TENTAMEN I REGLERTEKNIK I

Transkript

1 TENTAMEN I REGLERTEKNIK I SAL: TER2 TID: 6 mars 2, klockan 8-3 KURS: TSRT9, Reglerteknik I PROVKOD: TEN INSTITUTION: ISY ANTAL UPPGIFTER: 5 ANTAL SIDOR PÅ TENTAMEN (INKLUSIVE FÖRSÄTTSBLAD): 9 ANSVARIG LÄRARE: Inger Klein, tel el TILLÅTNA HJÄLPMEDEL: Läroboken Glad-Ljung: Reglerteknik, grundläggande teori med normala inläsningsanteckningar, tabeller, formelsamling, räknedosa utan färdiga program. LÖSNINGSFÖRSLAG: Anslås efter tentamen på kursens hemsida. VISNING av tentan äger rum kl i Ljungeln, B-huset, ingång 27, A-korridoren till höger. PRELIMINÄRA BETYGSGRÄNSER: betyg 3 23 poäng betyg 4 33 poäng betyg 5 43 poäng OBS! Lösningar till samtliga uppgifter ska presenteras så att alla steg (utom triviala beräkningar) kan följas. Bristande motiveringar ger poängavdrag. Lycka till!

2

3 . (a) Signalen u(t) = sin 7t läggs på ingången till systemet G(s) = 3 s + 8 Vad blir utsignalen när alla transienter klingat av? (b) Beräkna för systemet ẋ = [ ] x + 2 [ ] u, y = [ ] x en observatör sådan att observatörsfelets dynamik har polerna och 2. (c) Ture Teknolog arbetar på ett företag i processindustrin. Han ansvarar bl.a. för reglering och övervakning av ett antal olika processer. En av processerna har ett mycket oscillativt beteende, och Ture överväger att använda regulatorn u(t) = d dt e(t) där e(t) = r(t) y(t) är reglerfelet. Är detta en bra idé? Varför/varför inte? (d) Varför använder man ofta återkoppling istället för öppen styrning då man ska styra ett system? Nämn två viktiga anledningar. (e) För ett visst system påstås känslighetsfunktionen S och komplementära känslighetsfuktionen T uppfylla S = 5s s + 2, T = 3 s + 2 Varför är detta ett orimligt påstående?

4 v(t) r(t) + K F(s) + G(s) y(t) Figur : Blockschema till uppgift 2a. 2. (a) I figur finns blockschemat för ett nivåregleringssystem givet där Antag att r =. F (s) = 4 s + 4 G(s) = 2 s + 2 Vad blir överföringsfunktionen från störningen v till utsignalen y? För vilka K > är det återkopplade systemet stabilt? Antag att v(t) är ett steg. Vad blir e stationärt, dvs då alla transienter har dött ut? (Antag fortfarande att r =.) (b) Ett system Y (s) = G o (s)u(s) återkopplas så att U(s) = R(s) Y (s). (5p) i. I figur 2 finns bodediagram för öppna systemet G o för två olika system (överst), de återkopplade systemen G c (rad två), stegsvar för de återkopplade systemen (rad tre) och polerna för de återkopplade systemen (nederst). Para ihop rätt öppet system, slutet system, stegsvar och poler. Motivera! ii. I figur 3 finns bodediagram för öppna systemet G o för två olika system (överst), de återkopplade systemen G c (rad två), stegsvar för de återkopplade systemen (rad tre) och polerna för de återkopplade systemen (nederst). Para ihop rätt öppet system, slutet system, stegsvar och poler. Motivera! (5p) 2

5 2 Gm = 4.6 db (at 3.87 rad/sec), Pm = 87.9 deg (at.666 rad/sec) Gm =.62 db (at 3.87 rad/sec), Pm = 5.3 deg (at 3.52 rad/sec) (a) Öppet system A (b) Öppet system B (c) Återkopplat system a (d) Återkopplat system b Step Response Step Response Amplitude Amplitude Time (sec) Time (sec) (e) Stegsvar (f) Stegsvar 2 Pole Zero Map Pole Zero Map Imaginary Axis Imaginary Axis Real Axis (g) Poler I Real Axis (h) Poler II Figur 2: Figurer till 2(b)i. Det är samma frekvensskala i bodediagrammen och samma tidsskala i stegsvarsfigurerna.

