Försättsblad till skriftlig tentamen vid Linköpings universitet

Transkript

1 Försättsblad till skriftlig tentamen vid Linköpings universitet Datum för tentamen Sal () TER2 (Om tentan går i flera salar ska du bifoga ett försättsblad till varje sal och ringa in vilken sal som avses) Tid 4: 9: Kurskod TSRT2 Provkod TEN Kursnamn/benämning Reglerteknik Institution ISY Antal uppgifter som ingår 5 i tentamen Jour/kursansvarig Anders Hansson (Ange vem som besöker salen) Telefon under skrivtiden , Besöker salen cirka kl. 5: och 7: Kursadministratör/ kontaktperson Ninna Stensgård, , ninna.stensgard@liu.se (Namn, telefonnummer, mejladress) Tillåtna hjälpmedel Övrigt Vilken typ av papper Rutigt ska användas, rutigt eller linjerat Antal exemplar i påsen. T. Glad & L. Ljung: Reglerteknik. Grundläggande teori 2. Tabeller och formelsamlingar, t.ex.: L. Råde & B. Westergren: Mathematics handbook, C. Nordling & J. Österman: Physics handbook, S. Söderkvist: Formler & tabeller 3. Miniräknare utan färdiga program Normala inläsningsanteckningar får finnas i böckerna.

2

3 SAL: TER2 TENTAMEN I TSRT2 REGLERTEKNIK TID: kl. 4: 9: KURS: TSRT2 Reglerteknik PROVKOD: TEN INSTITUTION: ISY ANTAL UPPGIFTER: 5 ANSVARIG LÄRARE: Anders Hansson, tel , BESÖKER SALEN: cirka kl. 5: och 7: KURSADMINISTRATÖR: Ninna Stensgård, , ninna.stensgard@liu.se TILLÅTNA HJÄLPMEDEL:. T. Glad & L. Ljung: Reglerteknik. Grundläggande teori 2. Tabeller och formelsamlingar, t.ex.: L. Råde & B. Westergren: Mathematics handbook, C. Nordling & J. Österman: Physics handbook, S. Söderkvist: Formler & tabeller 3. Miniräknare utan färdiga program Normala inläsningsanteckningar får finnas i böckerna. LÖSNINGSFÖRSLAG: Finns på kursens websida efter skrivningens slut. VISNING av tentan äger rum , kl i Ljungeln, B- huset, ingång 27, A-korridoren till höger. PRELIMINÄRA BETYGSGRÄNSER: betyg 3 23 poäng betyg 4 33 poäng betyg 5 43 poäng OBS! Lösningar till samtliga uppgifter ska presenteras så att alla steg (utom triviala beräkningar) kan följas. All egen skriven kod som används ska skrivas ut och lämnas in med tentan. Bristande motiveringar ger poängavdrag. Lycka till!

4 . (a) Man har registrerat in- och utsignal för fyra olika system då insignalen varit sinusformad enligt u(t) = sin t. In- och utsignalerna för respektive fall visas i figur. Bedöm, för de fyra fallen, om det aktuella systemet kan beskrivas av sambandet Y (s) = G(s)U(s) där G(s) = a a > s + a Motivera! För det/de fall som in- och utsignalen kan beskrivas med hjälp av modellen ovan ange även värdet på koefficienten a. (4p) A 4 B C D Figur : In- och utsignaler till uppgift.a (b) Ett system beskrivs på tillståndsform med modellen ( ) ( ) ( ) ẋ(t) = x(t) + u(t) y(t) = 2 x(t) 2 Ange modellens poler och nollställen. 2 (2p)

5 (c) Figur 2 visar stegsvar från ett mekaniskt system med överföringsfunktionen G(s) = s 2 + 2ζω s + ω 2 för följande kombinationer av värden. (i) ω = 4, ζ = (ii) ω = 4, ζ =.3 ω 2 (iii) ω = 2, ζ = (iv) ω = 2, ζ =.3 Kombinera dessa värden med figurerna. (4p).5 Step Response A.5 Step Response B Amplitude Amplitude Time (sec) Time (sec).5 Step Response C.5 Step Response D Amplitude Amplitude Time (sec) Time (sec) Figur 2: Stegsvar till uppgift c. 3

6 2. En regulator skall konstrueras till en ny produkt. Vid matematisk modellering av systemet Y (s) = G(s)U(s) misstänker man att det smugit sig in en del misstag, så man vet inte riktigt hur systemet ser ut. Man har fyra alternativ (i) G(s) = s + (iii) G(s) = s + (ii) G(s) = s (iv) G(s) = s (a) Hur skiljer sig de fyra modellernas Bodediagram åt (det räcker med en kvalitativ beskrivning) (2p) (b) Om man vet att utsignalen konvergerar till en konstant nivå då ett steg läggs på insignalen, vilka modeller kan det då vara? (2p) (c) Om man vet att systemet konvergerar till då ett enhetssteg läggs på insignalen, vilka modeller kan det då vara? (p) (d) Kan man skapa en P-regulator U(s) = K(R(s) Y (s)) som är robust nog att stabilisera alla fyra system? (3p) (e) Man chansar och installerar en I-regulator U(s) = s (R(s) Y (s)) och noterar att slutna systemet blev stabilt. Vilken eller vilka av de fyra modellerna kan vara korrekt? (2p) 4

