FOURIERANALYS En kort introduktion

Transkript

1 FOURIERAALYS En kort introduktion Kurt Hansson 2009 Innehåll 1 Signalanalys 2 2 Periodiska signaler 2 3 En komplex) skalärprodukt 4 4 Fourierkoefficienter 4 5 Sampling Shannon s teorem Diskret fouriertransform 6 7 Snabb fouriertransform 7 8 Litteraturanvisningar 8 c 2009 Kurt Hansson, LiTH/AI. e-post: kurt.hansson@liu.se 1

2 1 Signalanalys Tillvaron vimlar av signaler och att analysera signaler är något som upptar all vår vakna tid. I ett snävare perspektiv är signalerna ofta en serie mätvärden från någon apparat som registrerar ett i tiden kontinuerligt förlopp. Det är sådana signaler som avses i det här sammanhanget. Om mätvärdena representeras med kronologiskt ordnade stolpar i ett diagram kan det se ut som i figur 1. Figur 1: ätvärden ordnade i tidsföljd Eftersom det finns en viss periodicitet är det rimligt att försöka få en tydligare bild av signalen genom att undersöka vilka frekvenser den innehåller. En sådan analys är lätt att göra med fftfunktionen i ATLAB och resultatet visas i figur 2. Figur 2: Samma data som i figur 1 som funktion av frekvens. Signalen visar sig då bestå av fem distinkta frekvenskomponenter och staplarnas höjd anger hur mycket varje frekvens bidrar med. Figur 2 ger en mycket tydligare bild av signalens struktur än figur 1, där vi betraktar mätvärdena i tidsföljd. Hur en sådan spektralanalys går till skall vi se närmare på i följande avsnitt. 2 Periodiska signaler Den enklaste signalen ur spektral synpunkt är en harmonisk svängning med vinkel)frekvensen ω ut) = Acosωt + Bsinωt = A 2 + B 2 cosωt + α) där A och B är konstanter. En sådan signal är periodisk med periodtiden T = 2π/ω så att ut + T ) = ut) för alla t. Eulers formler cosωt = 1 2 e iωt + e iωt), sinωt = 1 2i e iωt e iωt) 2

3 gör att vi också kan skriva u i komplex form ut) = ae iωt + be iωt Konstanterna a och b är då i allmänhet komplexa tal. Signaler med ett mera sammansatt spektrum S = {ω 1,ω 2,ω 3,...,ω n } får vi om vi bildar lineärkombinationer ut) = ak e iωkt + b k e iω kt ) 1) n k=1 av harmoniska svängningar. Vill vi att även dessa signaler skall vara periodiska, måste alla frekvenser i mängden S kunna skrivas som heltalsmultipler av en grundfrekvens Ω = 2π/T. Påståendet följer av nedanstående sats. Sats 1 Funktionen ut) = n k=1 a ke iω kt är periodisk med perioden T om och endast om det gäller att ω k = n k Ω = 2πn k /T där n k är heltal. Bevis. Funktionerna e iωt är egenvektorer med egenvärden iω till den lineära operatorn D = d/dt. Då följer [1, Sats 1, kap 10.2] att funktionerna { e iω 1t, e iω 2t,..., e iω nt } är lineärt oberoende när alla frekvenserna är olika. Om vi därför har ut + T ) ut) = n k=1 måste e iω kt = 1, vilket ger ω k T = 2πn k där n k är heltal. a k e iω k T 1 ) e iω kt 0 Ekvation 1) är därmed ett specialfall av allmännare summor ut) = n= û n e inωt 2) där är det största av talen n k och vi får tänka oss att koefficienterna û n = 0 för värden på n n k. Funktioner av formen 2) bildar ett lineärt rum 1 S,Ω) = [ 1,e ±iωt,e ±i2ωt,...,e ±iωt] som spänns upp av de oberoende vektorerna { e inωt}. Dimensionen är alltså 2 + 1, men i n= det här sammanhanget är det naturligare att tala om rummets bandbredd Ω och grundfrekvens Ω. Som vi sett är samtliga funktioner u S,Ω) periodiska med perioden T = 2π/Ω. 1 Beteckningen [ ] betyder lineära höljet av 3

