Föreläsning 8. Reglerteknik AK. c Bo Wahlberg. 27 september Avdelningen för reglerteknik Skolan för elektro- och systemteknik

Transkript

1 Föreläsning 8 Reglerteknik AK c Bo Wahlberg Avdelningen för reglerteknik Skolan för elektro- och systemteknik 27 september 2013

2 Introduktion Förra gången: Tillståndsmodell: ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t), x(0) = x 0 y(t) = Cx(t) x(t) A B C Dagens program: Observerbarhet Styrbarhet n 1 vektor (tillståndsvektor) n n matris n 1 vektor 1 n vektor c Bo Wahlberg (KTH) Föreläsning 8 27 september / 21

3 Exponentialfunktionen Hur löser vi ekvationen på förra sidan? Från våra tidigare erfarenheter med första ordnings differentialekvationer vet vi att en integrerande faktor kan vara till stor hjälp. Vi kan generalisera detta koncept och använda e Aτ. t d dτ e Aτ = e Aτ ( A) e Aτ [ ẋ Ax ] = e Aτ Bu d dτ d [ e Aτ x ] dτ = 0 dτ }{{} e At x(t) x(0) [ e Aτ x ] = e Aτ Bu t 0 e Aτ Bu(τ) dτ c Bo Wahlberg (KTH) Föreläsning 8 27 september / 21

4 Exponentialfunktionen Sista steget på förra sidan: ( t d [ e Aτ x ] dτ = 0 dτ }{{} e At x(t) x(0) t Varur vi kan lösa ut ett uttryck för x(t) som x(t) = e At x(0) + t 0 0 e Aτ Bu(τ) dτ e A(t τ) Bu(τ) dτ ) Observera dock att e At är en matrisfunktion! c Bo Wahlberg (KTH) Föreläsning 8 27 september / 21

5 Exponentialfunktionen Hur beräknar man e At? Lös d dt eat = Ae At, e A 0 = I. 1 Serieutveckla e At = I + At + A2 t 2 2! e At = L 1{ (si A) 1} c Bo Wahlberg (KTH) Föreläsning 8 27 september / 21

6 Exponentialfunktionen 3 Diagonalisering Antag att A kan diagonaliseras λ 1 0 A = T DT 1, D =..., 0 λ n Då är e At = T e Dt T 1, där e λ 1t 0 e Dt =... 0 e λnt Bevis via t.ex. serieutvecklingen, A k = T D k T 1. (egenvärden) Observera att e At 0, när t om egenvärdena till A, dvs systemts poler, ligger i V.H.P. 4 Via Cayley-Hamiltons sats. c Bo Wahlberg (KTH) Föreläsning 8 27 september / 21

7 Cayley-Hamiltons Sats Låt det(λi A) = λ n + a 1 λ n a n 1 λ + a n Då är A n + a 1 A n a n 1 A + a n I = 0 Observation, om A 1 existerar: med a n = det( A)! A 1 = 1 a n [A n 1 + a 1 A n a n 1 I] c Bo Wahlberg (KTH) Föreläsning 8 27 september / 21

8 Cayley-Hamiltons Sats, forts Vad blir Fortsätt för p n Följaktligen A n = a 1 A n 1... a n 1 A a n I A n+1 = a 1 A n... a n 1 A 2 a n A = b 1 A n b n 1 A + b n I A p = b (p) 1 An b (p) n 1 A + b(p) n I e At = I + At +... = f 0 (t)i f n 1 (t)a n 1 där {f i (t)} är linjärt oberoende som funktioner av t. c Bo Wahlberg (KTH) Föreläsning 8 27 september / 21

9 Exponentialfunktionen Exempel Antag att vi har Vi kan då räkna ut A = ( ) (si A) 1 = 1 ( ) s 1 s 2 0 s Vilket sen hjälper oss bestämma e At som e At = L 1 { ( 1 s 1 s s ) } = ( ) 1 t 0 1 Observera att A 2 = ( )( ) = 0, och att därför serieutvecklingen för e At ges exakt av e At = I + At. c Bo Wahlberg (KTH) Föreläsning 8 27 september / 21

