Försättsblad till skriftlig tentamen vid Linköpings universitet

Transkript

1 Försättsblad till skriftlig tentamen vid Linköpings universitet Datum för tentamen Sal (1) Egypten (Om tentan går i flera salar ska du bifoga ett försättsblad till varje sal och ringa in vilken sal som avses) Tid 14:00 18:00 Kurskod TSRT09 Provkod DAT1 Kursnamn/benämning Reglerteori Institution ISY Antal uppgifter som ingår 5 i tentamen Jour/kursansvarig Daniel Axehill (Ange vem som besöker salen) Telefon under skrivtiden , Besöker salen cirka kl. 15:00 och 17:00 Kursadministratör/ kontaktperson Ninna Stensgård, , ninna.stensgard@liu.se (Namn, telefonnummer, mejladress) Tillåtna hjälpmedel 1. T. Glad & L. Ljung: Reglerteori. Flervariabla och olinjära metoder 2. T. Glad & L. Ljung: Reglerteknik. Grundläggande teori 3. Tabeller, t.ex.: L. Råde & B. Westergren: Mathematics handbook C. Nordling & J. Österman: Physics handbook S. Söderkvist: Formler & tabeller 4. Miniräknare Övrigt Vilken typ av papper Rutigt ska användas, rutigt eller linjerat Antal exemplar i påsen

2

3 SAL: Egypten TENTAMEN I TSRT09 REGLERTEORI TID: kl. 14:00 18:00 KURS: TSRT09 Reglerteori PROVKOD: DAT1 INSTITUTION: ISY ANTAL UPPGIFTER: 5 ANSVARIG LÄRARE: Daniel Axehill, tel , BESÖKER SALEN: cirka kl. 15:00 och 17:00 KURSADMINISTRATÖR: Ninna Stensgård, , ninna.stensgard@liu.se TILLÅTNA HJÄLPMEDEL: 1. T. Glad & L. Ljung: Reglerteori. Flervariabla och olinjära metoder 2. T. Glad & L. Ljung: Reglerteknik. Grundläggande teori 3. Tabeller, t.ex.: L. Råde & B. Westergren: Mathematics handbook C. Nordling & J. Österman: Physics handbook S. Söderkvist: Formler & tabeller 4. Miniräknare LÖSNINGSFÖRSLAG: Finns på kursens websida efter skrivningens slut. VISNING av tentan äger rum , kl i examinators tjänsterum 2A:581, B-huset, ingång 25, A-korridoren till höger. PRELIMINÄRA BETYGSGRÄNSER: betyg 3 23 poäng betyg 4 33 poäng betyg 5 43 poäng OBS! Lösningar till samtliga uppgifter ska presenteras så att alla steg (utom triviala beräkningar) kan följas. All egen skriven kod som används ska skrivas ut och lämnas in med tentan. Bristande motiveringar ger poängavdrag. Lycka till!

4 UTSKRIFTSTIPS (LINUX): Utskrifter av vanliga filer kan skickas till en viss skrivare genom att man skriver kommandon som till exempel lp -d printername file.pdf i ett terminalfönster. (Byt ut printername mot den aktuella skrivarens namn.) Om man väljer File/Print i ett simulinkschema kan man ange en viss skrivare genom att lägga till -Pprintername i rutan vid Device option. AID ska finnas på samtliga inlämnade blad: Man kan lägga in text i matlabplottar med kommandona title och gtext och i scopeplottar i Simulink genom att högerklicka i dem och välja Axes properties. I simulinkscheman kan man dubbelklicka på något blankt ställe och sedan skriva in text. 2