4 3 En komplex) skalärprodukt Spektralanalys av en given signal u S,Ω) innebär att undersöka hur den är uppbyggd av harmoniska komponenter. ed andra ord, att bestämma koefficienterna û n i summan 2). Vi får då reda på både vilka frekvenser som ingår i u och hur mycket varje frekvens bidrar till helheten. I ett geometriskt perspektiv är detta samma sak som att bestämma koordinaterna för vektorn u i basen {e n } n= där e n t) = e inωt. Detta underlättas i hög grad av att {e n } n= är en O-bas med avseende på den komplexa) skalärprodukten Vi påstår alltså att u,v) = 1 T T 0 { 1, n = m e n,e m ) = 0, n m ut)vt)dt 3) och lämnar beviset som en övning i integralkalkyl. Se även [1, Kap ] Det är heller inte svårt att verifiera egenskaperna 1. Linearitet: au + bv,w) = au,w) + bv,w) där u,v,w S,Ω) och a,b C 2. Positivitet: u,u) > 0 om u 0 3. samt att u,v) = v,u) Skalärprodukten 3) är inte bara ett matematiskt verktyg, den står också på sund fysikalisk grund. Definierarar vi normen av en signal u S,Ω) som u = 1 T u,u) = ut) 2 dt T 0 blir detta ett mått på signalens medeleffekt över en period. Om t.ex. u är en periodiskt varierande elektrisk spänning, är u precis vad en ansluten effektivvärdesvisande) voltmeter kommer att mäta. Övning 1 Visa ortogonalitetsrelationen 4). 4) 4 Fourierkoefficienter Om nu u = n= ûne n och vi multiplicerar skalärt från höger med e m får vi på grund av lineariteten och 4) att u,e m ) = n= û n e n,e m ) = û m 4

5 vilket ger formeln û n = u,e n ) = 1 T för de sökta koefficienterna. T 0 1 ut)e inωt dt = ut τ)e 2πinτ dτ 5) 0 Geometriskt betyder detta att vi bestämmer koordinaten û n genom att projicera vektorn u ortogonalt på den normerade basvektorn e n ; en vanlig operation i lineär algebra. Koefficienterna û n kallas fourierkoefficienter för u och den typ av spektralanalys som går ut på att bestämma fourierkoefficienter kallas följdriktigt fourieranalys. 5 Sampling Det är alltså möjligt att bestämma fourierkoefficienterna ur ekvation 5) om vi känner signalens värden ut) för alla reella värden på t i intervallet 0 t T eller, på grund av periodiciteten, i vilket annat intervall som helst av längden T. Problemet är bara att det gör vi inte alltid. Ofta känner vi i stället u som en serie mätdata ut 1 ), ut 2 ),..., ut ) som är registrerade vid diskreta tidpunkter, som i figur 1. Det är då naturligt att approximera högerledet i 5) med riemannsumman [3, Sats 6.11, kap. 6.6] R n = 1 T 1 ) mt u e 2πinm/ T = 1 1 u m e 2πinm/ 6) som erhålles genom att sampla signalen i ekvidistanta tidpunkter i intervallet 0 t < T. Eftersom u S, Ω) blir mätvärdena ) mt u m = u vilket insatt i den sista summan i 6) ger R n = 1 = 1 k= 1 = k= ) û k e 2πikm/ e 2πinm/ k= 1 e 2πin k)m/ )û k = û k e 2πikm/ 7) k= δ n k û k 8) Där δ n = 1 1 e 2πinm/ 9) 5

6 För att bestämma δ n multiplicerar vi summan 9) med 1 e 2πin/ och får en teleskopsumma se även [3, Sats 1.4, kap 1]) 1 e 2πin/) δ n = 1 1 e 2πimn/ e 2πim+1)n/) = 1 1 e 2πin ) = 0 vilket visar att δ n = 0 om e 2πin/ 1 dvs om n inte är delbart med. Om å andra sidan delar n blir alla termer i summan 1 vilket ger δ n = 1. Sammanfattningsvis är således { 1, n = 0, ±, ±2,... δ n = 0, för övriga n 10) Speciellt är alltså δ 0 = 1 och eftersom n,k gäller att n k 2. Om vi därför väljer > 2 följer av 10) att R n = k= δ n k û k = δ 0 û n = û n, n vilket betyder att fourierkoefficienterna kan beräknas exakt ur formeln 6) trots att denna bara innehåller samplade data. 5.1 Shannon s teorem Relationen > 2 brukar i signalteorin skrivas Ω > 2Ω och uttrycks vanligen så att signaler i S,Ω) måste samplas med en frekvens som är större än dubbla bandbredden om ingen information skall gå förlorad Shannon s teorem). Frekvensen 2Ω kallas nyquistfrekvensen. 6 Diskret fouriertransform Av resonemanget ovan och formlerna 6) och 7) får vi med w = e 2πi/ och = sambanden 1 û n = 1 u m e 2πinm/ = 1 u m = n= û n e 2πinm/ = n= 1 u m w nm 11) û n w nm 12) Avbildningen F : u û som ges av 11) kallas diskreta fouriertransformen av u = u 0,u 1,...,u 1 ) och formeln 12) ger den inversa transformen F 1 : û u. 6

