INLÄMNINGSUPPGIFT I. REGLERTEKNIK I för STS3 & X4

Transkript

1 SYSTEMTEKNIK, IT-INSTITUTIONEN UPPSALA UNIVERSITET DZ INLÄMNINGSUPPGIFTER REGLERTEKNIK I för STS3 & X4 INLÄMNINGSUPPGIFT I Inlämning: Senast fredag den 2:a oktober kl Lämnas i fack nr 30, märkt REGLERTEKNIK IN, i korridoren plan 2 i hus 2 (vid toaletterna). Uppgift 1 I processlaborationerna används en likströmsmotor som ett positionsservo. En enkel modell över likströmsmotorn är Y (s) = K f s(1 + st ) (U(s) + D(s)), K f, T > 0, där y är motoraxelns vinkelläge, u är spänningen över motorn och d är en laststörning i form av ett vridmoment. (a) Bestäm likströmsmotorns viktfunktion, g(t). För uppgifterna (b) (d) gäller följande: För att åstadkomma ett positionsservo av likströmsmotorn används proportionell återkoppling, u = K(y ref y), K > 0. (b) Rita ett blockdiagram över det slutna systemet, med ett block för likströmsmotorn, ett block för regulatorn (F (s) = K), och med y som utsignal och y ref och d som insignaler. Markera y, y ref och d tydligt i blockdiagrammet. (c) Det slutna systemet kan skrivas Y (s) = G c (s)y ref (s) + G d (s)d(s). Bestäm överföringsfunktionerna G c (s) och G d (s), samt ange det slutna systemets poler. Är det slutna systemet stabilt? (d) Bestäm slutvärdena för utsignalen, d.v.s. lim y(t) för fallen (i) y ref är ett enhetssteg t och d = 0, respektive (ii) y ref = 0 och d är ett enhetssteg. Uppgift 2 En farthållare på en bil är en regulator som ska se till att bilens hastighet hålls konstant utan att föraren ska behöva hålla foten på gaspedalen. En enkel modell över bil, motor och farthållare visas i blockdiagrammet nedan, där y är bilens hastighet, y ref är den önskade hastigheten, u är styrsignalen i form av gaspådraget, d är 1

2 y ref + F (s) regulator u 3.2 s+0.8 motor m d s+0.3 bil y en yttre störning, t.ex. i form av ett motlut eller motvind, och m är motorns dragkraft (vridmoment). F (s) är regulatorn, vilken här är i form av en PI-regulator, F (s) = K p + K i s. (a) Anta att K p = 1. Ange för vilka K i som slutna systemet är stabilt. I uppgifterna (b) (c) används en alternativ parametrisering av PI-regulatorn, F (s) = K + K T I s = K T Is + 1 T I s K p = K, K i = K T I. (b) Nedan visas rotorten för det slutna systemets poler med avseende på K, då T I = Im Re Kommentera utifrån rotorten systemets förväntade beteende (stabilitet, snabbhet och dämpning/svängighet) för små respektive stora värden på K. (c) Anta nu istället att man väljer T I = 0.8. Ange kretsförstärkningen samt rita Nyquistkurvan. Använd Nyquistkurvan för att bestämma för vilka K som det slutna systemet är stabilt. (Rita för hand eller använd Matlab. Om du använder Matlab, sätt t.ex. K = 1, och använd zoom!) Notera att G c (s) och G d (s) får samma nämnarpolynom! 2

3 Använd gärna Matlab när ni löser denna inlämningsuppgift. Några användbara funktioner är tf, pole, zero, rlocus och nyquist. 3

4 INLÄMNINGSUPPGIFT II Inlämning: Senast onsdag den 14:e oktober kl Lämnas i fack nr 30, märkt REGLERTEKNIK IN, i korridoren plan 2 i hus 2 (vid toaletterna). K f s(1+st ) Uppgift 1 Utgå från den enkla modellen G(s) = av likströmsmotorn, och ange dess belopp och fas, d.v.s. G(iω) och arg G(iω), uttryckta i K f och T. Uppgift 2 Anta att man vill göra farthållaren i uppgift 2, inlämningsuppgift I, både snabb och dämpad, och därför låter regulatorn F (s) vara ett lead-lagfilter. Man vill att stigtiden ska vara ungefär en sekund, och man tolererar en måttlig översläng, samtidigt som man vill att farthållaren ska ge rätt hastighet i stationäritet. Man ställer därför kraven att 1. skärfrekvensen ska vara 1.3 rad/s, 2. fasmarginalen ska minst vara 55, 3. det kvarvarande felet hos stegsvaret ska elimineras helt. Konstruera ett lead-lagfilter som gör att samtliga dessa krav uppfylls. (3 punkter) Uppgift 3 I exempel 8.3 i Glad/Ljung ges en förenklad modell över ett värmeregleringssystem, där ett elektriskt element används för att värma upp ett rum. En tillståndsbeskrivning av systemet (med numeriska värden) är [ ] 2 1 ẋ(t) = x(t) y(t) = [ 1 0 ] x(t), [ 0 20 ] u(t) + [ ] 1 θ 0 ute (t), där y är rumstemperaturen, u är tillförd effekt till elementet, och θ ute är utetemperaturen. Tillståndsvariabeln x 1 är rumstemperaturen, och x 2 är elementets temperatur. (a) Anta att man bara mäter rumstemperaturen y, och att man vill dimensionera reglersystemet för en typisk situation i Uppsala under vintertid, d.v.s. man antar att θ ute = 0 C. (Därmed kan man bortse från θ ute.) Man använder sig därför av tillståndsåterkoppling med observatör, så styrlagen är u(t) = Lˆx(t) + my ref (t). y ref är den önskade rumstemperaturen. Bestäm L och m i styrlagen, samt observatörsförstärkningen K sådana att det slutna systemet får polerna 3 ± i2, observatörspolerna blir 4 ± i2, samt att y = y ref i stationäritet. Ange också överföringsfunktionen från y ref till y. (4 punkter) 4

5 (b) Utetemperaturen θ ute är sannolikt inte konstant 0 C, utan kommer att variera. Med regulatorn som konstruerats i (a) kommer det slutna systemet att bli Y (s) = G r (s)y ref (s) + G θ (s)θ ute (s), där G r (s) bestämts redan i (a). Bestäm den statiska förstärkningen G θ (0), samt ange vad rumstemperaturen y blir stationärt om y ref = 20 C, samtidigt som utetemperaturen sjunker till θ ute = 10 C (konstant). Ledning: Det öppna systemet går att skriva som Y (s) = G(s)U(s) + H(s)Θ ute (s). Bestäm G(s) och H(s) och utnyttja detta samt att styrlagen i (a) går att skriva som U(s) = mf r (s)y ref (s) F y (s)y (s), där i detta fall F y (s) = 0.9s s 2 + 8s Använd gärna Matlab som stöd när ni löser denna inlämningsuppgift. Några användbara funktioner är tf, bode, nyquist, margin, ss, ssdata och eig. Se ekvation (9.40), sidan 201 i Glad/Ljung. 5