5 1. (a) Vilken RGA har systemet [ 2 s+5 1 s s+4 ] vid frekvensen ω = 0? Vilken slutsats kan man dra om reglerbarheten? (b) Betrakta systemet ẋ = 2x + v där v är vitt enhetsbrus med medelvärdet noll. Vilken varians får x i stationaritet? (c) Ett återkopplat system har känslighetsfunktionen S = [ s 2 +6s+5 d s 1 d ] 2s 4 d s 2 +4s+4 d där d = s 2 + 7s + 8. Vilken är den komplementära känslighetsfunktionen? (d) Betrakta systemet y = Gu + G d d där u är styrsignal, d störning och y utsignal. Vidare är G(s) = 2 s + 1, G d(s) = 3 s + 5 Styrsignalamplituden är begränsad till 4. Störningen är av formen d(t) = A sin 2t Vilken är den största amplitud A för vilken det är möjligt att eliminera störningen helt (dvs åstadkomma y = 0 med lämpligt val av u)? (e) För vilka värden på a, b, c och d är systemet [ ] a b ẋ = x + c d [ ] 1 2 u 1 1 styrbart? 3

6 2. Betrakta följande servosystem r = 0 e ũ u 1 y Σ K(1 + 1 TIs + T Ds) s 2 PID-regulator Förstärkare Motor 1 PID-parametrarna är valda som K = 2, T I = 2 och T D = 0.5. (a) Inställningen av regulatorn gjordes under antagandet att förstärkaren har överföringsfunktionen 1, d.v.s. u = ũ. Visa att under det här antagandet är det slutna systemet asymptotiskt stabilt. (3p) (b) Den verkliga förstärkaren kan inte släppa igenom signaler med en amplitud större än 1. Den kan därför modelleras som en saturering enl. u ũ 1 Beräkna med hjälp av beskrivande funktion amplitud och frekvens för eventuella självsvängningar och ange deras amplitudstabilitet när denna olinjäritet ingår i slutna systemet. Tolka resultatet praktiskt. (7p) 4

7 3. För att minska bränsleförbrukningen hos lastbilar undersöks möjligheten att köra i kolonn med mycket korta avstånd mellan fordonen. Detta kallas för platooning. För att detta ska vara möjligt att göra på ett trafiksäkert sätt måste ett reglersystem användas för att styra det longitudinella avståndet mellan fordonen. I den här uppgiften antas att fordonens hastighet samt avstånden mellan närliggande fordon mäts. Fokus i uppgiften är på sund modellering och estimering av tillstånden, medan själva regleringen inte betraktas här. Den longitudinella dynamiska modellen för fordon i i kolonnen kan förenklat tänkas ges av m i v i = k i v i + F i (1) där m i är fordonets massa, v i är fordon i:s hastighet, F i är motor- och bromskraft (F i pos. resp. neg.) som verkar på fordon i och k i är koefficienten härrörande från luftmotståndet. För att göra det enkelt för oss vid denna analys antar vi att m i = k i = 1, i. (a) Ställ upp en observerbar tillståndsmodell på formen ẋ = Ax + Bu y = Cx. (2) för ett system bestående av en kolonn med tre fordon (i = 1,2,3) där indexen anger fordonens ordning i kolonnen. Systemets insignaler u är krafterna F 1, F 2 och F 3. Ut/mätsignalerna y hos systemet är hastigheterna hos de tre fordonen samt de två avstånden mellan fordon 1 och 2 resp. mellan 2 och 3. (5p) (b) Modellen ovan innehöll inte några störningar. I verkligheten misstänks varje lastbil vara utsatt för en okänd additiv kraft med frekvensen 5 Hz. Dessa krafter antas för de olika lastbilarna vara okorrelerade. Vidare har det visat sig att samtliga mätningar är påverkade av störningar av typen vitt brus. Också dessa bruskällor är okorrelerade. Utöka tillståndsmodellen från a-uppgiften med dessa störningar och skriv den på formen x = Ā x + Bu + Nv 1 y = C x + v 2. (3) där x kan ha högre dimension än x i a-uppgiften och v 1 och v 2 är vita brus med lämplig dimension. (5p) 5

