Lösningsförslag till tentamen i Reglerteknik fk M (TSRT06)

Transkript

1 Lösningsförslag till tentamen i Reglerteknik fk M (TSRT6) (a) Känslighetsfunktionen S(iω) beskriver hur systemstörningar och modellfel påverkar utsignalen från det återkopplade systemet. Oftast är de viktigaste systemstörningarna lågfrekventa, varför det är lämpligt att trycka ner S(iω) vid låga frekvenser. Baserat på detta resonemang är alltså A det lämpligaste alternativet. Ingen av de övriga specifickationerna försöker skapa stor störningsundertryckning i låga frekvenser. B säger att man accepterar godtyckligt dålig förstärkning av långsamma störningar, C är fysikaliskt rimlig då den bara säger att förstärkningen skall vara begränsad i alla frekvenser, men ger inte mycket till egentlig specifickation, och D försöker få god störningsundertryckning i höga frekvenser vilket är helt omöjligt i de flesta fysikaliska system. Svar: A (b) Antag att insignalen u 1 (t) ger utsignalen y 1 (t) och att insignalen u 2 (t) ger utsignalen y 2 (t). Det räcker nu att visa att insignalen u(t) = k 1 u 1 (t) + k 2 u 2 (t) ger utsignalen y(t) = k 1 y 1 (t) + k 2 y 2 (t), d v s att u(t) och y(t) uppfyller Vi har ẏ(t) = k 1 ẏ 1 (t) + k 2 ẏ 2 (t) vilket skulle visas. ẏ(t) = a(t)y(t) + u(t) = k 1 (a(t)y 1 (t) + u 1 (t)) + k 2 (a(t)y 2 (t) + u 2 (t)) = a(t)(k 1 y 1 (t) + k 2 y 2 (t)) + k 1 u 1 (t) + k 2 u 2 (t) = a(t)y(t) + u(t) (c) Det är lättare att hantera situationen att man har flera mätsignaler med kalmanfilterteori än direkt placering av egenvärden. Även om vi inte känner brusintensiteterna så är det lättare att resonera i termer av brusintensitet än pollägen. Det är alltså enklare att hitta en bra observatör om man använder brusintensiteterna istället för polernas lägen som designparametrar. Under antagandet att vi har vitt brus så är Kalmanfiltret den optimala observatören bland alla linjära observatörer. Om vi dessutom har Gaussiskt brus är Kalmanfiltret optimalt bland alla observatörer, linjära som olinjära. 1

2 (d) Vi har och får statisk RGA 9 1 G() = G = [-9 1 ;-7 9 2;-17 3]; G.*pinv(G) ans = y 1 kan regleras med u 1 eller u 2 (u 3 påverkar ej y 1 vilket man ser både i RGA och i G(s)), y 2 får ej regleras via u 1 men kan regleras via u 2 och u 3, och y 3 kan regleras både via u 1 och u 3 (u 2 påverkar ej y 3 ). Möjliga kombinationer för att reglera (y 1, y 2, y 3 ) är således (u 1, u 2, u 3 ) eller (u 2, u 3, u 1 ). Ingen av kombinationerna är särdeles bra eftersom något av RGA-elementen alltid är långt från 1, men det andra förslaget är förmodligen minst dåligt, då diagonalelementen efter permutation blir (.34,.91,.91). Vi kan dock inte förvänta oss särskilt goda resultat. (e) Enklast möjliga frikoppling är en en statisk frikoppling F (s) = G() 1 F D (s) där F D (s) är diagonal, t.ex en P-regulator F D (s) = diag(k 1, K 2, K 3 ) eller som nedan en PI-regulator. s = tf( s ); G = [-9/(2*s+1) 1/(s+1) ; -7/(s+1) 9/(2*s+1) 2/(s+1); -17/(s+1) 3/(2*s+1)]; F = inv(freqresp(g,))*([1+.1/s ; 1+.1/s ; 1+.1/s]); step(feedback(g*f,eye(3))); 2

3 2. (a) Vi har att f(e) 1 e d v s k 1 = och k 2 = 1. Enligt cirkelkriteriet är alltså halvplanet Re(s) 1 förbjudet område. T ex genom att plotta nyquistkurvan för 4 G(s) = s(s + 1) se nästa sida, ser man dock att den går in i det förbjudna området så att stabilitet ej kan garanteras. (b) För C 1 är f(e) = e, d v s förstärkningen för olinjäriteten är ett och därmed gäller Y f (C) = 1. För ökande C > 1 kommer utsignalens amplitud att avta vilket innebär att linjäritetens förstärkning, d v s Y f (C) kommer att gå mot noll. (c) Den beskrivande funktionen Y f (C) är rent reell och Y f (C) 1. 1/Y f (C) blir alltså en stråle på negativa reella axeln som utgår från 1 och går mot då C. Men eftersom nyquistkurvan ej skär 1/Y f (C) kan vi ej förvänta oss några självsvängningar. (d) Nyquistkurvan för G(s) = 4 s(s + 1) 1 s 2 + 2s + 1 omcirklar 1. Alltså är det återkopplade systemet utan olinjäritet instabilt enligt nyquistkriteriet. Av samma skäl kan vi dessutom ej garantera stabilitet för det återkopplade systemet med olinjäritet m h a cirkelkriteriet. Enligt beskrivande funktionsmetoden kan vi dock förvänta oss en stabil självsvängning (stabil eftersom vi rör oss ut ifrån det omcirklade området då C ökar). 3

