Lösningar Reglerteknik AK Tentamen

Transkript

1 Lösningar Reglerteknik AK Tentamen 060 Uppgift a G c (s G(sF (s + G(sF (s s + 3, Y (s s + 3 s ( 3 s s + 3 Svar: y(t 3 ( e 3t Uppgift b Svar: (i insignal u levererad insulinmängd från pumpen, mha tex spänningen till pumpen (ii utsignal y sockerhalt i blodet (iii referenssignal r normal sockerhalt i blodet (iv störsignal v sockerintag via mat Uppgift c Kontrollera först om systemet är stabilt ( annars existerar inte gränsvärdet. Egenvärdena ges av s + 3s + 3 dvs systemet är stabilt eftersom koecienterna är positiva. Stationär punkt: ẋ(t 0 x x, x 0.5r, y x y 0.5r e r y 0.5r.5, Svar: Det stationära felet är.5. Observera att man måste analysera stabilititet för att få helt rätt på uppgiften. Uppgift d Svar: Stegsvar A motsvarar P-regulatorn F (s eftersom stegsvaret är mer odämpat än i Figur B. Det har ett stationärt fel så det kan inte PI-regulatorn F 3 (s Stegsvar B motsvarar PD-regulatorn F (s eftersom stegsvaret är mer dämpat än i Figur A. Stegsvar C motsvarar PI-regulatorn F 3 (s eftersom det är enda stegsvaret utan stationärt fel.

2 Uppgift a-i Systemet är skrivet på formen ẋ f (x, u och ẋ f (x, u där f (x, u sin(x och f (x, u x + u, linjäriseringen ges av ẋ df dx (x0, u 0 x + df du (x0, u 0 u Ax + Bu där [x 0, u 0 ] T [0, π, π] T är linjäriseringspunkten: ( A df df df dx dx dx df dx df dx ( 0 cos(x 0 ( 0 0 och Svar: ẋ t B df du ( df du df du [ ] 0 x(t + 0 ( 0 [ ] 0 u(t med x(t [x (t, x (t π] T och u(t u(t + π Uppgift a-ii Systemet är styrbart eftersom S ( B AB ( 0 är full rang. 3, 4. Vi får Vi beräknar L [l l ] så att egenvärdena hos matrisen A BL hamnar i A BL ( 0 0 ( ( 0 (l 0 l l l 0 det(λi (A BL λ l λ + l λ(λ + l l λ + (l λ l 0 Vi vill ha poler i 3, 4 så vi vill ha det karakteristiska polynomet 0 (λ + 3(λ + 4 λ + 7λ + så vi identierar l och l 7 l 8. Svar: u(t [ 8] x(t

3 Uppgift b-i Systemet är observerbat eftersom O är full rang. Det skattade systemet ges av ( C CA ( 0 0 ˆx Aˆx + Bu + K(y ŷ Aˆx + Bu + K(x ˆx (A KCˆx + Bu Polerna till observatören ges av egenvärdena till A KC med K (k, k T fås ( ( ( 0 k ( k A KC k 0 k Polerna fås sedan ur 0 det(λi (A KC λ + k k λ (λ + k λ + k λ + k λ + k 0 Vi vill ha dubbelpol i α så vi vill ha det karakteristiska polynomet 0 (λ + α λ + αλ + α så vi identierar k α och k α. Svar: ˆx Aˆx + Bu + K(y ŷ med K [α α ] T Uppgift b-ii Överföringsfunktionen från störsignal till skattningsfelet ỹ C x + v för blir (boken sidan 99, formel 9.3 G v ỹ (s C(sI (A KC K där K bestämdes i Uppgift b-i. Insättning ger k s + k s + k s + k Uppgift 3a G v ỹ (s ( 0 ( ( s 0 0 s ( k k 0 αs + α s + αs + α (s + α αs α s (s + α ( k k s (s + α Svar: T är en tidskonstant relaterad till dynamik, t.ex. orsakad av tröghet. T är en ren tidsfördröjning, orsakad av t.ex. masstransport. 3

