Signaler några grundbegrepp
|
|
- Torbjörn Arvidsson
- för 6 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Kapitel 2 Signaler några grundbegrepp I detta avsnitt skall vi behandla några grundbegrepp vid analysen av signaler. För att illustrera de problemställningar som kan uppstå skall vi först betrakta ett enkelt exempel på ett typiskt signalrekonstruktionsproblem. Exempel 2.1. I figur 2.1 är x(t) en signal som överförs över en kanal (t.ex. en telefonlinje), varvid den vid mottagaren blir förvrängd av systemet F, som representerar överföringskanalen. Dessutom påverkas signalen av ett brus e, som kommer in under överföringen. Vi önskar på basen av den mottagna signalen y(t) rekonstruera den ursprungliga signalen så väl som möjligt. För rekonstruktionen manipuleras signalen y med ett signalbehandlingssystem H. Problemet är att konstruera H så att felet x x r mellan den ursprungliga signalen x och den rekonstruerade signalen x r är möjligast litet. Systemet H kan givetvis vara ett digitalt signalbehandlingssystem av den typ som visas i figur 1.2, varvid den inkluderar A/D- och D/A-omvandlare, samt erforderliga analoga filter. Systemet F antas däremot bestå av ett fysikaliskt system, och är därför kontinuerligt. För att signalrekonstruktionsproblemet skall vara meningsfullt, bör man givetvis ha någon form av information om de ingående systemen (i detta fall F ), och signalerna. Systemet F kan bestämmas genom matematisk modellering av den aktuella fysikaliska processen i överföringskanalen eller genom att utföra identifieringsexperiment. Det är därför realistiskt att anta att systemet F är känt. Om bruset e vore noll, så skulle y = z gälla, och exakt rekonstruktion skulle uppnås med x r = F 1 y, förutsatt att systemet F har en invers som kan realiseras i praktiken. e x F z + + y H x r Figur 2.1: Signalrekonstruktion. 10
2 I praktiken finns det alltid bruskällor som påverkar signaler. I motsats till systemet F, vars inverkan på signalen kan antas vara känd, så kan bruset e inte direkt mätas; det enda man har tillgång till är den utkommande signalen y = z + e. Hur skall då den ursprungliga signalen x kunna bestämmas? Observera att y består av två komponenter: signalkomponenten z = F x och störningskomponenten e. Problemet är således ekvivalent med att separera de två komponenterna från varandra. För att kunna göra detta måste signalkomponenten z och bruset e ha egenskaper som i något avseende är olika och gör det möjligt att skilja komponenterna åt. Lyckligtvis är detta ofta fallet. En audiosignal t.ex. innnehåller frekvenskomponenter under 20 khz, medan brus ofta innehåller komponenter av högre frekvenser. En metod att skilja de två komponenterna åt kunde således bestå av att undersöka frekvenskomponenterna hos signalen y. Exempel 2.1 illustrerar behovet av att representera signaler i en form som t.ex. möjliggör separering av olika signalkomponenter. Detta kan kvantitativt utföras med hjälp av olika signaltransformer. I exemplet skulle rekonstruktionsfelet x x r göras möjligast litet. Felet kan emellertid göras litet på många olika sätt. Vid syntes av ett signalbehandlingssystem måste man besluta sig för ett kvantitativt mått för storleken hos felet x x r. Sådana kvantitativa mått ges av signalnormer. 2.1 Signaltransformer Signaler representeras matematiskt som funktioner x(t) av tiden (analoga signaler) eller som sekvenser {x(k)}, k =..., 1, 0, 1,... (diskreta signaler). Det visar sig att flera problemställningar och manipulationer kan förenklas avsevärt om signalen i stället för att representeras som en funktion av tiden (t respektive k) anges med hjälp av utvecklingar av givna funktioner, dvs x(t) = i c i ϕ i (t) (2.1) respektive x(k) = i c i ϕ i (k), k =..., 1, 0, 1,... (2.2) Om funktionsmängden {ϕ i } är tillräckligt generell, kan koefficienterna c i väljas så att likheterna (2.1) respektive (2.2) gäller för en bred klass av funktioner. Funktionen x(t) (respektive {x(k)}) kan i så fall representeras med hjälp av sekvensen {c i } = {c 0, c 1,..., }. Sekvensen {c i } säges vara en transform av signalen x, och funktionerna ϕ i i utvecklingen är s.k. basfunktioner. Den praktiska betydelsen hos dylika transformer är att representera signalen i en form som förenklar olika signalbehandlingsoperationer eller tolkning av signalen. Transformer är viktiga i flera sammanhang: 11
3 Kompression av data. Antag att vi har en diskret signal med N = 1000 punkter, x(0), x(1),..., x(n 1). Det kan synas som ett naturligt sätt att representera signalen i form av talen i sekvensen, {x(k)}. Emellertid är denna representation inte naturligare än andra. Observera att om vi definierar pulsfunktionerna { 1, om k = i ϕ i (k) = (2.3) 0, om k i så kan sekvensen skrivas i formen x(k) = i x(i)ϕ i (k), k = 0, 1,..., N 1 (2.4) I denna representation är alltså koefficienterna c i = x(i) och det krävs N = 1000 koefficienter för att representera signalen. Men valet av pulsfunktionerna (2.3) är inte naturligare än något annat val av funktioner ϕ i i utvecklingen. Tvärtom kan något annat val funktionerna visa sig naturligare. Om man t.ex. vet att signalen har genererats så att x(k) kan anges som en kombination av polynom av högst tredje ordning, så att x(k) = c 0 + c 1 k + c 2 k 2, k = 0, 1,..., N 1 (2.5) så vore det naturligt att välja basfunktionerna φ 0 (k) = 1, φ 1 (k) = k, φ 2 (k) = k 2 varvid hela sekvensen kan representeras med hjälp av de tre parametrarna c 0, c 1, c 2 i formen x(k) = c 0 φ 0 (k) + c 1 φ 1 (k) + c 2 φ 2 (k), k = 0, 1,..., N Detta