Försättsblad till skriftlig tentamen vid Linköpings universitet

Transkript

1 Försättsblad till skriftlig tentamen vid Linköpings universitet Datum för tentamen 23-- Sal () T,T2,KÅRA (Om tentan går i flera salar ska du bifoga ett försättsblad till varje sal och ringa in vilken sal som avses) Tid 8: 3: Kurskod TSRT9 Provkod TEN Kursnamn/benämning Reglerteknik Institution ISY Antal uppgifter som ingår 5 i tentamen Jour/kursansvarig Svante Gunnarsson (Ange vem som besöker salen) Telefon under skrivtiden , Besöker salen cirka kl. 9: och : Kursadministratör/ kontaktperson Ninna Stensgård, , ninna.stensgard@liu.se (Namn, telefonnummer, mejladress) Tillåtna hjälpmedel Övrigt Vilken typ av papper Rutigt ska användas, rutigt eller linjerat Antal exemplar i påsen. T. Glad & L. Ljung: Reglerteknik. Grundläggande teori 2. Tabeller och formelsamlingar, t.ex.: L. Råde & B. Westergren: Mathematics handbook, C. Nordling & J. Österman: Physics handbook, S. Söderkvist: Formler & tabeller 3. Miniräknare utan färdiga program Normala inläsningsanteckningar får finnas i böckerna.

2

3 TENTAMEN I TSRT9 REGLERTEKNIK SAL: T,T2,KÅRA TID: 23-- kl. 8: 3: KURS: TSRT9 Reglerteknik PROVKOD: TEN INSTITUTION: ISY ANTAL UPPGIFTER: 5 ANSVARIG LÄRARE: Svante Gunnarsson, tel , BESÖKER SALEN: cirka kl. 9: och : KURSADMINISTRATÖR: Ninna Stensgård, , ninna.stensgard@liu.se TILLÅTNA HJÄLPMEDEL:. T. Glad & L. Ljung: Reglerteknik. Grundläggande teori 2. Tabeller och formelsamlingar, t.ex.: L. Råde & B. Westergren: Mathematics handbook, C. Nordling & J. Österman: Physics handbook, S. Söderkvist: Formler & tabeller 3. Miniräknare utan färdiga program Normala inläsningsanteckningar får finnas i böckerna. LÖSNINGSFÖRSLAG: Finns på kursens websida efter skrivningens slut. VISNING av tentan äger rum 23--3, kl i Ljungeln, B- huset, ingång 27, A-korridoren till höger. PRELIMINÄRA BETYGSGRÄNSER: betyg 3 23 poäng betyg 4 33 poäng betyg 5 43 poäng OBS! Lösningar till samtliga uppgifter ska presenteras så att alla steg (utom triviala beräkningar) kan följas. Bristande motiveringar ger poängavdrag. Lycka till!

4 . (a) Betrakta ett stabilt system Y (s) = G(s)U(s) Två alternativa sätt att karakterisera systemets egenskaper är att studera dess bodediagram eller dess stegsvar. Beskriv med ord vilka samband som gäller (kvalitativt) mellan följande egenskaper: Bandbredden i bodediagrammet och stigtiden hos stegsvaret. Höjden på resonanstoppen i bodediagrammet och överslängen hos stegsvaret. Den statiska förstärkningen i bodediagrammet och stegsvarets slutvärde. (b) Ett system beskrivs av överföringsfunktionen Y (s) = k sτ + U(s) För att bestämma koefficienterna k och τ låter vi insignalen vara ett steg med amplituden ett. Detta ger stegsvaret i figuren nedan. Bestäm koefficienterna k och τ. Step Response Amplitude Time (sec.) Figur : Stegsvar till uppgift b. 2

5 (c) Systemet i uppgift b) sitter i serie med ett ytterligare system enligt figuren nedan. U k (sτ + ) Y c (sβ + ) Z Figur 2: Blockschema till uppgift c. För att bestämma koefficienterna c och β låter vi insignalen u vara en sinussignal med amplituden ett. I figuren nedan visas signalerna u, y och z. Bestäm koefficienterna c och β. (4p) u y z Figur 3: Signaler till uppgift c. Tidsskala sekunder. 3

6 2. Ett system beskrivs med modellen där Y (s) = G(s)U(s) G(s) = 5 (s + ) 2 Systemet styrs med återkoppling enligt figur 4 där F (s) = K τ D s + βτ D s + τis + τ I s + γ Figur 4: Reglersystem (a) I figur 5 visas stegsvaret för det återkopplade systemet för några olika kombinationer av koefficienter i återkopplingen. Kombinera stegsvaren med de olika alternativen på F (s)..65s + F (s) = s + 3s + 3s.65s + F (s) = s + 3s + 3s +..65s + F (s) = s + 3s + s +..65s + F (s) = s + 3s + 3s () (2) (3) (4) (4p) (b) Betrakta åter systemet ovan och antag att det styrs enligt figur 4 där i detta fall F (s) = K Bestäm K så att känslighetsfunktionens absolutbelopp vid ω = blir mindre än.. (c) Hur stor blir den relativa dämpningen för det återkopplade systemets poler för de K som uppfyller kravet i b)? 4