4 Uppgift 3b Vi följer lead-lag algoritmen stegvis. Vi kan antingen använda Bode-diagramet vi har fått uppritat, eller så kan vi räkna med hjälp av uttrycket för G(s.. Nuvarande skärfrekvens: Numeriskt har vi ω c K G(iω c + T (iω c K ω c. T K + T ω c. Önskad skärfrekvens: ω cd ω c Nuvarande fasmarginal: φ m arg G(iω c ( 80 K arg e T iω c T iω c arg K arg( + T ω c i + arg e T ω ci + 80 Numeriskt har vi att φ m arctan ( T ω c T ω c arctan(t ω c T ω c. 4. Hur mycket måste vi fasöka vid ω cd för att ha samma fasmarginal som innan? (Kom ihåg att ta hänsyn till lag-länken som kommer sänka fasen med 5.7 enligt tumregel. φ m [ arg G(iω cd φ ] ( φ arctan ( T ω cd T ω cd φ φ m arctan ( T ω cd + T ω cd Numeriskt har vi att φ Bestäm β så att vi får denna fasökning av lead-länken enligt Figur 5.3 i boken, eller formel (5.4: β sin φ + sin φ Välj τ D så att den maximala fasavanceringen sker vid vår önskade skärfrekvens: τ D ω cd β

5 7. Välj förstärkningen K så att vi får önskad skärfrekvens i systemet. Använd att vi valt τ D ω cd β ω cd τ D β, samt formel (5.6 i boken: Flead (iω cd G(iω cd Flead (i G(iωcd (5.6 K K, τ D β β + T ωcd som ger att K β Numeriskt ger detta att K T ω cd K. 8. Välj τ I enligt tumregel: τ I 0 ω cd Bestäm γ så att vi får tillräckligt litet stationärt (stegfel. Vi vill ha att e enligt specikationerna. Använd formel (3.5, samt (5.: 0.05 e 0 (3.5 + G 0 (0 (5. + K +T e T 0 0 K γ Löser vi ut γ ur olikheten får vi att γ + G(s K τ Ds+ + k K γ k K τ I s+ βτ D s+ τ I s+γ + G(0 K s0 γ Svar: Vår regulator blir alltså F (s s s + 73.s + 73.s , vilket ger en skärfrekvens på ca och en fasmarginal på 03.3 i det kompenserade systemet (notera att lag-länken yttat skärfrekvensen något. Notera också att fasmarginalen är ovanligt stor för en praktisk tillämpning. Uppgift 3c Lag-länken sänker fasen med arg F lag (iω arctan ( γτ Iω γ + τ I ω 5

6 vid frekvensen ω, se formel (5.0 i boken. För att få ett stabilt återkopplat system måste vi ha positiv fasmarginal φ m, alltså kan vi som mest sänka fasen med φ m vid den nya skärfrekvensen ω cd : φ m arctan ( γτ Iω cd γ + τi ω cd (γ + τi ωcd tan(φ m ( γτ I ω cd τ I ω cd tan(φ m + γ tan(φ m ( γτ I ω cd 0 τ I ( γω cd ω cd tan(φ m τ I + γ tan(φ m ω cd tan(φ m 0 τ I ( γ ω cd tan(φ m τ I + γ ω cd Löser vi denna andra-grads ekvation med de givna numeriska värderna (och γ får vi de två lösningarna 0 τ I, 5.4, τ I, Om vi sänker från vårt ursprungliga värde på τ I kommer τ I, stötas på först. Svar: Vi kan sänka τ I till ca 55 innan vi stöter på problem med instabilitet. Uppgift 4a Från den givna Nyquistkurvan erhålls ω c 0.5 rad/s; ω p 0.58 rad/s; ϕ m arctan( ; A m Den efterfrågade skärfrekvensen ges av Från Nyquistkurvan erhålls ω c,d (0.5.0rad/s G(i P-regulatorn skalar hela Nyquistkurvan med K P, så för att ytta skärfrekvensen till ω c,d krävs att K P G(i.0 K P

