboration 2 Konfidensintervall & hypotesprövning Syftet med denna laboration är att ni med hjälp av MS Excel ska fortsätta den statistiska
Läs merInlämningsuppgift 4 NUM131
Inlämningsuppgift 4 NUM131 Modell Denna inlämningsuppgift går ut på att simulera ett modellflygplans rörelse i luften. Vi bortser ifrån rörelser i sidled och studerar enbart rörelsen i ett plan. De krafter
Läs merLaboration 1: Grundläggande sannolikhetsteori, simulering och dataanalys
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK LABORATION 1 MATEMATISK STATISTIK AK FÖR F OCH FYSIKER, FMS012/MASB03, VT15 Laboration 1: Grundläggande sannolikhetsteori, simulering och dataanalys
Läs merOmtentamen i DV & TDV
Umeå Universitet Institutionen för Datavetenskap Gunilla Wikström (e-post wikstrom) Omtentamen i Teknisk-Vetenskapliga Beräkningar för DV & TDV Tentamensdatum: 2005-06-07 Skrivtid: 9-15 Hjälpmedel: inga
Läs merSignalanalys med snabb Fouriertransform
Laboration i Fourieranalys, MVE030 Signalanalys med snabb Fouriertransform Den här laborationen har två syften: dels att visa lite på hur den snabba Fouriertransformen fungerar, och lite om vad man bör
Läs merSummor av slumpvariabler
1/22 Summor av slumpvariabler Måns Thulin Uppsala universitet thulin@math.uu.se Statistik för ingenjörer 8/2 2013 2/22 Dagens föreläsning Väntevärde och varians Vanliga kontinuerliga fördelningar Parkeringsplatsproblemet
Läs merTMS136. Föreläsning 4
TMS136 Föreläsning 4 Kontinuerliga stokastiska variabler Kontinuerliga stokastiska variabler är stokastiska variabler som tar värden i intervall av den reella axeln Det kan handla om längder, temperaturer,
Läs merDemonstration av laboration 2, SF1901
KTH 29 November 2017 Laboration 2 Målet med dagens föreläsning är att repetera några viktiga begrepp från kursen och illustrera dem med hjälp av MATLAB. Laboration 2 har följande delar Fördelningsfunktion
Läs merDekomponering av löneskillnader
Lönebildningsrapporten 2013 133 FÖRDJUPNING Dekomponering av löneskillnader Den här fördjupningen ger en detaljerad beskrivning av dekomponeringen av skillnader i genomsnittlig lön. Först beskrivs metoden
Läs merSyftet med den här laborationen är att du skall bli mer förtrogen med några viktiga områden inom kursen nämligen
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK DATORLABORATION 3 MATEMATISK STATISTIK, AK FÖR I, FMS 12, HT-8 Laboration 3: Sannolikhetsteori och simulering Syftet med den här laborationen
Läs merAvd. Matematisk statistik
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1902 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, TORSDAGEN DEN 23:E MAJ 2013 KL 14.00 19.00. Kursledare och examinator : Björn-Olof Skytt Tillåtna hjälpmedel: miniräknare, lathund
Läs merFöreläsning 3, Matematisk statistik Π + E
Repetition Kvantil Presentation Slumptal Transformer Inversmetoden Föreläsning 3, Matematisk statistik Π + E Sören Vang Andersen 13 november 2014 Sören Vang Andersen - sva@maths.lth.se FMS012 F3 1/19 Repetition
