Fouriermetoder MVE295 - bonusuppgifter

Transkript

1 Fouriermetoder MVE295 - bonusuppgifter Edvin Listo Zec edvinli@student.chalmers.se Sofia Toivonen sofiato@student.chalmers.se Emma Ekberg emmaek@student.chalmers.se 25 februari 2014 I den här rapporten behandlar vi den snabba Fouriertransformen och vi kommer även se på hur den kan tillämpas i några olika exempel.

2 1.1 FFT Vi samplade signalen f(t) = sin(8t) + 2 cos(15t) N gånger i intervallet 0 t 100. Figur 1: Vår signal med frekvenserna 8 respektive 15. Figur 2: Snabb fouriertransform av signalen plottat i halva intervallet pga symmetri kring mittpunkten. Imaginärdelen av fouriertransformen tog vi i hela intervallet eftersom den är spegelvänd kring mittpunkten. Vi ser att topparna visar var frekvenserna finns och höjden visar amplituden. Vi såg även att en bra steglängd, h = T/N, för vår signal var när N = 2 9 och T = 100. Efter skalning med 2πm/T så ser vi även att funktionen ger utslag vid frekvenserna 8 och 15. 1

3 1.2 Signalmodulation Två sätt att modulera en radiovåg för att överföra till exempel tal är amplitudmodulering och fasmodulering. Vi kommer nu betrakta en bärfrekvens, v = 60MHz, och låter även vår signal bestå av signalen φ(t) = sin(4t) cos(7t). Då får vi nu modulerade signaler med följande utseende f A = ( φ) cos(60t), f F = cos(60t + 0.2φ). I figurerna nedan ser man att den aplitudmodelerade och den frekvensmodulerade signalen ger samma fouriertransform. I bägge fallen så ser man en tydlig topp vid 60, vilket också var vår bärfrekvens. Figur 3: Amplitud- och frekvensmodulation samt deras fouriertransform. 2

4 2.1 Brustransform Figur 4: Här ser vi brussignalerna φ, ψ och λ med deras respektive spektra. Notera att om man transformerar brus får man även brus i transformen. φ som är normalfördelat ger upphov till ett jämnt fördelat brus i transformen medan ψ och λ ger mer olika transformer. Vi ser att ψ har lite högfrekvent brus och mycket lågfrekvent medan λ har väldigt lite högfrekvent brus. Dessa grafer skulle kunna fungera som mallar för att kunna skissa upp olika typer av filter. Vill man filtrera bort högfrekvent brus så skulle den formeln kunna likna λ och vill man filtrera bort lågfrekvent brus så skulle det se mer ut som motsatsen till ψ. 3

5 2.2 Signaler i brus Figur 5: Vår brusiga insignal och dess fouriertransform. Frekvens Amplitud Med hjälp av snabb fouriertransform kan man ibland hitta signaler i brus. Vi har i figurerna ovan fått fram vår indata, med ftal = , i en graf och även dess fouriertransform. I transformen kan man se fyra stycken tydliga toppar. I tabellen har vi lagt in topparnas frekvens med motsvarande amplituder. 4

6 2.3 Brusfiltrering Ibland kan det vara bra att filtrera bort brus. Ett enkelt filter som kan användas för det kan modelleras med hjälp av den givna differentialekvationen v (t) v (t) + 100v(t) = f(t), där f(t) är insignalen och v(t) är utsignalen. Som kan ses i figuren så får vi bara kvar en topp nära noll, resterande normalfördelat brus har filtrerats bort. Filtret var alltså effektivt. Figur 6: Vårt brus inmatat i differentialekvationen, som alltså fungerar som ett filter, och sedan fouriertransformen av detta. 5

7 3.1 En icke-ideal förstärkare En ideal förstärkare ska vara linjär och dess utsignal, v(t), ska vara proportionell mot insignalen, f(t). Men i verkligheten så beter sig oftast inte en förstärkare på detta viset utan kan istället tänkas ge en utsignal på formen v(t) = Kf(t) + bf(t) 2 + af(t) 3, där konstanterna b och a inte är noll samtidigt. I vårt fall låter vi insignalen f(t) vara { f 1 (t) = cos(8t) f 2 (t) = cos(8t) + sin(11t). I figurerna 7, 8, och 9 nedan jämför vi med de två insignalerna, f 1 och f 2, hur utsignalen v(t):s spektrum kommer ta form för olika värden på b och a. Figur 7: Utsignalen v(t) med b = 1 och a = 1 och dess fouriertransform. I figur 7 så ser vi att med f 1 så får v(t) en regelbunden form och dess spektra får tre toppar, medan med f 2 så får v(t) en mer oregelbunden form och dess spektra har även flera utspridda toppar. 6

8 Figur 8: Utsignalen v(t) förstärkt med litet a och b = 0 och dess fouriertransform. Sätter vi b = 0 ser vi att med f 1 i v(t) får vi endast en topp, dvs de toppar som genereras av termerna där b är med har eliminerats och samma sak gäller även med f 2 i v(t). Vi kan också se i figurerna att höjden på topparna som skjuter upp vid 8 för f 1 och vid 8 och 11 för f 2 har ökat. 7