möjliggör en avsevärd komprimering av den ursprungliga datamängden bestående av N = 1000 tal. I många sammanhang har man signaler som består av periodiska komponenter som kan uttryckas med hjälp av trigonometriska (sinus- och cosinus-) funktioner. Rena toner i audiosignaler är t.ex. sinusformade signaler. I sådana fall är det naturligt att utveckla signalen med sinus- och cosinusfunktioner som basfunktioner. Beräkning av utsignalen från linjära system. Beräkningen av utsignalen y(t) från ett linjärt system eller filter med insignalen x(t) är en numeriskt krävande operation. Man vet emellertid att om insignalen är en sinusformad signal, sin(ωt), så är utsignalen en annan sinusformad signal med samma frekvens ω, men i allmänhet med en annan amplitud och fas, y(t) = A sin(ωt + φ). Beräkningen av utsignalen blir därför trivial om man representerar signalen x(t) med hjälp av en utvecklingen av formen (2.1) där basfunktionerna ϕ i (t) är sinus- och cosinusfunktioner. Det är således naturligt att karakterisera system med avseende å deras effekt på de olika frekvenskomponenterna hos en signal. Man talar således om lågpassfilter, högpassfilter, bandpassfilter, filter med linjär fasförskjutning, osv. Observera att om systemet F i exempel 2.1 är linjärt, så kan signalen x inte innehålla andra frekvenser än de som finns i z. Systemet dämpar, förstärker och fasförskjuter de olika frekvenserna på olika sätt, men blandar ej ihop skilda frekvenser. 12
4 Tolking av signaler. Utvecklingar av formen (2.1) och (2.2) kan också utnyttjas för att förenkla tolkningen av signaler. Det är t.ex. vanligt med periodiska komponenter i signaler. Sådana kan vara svåra att uppfatta i tidsfunktionen x(t) eller {x(k)}. Om signalen utvecklas med hjälp av sinus- och cosinusfunktioner, framträder periodiska komponenter i signalen klart i form av stora värden för de koefficienter c i i utvecklingen som motsvarar sinus- och cosinusfunktioner med den aktuella perioden. I exempel 2.1 kan en transform av signalen y i periodiska funktioner möjliggöra en separering av komponenterna z och e, ty den intressanta signalen z är i allmänhet en lågfrekvent signal, medan bruset e ofta är högfrekvent. Signalen z beskrivs således av lågfrekventa periodiska signaler och e beskrivs av högfrekventa periodiska signaler. Det finns många olika sätt att utveckla en signal med hjälp av basfunktioner, men det överlägset viktigaste är den som utnyttjar periodiska sinus- och cosinusfunktioner. Såsom framgått ur diskussionen ovan förenklar en sådan utveckling analysen av ett filters inverkan på olika signaler, och är ett oumbärligt verktyg vid syntes av filter. Analysen av en funktions utveckling med hjälp av sinus- och cosinusfunktioner kallas frekvensanalys eller Fourieranalys. En sådan utveckling beskriver direkt frekvensinnehållet hos en signal. Frekvensanalys beskrivs mera detaljerat i kapitel Signalnormer I exempel 2.1 var problemet att rekonstruera signalen x ur den mottagna signalen y = z + e. En signal x r skall alltså beräknas ur y, som approximerar signalen x, dvs rekonstruktionsfelet x x r är möjligast litet. Det finns emellertid flera sätt att mäta storleken hos en signal x x r, och resultatet är beroende av hur signalens storlek definieras. Vid en matematisk representation av en signal x som en funktion x(t) är det naturligt att definiera signalens storlek med hjälp av en norm definierad för funktionen x(t). Normer betecknas med x. De inom signalbehandling vanligaste och mest användbara normerna är L p -normerna, som definieras för kontinuerliga signaler enligt och (för p = ) x p = ( x(t) p dt ) 1/p, p = 1, 2,... (2.6) x = max x(t) (2.7) t L p -normerna karakteriseras av talet p; för små värden på p påverkar alla signalvärden x(t) relativt jämnt till normens storlek, medan stora värden på p ger ökad vikt åt stora signalvärden, med fallet p = som extremfall. Viktiga specialfall av L p -normer är L 1 -normen, x 1 = x(t) dt (2.8) 13
5 samt L 2 -normen, x 2 = ( x(t) 2 dt ) 1/2 (2.9) I synnerhet L 2 -normen är speciellt användbar inom signalbehandlingen. Den visar sig vara enkel att beräkna och har ett antal speciella egenskaper som gör den attraktiv. L 2 -normen bevaras t.ex. vid Fouriertransformen, dvs en signal x(t) och dess Fouriertransform X(ω) har samma L 2 -norm (jämför Parsevals formel, avsnitt och 3.3.1). Detta gör normen enkel att utnyttja i samband med frekvensanalytiska metoder. L 2 - normen har också en naturlig fysikalisk tolkning som energin hos en signal. Detta beror på att den energi E(i) som t.ex. elektrisk ström i(t) förbrukar i ett motstånd R är proportionell mot integralen av strömmens (eller spänningens) kvadrat, E(i) = R i 2 2. För diskreta signaler {x(n)} definieras på ett analogt sätt l p -normerna, x p = ( x(n) p) 1/p, p = 1, 2,... (2.10) n och (för p = ) x = max x(n) (2.11) n Viktiga specialfall av l p -normer är l 1 -normen, x 1 = n x(n) (2.12) samt l 2 -normen, x 2 = ( x(n) 2 ) 1/2 (2.13) I analogi med det kontinuerliga fallet bevaras l 2 -normen vid Fouriertransformen (jämför avsnitt och 4.2.1). 2.3 Komplexa tal, trigonometriska funktioner och komplexa exponentialfunktionen För åskådlighetens skull ger vi en kort sammanfattning över de samband mellan komplexa tal, trigonometriska funktioner och komplexa exponentialfunktionen som utnyttjas inom signalbehandling. Betrakta ett komplext tal z = x + jy (2.14) där j = 1. De komplexa talen kan representeras med hjälp av det komplexa talplanet, som består av en reell talaxel och en imaginär talaxel, jfr figur 2.2. Det komplexa talet z motsvarar då en punkt med koordinaterna (x, y) i det komplexa talplanet (se figur 2.2). Talets magnitud eller absoluta belopp z definieras som avståndet från origo till punkten (x, y). Från figur 2.2 fås enligt Pythagoras sats z = x 2 + y 2 (2.15) 14