Läs merF5 STOKASTISKA VARIABLER (NCT , samt del av 5.4)
Stat. teori gk, ht 006, JW F5 STOKASTISKA VARIABLER (NCT 5.1-5.3, samt del av 5.4) Ordlista till NCT Random variable Discrete Continuous Probability distribution Probability distribution function Cumulative
Läs merKursombud sökes! Kursens syfte är att ge en introduktion till metoder för att förutsäga realtidsegenskaper hos betjäningssystem, i synnerhet för data- och telekommunikationssystem. Såväl enkla betjäningssystem,
Läs mer4 Diskret stokastisk variabel
4 Diskret stokastisk variabel En stokastisk variabel är en variabel vars värde bestäms av utfallet av ett slumpmässigt försök. En stokastisk variabel betecknas ofta med X, Y eller Z (i läroboken används
Läs merLaboration 5: Regressionsanalys. 1 Förberedelseuppgifter. 2 Enkel linjär regression DATORLABORATION 5 MATEMATISK STATISTIK FÖR I, FMS 012, HT-08
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK Laboration 5: Regressionsanalys DATORLABORATION 5 MATEMATISK STATISTIK FÖR I, FMS 012, HT-08 Syftet med den här laborationen är att du skall
Läs mer1 Syfte. 2 Förberedelseuppgifter DATORLABORATION 1 MATEMATISK STATISTIK, AK FÖR L, FMS 033, HT-03
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK DATORLABORATION 1 MATEMATISK STATISTIK, AK FÖR L, FMS 0, HT-0! "$&%')(+*,-./01.02% 1 Syfte Syftet med den här laborationen är att du ska bli
Läs merDatorövning 1 Statistik med Excel (Office 2007, svenska)
Datorövning 1 Statistik med Excel (Office 2007, svenska) I processövningen som ni ska genomföra ingår det att konstruera samt sammanställa en enkät. Denna sammanställning ska göras med hjälp av programmet
Läs merk x om 0 x 1, f X (x) = 0 annars. Om Du inte klarar (i)-delen, så får konstanten k ingå i svaret. (5 p)
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1901 SANNOLIKHETSLÄRA OCH STATISTIK MÅNDAGEN DEN 17 AUGUSTI 2009 KL 08.00 13.00. Examinator: Gunnar Englund, tel. 790 74 16. Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling
Läs merRödGrön-spelet Av: Jonas Hall. Högstadiet. Tid: 40-120 minuter beroende på variant Material: TI-82/83/84 samt tärningar
Aktivitetsbeskrivning Denna aktivitet är utformat som ett spel som spelas av en grupp elever. En elev i taget agerar Gömmare och de andra är Gissare. Den som är gömmare lagrar (gömmer) tal i några av räknarens
Läs merLABORATIONSHÄFTE NUMERISKA METODER GRUNDKURS 1, 2D1210 LÄSÅRET 03/04. Laboration 3 3. Torsionssvängningar i en drivaxel
Lennart Edsberg Nada, KTH December 2003 LABORATIONSHÄFTE NUMERISKA METODER GRUNDKURS 1, 2D1210 M2 LÄSÅRET 03/04 Laboration 3 3. Torsionssvängningar i en drivaxel 1 Laboration 3. Differentialekvationer
Läs merMMA132: Laboration 1 Introduktion till MATLAB
MMA132: Laboration 1 Introduktion till MATLAB De flesta numeriska metoder låter oss få en tillräckligt bra lösning på ett matematiskt problem genom att byta ut komplexa matematiska operationer med kombinationer
Läs merResultatet läggs in i ladok senast 13 juni 2014.