9 Figur 9: Utsignalen v(t) där b är lite förstärkt och a är mycket förstärkt. Som vi nu ser så har samma toppar i fouriertransformen som ökade i figur 8 ökat ytterligare för fallen med både f 1 och f 2. Topparna har även återgått till samma antal som i figur 7, de är också placerade på samma ställen. Om man nu utvecklar funktionen v(t) = Kf(t) + bf(t) 2 + af(t) 3 så ser vi att konstanten b påverkar den kvadratiska termen och att a påverkar den kubiska. Med andra ord så får vi toppar genast då vi sätter ett värde på b och ännu fler när vi sätter ett värde på a. När vi ökar a och b så ökar också amplituden hos de toppar som befinner sig på motsvarande frekvenser. Konstanten K kommer endast att påverka den linjära termen i funktionen och därmed påverka amplituden hos dessa frekvenser. Därför är toppen vid 8 för f 1 och topparna vid 8 och 11 för f 2 mycket högre i figur 8 och 9 än i figur 7. För att kunna analysera djupare sätter vi nu K = 1, a = 1, b = 1 och f(t) lika med cos(8t) och utvecklar funktionen så att vi får v(t) = cos(8t) + cos 2 (8t) + cos 3 (8t) = 1 (2 + 7 cos(8t) + 2 cos(16t) + cos(24t)). 4 I utvecklingen ser vi att vi får de tre frekvenserna 8, 16 och 24. Det är även där vi får våra toppar i fouriertransformen, som kan ses i figur 7. Sätter vi K = 1, a = 1, b = 1 och f(t) i det här fallet lika med cos(8t)+sin(11t), så får man 8

10 v(t) = cos(8t) + sin(11t) + (cos(8t) + sin(11t)) 2 + (cos(8t) + sin(11t)) 3 = 1 (4 sin(3t) 3 sin(5t) + 13 sin(11t) + 4 sin(19t) + 3 sin(27t) sin(33t) + 13 cos(8t) 4 3 cos(14t) + 2 cos(16t) 2 cos(22t) + cos(24t) 3 cos(30t) + 4). Ovan har vi alltså utvecklat ekvationen med hjälp av trigonometriska identiteter och man ser tydligt att topparnas placering i figur 7 sammanfaller med frekvenserna 3, 5, 8, 11, 14, 16, 19, 22, 24, 27, 30 och Duffingekvationen Vår uppgift nu är att studera spektrat av lösningen till differentialekvationen v (t) + bv(t)(1 + ηv(t) 2 ) = A cos(ωt). Detta är en icke-linjär ordinär differentialekvation av ordning två och har därmed inga generella lösningar. Vi sätter η = 0 för att få en approximativ lösning för våra små η. Lösningen blir då v(t) = A cos(ωt) b ω 2 + c 2 sin( bt) + c 1 cos( bt). Som vi ser i figur 10 så uppstår två toppar i funktionens fouriertransform. En av topparna uppstår alltid vid ω medan placeringen av den första toppen oftast beror på vad värdet för b är och inte på värdet av η. Om man undersöker den första toppen så upptäcker man att det värdet vanligtvis hamnar vid ungefär b förutom då η är förhållandevis mycket större än b (vi upptäckte att det skedde först när η var större med en faktor på omkring tusen eller mer). Vi märkte också att parametern A i vår differentialfunktion mest verkar påverka amplituden i fouriertransformen. 9

11 Figur 10: Duffingekvationen och dess fouriertransform. Röd: b = 9, w = 40, Blå: b = 25, w = 60. För båda funktionerna har vi satt A = 9 och η = Icke-linearitet i Duffingekvationen Vi vill nu kolla huruvida duffingekvationen, v (t) + bv(t)(1 + ηv(t) 2 ) = A cos(ωt), är linjär eller inte. Det här kan göras på två sätt. Det ena sättet är att kolla om ekvationens lösning är proportionell mot A. I så fall betyder det att duffingekvationen är linjär. Figur 11: Duffingekvationens fouriertransform med A = 9 respektive A = 1 Vi ser i figur 11, där vi har jämfört lösningen för två olika värden på A, att den vänstra grafens toppar inte är nio gånger så höga som den högra grafens toppar. Det här innebär alltså att lösningarna inte är proportionella mot A. Dvs duffingekvationen är inte linjär. 10

12 Figur 12: Duffinekvationen med högerledet ubytt mot A cos(ω 1 t), B cos(ω 2 t) och A cos(ω 1 t) + B cos(ω 2 t) där A = 9, B = 1, ω 1 = 40 och ω 2 = 10. Det andra sättet för att visa att duffingekvationen är linjär är genom att visa att duffingekvationens lösning beror additivt av högerledet. I figur 12 har vi plottat A cos(ω 1 t), B cos(ω 2 t) och A cos(ω 1 t) + B cos(ω 2 t) mot varandra. Det vi sedan gör är att jämföra och se om lösningen med A cos(ω 1 t) och B cos(ω 2 t) i högerledet adderat med varandra blir samma sak som lösningen med A cos(ω 1 t) + B cos(ω 2 t) i högerledet. För att kolla detta så har vi plottat alla tre lösningars fouriertransform i figur 12. Vi ser nu att A cos(ω 1 t):s graf och B cos(ω 2 t):s graf adderade med varandra inte motsvarar A cos(ω 1 t)+b cos(ω 2 t):s graf. Så duffingekvationens lösning beror alltså inte additivt av högerledet. Sammanfattningsvis har vi nu på två olika sätt visat att duffingekvationen inte är linjär. 11