6 Im jy θ x = x + jy z z y x Re Figur 2.2: Det komplexa talet z = x + jy i det komplexa talplanet. Om man betecknar vinkeln mellan den reella talaxeln och vektorn från origo till punkten (x, y) med θ, gäller enligt standard trigonometriska samband Kombinering av (2.14) och (2.16) ger x = z cos θ y = z sin θ (2.16) z = z (cos θ + j sin θ) (2.17) Vi skall nedan visa att den komplexa faktorn i uttrycket (2.17) på ett bekvämt sätt kan karakteriseras med hjälp av den komplexa exponentialfunktionen genom att utnyttja Eulers formel e jθ = cos θ + j sin θ (2.18) Från (2.17) och (2.18) fås uttrycket z = z e jθ, θ = arg z (2.19) Representationen (2.19), eller (2.17), av det komplexa talet z kallas polär form. Den polära formen uttrycker det komplexa talet z med hjälp av dess absoluta belopp z och vinkeln θ. Vinkeln θ brukar kallas det komplexa talets argument, och betecknas θ = arg z (2.20) Argumentet hos ett komplext tal kan bestämmas som funktion av de reella och imaginära komponenterna genom att utnyttja sambandet (2.16), från vilket det följer att θ satisfierar tan θ = y (2.21) x 15
7 Eftersom tangent-funktionen har perioden π (dvs tan θ = tan(θ + π)), definierar (2.21) vinkeln θ endast i ett intervall av bredden π, vanligen π/2 < θ < π/2. För att definiera punkten (x, y) bör emellertid argumentet θ kunna bestämmas entydigt i ett intervall av bredden 2π, t.ex. 0 θ < 2π. Speciellt gäller till exempel, att tan θ hos punkterna (x, y) och ( x, y) har samma värde, eftersom y = y. För att bestämma x x argumentet θ entydigt, bör (2.21) kompletteras med information om i vilken kvadrant punkten (x, y) är. Om arctan-funktionen definieras så att den antar värden i intervallet ( π/2, π/2), får vi således arctan y, om x 0 x θ = (2.22) arctan y + π, om x < 0 x Det komplexa konjugatet z till z = x + jy defineras som z = x jy (2.23) Ur definitionen följer att z = z och arg z = arg z (jfr figur 2.2). Det följer att det kompexa konjugatet till z = z e jθ har den polära formen z = z e jθ, θ = arg z (2.24) Den komplexa exponentialfunktionen. Sambandet (2.18) mellan de trigonometriska funktionerna och den komplexa exponentialfunktionen kan härledas på följande sätt. Låt det komplexa talet e jθ ha den reella komponenten u(θ) och den imaginära komponenten jv(θ), e jθ = u(θ) + jv(θ) Komponenterna u(θ) och v(θ) kan bestämmas genom att observera att för θ = 0 gäller vilket ger Derivatan av e jθ ges av Vi har å andra sidan också e j 0 = 1 u(0) = 1, v(0) = 0 de jθ dθ = jejθ = ju(θ) v(θ) de jθ dθ = du(θ) + j dv(θ) dθ dθ varav följer att komponenterna u(θ) och v(θ) satisfierar du(θ) = v(θ), u(0) = 1 dθ dv(θ) = u(θ), v(0) = 0 dθ 16
8 1 = e j(π+2πn) e jθ Im 1 θ j = e j(π/2+2πn) 1 = e j2πn Re j = e j(3π/2+2πn) Figur 2.3: Den komplexa exponentialfunktionen e jθ i det komplexa talplanet. Det ses enkelt att de funktioner som uppfyller dessa samband är Vi har således visat, att u(θ) = cos(θ), v(θ) = sin(θ) e jθ = cos θ + j sin θ (2.25) En alternativ demonstration av sambandet ges i anmärkning 2.1 i slutet av kapitlet. Sambandet (2.25) mellan den komplexa exponentialfunktionen och de trigonometriska funktionerna kallas Eulers formel. Omvänt kan de trigonometriska funktionerna cos θ och sin θ uttryckas med hjälp av av den komplexa exponentialfunktionen. Detta åstadkoms genom att observera att e jθ = cos( θ) + j sin( θ) = cos θ j sin θ (2.26) Addition och subtraktion av (2.25) och (2.26) samt lösning i avseende å cos θ respektive sin θ ger de inversa sambanden cos θ = 1 2 (ejθ + e jθ ) (2.27) sin θ = 1 2j (ejθ e jθ ) (2.28) 17
9 Vi skall ännu notera några nyttiga egenskaper hos den komplexa exponentialfunktionen e jθ. Från (2.25) följer e jθ = (cos θ) 2 + (sin θ) 2 = 1 (2.29) arg e jθ = θ (2.30) Den komplexa exponentialfunktionen definierar således alla de komplexa tal som ligger på enhetscirkeln i det komplexa talpanet, jfr figur 2.3. Speciellt gäller att e j 0 = 1 e jπ/2 = j e jπ = 1 e j3π/2 = j Eftersom sinus- och cosinusfunktionerna, och därmed även e jθ, är periodiska med perioden 2π, gäller dessutom e j2πn = 1 e j(π/2+2πn) = j e j(π+2πn) = 1 e j(3π/2+2πn) = j där n är ett godtyckligt heltal, n = 0, ±1, ±2,.... Anmärkning 2.1. Sambandet (2.25) kan också inses på följande sätt. Observera att de trigonometriska funktionerna kan Taylor-serieutvecklas enligt Det följer att cos θ = 1 1 2! θ ! θ4 + ( 1) k 1 (2k)! θ2k + sin θ = θ 1 3! θ ! θ5 + ( 1) k 1 (2k + 1)! θ2k+1 + (2.31) cos θ + j sin θ = 1 1 2! θ ! θ4 ( +j θ 1 3! θ3 + 1 ) 5! θ5 = 1 + jθ + 1 2! (jθ) ! (jθ) ! (jθ) ! (jθ)5 + (2.32) 18
10 Å andra sidan ger en Taylor-serieutveckling av den komplexa exponentialfunktionen e jθ, e jθ = 1 + jθ + 1 2! (jθ) ! (jθ)3 Funktionerna i (2.32) och (2.33) är således identiska ! (jθ) ! (jθ)5 + (2.33) 19
Komplexa tal: Begrepp och definitioner
UPPSALA UNIVERSITET Baskurs i matematik, 5hp Matematiska institutionen Höstterminen 007 Erik Darpö Martin Herschend Komplexa tal: Begrepp och definitioner Komplexa tal uppstod ur det faktum att vissa andragradsekvationer,
Läs merGRUNDKURS I SIGNALBEHANDLING (454300), 5sp Tentamen
GRUNDKURS I SIGNALBEHANDLING (454300), 5sp Tentamen 26.02013 kursens övningsuppgifter eller gamla tentamensuppgifter, eller Matlab-, Scilab- eller Octave- programmerbara kalkylatorer eller datorer. 1.