7 A B.5.5 Amplitude Amplitude Time (seconds) 5 5 Time (seconds) C D.5.5 Amplitude Amplitude Time (seconds) 5 5 Time (seconds) Figur 5: Stegsvar till uppgift 2a. 5

8 3. Ett dynamiskt system som består av en roterande massa och en elastisk axel kan beskrivas med differentialekvationen ÿ(t) + 2ζω ẏ(t) + ω 2 y(t) = ω 2 u(t) (a) Inför tillståndsvariablerna x (t) = y(t) och x 2 (t) = ẏ(t) och ställ upp modellen på tillståndsform. (2p) (b) För att, i ett konkret fall, bestämma koefficienterna ω och ζ görs ett stegsvarsexperiment. Resultatet av ett sådant experiment ges i figuren nedan. Bestäm koefficienterna ω och ζ..4 Step Response.2 Amplitude Time (sec.) (c) Antag att båda tillståndsvariablerna kan mätas, och att systemet styrs med tillståndsåterkoppling på formen u(t) = Lx(t) + r(t) Ange det återkopplade systemets karakteristiska ektvaion. (2p) (d) Bestäm koefficienterna i tillståndsåterkopplingen så att: Det återkopplade systemets poler ligger dubbelt så långt från origo som det öppna systemets poler. Den relativa dämpningen för det återkopplade systemets poler är ett. OBS! Uppgifterna c) och d) kan lösas även om inte uppgift b) lösts. 6

9 4. Ett positioneringssystem kan approximativt beskrivas med modellen Y (s) = A ms 2 + fs U(s) där koefficienten A anger relationen mellan insignalen (spänning eller ström) och applicerad kraft, m är massan och f är en friktionskoefficient Här antas att A =, f =. och m =.. Bodediagrammet för systemet ges i figur 6. Systemet skall styras med hjälp av återkoppling enligt figuren nedan, där v betecknar en störning. v r u y Σ F(s) Σ G(s) - Specifikationerna för reglersystemet är: ω c = rad/s. ϕ m 6 e(t). i stationärt tillstånd då v(t) är en stegstörning med amplitud ett och r(t) är noll. F () <. Högfrekvensförstärkningen hos F (s) får ej vara alltför hög, d v s F (iω) < måste uppfyllas då ω. (a) Bestäm en återkoppling som uppfyller specifikationerna ovan. (7p) (b) En, inte särskilt kompentent, konsult har tagit fram ett antal förslag på återkopplingar för att lösa problemet ovan. Tre av förslagen återfinns nedan. Ange för vart och ett av förslagen minst ett skäl till varför de inte uppfyller kraven ovan. F (s) = 4.5s +.s + s + 2 s F 2 (s) = (.6s + ) F 3 (s) = 4.5s +.s + s + 2 s +. s + 2 s +.5 7

10 5. Betrakta åter systemet i uppgift 4, och antag att friktionens inverkan försummas, d v s att systemet beskrivs approximativt med modellen Y (s) =.s 2 U(s) Antag att systemet styrs med PD-återkopplingen U(s) = (K P + K D s)(r(s) Y (s)) med koefficientvärderna K P = och K D =.5. Amplitudkurvan för det återkopplade systemets överföringsfunktion ges då av figur 7. Antag nu att man vill undersöka friktionens inverkan på stabiliteten hos reglersystemet då PD-återkopplingen ovan används på det verkliga systemet, vilket ges av där Y (s) = G (s)u(s) G (s) = och f > är friktionskoefficienten..s 2 + fs (a) Avgör, t ex med hjälp av rotort, för vilka värden på f som det återkopplade systemet är stabilt då återkopplingen ovan används på systemet G (s)? (4p) (b) Ange det relativa modellfelet för modell och verkligt system enligt ovan. (2p) (c) Kan man med robusthetskriteriet garantera att de återkopplade systemet är stabilt för alla värden på f? Om ej, ange ett värde på f för vilket stabilitet ej kan garanteras. (4p) 8

11 Bode Diagram Magnitude (abs) 2 2 Frequency (rad/sec) Bode Diagram 9 2 Phase (deg) Frequency (rad/sec) Figur 6: Bodediagram till uppgift 4. 9

12 Bode Diagram Magnitude (abs) 2 Frequency (rad/sec) Figur 7: Bodediagram till uppgift 5.