Lösningar till tentamen i Reglerteknik I 5hp (a) Statiska förstärkningen = (0), och ( )= [ ( )].

Transkript

1 Lösningar till tentamen i Reglerteknik I 5hp --5. (a) Statiska förstärkningen (), och ( ) [ ( )]. ( ) [ 4 +4 ] () 5 (b) Systemet står på observerbar kanonisk form, så vifår direkt att ( ) Polerna ges av + +9, så polerna är och Nollställena ges av 3 + 5, så systemet har ett nollställe i 5. (c) Det slutna systemets poler ges av + ( ), och här är kretsförstärkningen ( ). ( +)( +) + ( +)( +) Använd Rouths algoritm: Rouths tablå blir ( +)( +) så enligt Rouths sats har systemet två poler i HHP instabilt.. (a) Systemet är en minimal realisation om det är både styrbart och observerbart. Styrbarhets- och observerbarhetsmatriserna blir 3 vilka båda har full rang. Alltså är tillståndsbeskrivningen en minimal realisation. (Systemet står på styrbar kanonisk form, så styrbarheten kan konstateras också utan att använda.) + (b) Öppna systemet är ( ) ( )(fåsenkelt ty systemet på styrbar + kanonisk form), så med + blir det slutna systemet ( ) ( ) ( ) + ( ) ( ) där ( )det( + ) det ++ +(+ ) + Här är ju och 5,så ( ) ( +5) ( +)( +5) + (c) Överföringsfunktionen från till blir exakt samma för ˆ + och för +,så ( ) blir samma som i (b). Vektorn

2 ˆ är skattningen av tillståndsvektorn,ochdenbestäms av observatören. Förutsatt att väljs så att observatören blir stabil, så kommer skattningsfelet ˆ att avta och gå mot noll när. 3. (a) Kretsförstärkningen blir ( ) ( ) ( ). (b) Överföringsfunktionen från till är känslighetsfunktionen ( ). (c) Överföringsfunktionen från till är (se t.ex. ekvation (6.) i kursboken) den negativa komplementära känslighetsfunktionen ( ). (d) Enligt resultat 6. gäller att det slutna systemet är garanterat stabilt ifall Δ ( ) för alla ( ) 4. (a) Inför beteckningarna + + Vi har att ( ) ( ), och ( )fås från tillståndsekvationens lösning: ( ) () + ( ) ( ( )+ ( )) I detta fall, med () och ( ) ( ),får vi ( ) () () För att bestämma utnyttjar vi att [ ]( ), vilket ger + och därmed ( +) ( +) + ( +) ( +) + ( +) ( +) + ( +) + ( +) ( ) ( + ) ( ) ( ) ( + ) ( ) ( ) (Detta beror påatt () är en icke observerbar vektor från, d.v.s. () () vilket visas lätt.)

3 (b) Överföringsfunktionen blir ( ) ( ),så ( ) + ( +) + ( +) (c) Det slutna systemets överföringsfunktion från till blir ( + ) +(+ ) (+ ) (+ ) ++ Genom att välja och såatt + blir överföringsfunktionen från till noll. Det som händer är att man med tillståndsåterkopplingen (från ) formar det slutna systemets -matris (d.v.s. ) såattdet styrbara underrummet från precis sammanfaller med det icke observerbara underrummet sett från. 5. (a) Falskt (den beror endast på parametern ); (b) Sant; (c) Falskt (Resultaten.6 och.7); (d) Sant (använd polplacering och lägg en pol i ocheni ); (e) Sant (i rotorten för det slutna systemets poler blir :s poler startpunkter och :s nollställen blir ändpunkter, och när växer går polerna mot ändpunkterna, varav minst en är i HHP). 6 (a) Villkoret för självsvängning är att ( ) för något,som dåär självsvängningens vinkelfrekvens. Från Bodediagrammet får vi att Nyquistkurvan skär negativa reella axeln i för 3 rad/min. För att få ( 3) måste alltså 9. Självsvängningens vinkelfrekvens är alltså 3 rad/min, vilket svarar mot en periodtid på 4 minuter. Detta kan jämföras med den verkliga celldelningscykelns 3 periodtid som är av storleksordningen en timme. (b) Det är inte möjligt att åstadkomma en självsvängning med bara två komponenter under de givna förutsättningarna. Motivering : Det slutna systemets poler ges av + ( ) + ( ) ( ) ( + )( + )+ +( + ) + + 3

4 Alla koefficienter är strikt positiva så polerna ligger strikt i vänster halvplan, d.v.s. de kan omöjligen ligga på Im-axeln, vilket är en förutsättning för att en självsvängning ska uppstå. Motivering : Ett villkor för självsvängning ska uppstå är att Nyquistkurvan går genom punkten, d.v.s. att ( ). Här blir arg ( )arg +arg ( )+arg ( ) arg( + ) arg( + ) arctan arctan Nyquistkurvan skär alltså aldrig negativa Re-axeln. (Under generellare förutsättningar kan dock ett återkopplat system med två komponenter fås att självsvänga.) [Modellen i denna uppgift hittar du t.ex. i Kapitel 6 i Henning Schmidts doktorsavhandling Design and Analysis of Feedback Structures in Chemical Plants and Biochemical Systems, KTH, 4, och artikeln i Identifying Feedback Mechanisms Behind Complex Cell Behavior, av Henning Schmidt och Elling Jacobsen, i IEEE Control Systems Magazine Vol. 4 nr 4, 4. Mer om celldelning (t.ex. hos Xenopus-ägg) kan du läsa i The Cell, av Alberts et al., Garland Publishing, Inc.] 7. (a) För bandbredden på det slutna systemet gäller ( ) (). ++ ( + ) +(+ ) ( + ) +(+ ) (+ ) ( ) 9 Fasen för blir arg ( )arg arg( ++ ) arg( + ) arctan 4 radianer 45 (b) Det relativa modellfelet för blir + Δ ++ (c) Nyquistkurvan för kretsförstärkningen sammanfaller med den negativa imaginära axeln. Fasmarginalen är alltså 9. Tar man med det verkliga uttrycket för i kretsförstärkningen, ( ), så ser man att för rad/s ( ) ( ) () ( ) 9 4

5 Alltså skär den verkliga Nyquistkurvan enhetscirkeln för någon frekvens som är mindre än rad/s. Vidare har vi att arg ( )arg ( )+arg ( ). Fasen för är alltid negativ, och därför blir den verkliga fasmarginalen mindre än den nominella. 5