Läs mer1.1 Den komplexa exponentialfunktionen
TATM79: Föreläsning 8 Komplexa exponentialfunktionen och binomiska ekvationer Johan Thim augusti 07 Komplexa tal på polär form Ett komplex tal z = a+bi kan som bekant betraktas som en punkt i komplexa
Läs merden reella delen på den horisontella axeln, se Figur (1). 1
ANTECKNINGAR TILL RÄKNEÖVNING 1 & - KOMPLEXA TAL Det nns era olika talmängder; de positiva heltalen (0, 1,,... kallas de naturliga talen N, tal som kan skrivas som kvoter av andra tal kallas rationella
Läs merTATM79: Föreläsning 7 Komplexa exponentialfunktionen och binomiska ekvationer
TATM79: Föreläsning 7 Komplexa exponentialfunktionen och binomiska ekvationer Johan Thim 9 september 05 Komplexa tal på polär form Ett komplex tal z = a+bi kan som bekant betraktas som en punkt i komplexa
Läs merKomplexa tal. j 2 = 1
1 Komplexa tal De komplexa talen används när man behandlar växelström inom elektroniken. Imaginära enheten betecknas i elektroniken med j (i, som används i matematiken, är ju upptaget av strömmen). Den
Läs merMA2047 Algebra och diskret matematik
MA2047 Algebra och diskret matematik Något om komplexa tal Mikael Hindgren 17 oktober 2018 Den imaginära enheten i Det finns inga reella tal som uppfyller ekvationen x 2 + 1 = 0. Vi inför den imaginära
Läs merIntroduktion till Komplexa tal
October 8, 2014 Introduktion till Komplexa tal HT 2014 CTH Lindholmen 2 Index 1 Komplexa tal 5 1.1 Definition och jämförelse med R 2................ 5 1.1.1 Likheter mellan R 2 och C................ 5
Läs merReferens :: Komplexa tal
Referens :: Komplexa tal Detta dokument sammanställer och sammanfattar de mest grundläggande egenskaperna för komplexa tal. Definition av komplexa tal Definition 1. Ett komplext tal z är ett tal på formen
Läs merApproximation av funktioner
Vetenskapliga beräkningar III 8 Kapitel Approximation av funktioner Vi skall nu övergå till att beskriva, hur man i praktiken numeriskt beräknar funktioner I allmänhet kan inte ens elementära funktioner
Läs merUppföljning av diagnostiskt prov Repetition av kursmoment i TNA001-Matematisk grundkurs.
Uppföljning av diagnostiskt prov 06-0- Repetition av kursmoment i TNA00-Matematisk grundkurs. Reella tal, intervall, räta linjer, cirklar Faktorsatsen, faktoriseringar, polynomekvationer Olikheter Ekvationer
Läs merc d Z = och W = b a d c för några reella tal a, b, c och d. Vi har att a + c (b + d) b + d a + c ac bd ( ad bc)
1 Komplexa tal 11 De reella talen De reella talen skriver betecknas ofta med symbolen R Vi vill inte definiera de reella talen här, men vi noterar att för varje tal a och b har vi att a + b och att ab
Läs merReferens :: Komplexa tal version
Referens :: Komplexa tal version 0.5 Detta dokument sammanställer och sammanfattar de mest grundläggande egenskaperna för komplexa tal. De komplexa talen uppstår som ett behov av av att kunna lösa polynomekvationer
Läs merKompletterande räkneuppgifter i Spektrala Transformer Komplex analys, sampling, kvantisering, serier och filter Laura Enflo & Giampiero Salvi
Kompletterande räkneuppgifter i Spektrala Transformer Komplex analys, sampling, kvantisering, serier och filter & Giampiero Salvi Komplex analys Om man endast använder den reella tallinjen är det inte
Läs meri(t) C i(t) = dq(t) dt = C dy(t) dt y(t) + (4)
2 Andra lektionen 2. Impulssvar 2.. En liten krets Beräkna impulssvaret för kretsen i figur genom att beräkna hur y(t) beror av x(t). R x(t) i(t) C y(t) Figur : Första ordningens lågpassfilter. Utsignalen
Läs merDIGITAL KOMMUNIKATION
EN KOR SAMMANFANING AV EORIN INOM DIGIAL KOMMUNIKAION Linjär kod En binär linjär kod kännetecknas av att summan av två kodord också är ett kodord. Ett specialfall är summan av ett kodord med sig själv
Läs mer5B1134 Matematik och modeller
KTH Matematik 1 5B1134 Matematik och modeller 2006-09-11 2 Andra veckan Trigonometri Veckans begrepp enhetscirkeln, trigonometriska ettan trigonometrisk funktion, sinuskurva period, fasförskjutning, vinkelhastighet
Läs merReferens :: Komplexa tal version
Referens :: Komplexa tal version 0.6 Detta dokument sammanställer och sammanfattar de mest grundläggande egenskaperna för komplexa tal. De komplexa talen uppstår som ett behov av av att kunna lösa polynomekvationer
Läs merFöreläsning 9: Komplexa tal, del 2
ht016 Föreläsning 9: Komplexa tal, del Den komplexa exponentialfunktionen För att definiera den komplexa exponentialfunktionen utgår vi ifrån att den ska följa samma regler som för reella tal. Vi minns
Läs merUlrik Söderström 20 Jan Signaler & Signalanalys
Ulrik Söderström ulrik.soderstrom@tfe.umu.se 20 Jan 2009 Signaler & Signalanalys Sinusspänning Sinus och cosinus samma form men fasförskjutna Fasförskjutning tidsfördröjning Sinus och cosinus är väldigt
Läs merSignal- och Bildbehandling FÖRELÄSNING 4. Multiplikationsteoremet. Derivatateoremet
Signal- och Bildbehandling FÖRELÄSNING 4 Fouriertransformen, forts Mer egenskaper av fouriertransformen Enkel tillämpning: Filtrera bort oönskat buller från vacker visselton Fouriertransformen, slutsats
Läs merUlrik Söderström 19 Jan Signalanalys
Ulrik Söderström ulrik.soderstrom@tfe.umu.se 9 Jan 200 Signaler & Signalanalys l Sinusspänning Sinus och cosinus samma form men fasförskjutna Fasförskjutning tidsfördröjning Sinus och cosinus är väldigt
Läs merSF1661 Perspektiv på matematik Tentamen 24 oktober 2013 kl Svar och lösningsförslag. z 11. w 3. Lösning. De Moivres formel ger att
SF11 Perspektiv på matematik Tentamen 4 oktober 013 kl 14.00 19.00 Svar och lösningsförslag (1) Låt z = (cos π + i sin π ) och låt w = 1(cos π 3 + i sin π 3 ). Beräkna och markera talet z11 w 3 z 11 w
Läs merKan vi beskriva ett system utan någon fysikalisk kännedom om systemet?