7 Observera att K P G(iω p vilket innebär att Nyquistkurvan nu benner sig till vänster om, så att systemet blir instabilt. Svar: F (s 4.8 Uppgift 4b Den efterfrågade skärfrekvensen ges fortfarande av ω c,d.0rad/s Hur påverkar F (s K D s Nyquistkurvan? Belopp: F (iωg(iω K D iω G(iω K D ω G(iω Beloppet skalas alltså med K D ω. Argument: arg (F (iωg(iω arg (K D iω G(iω arg K D + arg iω + arg G(iω 0 + π + arg G(iω Nyquistkurvan vrids alltså 90 moturs. Bestäm först det K D som krävs för att uppnå den efterfrågade skärfrekvensen K D ω c,d G(iω c,d K D K D Efter rotationen skär Nyquistkurvan inte längre negativa Re-axeln, och således kan slutna systemet vara stabilt. Frekvensvaret vid ω c,d vrids 90 moturs och skalas med K D ω c,d, så specikt gäller att G(iω c,d i0. yttas till G 0 (iω c,d F (iω c,d G(iω c,d 4.7( 0. i i Den nya fasmarginalen ges således av ϕ m arctan (

8 Problemet är dock att vi har förkortat en pol i s 0! Detta resulterat i instabilitet eftersom G ly (s G(s + G(sF (s kommmer att ha en pol i s 0 från G(s. Observera att G(0F (0 är ändlig. Svar: F (s 4.7s, men systemet blir instablit pga förkortning av pol i s 0. Uppgift 4c eftersom K P K D ω c,d F (iω c,d α K P + ( α K Dω c,d K Dω c,d (båda regulatorna ger sammma skärfrekvens. Följaktligen så är F (iω c,d oberoende av α och har samma förstärking vid ω c,d som D-regulatorn och P- regulatorn. Det som skiljer är fasen, som är arg F (iω c,d arctan( α /α Svar: För α / får man 45 o i fasavancering från regulatorn och fasmarginalen blir därför 9.5 o, dvs stabilt (och ingen förkortning av pol i s 0. Uppgift 5a Från blockdiagramet fås att: S(s + G(sF (s P G (sp F (s P G (sp F (s + Q G (sq F (s, G(s Q G(s P G (s, F (s Q F (s P F (s Notera att S(s har samma instabila nollställen som G(s eftersom regulatorn F (s bara har stabila nollställen (antagande och P G (sp F (s + Q G (sq F (s har alla rötter i vänster halvplan (stabilt. Endast stabila nollställen kan förkortas. Uppgift 5b Enligt ovan så har S(s ett nollställe i höger halvplan, nämligen p 4. Detta ger: S(s S(s s + p 4 s p 4 s p 4 s + p 4 S mf (s s p 4 s + p 4 S ap (s s p 4 s + p 4 8

9 Uppgift 5b Eftersom z är ett instabilt nollställe till G(s, så är F (z ändlig och därmed S(z + F (z 0 har vi med hjälp av vårt tidigare uträknade uttryck att: Detta ger oss villkoret: Uppgift 5c S mf (z z p 4 z + p 4 S mf (z z + p 4 z p 4 log S mf (z π z log G(iω z + ω dω ln z + p 4 ( z p 4 Om massan M är stor relativt till massan m och l 0 är liten relativt längden l så blir z p 4 och π z log G(iω z + ω dω blir stort oberoende av hur man reglerar systemet! Detta innebär att störningar förstärks mycket, och speciellt mycket för frekvenser ω < z, eftersom z z + ω /z för ω mindre än z. Föra höga frekvensker får man approximativt viktning z /ω. Ett nollställe i höger halvplan medför förstärkning av störningar vid frekvenser som ligger till vänster om nollstället i Bodediagramet. Att ha ett l 0 < l gör alltså att systemet blir mycket mer känsligt för störningar och mycket mer svårreglerat! 9