6 2 Gm = 4.6 db (at 3.87 rad/sec), Pm = 87.9 deg (at.666 rad/sec) Gm = 24.7 db (at 3.87 rad/sec), Pm = 76 deg (at.459 rad/sec) (a) Öppet system A (b) Öppet system B (c) Återkopplat system a (d) Återkopplat system b Step Response Step Response Amplitude Amplitude Time (sec) Time (sec) (e) Stegsvar (f) Stegsvar 2 Pole Zero Map Pole Zero Map Imaginary Axis Imaginary Axis Real Axis (g) Poler I Real Axis (h) Poler II Figur 3: Figurer till 2(b)ii. Det är samma frekvensskala i bodediagrammen och samma tidsskala i stegsvarsfigurerna.

7 x x y y z z Figur 4: Travers till uppgift En schematisk skiss av en travers är given i figur 4. Gripdonet kan positioneras i tre dimensioner enligt figuren. Vi ska studera rörelsen i y-led. Den hängande delen av traversen är stelt kopplad, dvs positionen hos gripdonet och traversens rörliga del i y-led är samma. Vi antar att traversens last är given, dvs traversen transporterar alltid samma vikt. Vidare antar vi att traversen endast används i sitt arbetsområde, vilket ges av y 4m. I figur 5 finns bodediagrammet för överföringsfunktionen från pålagd kraft u(t) till traversens läge i y-led. (a) Antag att traversen styrs med en P-regulator u(t) = K(r(t) y(t)) För vilka K > är det återkopplade systemet stabilt? (b) För en viss P-regulator med K = fås ett stegsvar enligt figur 6. Antag att traversen startas från läge noll i y-led, dvs y() =, och att denna regulatorn används. Hur stort steg i referenssignalen kan tillåtas utan att traversen lämnar arbetsområdet? (p) (c) P-regulatorn i uppgift 3b ger ett mycket långsamt stegsvar. Linnea har som sommarjobb fått i uppgift att ta fram en regulator som gör systemet dubbelt så snabbt utan att överslängen ökar. Eftersom hon precis har läst reglerteknik prövar hon en lead-länk F (s) = K τ Ds + βτ D s + Ta fram en sådan lead-länk! (5p) 5

8 Gm = 8. db (at.2 rad/sec), Pm = 63.4 deg (at.473 rad/sec) Figur 5: Bodediagram för överföringsfunktionen från pålagd kraft till traversens läge i uppgift 3. 6

9 Step Response.4.2 System: gc Peak amplitude:.5 Overshoot (%): 4.67 At time (sec): 56 Amplitude Time (sec) Figur 6: Stegsvar för traversen i uppgift 3b. (d) Linneas chef har också läst reglerteknik, och han kommer ihåg att vid kompensering i frekvensplanet använde man F (s) = KF lead (s)f lag (s) där F lead (s) = τ Ds+ βτ D s+ och F lag(s) = τ Is+ τ I s+γ. Han tycker därför att Linnea ska lägga till en lag-länk i sin regulator. Linnea säger att det inte behövs. Vem av dem har rätt och varför? 4. Betrakta återigen traversen i figur 4. En förenklad tillsåndsmodell ges av [ ] [ ] ẋ(t) = α x(t) + u(t) m L m L y(t) = [ ] x(t) där y(t) = läge i y-led [m] u(t) = pålagd kraft i y-led (styrsignal) [N] α = friktionskoefficient i y-led [N s/m] m L = lastens massa inklusive gripdonet [kg] Antag att lasten och gripdonets massa är m L = kg och α = 2Ns/m. (a) Vilken fysikalisk betydelse har tillståndsvariablerna i modellen av traversen ovan? (p) 7

10 (b) Vilka poler och nollställen har systemet? Är tillståndsbeskrivningen minimal? (3p) (c) Kan det återkopplade systemets poler plaeras godtyckligt med tillståndsåterkoppling? (d) Ta fram en tillståndsåterkoppling så att det återkopplade systemet får poler i. 5. Ett system bestående av två tankar beskrivs av överföringsfunktionen G(s) = Det skall styras av PI-regulatorn (s + )(s + 2) F (s) = K( + T I s ) Man överväger två olika inställningar av I-delen: T I = 2 och T I = /4. Rita rotorter med avseende på K för de två fallen. Finns det någon viktig kvalitativ skillnad mellan dem? Räkna speciellt ut stabilitetsområdet för K (betrakta K ) i de två fallen. (p) 8