Kan vi beskriva ett system utan någon fysikalisk kännedom om systemet? 1 Om svaret på frågan är ja så öppnar sig möjligheten att skapa en generell verktygslåda som fungerar för analys och manipulering
Läs merSamtidig visning av alla storheter på 3-fas elnät
Samtidig visning av alla storheter på 3-fas elnät Med nätanalysatorerna från Qualistar+ serien visas samtliga parametrar på tre-fas elnätet på en färgskärm. idsbaserad visning Qualistar+ visar insignalerna
Läs merBestäm uttrycken för följande spänningar/strömmar i kretsen, i termer av ( ) in a) Utspänningen vut b) Den totala strömmen i ( ) c) Strömmen () 2
7 Elektriska kretsar Av: Lasse Alfredsson och Klas Nordberg 7- Nedan finns en krets med resistanser. Då kretsen ansluts till en annan elektrisk krets uppkommer spänningen vin ( t ) och strömmen ( ) Bestäm
Läs merExplorativ övning 7 KOMPLEXA TAL
Explorativ övning 7 KOMPLEXA TAL Övningens syfte är att bekanta sig med komplexa tal. De komplexa talen, som är en utvidgning av de reella talen, kom till på 1400 talet då man försökte lösa kvadratiska
Läs merKomplexa tal. i 2 = 1, i 3 = i, i 4 = i 2 = 1, i 5 = i,...
Komplexa tal Vi inleder med att repetera hur man räknar med komplexa tal, till att börja med utan att bekymra oss om frågor som vad ett komplext tal är och hur vi kan veta att komplexa tal finns. Dessa
Läs merResttentamen i Signaler och System Måndagen den 11.januari 2010, kl 14-19
Resttentamen i Signaler och System Måndagen den 11.januari 2010, kl 14-19 Tillåtna hjälpmedel: Valfri miniräknare (utan möjlighet till trådlös kommunkation). Valfri litteratur, inkl. kursböcker, formelsamlingar.
Läs merFrekvensplanet och Bode-diagram. Frekvensanalys
Frekvensplanet och Bode-diagram Frekvensanalys Signaler Allt inom elektronik går ut på att manipulera signaler genom signalbehandling (Signal Processing). Analog signalbehandling Kretsteori: Nod-analys,
Läs merTentamen ssy080 Transformer, Signaler och System, D3
Tentamen ssy080 Transformer, Signaler och System, D3 Examinator: Ants R. Silberberg oktober 009 kl. 4.00-8.00 lokal: Johanneberg Förfrågningar: Ants Silberberg, tel. 808 Lösningar: Anslås torsdag okt.
Läs merDT1120 Spektrala transformer för Media Tentamen
DT Spektrala transformer för Media Tentamen 77 Tentamen består av fem uppgifter där varje uppgift maximalt ger 4 p. Normalt gäller följande betygsgränser: 3:9 p, 4: 3 p, 5: 7 p Tillåtna hjälpmedel: räknare,
Läs merExempelsamling Grundläggande systemmodeller. Klas Nordberg Computer Vision Laboratory Department of Electrical Engineering Linköping University
Exempelsamling Grundläggande systemmodeller Klas Nordberg Computer Vision Laboratory Department of Electrical Engineering Linköping University Version: 0.1 August 25, 2015 Uppgifter markerade med (A) är
Läs merExempelsamling Grundläggande systemmodeller. Klas Nordberg Computer Vision Laboratory Department of Electrical Engineering Linköping University
Exempelsamling Grundläggande systemmodeller Klas Nordberg Computer Vision Laboratory Department of Electrical Engineering Linköping University Version: 0.11 September 14, 2015 Uppgifter markerade med (A)
Läs merLaplace, Fourier och resten varför alla dessa transformer?
Laplace, Fourier och resten varför alla dessa transformer? 1 Bakgrund till transformer i kontinuerlig tid Idé 1: Representera in- och utsignaler till LTI-system i samma basfunktion Förenklad analys! Idé
Läs merSpektrala Transformer
Spektrala Transformer Kurssammanfattning Fyra kärnkoncept Sampling Faltning Poler och nollställen Fouriertransform Koncept #1: Sampling En korrekt samplad signal kan rekonstrueras exakt, dvs ingen information
Läs mer1. Ange samtliga uppsättningar av heltal x, y, z som uppfyller båda ekvationerna. x + 2y + 24z = 13 och x 11y + 17z = 8.