7 3. En byggfirma i Linköping har fått i uppgift att bygga in en hiss i ett flerfamiljshus i Valla. Firman som bygger hissen har en modell av hur hissen beter sig då den ska stå still vid en viss våning. Överföringsfunktionen från momentreferens på den elektriska motorn som driver hissen till hissens läge ges av G(s) = ms 2 + ds + k Där m är hissens massa, d dämpningen i hissens wire och k är wirens fjäderkonstant. (a) För att få hissen väl dämpad så vill hissfirman att det slutna systemets poler ska ligga i 3 2. Använd en PD-regulator, F (s) = K P + K D s, för att åstadkomma detta. Antag att m =, d = och k =. (3p) (b) Antag att hissen står på den lägsta våningen i huset och att det gör att gånger så mycket wire är utrullad jämfört med vid beräkningen av regulatorn i b). Fjäderkonstanten blir alltså lika med k/. För vilka värden på K P och K D är hissen stabil? Fungerar fortfarande regulatorn i a)? (3p) (c) Tag fram en tillståndsmodell till systemet G(s) och gör tillståndsåterkoppling så att det slutna systemets poler hamnar i 3 2. Antag att m =, d = och k =. (4p) 5

8 4. Du har fått i uppdrag att ta fram en reglerstrategi för att styra läshuvudet på en hårddisk. Nedan visas en principskiss på hur systemet fungerar. Överföringsfunktionen från motorspänning, u(t), till motorposition, y(t), ges av 8 G(s) = s(s + )(s 2 + 6s + 32) Bodediagrammet för G(s) finns i Figur 3. (a) Man har testat att styra hårddisken med P-reglering, K =, och är nöjd med stegsvarets principiella utseende. Snabbheten är dock inte tillräcklig och man tar därför fram följande specifikation för den slutgiltiga regulatorn: Stigtiden 3 ggr så snabb som för reglering med K =. Fasmarginal 5 grader. Stationära reglerfelet mindre än % då referenssignalen är en ramp. Regulatorn ska inte ha onödigt stor låg- respektive högfrekvensförstärkning. Utgå ifrån specifikationen och bodediagrammet i Figur 3 för att ta fram en regulator till hårddisken. (7p) (b) Regulatorn implementeras i en dator på hårddisk-styrenheten. Eftersom styrenheten har många andra uppgifter förutom regleringen används ett realtidsoperativsystem med en schemaläggare. När andra uppgifter tar mer kapacitet kan tidsfördröjningar uppstå i regleringen. Hur långa tidsfördröjningar kan regulatorn i a) klara utan att den blir instabil? (3p) 6

9 2 Amplitud G(i ω) Frekvens [rad/s] 5 5 Fas arg G(i ω) Frekvens [rad/s] Figur 3: Bodediagram för hårddisken. 7

10 5. Betrakta en robotarm enligt figuren nedan, där θ betecknar armens vridningsvinkel (utsignal) och u betecknar momentet (insignal). u. Θ Robotarmen kan förenklat beskrivas med differentialekvationen J θ(t) = u(t) där J betecknar armens tröghetsmoment. (a) Inför tillstånden x (t) = θ(t) och x 2 (t) = θ(t) och ställ upp systemet på tillståndsform. Antag att J =. (p) (b) Robotarmen skall kunna manövreras så snabbt som möjligt. Bestäm en tillståndsåterkoppling som placerar det återkopplade systemets poler i a. (2p) (c) Styrsystemet tillåter endast styrsignaler som uppfyller att u(t). Om armen startas stillastående med vinkeln θ och styrs till vinkeln noll ges styrsignalen av u(t) = a 2 e at ( at)θ Hur snabbt kan det återkopplade systemet göras om den maximala styrsignalen ej får överskridas? (3p) (d) Förutom snabbheten är det även viktigt att armen manövreras utan överslängar. Detta krav gäller även då armens tröghetsmoment avviker från det värde som antogs när återkopplingen beräknades. Vilken är det allvarligaste situationen med avseende på detta krav? Att den verkliga robotarmen är lättare (J mindre) än vad som antogs då återkopplingen i b) beräknades, eller att armen är tyngre (J större) än vad som antogs. Motivera ditt uttalande med enkla räkningar. (4p) 8