Reglerteori, TSRT09. Föreläsning 10: Fasplan. Torkel Glad. Reglerteknik, ISY, Linköpings Universitet. Torkel Glad Reglerteori 2015, Föreläsning 10

Transkript

1 Reglerteori, TSRT09 Föreläsning 10: Fasplan Reglerteknik, ISY, Linköpings Universitet

2 Sammanfattning av föreläsning 9. Nyquistkriteriet 2(25) Im G(s) -1/k Re -k Stabilt om G inte omsluter 1/k. G(i w)

3 Sammanfattning av föreläsning 9. Cirkelkriteriet 3(25) Linjärt system G(s) återkopplat med en statisk olinjäritet f (x) f (0) = 0, k 1 f (x) k 2 x Stabilt om nyquistkurvan till G(iω) inte omcirklar eller går in i cirkeln. Im 1 k 1 1 k 2 Re G(iω)

4 Sammanfattning av föreläsning 9, forts. 4(25) Beskrivande funktion: självsvängningar i denna struktur: G f f representeras av amplitudberoende förstärkning Y f (C), C amplitud. Självsvängningsvillkor: Y f (C)G(iω) = 1. Grafisk representation: Skärning mellan Nyquistkurvan G(iω) och 1/Y f (C). Stabilitet hos svängningen. Metoden är bara approximativ.

5 Amplitudstabilitet hos svängningar 5(25) Indikation på stabil (vänster) respektive instabil (höger) självsvängning. Im Im G(iω) G(iω) 1 Y f (C) Re 1 Y f (C) Re Rör sig 1/Y f (C) mot eller bort från skärningspunkten med G(iω)?

6 Amplitudstabilitet forts. 6(25) Indikation på utdöende (vänster) respektive obegränsat växande (höger) svängningar. Im Im G(iω) G(iω) 1 Y f (C) Re 1 Y f (C) Re 1/Y f (C) skär aldrig G(iω). Omcirklas 1/Y f (C), eller inte?

7 Föreläsning 10 7(25) Fasplan. Att approximativt kunna skaffa sig en uppfattning om ett olinjärt systems lösningar ( banor ).

8 Fasplan 8(25) Fasrum: gammalt namn på tillståndsrum. Fasplan: tvådimensionellt tillståndsrum. Fasplan är lätta att illustrera grafiskt. En hel del kan generaliseras till högre dimensioner.

9 Linjära system. Egenvektorer 9(25) x 2 egenvektor x 1 ẋ = Ax, x = e λt v Av = λv är en lösning

10 Klassificering av jämviktspunkter 10(25) Beroende på om egenvärdena är reella eller komplexa, samt realdelens tecken, fås principiellt olika beteenden.

11 Tvåtangentnod 11(25) Stabil (vänster) och instabil (höger) tvåtangentnod: Stabil: Två reella olika negativa egenvärden. Instabil: Två reella olika positiva egenvärden. Principiella utseendet bestäms av egenvektorerna och relationen mellan beloppen av egenvärdena. Hastigheten bestäms av beloppet av egenvärdet.

12 Tvåtangentnod, forts. 12(25) 10 t=10s x Snabb egenvektor : λ 1 = 2.4 Långsam egenvektor : λ 2 = x 1

13 Sadelpunkt 13(25) Två reella egenvärden med olika tecken. Principiella utseendet och hastigheten enl. tidigare. Startar man precis rätt slutar man i origo, annars...

14 Sadelpunkt, forts. 14(25) 50 t=10s x Instabil egenvektor : λ 1 = 0.18 Stabil egenvektor : λ 2 = x 1

15 Entangentnod och stjärnnod 15(25) Sammanfallande egenvärden λ = λ 1 = λ 2. Stabil entangentnod till vänster (instabil: byt riktning). Det gick inte att hitta 2 st linjärt oberoende egenvektorer. Lösningen byter struktur. Stabil stjärnnod till höger (instabil: byt riktning). Man kan välja 2 st linjärt oberoende egenvektorer.

16 Fokus och centrum 16(25) Komplexkonjugerade egenvärden σ ± iω. [ ] σ ω ẋ = x ω σ Om systemet inte redan är på denna form kan man göra ett variabelbyte x = T x för att komma dit.

17 Fokus och centrum 16(25) Utför variabelbyte x 1 = r cos φ och x 2 = r sin φ: ṙ = σr φ = ω Lösningen blir spiraler eftersom φ växer (ω > 0 imaginärdelen). Avståndet till origo avtar om σ < 0 och ökar om σ > 0.