Tentamenskrivning MATA15 Algebra: delprov 1, 6hp Lördagen den mars 014 Matematikcentrum Matematik NF LÖSNINGSFÖRSLAG 1. Ange samtliga uppsättningar av heltal x, y, z som uppfyller båda ekvationerna x +
Läs merComplex numbers. William Sandqvist
Complex numbers Hur många lösningar har en andragradsekvation? y = x 2 1 = 0 Två lösningar! Kommer Du ihåg konjugatregeln? Svaret kan ju lika gärna skrivas: x 1 = 1 x2 = + 1 Hur många lösningar har den
Läs merAttila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker. GeoGebraexempel
matematik Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker 4 GeoGebraexempel Till läsaren I elevböckerna i serien Matematik Origo finns uppgifter där vi rekommenderar användning
Läs merAnalys o Linjär algebra. Lektion 7.. p.1/65
Analys o Lektion 7 p1/65 Har redan (i matlab bla) stött på tal-listor eller vektorer av typen etc Vad kan sådana tänkas representera/modellera? Hur kan man räkna med sådana? Skall närmast fokusera på ordnade
Läs merTentamen i TMA 982 Linjära System och Transformer VV-salar, 27 aug 2013, kl
Tentamen i TMA 982 Linjära System och Transformer VV-salar, 27 aug 2013, kl 8.30-12.30 Examinatorer: Lars Hammarstrand och Thomas Wernstål Tentamen består av två delar (Del I och Del II) på sammanlagt
Läs merRita även upp grafen till Fourierseriens summa på intervallet [ 2π, 3π], samt ange summans värde i punkterna π, 0, π, 2π. (5) S(t) = c n e int,
Institutionen för matematik KTH Tentamensskrivning, 003-08-5, kl. 14.00 19.00. 5B10/ Diff och Trans del, för F och T. Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook. För godkänt betyg 3) krävs 18 poäng, medan
Läs merDubbelintegraler och volymberäkning
ubbelintegraler och volymberäkning Volym och dubbelintegraler över en rektangel Alla funktioner nedan antas vara kontinuerliga. Om f (x) i intervallet [a, b], så är arean av mängden {(x, y) : y f (x),
Läs merÖvningshäfte 2: Komplexa tal
LMA100 VT007 ARITMETIK OCH ALGEBRA DEL Övningshäfte : Komplexa tal Övningens syfte är att bekanta sig med komplexa tal. De komplexa talen, som är en utvidgning av de reella talen, kom till på 1400 talet
Läs merforts. Kapitel A: Komplexa tal
forts. Kapitel A: Komplexa tal c 005 Eric Järpe Högskolan i Halmstad Andragradsekvationer Obs! i är antingen 1 1 + i) eller 1 1 + i), dvs i = 1 1 + i). Obs! Se upp med roten ur negativa tal: regeln ab
Läs merSammanfattning TSBB16
Sammanfattning TSBB16 Frekvensfunktion =H(omega) Kombinationen av amplitud och faskarakteristik är unik. H(ω) = D(ω) e^jψ(ω)=y(t)/x(t). Detta är frekvensfunktionen. H(ω)=utsignal/insignal D(ω) = H(ω).
Läs merFouriertransformen av diskreta signaler
Kapitel 4 Fouriertransformen av diskreta signaler I detta kapitel beskrivs Fouriertransformer av diskreta signaler. I analogi med det kontinuerliga fallet har periodiska diskreta signaler ett diskret spektrum,
Läs merTillämpad Fysik Och Elektronik 1
FREKVENSSPEKTRUM (FORTS) TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 1 ICKE-PERIODISKA FUNKTIONER Icke- periodiska funktioner kan betraktas som periodiska, med oändlig periodtid P. TILLÄMPAD FYSIK
Läs merKontinuitet och gränsvärden
Kapitel Kontinuitet och gränsvärden.1 Introduktion till kontinuerliga funktioner Kapitlet börjar med allmänna definitioner. Därefter utvidgar vi successivt familjen av kontinuerliga funktioner, genom specifika
Läs merSignal- och bildbehandling TSBB03
Tentamen i Signal- och bildbehandling TSBB3 Tid: 28-5-29 kl. 8-2 Lokal: TER2 Ansvarig lärare: Maria Magnusson besöker lokalen kl. 9. och.4 tel 73-84 38 67 Hjälpmedel: Räknedosa, medskickad formelsamling,
Läs merKomplexa tal. j 2 = 1
Komplexa tal De komplexa talen används när man behandlar växelström inom elektroniken. Imaginära enheten betecknas i elektroniken med j (i, som används i matematiken, är ju upptaget av strömmen). Den definieras
Läs merTATM79: Föreläsning 8 Arcusfunktioner
TATM9: Föreläsning 8 Arcusfunktioner Johan Thim augusti 0 Inverser till trigonometriska funktioner Om vi ritar upp funktionen y = sin ser vi följande: y y = sin Självklart går det inte att hitta en invers
Läs merTATM79: Föreläsning 7 Arcusfunktioner och hjälpvinkelmetoden
TATM79: Föreläsning 7 Arcusfunktioner och hjälpvinkelmetoden Johan Thim augusti 0 Inverser till trigonometriska funktioner Om vi ritar upp funktionen y = sin ser vi följande: y y = sin Självklart går det
Läs merDT1130 Spektrala transformer Tentamen
DT3 Spektrala transformer Tentamen 3 Tentamen består av fem uppgifter där varje uppgift maximalt ger 4 p. Normalt gäller följande betygsgränser: E: 9 p, D:.5 p, C: 4 p, B: 6 p, A: 8 p Tillåtna hjälpmedel:
Läs merNågra saker att tänka på inför dugga 2
LINKÖPINGS UNIVERSITET 17 oktober 017 Matematiska institutionen TATA68 Matematik och tillämpad matematik Några saker att tänka på inför dugga Dugga omfattar HELA kursen, så titta även på de tips som lämnades
Läs merLäsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik
Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik Avsnitt 4.1 I kapitel 4 kommer du att möta de elementära funktionerna. Dessa är helt enkelt de vanligaste funktionerna som vi normalt arbetar med. Här
Läs mer7. Sampling och rekonstruktion av signaler
Arbetsmaterial 5, Signaler&System I, VT04/E.P. 7. Sampling och rekonstruktion av signaler (Se också Hj 8.1 3, OW 7.1 2) 7.1 Sampling och fouriertransformering Man säger att man samplar en signal x(t) vid
Läs merElteknik. Komplexa tal
Sven-Bertil Kronkvist Elteknik Komplexa tal Revma utbildning KOMPLEXA TAL Komplexa eller imaginära tal kan användas för algebraiska växelströmsberäkningar på samma sätt som i likströmsläran. Den läsare
Läs merTNA001- Matematisk grundkurs Tentamen Lösningsskiss
TNA00- Matematisk grundkurs Tentamen 05-0-0 - Lösningsskiss. a) Vi löser ekvationen x + x = x + 4 genom att studera tre fall. Fall : x 0. Vi får ekvationen: x + x = x + 4 x =, som duger ty x = tillhör
Läs mer6.2 Implicit derivering
6. Implicit derivering 6 ANALYS 6. Implicit derivering Gränsvärden, som vi just tittat på, är ju en fundamental del av begreppet derivata, och i mattekurserna i gymnasiet har vi roat oss med att hitta
Läs merAC-kretsar. Växelströmsteori. Lund University / Faculty / Department / Unit / Document / Date
AC-kretsar Växelströmsteori Signaler Konstant signal: Likström och likspänning (DC) Transienta strömmar/spänningar Växelström och växelspänning (AC) Växelström/spänning Växelström alternating current (AC)
Läs merKapitel 3. Approximation av funktioner
Kapitel 3. Approximation av funktioner Vi skall nu övergå till att beskriva, hur man i praktiken numeriskt beräknar funktioner. I allmänhet kan inte ens elementära funktioner såsom sinus- och cosinusfunktionerna
Läs merKomplexa tal. Sid 1: Visa att ekvationerna på sid 1 saknar reella lösningar genom att plotta funktionerna.