Matematisk statistik Tentamen: 214 6 2 kl 14 19 FMS 35 Matematisk statistik AK för M, 7.5 hp Till Del A skall endast svar lämnas. Samtliga svar skall skrivas på ett och samma papper. Övriga uppgifter fordrar
Läs merKontrollera att följande punkter är uppfyllda innan rapporten lämnas in: Första sidan är ett försättsblad (laddas ned från kurshemsidan)
Statistiska institutionen VT 2012 Inlämningsuppgift 1 Statistisk teori med tillämpningar Instruktioner Ett av problemen A, B eller C tilldelas gruppen vid första övningstillfället. Rapporten ska lämnas
Läs merDatorövning 1 Statistik med Excel (Office 2007, svenska)
Datorövning 1 Statistik med Excel (Office 2007, svenska) I processövningen som ni ska genomföra ingår det att konstruera samt sammanställa en enkät. Denna sammanställning ska göras med hjälp av programmet
Läs merMer om slumpvariabler
1/20 Mer om slumpvariabler Måns Thulin Uppsala universitet thulin@math.uu.se Statistik för ingenjörer 4/2 2013 2/20 Dagens föreläsning Diskreta slumpvariabler Vilket kretskort ska man välja? Väntevärde
Läs merTentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M
Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M Poäng totalt för del 1: 25 (8 uppgifter) Tentamensdatum 2012-01-13 Poäng totalt för del 2: 30 (3 uppgifter) Skrivtid 09.00 14.00 Lärare: Adam Jonsson, Ove
Läs merTentamen i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäng) Onsdag 1 november 2006, Kl 08.15-13.15
Tentamen i Statistik, STA A och STA A13 (9 poäng) Onsdag 1 november 00, Kl 0.15-13.15 Tillåtna hjälpmedel: Bifogad formelsamling, approximationsschema och tabellsamling (dessa skall returneras). Egen miniräknare.
Läs merDatorövning 2 Betingad fördelning och Centrala gränsvärdessatsen
Lunds tekniska högskola Matematikcentrum Matematisk statistik FMS012/MASB03: MATEMATISK STATISTIK, 9 HP, HT-16 Datorövning 2 Betingad fördelning och Centrala gränsvärdessatsen Syftet med den här laborationen
Läs merEnkel linjär regression: skattning, diagnostik, prediktion. Multipel regression: modellval, indikatorvariabler
UPPSALA UNIVESITET Matematiska institutionen Jesper ydén Matematisk statistik 1MS026 vt 2014 DATOÖVNING MED : EGESSION I den här datorövningen studeras följande moment: Enkel linjär regression: skattning,
Läs merAtt göra investeringskalkyler med hjälp av
MIO040 Industriell ekonomi FK 2013-02-21 Inst. för Teknisk ekonomi och Logistik Mona Becker Att göra investeringskalkyler med hjälp av Microsoft Excel 2007 Förord Föreliggande PM behandlar hur man gör
Läs merDatorövning 1 Statistik med Excel (Office 2010, svenska)
Datorövning 1 Statistik med Excel (Office 2010, svenska) I processövningen som ni ska genomföra ingår det att konstruera samt sammanställa en enkät. Denna sammanställning ska göras med hjälp av programmet
Läs mer13.1 Matematisk statistik
13.1 Matematisk statistik 13.1.1 Grundläggande begrepp I den här föreläsningen kommer vi att definiera och exemplifiera ett antal begrepp som sedan kommer att följa oss genom hela kursen. Det är därför
Läs merLaboration 4: Lineär regression
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK MATEMATISK STATISTIK, AK FÖR BYGG, FMS 601, HT-08 Laboration 4: Lineär regression 1 Syfte Denna laboration handlar om regressionsanalys och
Läs merLektion 1: Fördelningar och deskriptiv analys
Density Lektion 1: Fördelningar och deskriptiv analys 1.,3 Uniform; Lower=1; Upper=6,3,2,2,1,, 1 2 3 X 4 6 7 Figuren ovan visar täthetsfunktionen för en likformig fördelning. Kurvan antar värdet.2 över
Läs merMatematikcentrum 1(7) Matematisk Statistik Lunds Universitet Per-Erik Isberg. Laboration 1. Simulering
Matematikcentrum (7) Matematisk Statistik Lunds Universitet Per-Erik Isberg Laboration Simulering HT 006 Introduktion Syftet med laborationen är dels att vi skall bekanta oss med lite av de olika funktioner
Läs merFörsta sidan är ett försättsblad (laddas ned från kurshemsidan) Alla frågor som nns i uppgiftstexten är besvarade
HT 2011 Inlämningsuppgift 1 Statistisk teori med tillämpningar Instruktioner Ett av problemen A, B eller C tilldelas gruppen vid första övningstillfället. Rapporten ska lämnas in senast 29/9 kl 16.30.