18 Fokus och centrum 16(25) Om σ = 0 så är avståndet konstant till origo, resultatet blir alltså cirklar kring origo.

19 Fokus och centrum 16(25) Vi har alltså två fall: Stabilt fokus till vänster (instabilt fokus: byt riktning på pilarna). Centrum till höger.

20 Fokus och centrum, forts. 17(25) t=10s 10 5 x x 1

21 Samband linjärt olinjärt: nära jämviktspunkt 18(25) Om det linjära systemet ẋ = Ax har en jämviktspunkt av typen en/tvåtangentnod, fokus eller sadelpunkt för x = 0 så har det olinjära systemet ẋ = Ax + g(x), g(x) / x 0, x 0 samma kvalitativa uppförande nära origo (så snart lösningen befinner sig tillräckligt nära ).

22 Samband linjärt olinjärt, forts. 19(25) På samma sätt, om det linjäriserade systemets jämviktspunkt är ett centrum så kan det olinjära beteendet både vara av typen (instab./stab.) fokus som centrum. en stjärnnod, kan man i princip inte säga något om det olinjära systemets fasplan nära jämviktspunkten.

23 Fasplanet långt från jämviktspunkter 20(25) Givet ett olinjärt andra ordningens system ẋ 1 = f 1 (x 1, x 2 ) ẋ 2 = f 2 (x 1, x 2 ) Bilda derivatan dx 2 = dx 2 dt = ẋ2 = f 2(x 1, x 2 ) dx 1 dt dx 1 ẋ 1 f 1 (x 1, x 2 ) Detta är alltså lutningen för x 2 som en funktion av x 1, oberoende av tiden t. Speciellt är banan vågrät för de (x 1, x 2 ) där f 2 (x 1, x 2 ) = 0 och lodrät där f 1 (x 1, x 2 ) = 0. Beteendet långt ut i fasplanet kan fås från gränsvärdena f 2 (x 1, x 2 ) lim x 1 ± f 1 (x 1, x 2 ), lim f 2 (x 1, x 2 ) x 2 ± f 1 (x 1, x 2 )

24 Två exempel med tre tillståndsvariabler 21(25) Exempel på generalisering till högre dimension: Stabilt nodfokus (vänster). Fokus + ett reellt egenvärde. Stabil tretangentnod (höger). Generalisering av tvåtangentnod, nu med tre reella egenvärden. Och alla kombinationer av dessa

25 Fasplan för generator 22(25) Jämviktspunkten i origo är ett stabilt fokus. Jämviktspunkterna i (±π, 0) är sadelpunkter (röda linjerna visar egenvektorerna). Jmf. utseendet hos Lyapunovfunktionen på tidigare föreläsning!

26 Instabilitet hos järnvägsfordon 23(25) Tvärsrörelsen hos lok och järnvägsvagnar blir ibland instabil: (Källa: La vie du rail)

27 Instabilitet hos järnvägsfordon 23(25) Tvärsrörelsen hos lok och järnvägsvagnar blir ibland instabil: (Källa: Wikipedia)

28 Hjulaxelns fasplan 24(25) En förenklad linjäriserad modell för en hjulaxel till en järnvägsvagn är: [ ] [ d λ αv = 2 ] [ ] ɛ 1 λ dt θ β αv 2 (1) θ där λ är förskjutningen i sidled och θ är axelns vridningsvinkel i horisontalplanet. α, β och ɛ är positiva konstanter. V är hastigheten i rälsens riktning. Vid måttliga hastigheter är diagonalelementen små så att egenvärdena är nästan rent imaginära med imaginärdelar ± β. Realdelarna har samma tecken som 2αV 2 ɛ. Vid låga hastigheter är fasplanet alltså ett stabilt fokus, över gränshastigheten V = 0.5ɛ/α ett instabilt fokus.

29 Hjulaxeldynamik, forts. 25(25) Att titta på en ensam axel är naturligtvis mycket förenklat, men en början. Sedan måste man ta hänsyn till att axlarna sitter i boggier, som bär upp vagnarna, som är hopkopplade till tågsätt. Även i mer realistiska fall är slutsatsen densamma: det finns en kritisk hastighet och över den är rörelsen instabil. Utvecklingen mot höghastighetståg har bl.a. möjliggjorts av att man teoretisk förstår och kan räkna på instabilitetsfenomenen. Man tittar numera på möjligheten att styra hjulaxlarna aktivt i ett återkopplat system.