8 4. När man ska ge sig ut på större vatten med sin fritidsbåt kan det vara intressant att känna till hur den beter sig om den skulle kapsejsa, d.v.s. slå runt. Detta kan t.ex. hända om den träffas av en större brytande våg. För de flesta segelbåtar med köl kommer båten inom ett stort spann av rollvinklar att vända sig rätt igen p.g.a. kölens massa och skrovets utformning. Detta vinkelspann kallas för range of stability (ROS). Befinner sig roll-vinkeln utanför detta vinkelspann kommer båten istället att lägga sig upp-och-ner. Se figur 1. Detta fenomen ska du nu undersöka med hjälp av olinjär analys av en segelbåts rollrörelse. Rollrörelsen med rollvinkel Φ och rollvinkelhastighet ω kan förenklat tänkas beskrivas på tillståndsform med två olika dynamiker. En dynamik då båten befinner sig inom range of stability Φ = ω (4a) ω = ( m kd k + m m h m ) g sin(φ) η n ω m tot gf n sin(φ) (4b) J x J x J x då 5π 6 Φ + 2πn 5π 6 för n =..., 2, 1, 0, 1, 2,..., och en då båten befinner sig utanför range of stability Φ = ω (5a) ω = ( m kd k + m m h m ) g sin(φ) η i ω + m tot gf i sin(φ) (5b) J x J x J x annars. Låt konstanterna anta värdena m k = 5000, d k = 3, η n = 10 4, η i = 10 6, m m = 200, h m = 10, m tot = 9200, f n = 1, f i = 2.5, J x = och g = (a) Vilka jämviktspunkter finns och av vilken typ är de (entangentnod, tvåtangentnod, sadelpunkt,...)? (4p) (b) Skissa systemets fasplan. Ange tydligt de eventuella regioner med olika dynamik som det består av. (4p) (c) Antag nu att båtens rollvinkel befinner sig utanför range of stability. Kan en person som väger 100 kg som befinner sig på relingen 2 m ut från båtens centrumlinje klara att räta upp båten från vila oavsett vilken rollvinkel båten har i området utanför range of stability? Motivera noggrant i termer av jämviktpunkter. Tips: Vi kan modellera personen på relingen genom att addera J x till ekvation (5b) ovan. 6

9 Φ, ω ROS ROS Figur 1: En segelbåts rollrörelse sedd bakifrån med range of stability (ROS) utritad som 5π 6 Φ 5π 6. 7

10 5. Du har fått i uppgift att designa ett reglersystem för styrning av läsarmens vinkel i en hårddisk. Överföringsfunktionen för systemet från inspänning till motormoment ges av G 1 (s) = 1000 s (6) Överföringsfunktionen från motormoment till läsarmens vinkelhastighet ges av G 2 (s) = (7) s Slutligen fås armens vinkel som en ren integration av hastigheten. (a) Skriv systemet från inspänning till läsarmens vinkel på tillståndsform med tillstånden motormoment x 1, armens vinkelhastighet x 2 och armens vinkel x 3. (b) Designa en LQ-regulator (vi antar direkt mätta tillstånd, ingen observatör) för systemet där det slutna systemet uppfyller följande krav om referenssignalen till det slutna systemet är ett enhetssteg Stigtid < 1 ms. Vinkelhastigheten hos armen får inte överstiga Beloppet av inspänningen får inte överstiga 400. Det slutna systemets statiska förstärkning ska vara 1. Redovisa din lösning genom att lämna in all den kod du använt för att lösa uppgiften samt plottar som visar att kraven är uppfyllda. (4p) (c) Antag att förutsättningarna i sats 9.1 i boken är uppfyllda. Illustrera i det komplexa talplanet ett område där man med säkerhet vet att polerna för det slutna systemet vid LQ-reglering inte kan hamna oavsett val av straffmatriser (principiellt, inga räkningar för just det här systemet behöver göras). (d) Förstärkningen i det verkliga systemet som modellerats som G 2 ovan är inte helt känd. Man har fått indikationer på att den kan vara så hög som 10 5 istället. Vilka konsekvenser kan man i så fall förvänta sig för det slutna systemets stabilitet med regulatorn du designat ovan? 8