Läs merTentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen 2, 5p 24 januari 2004, kl. 09.00-13.00
Karlstads universitet Institutionen för informationsteknologi Avdelningen för statistik Tentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen, 5p 4 januari 004, kl. 09.00-13.00 Tillåtna hjälpmedel: Ansvarig lärare:
Läs merhttp://www.leidenhed.se Senaste revideringen av kapitlet gjordes 2014-05-08, efter att ett fel upptäckts.
Dokumentet är från sajtsidan Matematik: som ingår i min sajt: http://www.leidenhed.se/matte.html http://www.leidenhed.se Minst och störst Senaste revideringen av kapitlet gjordes 2014-05-08, efter att
Läs merStatistik för Brandingenjörer. Laboration 1
LUNDS UNIVERSITET 1(6) STATISTISKA INSTITUTIONEN Statistik för Brandingenjörer Laboration 1 Beskrivande statistik VT 2012 2 En marknadsundersökning Bakgrund Uppgiften kommer att omfatta en del av en marknadsundersökning
Läs merMatematikcentrum 1(7) Matematisk Statistik Lunds Universitet MASB11 - Biostatistisk grundkurs HT2007. Laboration. Simulering
Matematikcentrum 1(7) Matematisk Statistik Lunds Universitet MASB11 - Biostatistisk grundkurs HT007 Laboration Simulering Grupp A: 007-11-1, 8.15-.00 Grupp B: 007-11-1, 13.15-15.00 Introduktion Syftet
Läs merDataprojekt. Nanovetenskapliga tankeverktyg. January 18, 2008
Dataprojekt. Nanovetenskapliga tankeverktyg. January 18, 2008 Dataprojekt 1: Fourierserier Två av fysikens mest centrala ekvationer är vågekvationen och värmeledningsekvationen. Båda dessa ekvationer är
Läs merTentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M
Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M Poäng totalt för del 1: 25 (10 uppgifter) Tentamensdatum 2013-01-18 Poäng totalt för del 2: 30 (3 uppgifter) Skrivtid 09.00 14.00 Lärare: Adam Jonsson, Ove
Läs merTentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M
Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M Poäng totalt för del 1: 25 (9 uppgifter) Tentamensdatum 2011-10-25 Poäng totalt för del 2: 30 (3 uppgifter) Skrivtid 09.00 14.00 Lärare: Adam Jonsson, Lennart
Läs merLaboration 5: Regressionsanalys. 1 Förberedelseuppgifter. 2 Enkel linjär regression LABORATION 5 MATEMATISK STATISTIK AK FÖR CDE, FMS012, VT08
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK LABORATION 5 MATEMATISK STATISTIK AK FÖR CDE, FMS012, VT08 Laboration 5: Regressionsanalys Syftet med den här laborationen är att du skall
Läs merLektionsanteckningar 11-12: Normalfördelningen
Lektionsanteckningar 11-12: Normalfördelningen När utfallsrummet för en slumpvariabel kan anta vilket värde som helst i ett givet intervall är variabeln kontinuerlig. Det är väsentligt att utfallsrummet
Läs merLennart Carleson. KTH och Uppsala universitet
46 Om +x Lennart Carleson KTH och Uppsala universitet Vi börjar med att försöka uppskatta ovanstående integral, som vi kallar I, numeriskt. Vi delar in intervallet (, ) i n lika delar med delningspunkterna
Läs merRepetitionsuppgifter i Matematik inför Basår. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2014
Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår Matematiska institutionen Linköpings universitet 04 Innehåll De fyra räknesätten Potenser och rötter 7 Algebra 0 4 Funktioner 7 Logaritmer 9 6 Facit 0 Repetitionsuppgifter
Läs merStatistisk undersökningsmetodik (Pol. kand.)