7 För att få bättre symmetri i formlerna 11) och 12) brukar man låta index för û också löpa mellan 0 och 1 i stället för mellan och. Detta gör emellertid ingen skillnad ty w m = 1 ger att û n+ = û n för alla n och då blir eftersom = n=0 û n w nm u m = = 2 n=0 1 n= û n w nm Sammanfattningsvis får vi formlerna n= û n w nm = 2 n=+1 û n+ w n+)m û n w nm) = û n w nm 1 n= 1 n= û n w nm û n+ û n )w nm = 0 1 u m = û n w nm där û n = 1 1 n=0 u m w nm 13) för de diskreta fouriertransformparen F 1 : û u respektive F : u û. 7 Snabb fouriertransform För att beräkna û ur 11) måste vi göra i storleksordningen 2 komplexa räkneoperationer. Eftersom även i modesta tillämpningar kan vara av storleksordningen 10 3 blir kostnaden 10 6 komplexa operationer, vilket kan bli tungt, speciellt om det skall ske i realtid. Det blev därmed en viktig uppgift att konstruera effektiva beräkningsalgoritmer för diskreta fouriertransformer. År 1965 föreslog två amerikaner, J. W. Cooley och J. W. Tukey, en metod FFT) som nu har blivit standard. Den bygger i sin enklaste och effektivaste form på att om = 2 p så kan problemet till en kostnad av ungefär 4 operationer reduceras till två hälften så stora problem. Principen är följande: Låt k ) vara beräkningskostnaden för en transform med = 2 p termer. Sätt w k = e2πik/ och antag att vi vill beräkna û för 2 = 2 p+1 termer. Summan û n = u m w nm 2 delas upp i två summor med termer vardera efter jämna och udda summationsindex. Då får vi, eftersom w n2m 2 = w nm och w n2m+1) 2 = w n 2 w nm, att ) û n = 1 1 u 2m w nm 2 + w n u 2m+1 w nm 1 Båda delsummorna är periodiska med perioden och därmed blir beräkningskostnaden k ) för vardera. Dessutom tillkommer 2 1 multiplikationer och 2 additioner. Försummar vi kostnaden för divisioner med 2 samt en del annat bokföringsarbete får vi sambandet k 2) = 2k ) ) 7

8 som, via induktion, ger beräkningskostnaden k ) = k 1) + 2log 2 )) 15) vilket är en avsevärd reduktion jämfört med 2 för stora värden på. Tack vare FFT algoritmen har den diskreta fouriertransformen blivit ett mycket värdefullt verktyg vid signalanalys. I [4, Ch. III] finns en utförligare redovisning av detaljerna i den numeriska beräkningen av diskreta fouriertransformer. Övning 2 Visa genom induktion att ekvation 15) följer av 14). Ledning: Låt = 2 n och a n = k 2 n ). 8 Litteraturanvisningar För den som vill veta mer finns en ofantlig litteratur på området. Två böcker med en modern framställning av ämnet är [4] och [2]. Se även kompendierna [5], [6] och [7], där de två sistnämnda finns som pdf-dokument på: Referenser [1] Karl Gustav Andersson, Lineär algebra, Studentlitteratur [2] G. Bachman, L. arici, E. Beckenstein, Fourier and Wavelet Analysis. Springer-Verlag [3] Göran Forsling, ats eymark. atematisk analys en variabel. Liber [4] C. Gasquet, P. Witomski. Fourier Analysis and Applications. Springer-Verlag [5] Kurt Hansson. Fourieranalys. Föreläsningar och övningar. Kompendium AI [6] Kurt Hansson. Laplacetransformen och lineära system. Kompendium AI [7] Kurt Hansson. Wavelets. Kompendium AI