10 Styrbarhet och Observerbarhet Exempel (8.13) Antag vi har systemet ẋ = x + 0 u y = 0 0 ) 3 x ( Systemets överföringsfunktion ges då av G(s) = C(sI A) 1 B = Har vi rätt antal tillstånd? 2(s + 2)(s + 3) (s + 1)(s + 2)(s + 3) = 2 s c Bo Wahlberg (KTH) Föreläsning 8 27 september / 21

11 Styrbarhet och Observerbarhet Exempel (8.13 fort.) Vi finner x 1 genom första raden i ekvationssystemet ẋ 1 = x 1 + u X 1 (s) = 1 s + 1 U(s) och sedan på samma sätt för x 2 och x 3. 1 s+1 x 1 2 u 1 s+2 x 2 1 Σ y 1 s+3 x 3 x 2 påverkas ej av u x 3 syns ej i y Ej styrbar Ej observerbar c Bo Wahlberg (KTH) Föreläsning 8 27 september / 21

12 Styrbarhet Definition (Styrbarhet) Tillståndet x är styrbart om man kan styra från 0 till x med hjälp av u (på ändlig tid). x-rymden x via rätt u c Bo Wahlberg (KTH) Föreläsning 8 27 september / 21

13 Test av Styrbarhet Vi har med x(0) = 0 där x(t) = t 0 e A(t τ) Bu(τ)dτ e At = f 0 (t)i f n 1 (t)a n 1 Detta medför att x(t) = γ 0 (t)b + γ 1 (t)ab γ n 1 (t)a n 1 B där γ k (t) = t 0 f k (t τ)u(τ)dτ c Bo Wahlberg (KTH) Föreläsning 8 27 september / 21

14 Test av Styrbarhet, forts Dvs, de x som är styrbara är linjärkombinationer av vektorerna B, AB,..., A n 1 B, dvs ligger i värderummet till styrbarhetsmatrisen S = [B, AB,... A n 1 B] Systemet är styrbart om S har full rang = n, dvs om det(s) 0 c Bo Wahlberg (KTH) Föreläsning 8 27 september / 21

15 Styrbarhet Exempel (Test av styrbara tillstånd) Antag att vi har systemet Vi beräknar produkten A = ( ) 0 1, B = 0 0 AB = ( ) 1 0 ( ) 0 1 för att kunna sätta in i styrbarhetsmatrisen ( ) 0 1 S = [B AB] = 1 0 vars determinant, det(s) = 1 0, säger oss att systemet är styrbart. c Bo Wahlberg (KTH) Föreläsning 8 27 september / 21

16 Observerbarhet Definition (Observerbarhet) Tillståndet x är icke observerbart om utsignalen är identiskt noll då initialvärdet är x och insignalen identiskt noll. x-rymden x y 0 c Bo Wahlberg (KTH) Föreläsning 8 27 september / 21

17 Test av Observerbarhet Vi har med u(t) 0 och x(0) = x y(t) = Ce At x, y (k) (t) = CA k e At x, t 0 Speciellt gäller att y 0 om y(0) = Cx = 0 ẏ(0) = CAx = 0. y (n 1) (0) = CA (n 1) x = 0 Varför sluta vid k = n 1? c Bo Wahlberg (KTH) Föreläsning 8 27 september / 21

18 Test av Observerbarhet, forts. Dvs. icke-observbara tillstånd x ligger i nollrummet till observerbarhetsmatrisen C CA O =. CA n 1 Systemet är obseverbart om O har full rang = n, dvs om det(o) 0 c Bo Wahlberg (KTH) Föreläsning 8 27 september / 21

19 Observerbarhet Exempel (Test av observerbara tillstånd) Antag att vi har systemet Vi beräknar produkten A = O = ( ) 0 0, C = ( 1 0 ) 1 0 CA = ( 0 0 ) för att kunna sätta in i observerbarhetsmatrisen C CA. CA n 1 = ( ) vars determinant, det O = 0, säger oss att systemet ej är observerbart. c Bo Wahlberg (KTH) Föreläsning 8 27 september / 21

20 Observerbarhet Exempel Dvs. x 3 är ej observerbar A = 0 2 0, C = ( ) = O = 2 2 0, Ox = = x = 0 x 3 c Bo Wahlberg (KTH) Föreläsning 8 27 september / 21

21 Minimal Minimal om insignal-utsignalsambandet kan ej beskrivas med förre tillstånd = styrbart + observerbart c Bo Wahlberg (KTH) Föreläsning 8 27 september / 21