TSIU61: Reglerteknik. Frekvensbeskrivning Bodediagram. Gustaf Hendeby.

Transkript

1 TSIU61: Reglerteknik Föreläsning 5 Frekvensbeskrivning Bodediagram Gustaf Hendeby gustaf.hendeby@liu.se

2 TSIU61 Föreläsning 5 Gustaf Hendeby HT / 1 Innehåll föreläsning 5 ˆ Sammanfattning av föreläsning 4 ˆ Introduktion till frekvensbeskrivning ˆ Sinus in, sinus ut ˆ Frekvensfunktion ˆ Bodediagram

3 TSIU61 Föreläsning 5 Gustaf Hendeby HT / 1 Sammanfattning från föreläsning 4 (1/3) t u(t) = K P e(t) + K I e(τ) dτ }{{} t 0 Proportionell }{{} Integrerande e(t) = r(t) y(t) är reglerfelet. PID formuleringar Laplacetransform för PID regulatorn ( U(s) = K P + K ) I s + K Ds E(s) En alternativ parametrisering ( U(s) = K ) T I s + K Ds E(s) + K D de(t) dt }{{} Deriverande

4 TSIU61 Föreläsning 5 Gustaf Hendeby HT / 1 Sammanfattning från föreläsning 4 (2/3) Intuition för PID-regulator P -reglering betrakatar felet just nu (minskar reglerfelet) I -reglering minns även gamla fel (tar bort stationärt fel) D -reglering förutser vad som kommer att hända (stabiliserar)

5 TSIU61 Föreläsning 5 Gustaf Hendeby HT / 1 Sammanfattning av föreläsning 4 (3/3) För ett insignal-utsignalstabilt återkopplat systemet gäller: r(t) = A = e 0 = lim s G o (s) = S(0) r(t) = At Om e 0 = 0 1 = e 1 = lim s 0 sg o (s) = lim s 0 r(t) = A Om e 0 = e 1 = t2 = e 2 = lim s 0 s 2 G o (s) = lim s 0 S(0) s S(0) s 2 Felkoefficienterna kan alltså ses som koefficienter i en serieutveckling av känslighetsfunktionen S(s) = e 0 + e 1 s + e 2 s

6 Frekvensbeskrivning

7 TSIU61 Föreläsning 5 Gustaf Hendeby HT / 1 Exempel: högtalarspecification

8 TSIU61 F orel asning 5 Gustaf Hendeby Exempel: h ogtalarspecification HT /1

9 TSIU61 Föreläsning 5 Gustaf Hendeby HT / 1 Exempel: bestäm högtalarspecification Högtalartest: ˆ En testsignal (en sinusformad spänning) skickas till högtalaren. ˆ En mikrofon mäter ljudet och registrerar förstärkningen från spänningsstyrka till ljudvolym. Typiska fenomen: ˆ Mätsignalen (ljudet) har samma frekvens (skulle låta väldigt illa annars) men förstärkningen beror på frekvensen.

10 TSIU61 Föreläsning 5 Gustaf Hendeby HT / 1 Exempel: frekvenssvar Insignal: u(t) = π 2 sin(πt) Utsignal: Sinussignal med en amplitud på ungefär 3 m

11 TSIU61 Föreläsning 5 Gustaf Hendeby HT / 1 Exempel: frekvenssvar Insignal: u(t) = π 2 sin(4πt) Utsignal: Sinussignal med en amplitud på ungefär 80 cm

12 TSIU61 Föreläsning 5 Gustaf Hendeby HT / 1 Exempel: frekvenssvar Insignal: u(t) = π 2 sin(0.5πt) Utsignal: Sinussignal med en amplitud på ungefär 6 m

13 TSIU61 Föreläsning 5 Gustaf Hendeby HT / 1 Sinus in, sinus ut Experimentellt underbyggd tes Sinussignal in ger sinussignal ut (assymptotiskt efter att effekter av begynnelsetillståndet försvunnit)

14 TSIU61 Föreläsning 5 Gustaf Hendeby HT / 1 Exempel: sinus in, sinus ut

15 TSIU61 Föreläsning 5 Gustaf Hendeby HT / 1 Sinusar kan approximera mycket Många signaler som inte ser ut som sinusar kan approximeras med sinusar. Ex fyrkantsvåg, N anger hur många sinusar som används. N = 1 N = 5 N = 2 N = 100

16 TSIU61 Föreläsning 5 Gustaf Hendeby HT / 1 Frekvensanalys av ögondynamik Ögat har en reglermekanism som ser till att lagom ljusmängd kommer till näthinnan genom att pupillens storlek anpassas till det infallande ljuset.

