Fredrik Lindsten Kontor 2A:521, Hus B, Reglerteknik Institutionen för systemteknik (ISY)

Transkript

1 Innehåll föreläsning 9 2 Reglerteknik, föreläsning 9 Tillståndsbeskrivning, styr- och observerbarhet Fredrik Lindsten fredrik.lindsten@liu.se Kontor 2A:521, Hus B, Reglerteknik Institutionen för systemteknik (ISY) 1. Sammanfattning av föreläsning 8 2. Representation av system 3. Tillståndsform till överföringsfunktion 4. Överföringsfunktion till tillståndsform 5. Styr- och observerbarhet Sammanfattning från föreläsning Våra modeller är alltid förenklingar av verkligheten! För att kunna analysera detta införde vi ett relativt modellfel Sats: (Robusthetskriteriet) Givet att stabiliseras av återkopplingen. Antag att: Det sanna systemet ges av och har samma antal poler i höger halvplan. och går mot när går mot oändligheten Då gäller att om, Ofta har vi endast en övre gräns på. Detta räcker dock för att vi via robusthetskriteriet ska kunna uttala oss om stabilitet. för alla är stabilt (tillräckligt, men ej nödvändigt villkor)

2 5 Tillstånd = den information som behövs vid tidpunkt för att kunna förutsäga effekten av pålagd insignal. 6 En allmän tillståndsbeskrivning ges av, ex) Tillståndsvektor där: x(t) är en -vektor (tillståndsvektorn) A är en matris B är en matris C är en matris D är en skalär (oftast D=0) Fråga från förra föreläsningen 7 Ex. Tillståndsform (medicin i kroppen) 8 Om ett system har följande tillståndsbeskrivning En (mycket) enkel beskrivning av hur ett ämne, t.ex. en medicin, tas upp i kroppen ges av hur beror då utsignalen av det andra tillståndet? u(t) tillförselhastighet av ämnet (insignal) q(t) mängd av ämnet i mage, tarmar (tillstånd) c(t) mängd av ämnet i blodet (tillstånd) mängd av ämnet i blodet (utsignal) Konstanterna k 1 och k 2 beskriver ämnesomsättningen.

3 Ex. Tillståndsform (Fuglesang) 9 Representation av system 10 Christer Fuglesang på rymdpromenad kan beskrivas av ekvationerna: Fuglesang Yttre beskrivning u Inre beskrivning y p(t) Christers position (tillstånd) v(t) Christers hastighet (tillstånd) u(t) kraft från raketmotor på ryggen (insignal) Christers position (utsignal) m massan Vi har med tillståndsformer inte infört några nya typer av system, endast ett nytt sätta att beskriva och analysera våra vanliga system. Tillståndsform Överföringsfunktion Överföringsfunktion Tillståndsform Från överföringsfunktion till tillståndsform 11 Givet en (strikt proper) överföringsfunktion Överföringsfunktionen Styrbar kanonisk form 12 hur får vi fram motsvarande tillståndsbeskrivning? Det finns oändligt många sätt att representera en given överföringsfunktion på tillståndsform! kan beskrivas på tillståndsform som: (Styrbar kanonisk form) De enklaste är: Om b 1 = b 2 = = b n-1 = 0 kan vi välja derivator av som tillstånd (som i vårt inledande exempel) Styrbar kanonisk form (Resultat 8.1 i boken) Observerbar kanonisk form (Resultat 8.2 i boken)

4 Observerbar kanonisk form 13 Överföringsfunktionen kan beskrivas på tillståndsform som: (Observerbar kanonisk form) Styrbarhet och observerbarhet 14 x 1 (t), x 2 (t), x 3 (t) vattennivåer u(t) vatten tillfört tank 2 f 1 (t) flöde från tank 1 till tank 2 f 2 (t) flöde från tank 2 till tank 3 Insignal: u(t) Utsignal: = x 2 (t) (antag att alla proportionalitetskonstanter = 1) Styrbarhet och observerbarhet 15 Ex. från förra föreläsningen 16 Nivån x 1 (t) kan ej påverkas av styrsignalen Ej styrbart Nivån x 3 (t) påverkar ej utsignalen (går ej att härleda från ) Ej observerbart x 1 (t) u(t) x 2 (t) x 2 är inte observerbart!

5 Några begrepp som får summera föreläsning 9 17 Tillståndrum: Det vektorrum dit tillståndsvektorn hör. Minimal realisation: En tillståndsbeskrivning för en given är en minimal realisation om inte kan beskrivas med färre tillstånd. Styrbar: Det finns inga tillstånd som inte kan nås via lämpligt val av styrsignal (hela tillståndsvektorn påverkas direkt eller indirekt av styrsignalen). Observerbar: Det finns inga nollskilda tillstånd som inte påverkar utsignalen (tillståndsvektorn kan inte vara nollskild utan att vi märker det)