Reglerteknik AK, Period 2, 2013 Föreläsning 6. Jonas Mårtensson, kursansvarig

Transkript

1 Reglerteknik AK, Period 2, 213 Föreläsning 6 Jonas Mårtensson, kursansvarig

2 Senaste två föreläsningarna Frekvensbeskrivning, Bodediagram Stabilitetsmarginaler Specifikationer (tids-/frekvensplan, slutna/öppna systemet) Kompensering (Frekvensplanet, PD/PI, lead/lag)

3 Frekvensbeskrivning sin (ωω) G ii sin ωω + φ, φ = arg G(ii) G(s).5 Nyquist Diagram Imaginary Axis Phase (deg) Real Axis

4 Stabilitetsmarginaler Nyquistkriteriet, stabilt G o. Slutna systemet stabilt om 1 ligger till vänster om G ii, ω Nyquist Diagram Imaginary Axis Phase (deg) Real Axis

5 Skärfrekvens ω c : G iω c = 1 Fasmarginal φ m : arg G iω c + 18 o Fas-skärfrekvens ω p : arg G iω p + 18 o = Amplitudmarginal A m = 1/ G iω p Nyquist Diagram Imaginary Axis Phase (deg) Real Axis

6 Specifikationer i tidsplanet r(t) e(t) Σ F(s) G(s) y(t) 1 Steg i referenssignalen, r t = Step Response Stigtid T r : från 1% till 9% av slutvärdet Översläng M: i förhållande till slutvärdet Stationärt fel e o = lim e(t) t Amplitude Time (seconds)

7 Specifikationer i frekvensplanet Överföringsfunktion från r y 2 Önskemål: G c ii = 1, ω Statiskt fel: e o = 1 G c Resonanstopp: M p Bandbredd: ω B : G c iω B (-3dB) = G c()

8 Översättning till krav på GG Skärfrekvens: ω c ω B Fasmarginal: M p 1 φ m Statisk förstärkning G c 1 G o 5-5 System: G :.778 : Phase (deg)

9 Exempel - kompensering Minska överslängen = öka fasmarginalen Lägre stigtid = öka skärfrekvensen G s =.7, F s = 1 s(s + 1) 1.4 Step Response 5 Gm = Inf db (at Inf rad/s), Pm = 59 deg (at.6 rad/s) Amplitude Phase (deg) Time (seconds)

10 τ D s + 1 ββ D s + 1 PD/lead β = γ {,.1,.2,.3} T D = T I = 1 τ I s + 1 τ I s + γ PI/lag Högfrekvensförstärkning Lågfrekvensförstärkning Phase (deg) 45 Phase (deg) Fasförbättring Fasförsämring

11 1.4 Exempel - kompensering Minska överslängen = öka fasmarginalen Lägre stigtid = öka skärfrekvensen Step Response 1 G s =.7, F s = 1 s(s + 1) F 2 s = 3 s + 1.1s + 1 Amplitude Phase (deg) Time (seconds)

12 Dagens föreläsning Tidsfördröjningar och icke-minfassystem (kap ) Varför kan man inte reglera godtyckligt bra? (kap 6.2) Känslighetsfunktionen Begränsad styrsignal Komplementära känslighetsfunktionen Vad händer om modellen G(s) är dålig? (kap ) Robusthet mot instabilitet Modellfel och reglerprestanda En mer generell reglerstruktur (kap 6.5) Mer frihetsgrader att forma regulatorn

13 Tidsfördröjningar e TT G(s) Amplitudkurvan oförändrad, Stor fasförsämring, svårt att reglera 12 Step Response Amplitude Phase (deg) Time (seconds)

14 Nollställen i HHP : ( s + a) vs. (s + a) Speglade nollställen samma amplitudkurva Lägre faskurva svårt att reglera Stegsvaret går åt fel håll initialt.6 Step Response Amplitude Time (seconds) Phase (deg)

15 Kan man reglera hur bra som helst? v(t) r(t) u(t) y(t) Σ F(s) G(s) Σ 1 Y = GG 1 + GG R GG V = G cr + SS Mål med regleringen: Referensföljning, G c 1, ω Störningsundertryckning, S, ω Båda kraven uppfyllda om GG är tillräckligt stor för all ω!

16 Styrsignalens storlek U = F R V, GG stor U 1 (R V) 1+GG G Bra reglering kräver stort U där G är liten Det finns alltid fysikaliska begränsningar på u(t) G är oftast liten för höga frekvenser 6 4 Svårt att reglera bort högfrekventa störningar

17 Det finns alltid mätfel och mätbrus, n(t) v y: S = 1 1+GG = Känslighetsfunktionen n y: T = r(t) GG 1+GG Σ F(s) u(t) 1 G(s) = Komplementära känslighetsfunktionen S s + T s = 1 v(t) Σ y(t) Σ n(t) Dom kan inte vara små ( ) samtidigt!

18 Högfrekvent mätbrus Lågfrekventa störningar S s + T s =

19 Bodes integralsats, stabil G o och G c log S ii dd =

20 Modellfel G s är en modell som används för att hitta F(s), men det finns alltid fel i modellen. Modellen är en approximation av verkligheten. G o s = G s 1 + Δ G s Relativt modellfel: Δ G s Vad händer om vi använder F s på det sanna systemet? Är det fortfarande stabilt? Hur påverkas prestandan?

21 Robusthetskriteriet Givet F som stabiliserar modellen G, antag verkligt system G o med lika många poler i HHP som G och där både GG och G o F har fler poler än nollställen. Då stabiliserar F även G o om Δ G ii < 1 T ii ω

22 Modellfel Stora modellfel tolereras där T är liten S kan inte göras liten där man har stora modellfel