Komplexa tal Komplexa tal stötte vi på redan i kurs 2 i samband med lösningar till andragradsekvationer. Detta är startpunkten för denna ganska omfattande aktivitet om komplexa tal, som behandlas i kurs
Läs merKap Inversfunktion, arcusfunktioner.
Kap 3. 3.5. Inversfunktion, arcusfunktioner. 30. (A) Förenkla uttrycken så långt som möjligt a. ln 8 ln + ln 8 ln + ln b. ln 3 log 0 3 log 0 e + 3 ln 3 log 3 e 30. (A) Lös ekvationerna a. e x = e x b.
Läs merOm komplexa tal och funktioner
Analys 360 En webbaserad analyskurs Grundbok Om komplexa tal och funktioner Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Om komplexa tal och funktioner 1 (11) Introduktion De komplexa talen
Läs merTentamen ssy080 Transformer, Signaler och System, D3
Tentamen ssy080 Transformer, Signaler och System, D3 Examinator: Ants R. Silberberg 19 oktober 2011 kl. 08.30-12.30 sal: Hörsalsvägen Förfrågningar: Ants Silberberg, tel. 1808 Lösningar: Anslås torsdag
Läs merTATM79: Föreläsning 3 Komplexa tal
TATM79: Föreläsning 3 Komplexa tal Johan Thim 22 augusti 2018 1 Komplexa tal Definition. Det imaginära talet i uppfyller att i 2 = 1. Detta är alltså ett tal vars kvadrat är negativ. Det kan således aldrig
Läs merRekursionsformler. Komplexa tal (repetition) Uppsala Universitet Matematiska institutionen Isac Hedén isac
Uppsala Universitet Matematiska institutionen Isac Hedén isac distans@math.uu.se Algebra I, 5 hp Vecka 21. Vi nämner något kort om rekursionsformler för att avsluta [Vre06, kap 4], sedan börjar vi med
Läs merInstitutionen för matematik KTH. Tentamensskrivning, , kl B1202/2 Diff och Trans 2 del 2, för F och T.
Institutionen för matematik KTH Tentamensskrivning, 3-5-6, kl. 14. 19.. 5B1/ Diff och Trans del, för F och T. Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook. För godkänt betyg 3 krävs 18 poäng, medan för betyg
Läs mer6. Stabilitet. 6. Stabilitet
6. Stabilitet 6. Stabilitet Såsom framgått i de två inledande kapitlen förutsätter en lyckad regulatordesign kompromisser mellan prestanda ( snabbhet ) och stabilitet. Ett system som oreglerat är stabilt
Läs merM0038M Differentialkalkyl, Lekt 8, H15
M0038M Differentialkalkyl, Lekt 8, H15 Staffan Lundberg Luleå Tekniska Universitet Staffan Lundberg M0038M H15 1/ 29 Läsövning Summan av två tal Differensen mellan två tal a + b a b Produkten av två tal
Läs mer8. Euklidiska rum 94 8 EUKLIDISKA RUM
94 8 EUKLIDISKA RUM 8. Euklidiska rum Definition 8.. En skalärprodukt på vektorrummet V är en funktion som till varje par av element u och v i V ordnar ett reellt tal u v eller u v med följande egenskaper:.
Läs merÖvningshäfte 2: Komplexa tal (och negativa tal)
LMA110 VT008 ARITMETIK OCH ALGEBRA DEL Övningshäfte : Komplexa tal (och negativa tal) Övningens syfte är att bekanta sig med komplexa tal och att fundera på några begreppsliga svårigheter som negativa
Läs merFörsättsblad till skriftlig tentamen vid Linköpings universitet G33(1) TER4(63)
Försättsblad till skriftlig tentamen vid Linköpings universitet Datum för tentamen 2017-01-07 Sal (2) G33(1) TER4(63) Tid 8-12 Kurskod TSBB16 Provkod TEN2 Kursnamn/benämning Provnamn/benämning Institution
Läs merFöreläsning 10, Egenskaper hos tidsdiskreta system
Föreläsning 10, Egenskaper hos tidsdiskreta system Reglerteknik, IE1304 1 / 26 Innehåll Kapitel 18.1. Skillnad mellan analog och digital reglering 1 Kapitel 18.1. Skillnad mellan analog och digital reglering
Läs merSignalbehandling, förstärkare och filter F9, MF1016
Signalbehandling, förstärkare och filter F9, MF1016 Signalbehandling, inledning Förstärkning o Varför förstärkning. o Modell för en förstärkare. Inresistans och utresistans o Modell för operationsförstärkaren
Läs merLösningsförslag, Tentamen, Differentialekvationer och transformer II, del 2, för CTFYS2 och CMEDT3, SF1629, den 9 juni 2011, kl.
Lösningsförslag, Tentamen, Differentialekvationer och transformer II, del 2, för CTFYS2 och CMEDT3, SF629, den 9 juni 2, kl. 8: 3: Uppgift (av 8 (5 poäng. i. sant, ii. falskt, iii. falskt, iv. sant, v.
Läs merSignalanalys med snabb Fouriertransform
Laboration i Fourieranalys, MVE030 Signalanalys med snabb Fouriertransform Den här laborationen har två syften: dels att visa lite på hur den snabba Fouriertransformen fungerar, och lite om vad man bör
Läs merEXEMPEL 1: ARTVARIATION FÖRELÄSNING 1. EEG frekvensanalys EXEMPEL 2: EEG
FÖRELÄSNING EXEMPEL : ARTVARIATION Kurs- och transform-översikt. Kursintroduktion med typiska signalbehandlingsproblem och kapitelöversikt. Rep av transformer 3. Rep av aliaseffekten Givet: data med antal
Läs merDatorövning: Fouriertransform med Python
Datorövning i Elektromagnetism och vågor (FK5019) Övningsledare: bart.pelssers@fysik.su.se & ashraf@fysik.su.se Datorövning: Fouriertransform med Python Skicka in individuellt skrivna rapporter på engelska
Läs merCirkelkriteriet (12.3)
Föreläsning 3-4 Cirkelkriteriet (12.3) En situation där global stabilitetsanalys kan utföras. r + u G(s) y f( ) där f( ) är en statisk olinjäritet, t ex f(y) = 1 y 0 1 y < 0 eller Antag att: f(y) = y 2
Läs mer3 differensekvationer med konstanta koefficienter.