4 Nyquist Diagrams Imaginary Axis Real Axis Figur 1: Nyquistkurva för G(s) 4 Nyquist Diagrams 3 2 Imaginary Axis Real Axis Figur 2: Nyquistkurva för G(s) med omodellerad dynamik 4

5 3. (a) Överföringsmatrisen blir = G(s) = C(sI A) 1 B = 1 ( s α α ) s 2 + 2(1 + α)s α α s α (b) Systemets poler = egenvärdena till A-matrisen = lösningarna till { 1 = det(si A) = (s α) 2 α 2 s = 1 2α Systemet har alltså en pol i 1 oavsett värdet på α och en pol som förflyttar sig från 1 till då α ökar från noll och uppåt. (c) Nollställena till G(s) ges av polerna till G 1 (s). Då B och C är enhetsmatriser fås ( ) s α α G 1 (s) = ((si A) 1 ) 1 = α s α som uppenbarligen saknar poler. Således saknar systemet nollställen. 5

6 4. (a) Eftersom Φ w1 1 är nära ett för låga frekvenser och går mot noll för höga frekvenser är störningen av lågfrekvent karaktär. kan enligt en spektralfaktori- 1 (b) Störflödet w 1 (t) med spektrat sering modelleras som vilket ger tillståndsekvationen ω 2 +1 W 1 (s) = 1 s + 1 E 1(s) ẇ 1 (t) = 1w 1 (t) + 1e 1 (t) där e 1 är en vit signal. Om vi inför x 3 (t) = w 1 (t) så blir den utvidgade modellen 1 α α 1 1 ẋ = α 1 α x + 1 u + e 1 1 (c) Tillståndsekvationerna ges av och Detta ger ẋ 1 = ẏ = x 2 = f 1 (x 1, x 2 ) ẋ 2 = ÿ = ɛ(1 x 2 1)x 2 x 1 = f 2 (x 1, x 2 ) vilket ger lösningen x 2 =, och f 2 x 1 f n x 2 f 1 (x 1, x 2 ) = x 2 = f 2 (x 1, ) = x 1 = vilket ger x 1 =. Den stationära punkterna ges av x 1 =, x 2 =. Derivering ger ( ) f1 f 1 ( ) x f = 1 x 2 1 = 2ɛx 1 x 2 1 ɛ(1 x 2 1) Detta ger matrisen ( ) 1 A = 1 ɛ vilket ger den karakteristiska ekvationen det(λi A) = λ 2 ɛλ + 1 = 6

7 med lösning För ɛ < 2 fås λ = ɛ 2 ± ɛ λ = ɛ 2 ± i 1 ɛ2 4 d v s komplexa egenvärden med positiv realdel. För ɛ = 2 fås λ = 1 d v s två identiskt lika positiva reella egenvärden. För ɛ > 2 fås λ = ɛ 2 ± ɛ d v s två olika positiva reella egenvärden. Svar: Det olinjära systemet har endast den stationära punkten x 1 =, x 2 =. För samtliga värden på ɛ är egenvärdena för linjäriseringen positiva, vilket innebär att origo är en instabil jämviktspunkt för det olinjära systemet. 7

8 5. (a) Tillståndsåterkoppling av systemet kan simuleras med Simulink-modellen nedan där matriserna A och B är de som lästs in från filen, matrisen C satts till eye(4), matrisen D satts till zeros(4,1) samt initialtillståndet satts till [1 ]. x = Ax+Bu y = Cx+Du State Space K Matrix Gain u To Workspace2 Clock x To Workspace t To Workspace1 Figur 3: Simulink-modell En linjärkvadratisk tillståndsåterkoppling med 1 Q 1 = 1 Q 2 = 1 kan i MATLAB beräknas med >> L=lqr(A,B,diag([1 1 ]),1) L = En simulering med denna återkoppling ger resultatet i figurerna nedan, där samtliga krav är uppfyllda. 8

9 1 x_ Figur 4: Position för vagn ett.1 x_ Figur 5: Hastighet för vagn ett 1 u Figur 6: Styrsignal Alternativt kan vi simulera med kommandot initial x = [1;;;] [x,t] = initial(ss(a-b*l,b,eye(4),zeros(4,1)), x); [u,t] = initial(ss(a-b*l,b,-l,zeros(1,1)), x); max(abs(x(t>2,1))) max(abs(x(:,3))) max(abs(u)) (b) l väljs så att statiska förstärkningen för slutna systemet justeras till 1. Vi har ẋ = (A BL)x + Br och y = Cx med lämnpligt valt C för att plocka ut det andra tillståndet 9

10 G_c = ss(a-b*l,b,[ 1 ],); l_ = 1/freqresp(G_c,); (c) Vi undersöker observerbarheten för de fyra möjliga mätsignalerna. Med första tillståndet som mätsignal fås >> C=[1 ]; >> det([c;c*a;c*a*a;c*a*a*a]) ans = -1 d v s systemet är observerbart och vi kan bestämma en asymptotiskt stabil observatör. Detta gäller även då medan alternativen C = ( 1 ) C = ( 1 ) C = ( 1) ger ett system som ej är observerbart. Svar: Med x 1 respektive x 2 som mätsignal kan vi garanterat erhålla ett asymptotiskt stabilt återkopplat system. 1