TENTAMEN Tentamensdatum 2008-10-02 Statistisk undersökningsmetodik (Pol. kand.) Namn:.. Personnr:.. Tentakod: Obs! Var noga med att skriva din tentakod på varje lösningsblad som du lämnar in. Skrivtid
Läs merTAIU07 Matematiska beräkningar med Matlab
TAIU07 Matematiska beräkningar med Matlab Laboration 1. Vektorberäkningar Namn: Personnummer: Epost: Namn: Personnummer: Epost: Godkänd den: Sign: Retur: 1 Introduktion I denna övning skall vi träna på
Läs merLaboration i Fourieroptik
Laboration i Fourieroptik David Winge Uppdaterad 4 januari 2016 1 Introduktion I detta experiment ska vi titta på en verklig avbildning av Fouriertransformen. Detta ska ske med hjälp av en bild som projiceras
Läs merIckelinjära ekvationer
Löpsedel: Icke-linjära ekvationer Ickelinjära ekvationer Beräkningsvetenskap I Varför är det svårt att lösa icke-linjära ekvationer? Iterativa metoder Bisektion/intervallhalvering Newton-Raphsons metod
Läs merUppgift 1. Deskripitiv statistik. Lön
Uppgift 1 Deskripitiv statistik Lön Variabeln Lön är en kvotvariabel, även om vi knappast kommer att uppleva några negativa värden. Det är sannolikt vår intressantaste variabel i undersökningen, och mot
Läs merLaboration 3: Enkla punktskattningar, styrkefunktion och bootstrap
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK DATORLABORATION 3, HT -06 MATEMATISK STATISTIK FÖR F, PI OCH NANO, FMS 012 MATEMATISK STATISTIK FÖR FYSIKER, MAS 233 Laboration 3: Enkla punktskattningar,
Läs merR AKNE OVNING VECKA 1 David Heintz, 31 oktober 2002
RÄKNEÖVNING VECKA David Heintz, 3 oktober 22 Innehåll Uppgift 27. 2 Uppgift 27.8 4 3 Uppgift 27.9 6 4 Uppgift 27. 9 5 Uppgift 28. 5 6 Uppgift 28.2 8 7 Uppgift 28.4 2 Uppgift 27. Determine primitive functions
Läs merLABORATION ENELEKTRONSPEKTRA
LABORATION ENELEKTRONSPEKTRA Syfte och mål Uppgiften i denna laboration är att studera atomspektra från väte och natrium i det synliga våglängdsområdet och att med hjälp av uppmätta våglängder från spektrallinjerna
Läs merG VG MVG Programspecifika mål och kriterier
Betygskriterier Matematik C MA10 100p Respektive programmål gäller över kurskriterierna MA10 är en nationell kurs oc skolverkets kurs- oc betygskriterier finns på ttp://www.skolverket.se/ Detta är vår
Läs merMiniprojektuppgift i TSRT04: Femtal i Yatzy
Miniprojektuppgift i TSRT04: Femtal i Yatzy 22 augusti 2016 1 Uppgift I tärningsspelet Yatzy används fem vanliga sexsidiga tärningar. Deltagarna slår tärningarna i tur och ordning och försöker få vissa
Läs mermodell Finansiell statistik, vt-05 Modeller F5 Diskreta variabler beskriva/analysera data Kursens mål verktyg strukturera omvärlden formellt
Johan Koskinen, Statistiska institutionen, Stockholms universitet Finansiell statistik, vt-5 F5 Diskreta variabler Kursens mål beskriva/analysera data formellt verktyg strukturera omvärlden innehåll osäkerhet
Läs merDATORÖVNING 4: DISKRETA
IDA/Statistik 2008-09-25 Annica Isaksson DATORÖVNING 4: DISKRETA SANNOLIKHETSFÖRDELNINGAR. I denna datorövning ska du illustrera olika sannolikhetsfördelningar samt beräkna sannolikheter i dessa m h a
Läs merLaboration 1: Grundläggande sannolikhetsteori, simulering och dataanalys
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK LABORATION 1 MATEMATISK STATISTIK AK FÖR CDIFYSIKER, FMS012/MASB03, HT12 Laboration 1: Grundläggande sannolikhetsteori, simulering och dataanalys
Läs merNedan redovisas resultatet med hjälp av ett antal olika diagram (pkt 1-6):
EM-fotboll 2012 några grafer Sport är en verksamhet som genererar mängder av numerisk information som följs med stort intresse EM i fotboll är inget undantag och detta dokument visar några grafer med kommentarer
Läs merLösningar till linjära problem med MATLAB
5B1146 - Geometri och algebra Mikrolelektronik, TH ista ösningar till linjära problem med MATAB Av: oel Nilsson, alikzus@home.se atrik osonen, pkosonen@kth.se 26-12-4 roblem 1 Man ska bestämma ett tredjegradspolynom:
Läs merFrågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1
ATM-Matematik Mikael Forsberg 6-64 89 6 Matematik med datalogi, mfl. Skrivtid:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny sida. Använd ej baksidor.