Matematiska institutionen Carl-Henrik Fant 17 november 2000 3 differensekvationer med konstanta koefficienter 31 T Med en menar vi en av rella eller komplexa tal varje heltal ges ett reellt eller komplext
Läs merInledning. Kapitel 1. 1.1 Signaler och system
Kapitel 1 Inledning 1.1 Signaler och system Temat för denna kurs är signaler och system. En kvantitativ behandling av signaler och system och deras växelverkan utgör grunden för den del av informationstekniken
Läs merLaboration i Fourieranalys, TMA132 Signalanalys med snabb Fouriertransform
Laboration i Fourieranalys, TMA132 Signalanalys med snabb Fouriertransform Den laborationen har syften: dels att visa lite hur den snabba Fouriertransformen fungerar, och lite om vad man den an dels att
Läs merSpektrala Transformer
Spektrala Transformer Tidsdiskreta signaler, kvantisering & sampling Tidsdiskreta signaler Tidskontinuerlig signal Ex: x(t) = sin(ωt) t är ett reellt tal ω har enheten rad/s Tidsdiskret signal Ex: x(n)
Läs merDT1120/DT1130 Spektrala transformer Tentamen
DT/DT3 Spektrala transformer Tentamen 86 Tentamen består av fem uppgifter där varje uppgift maximalt ger 4 p. Normalt gäller följande betygsgränser: E: 9 p, D:.5 p, C: 4 p, B: 6 p, A: 8 p Tillåtna hjälpmedel:
Läs merDT1130 Spektrala transformer Tentamen
DT Spektrala transformer Tentamen 72 Tentamen består av fem uppgifter där varje uppgift maximalt ger 4 p. Normalt gäller följande betygsgränser: E: 9 p, D:.5 p, C: 4 p, B: 6 p, A: 8 p Tillåtna hjälpmedel:
Läs merLinjära avbildningar. Låt R n vara mängden av alla vektorer med n komponenter, d.v.s. x 1 x 2. x = R n = x n
Linjära avbildningar Låt R n vara mängden av alla vektorer med n komponenter, d.v.s. R n = { x = x x. x n } x, x,..., x n R. Vi räknar med vektorer x, y likandant som i planet och i rymden. vektorsumma:
Läs merLaboration i Fourieranalys för F2, TM2, Kf2 2011/12 Signalanalys med snabb Fouriertransform (FFT)
Laboration i Fourieranalys för F2, TM2, Kf2 2011/12 Signalanalys med snabb Fouriertransform (FFT) Den här laborationen har två syften: dels att visa hur den snabba Fouriertransformen fungerar och vad man
Läs mer6. Stabilitet. 6. Stabilitet. 6. Stabilitet. 6.1 Stabilitetsdefinitioner. 6. Stabilitet. 6.2 Poler och stabilitet. 6.1 Stabilitetsdefinitioner
Såsom framgått i de två inledande kapitlen förutsätter en lyckad regulatordesign kompromisser mellan prestanda ( snabbhet ) och stabilitet. Ett system som oreglerat är stabilt kan bli instabilt genom för
Läs merFouriermetoder MVE295 - bonusuppgifter
Fouriermetoder MVE295 - bonusuppgifter Edvin Listo Zec 920625-2976 edvinli@student.chalmers.se Sofia Toivonen 910917-4566 sofiato@student.chalmers.se Emma Ekberg 930729-0867 emmaek@student.chalmers.se
Läs merInstuderingsfrågor i Funktionsteori
Instuderingsfrågor i Funktionsteori Anvisningar. Avsikten med dessa instuderingsfrågor är att ge Dig möjlighet att fortlöpande kontrollera att Du någorlunda behärskar kursens teori. Om Du märker att Du
Läs merKomplexa tal. z 2 = a
Moment 3., 3.2.-3.2.4, 3.2.6-3.2.7, 3.3. Viktiga exempel 3.-3.8, 3.9,3.20 Handräkning 3.-3.0, 3.5a-e, 3.7, 3.8, 3.25, 3.29ab Datorräkning Komplexa tal Inledning Vi skall i följande föreläsning utvidga
Läs merTENTAMEN Modellering av dynamiska system 5hp
TENTAMEN Modellering av dynamiska system 5hp - 0 Tid: måndag 8 Maj 0, kl 4-9 Plats: Polacksbacken Ansvarig lärare: Bengt Carlsson, tel 070-674590. Bengt kommer till tentasalen ca kl 6 och besvarar ev frågor.
Läs merKTH Matematik Tentamensskrivning i Differentialekvationer och transformer III, SF1637.
KTH Matematik Tentamensskrivning i Differentialekvationer och transformer III, SF637. Måndagen den 7 oktober, kl 8-3. Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook. Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att
Läs mer3. Analytiska funktioner.
33 Fysikens matematiska metoder : Studievecka 3. 3. Analytiska funktioner. Varför komplexa tal? Syfte : Att ur vissa funktioners uppträdande utanför reella axeln ( Nollställen poler m.m) kunna sluta sig
Läs merBo E. Sernelius Funktioner av Komplex Variabel 15 KOMPLEXVÄRDA FUNKTIONER AV KOMPLEX VARIABEL
Bo E. Sernelius Funktioner av Komplex Variabel 5 KOMPLEXVÄRDA FUNKTIONER AV KOMPLEX VARIABEL I etta kapitel efinierar vi en komplexvär funktion av en komplex variabel, ess erivata, begreppet analytiska
Läs merEllära och Elektronik Moment AC-nät Föreläsning 5
Ellära och Elektronik Moment A-nät Föreläsning 5 Visardiagram Impendans jω-metoden Komplex effekt, effekttriangeln Visardiagram Om man tar projektionen på y- axeln av en roterande visare får man en sinusformad
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Envariabelanalys, 10 hp STS, X 010-10-7 Genomgånget på föreläsningarna 11-15. Föreläsning 11, 4/11 010: Här kommer vi in i kapitel 4, som handlar om
Läs mer