Välkomna till TSRT19 Reglerteknik Föreläsning 3. Sammanfattning av föreläsning 2 PID-reglering Blockschemaräkning Reglerdesign för svävande kula

Transkript

1 Välkomna till TSRT19 Reglerteknik Föreläsning 3 Sammanfattning av föreläsning 2 PID-reglering Blockschemaräkning Reglerdesign för svävande kula

2 Sammanfattning av förra föreläsningen 2 Vi modellerar system med differentialekvationer som vi Laplacetransformerar och använder för att definiera överföringsfunktionen G(s) Vi kallar G(s) nämnares rötter för systemets poler, och täljarens rötter nollställen

3 Sammanfattning av förra föreläsningen 3 Koppling mellan poler och stegsvar: Vi studerade polernas position i det komplexa talplanet och fann att: Någon pol i högra halvplanet: ger ett instabilt system Alla poler (strikt) i vänstra halvplanet: ger ett stabilt system Långt bort från origo: ger ett snabbt system Stor komplexdel (relativt realdel): ger ett svängigt system Polen närmast origo dominerar (oftast) dynamiken (långsammast bestämmer)

4 PID-regulator 4 PID-regulator (Propertionell Integrerande Deriverande) Laplacetransformerad PID-regulator Alternativ form PID är den absolut vanligaste regulatorstrukturen i praktiken

5 PID-regulator 5 P-regulator: Insignalen är proportionell mot reglerfelet Fördelar: Vi kan minska statiska reglerfelet samt göra systemet snabbare genom att öka K P. Extremt enkel implementering Nackdelar: Ett visst statiskt reglerfel återstår oftast, stora styrsignaler krävs när K ökas för att minska reglerfelet.

6 PID-regulator 6 Farthållaren P-reglerad

7 PID-regulator 7 Farthållaren P-reglerad

8 PID-regulator 8 PI-regulator: Lägg till term som ökar så länge reglerfel kvarstår Fördelar: Vi kan reglera bort statiska reglerfelet (vid ett steg) Nackdelar: Kan ofta bli instabilt (litar på för gammal information) samt leda till ett oscillativt system

9 PID-regulator 9 Farthållaren PI-reglerad

10 PID-regulator 10 Farthållaren PI-reglerad

11 PID-regulator 11 Farthållaren PI-reglerad

12 PID-regulator 12 PID-regulator: Lägg till term som tar hänsyn till vad som troligtvis kommer att hända (derivatadelen predikterar) Fördelar: Kan krävas för stabilitet samt kan reducera oscillationer. Nackdelar: Deriverar en mätsignal som ofta är brusig (Farthållaren redan tillräckligt bra, vi behöver ej D-del)

13 Blockschemaräkning 13 Vi har evaluerat regulatorerna genom att studera det slutna systemets beteende i stegsvarsexperiment Vi behöver smidiga metoder för att ta fram det slutna systemet, dvs överföringsfunktionen från referens R(s) till utsignal Y(s) Det är nu vi verkligen får användning av våra Laplacetransformer Vi börjar med lite räkneregler som lätt härleds ifrån de underliggande differentialekvationerna och transformerna

14 Blockschemaräkning 14 Summationspunkt Z(s) Σ X(s) Y(s) Transformer adderas enkelt Y(s)=Z(s)+X(s)

15 Blockschemaräkning 15 Seriekoppling X(s) F(s) Z(s) G(s) Y(s) Den interna signalen Z kan elimineras och överföringsfunktionen från X till Y ges av produkten av de två delsystemen F(s) och G(s) X(s) F(s)G(s) Y(s)

16 Blockschemaräkning 16 Parallellkoppling V(s) F(s) Z(s) Σ Y(s) G(s) X(s) De interna signalerna Z och X kan elimineras och överföringsfunktionen från V till Y ges av summan av de två delsystemen F(s) och G(s) V(s) F(s)+G(s) Y(s)

17 Blockschemaräkning 17 Återkoppling R(s) Σ E(s) F(s) U(s) G(s) Y(s) -1 Ställ upp samband över knutpunkter och system: Bryt ut sambandet vi söker

18 Blockschemaräkning 18 Slutna systemets överföringsfunktion (C från closed-loop) Öppna slutna systemets överföringsfunktion, kallas kretsförstärkning (O från open-loop)

19 Blockschemaräkning 19 Exempel: Farthållaren med PI-reglering Bildynamik Regulator Slutna systemet Observationer: Systemet är stabilt om α+k P >0 och K I >0 Polerna kan placeras godtyckligt via K P och K I Detta är anledningen till att en D-del ej behövs här

20 Statiska reglerfelet 20 Återkopplade systemets poler (som definierar stabilitet och respons) togs enkelt fram via blockschemaräkning. Ett annat viktigt mått vi använt är hur stort reglerfel det återkopplade systemet får, och även detta fås ur lite blockschemaräkning Överföringsfunktionen S(s) kallas känslighetsfunktionen

21 Statiska reglerfelet 21 Statiska reglerfelet kan beräknas via slutvärdesteoremet (om gränsvärdet verkligen existerar) Det statiska reglerfelet definierar så kallade felkoefficienter som betecknar reglerfel vid olika sorters referenssignaler då r(t) enhetssteg då r(t) enhetsramp

22 Statiska reglerfelet 22 Vi får För att e 0 skall kunna bli noll måste G O (0) vara oändlig! Detta är bara möjligt om G O (0) innehåller minst 1 integrator Notera att detta typiskt uppfylls om regulatorn F(s) har en I-del Generellt:

23 Regulatordesign för svävande kula 23 Studera en kula hängandes i luften m.h.a en elektromagnet u(t) y(t): Kulans position F(t): Alstrad magnetkraft u(t): Spänning till elektromagnet m: Kulans massa F(t) Newton y(t) Magnet olinjärt

24 Regulatordesign för svävande kula 24 Olinjära system hanterar vi i denna kursen genom linjära approximationer, så kallade linjäriseringar. Vi går inte in på detaljerna här, utan tänker oss att en linjär modell är framtagen som fungerar bra för små rörelser kring en jämviktspunkt Vi inför också notationen att y(t) och u(t) betyder avvikelse från jämviktspunkter i avstånd och spänning, och antar att alla konstanter blir 1. Tänkt linjär approximation

25 Regulatordesign för svävande kula 25 P-regulator: Instabilt oavsett hur man väljer K P! PI-regulator: Instabilt oavsett hur man väljer K P och K I! PID-regulator: Poler går att placera godtyckligt! PD-regulator: Poler går att placera godtyckligt!

26 Sammanfattning 26 Sammanfattning av dagens föreläsning Återkoppling av reglerfel, integrerat reglerfel och reglerfelets förändring kallas PID-reglering PID-reglering är den absolut vanligaste reglerstrukturen i praktiken P-delen styr främst hastigheten, I-delen används för att få bort statiskt reglerfel och D-del används för att reducera oscillationer samt förbättra stabilitet Blockscheman används för att enkelt räkna ut överföringsfunktioner mellan olika signaler i reglersystemet Statiska fel kan beräknas via känslighetsfunktionen

27 Sammanfattning 27 Viktiga begrepp PID: Propertionell-integrerande-deriverande återkoppling Kretsförstärkning: Överföringsfunktion mellan referens och utsignal när återkoppling tas bort, G(s)F(s) Känslighetsfunktion: Överföringsfunktion mellan referenssignal och reglerfelsignal Felkoefficienter: Reglerfel när referenssignalen är ett enhetssteg, enhetsramp, enhetsparabel,