Läs merTentamen TANA17 Matematiska beräkningar Provkod: DAT1 Godkänd: 8p av totalt 20p Tid: 21:a April klockan
MAI/Linköpings universitet Fredrik Berntsson Tentamen TANA17 Matematiska beräkningar Provkod: DAT1 Godkänd: 8p av totalt 20p Tid: 21:a April klockan 8.00-12.00 Redovisning Lös först uppgifterna i Matlab.
Läs merTextsträngar från/till skärm eller fil
Textsträngar från/till skärm eller fil Textsträngar [Kapitel 8.1] In- och utmatning till skärm [Kapitel 8.2] Rekursion Gränssnitt Felhantering In- och utmatning till fil Histogram 2010-10-25 Datorlära,
Läs merTENTAMEN KVANTITATIV METOD (100205)
ÖREBRO UNIVERSITET Hälsoakademin Idrott B, Vetenskaplig metod TENTAMEN KVANTITATIV METOD (205) Examinationen består av 11 frågor, några med tillhörande följdfrågor. Besvara alla frågor i direkt anslutning
Läs merMatematisk statistik allmän kurs, MASA01:B, HT-14 Laborationer
Lunds universitet Matematikcentrum Matematisk statistik Matematisk statistik allmän kurs, MASA01:B, HT-14 Laborationer Information om laborationerna I andra halvan av MASA01 kursen ingår två laborationer.
Läs mervarandra. Vi börjar med att behandla en linjes ekvation med hjälp av figur 7 och dess bildtext.
PASS 8 EKVATIONSSYSTEM OCH EN LINJES EKVATION 8 En linjes ekvation En linjes ekvation kan framställas i koordinatsystemet Koordinatsystemet består av x-axeln och yaxeln X-axeln är vågrät och y-axeln lodrät
Läs merSF1901 Sannolikhetsteori och statistik I
SF1901 Sannolikhetsteori och statistik I Jimmy Olsson Föreläsning 4 7 november 2017 1 / 29 Idag Förra gången Viktiga kontinuerliga fördelningar (Kap. 3.6) Fördelningsfunktion (Kap. 3.7) Funktioner av stokastiska
Läs merDatorövning 1: Fördelningar
Lunds tekniska högskola Matematikcentrum Matematisk statistik FMSF45/MASB03: MATEMATISK STATISTIK, 9 HP, VT-18 Datorövning 1: Fördelningar I denna datorövning ska du utforska begreppen sannolikhet och
Läs merFOURIERANALYS En kort introduktion
FOURIERAALYS En kort introduktion Kurt Hansson 2009 Innehåll 1 Signalanalys 2 2 Periodiska signaler 2 3 En komplex) skalärprodukt 4 4 Fourierkoefficienter 4 5 Sampling 5 5.1 Shannon s teorem.................................
Läs mer