17 Bodediagram

18 TSIU61 Föreläsning 5 Gustaf Hendeby HT / 1 Grafisk framställning av frekvensfunktionen Frekvensfunktionen kan skrivas som i arg G(iω) G(iω) = G(iω) e Bodediagram består av: ˆ Amplitudkurva G(iω) ˆ Faskurva arg G(iω) G(s) = 1 s + 1

19 TSIU61 Föreläsning 5 Gustaf Hendeby HT / 1 Frekvenssvar

20 TSIU61 Föreläsning 5 Gustaf Hendeby HT / 1 Frekvenssvar Bilens förstärkning från rattutslag till lateral position

21 TSIU61 Föreläsning 5 Gustaf Hendeby HT / 1 Hendrik W. Bode ( ) Bodediagrammets upphovsman ˆ 1905 född i Wisconsin, USA ˆ 1926 Bell Labs ˆ Jobbade med t ex filter och utjämnare ˆ Sen mer med teoretiska aspekter (Math Research Department) relaterat till bl a långdistanstelefoni ˆ 1935 PhD Columbia Unversity, NYC ˆ 1938 belopps- och faskurva för stabilitet ˆ WWII: var med och utvecklade elektriska styrsystem för avfyrning. Senare också inom missilsystem.

22 TSIU61 Föreläsning 5 Gustaf Hendeby HT / 1 Varför är bodediagram bra? 1. Seriekoppling av system är enkelt (addera kurvorna). 2. Potenser av s blir räta linjer.

23 TSIU61 Föreläsning 5 Gustaf Hendeby HT / 1 Första ordningens system Bodediagram för G(s) = 1 s + p

24 TSIU61 Föreläsning 5 Gustaf Hendeby HT / 1 Första ordningens system Bodediagram för G(s) = 1 s + p

25 TSIU61 Föreläsning 5 Gustaf Hendeby HT / 1 Första ordningens system Bodediagram för G(s) = 1 s + p

26 TSIU61 Föreläsning 5 Gustaf Hendeby HT / 1 Första ordningens system Bodediagram för G(s) = 1 s + p

27 TSIU61 Föreläsning 5 Gustaf Hendeby HT / 1 Första ordningens system Bodediagram för G(s) = 1 s + p

28 TSIU61 Föreläsning 5 Gustaf Hendeby HT / 1 Första ordningens system Bodediagram för G(s) = 1 s + p Lutningen ges i db-skalan av 20 db per 10 rad/s, eller 20 db per dekad. Dekad = 10-potens

29 TSIU61 Föreläsning 5 Gustaf Hendeby HT / 1 Första ordningens system Bodediagram för G(s) = 1 s + p G(iω) : Amplitudkurva (belopskurva) log-log-skala (ofta i db) arg G(iω): Faskurva (argumentkurva) lin-log-skala

30 TSIU61 Föreläsning 5 Gustaf Hendeby HT / 1 Andra ordningens system Bodediagram för 1 G(s) = s 2 + 2ζs + 1 Den asymptotiska approximationen är dålig nära resonanstoppen.

31 TSIU61 Föreläsning 5 Gustaf Hendeby HT / 1 Ytterligare ett exempel G(s) = 1 (s + 1)(s + 10) Statisk förstärkning: G(0) = 1 10 (= 20 db) Asymptotiska bodediagram ger en oftast bra approximation av den exakta kurvan, undantag är frekvensområden där flera närliggande brytpunkter bryter åt samma håll och nära en resonanstopp.

32 TSIU61 Föreläsning 5 Gustaf Hendeby HT / 1 Bodediagram för allmänna system Allmän rationell överföringsfunktion: G(s) = K(1 + s z 1 )(1 + s z 2 )... (1 + s z m ) s p (1 + s p 1 )(1 + s p 2 )... (1 + s p n ) Amplitudkurva: log G(iω) = log K p log ω + log 1 + iω z log 1 + iω z m log 1 + iω p 1 log 1 + iω p n Faskurva: arg G(iω) = p90 + arctan ω z arctan ω z m arctan ω p 1 arctan ω p n Tumregel ˆ Brytpunk i täljaren = Asymp. Ampl. kurvans lutning ökar med 1. ˆ Brytpunk i nämnaren = Asymp. Ampl. kurvans lutning minskar med 1.

33 TSIU61 Föreläsning 5 Gustaf Hendeby HT / 1 Bodediagram för ögondynamik Experiment Genom att utföra en rad sinus in, sinus ut experiment kan vi skissa upp ett bodediagram för ögondynamiken. Vi har experimentellt tagit reda på systemets dynamik genom att göra mätningar på systemet.

34 Sammanfattning

35 TSIU61 Föreläsning 5 Gustaf Hendeby HT / 1 Några begrepp som får summera föreläsning 5 Bodediagram: Figurer som var för sig visar amplitudkurvan och faskurvan som funktion av ω ˆ G(iω) Amplitudkurva (beloppskurva), log-log-skala ˆ arg G(iω) Faskurva (argumentkurva), lin-log-skala Brytpunkt: Den frekvens där 2 asymptoter skär varandra i ett bodediagram

36 Gustaf Hendeby