Exempel: DC-servo med styrsignalmättning DEL III: OLINJÄR REGLERTEORI. DC-servo forts.: Rampsvar och sinussvar

Transkript

1 Reglerteori 6, Föreläsning 8 Daniel Axehill / 6 Sammanfattning av föreläsning 7 TSRT9 Reglerteori Föreläsning 8: Olinjäriteter och stabilitet Daniel Axehill Reglerteknik, ISY, Linköpings Universitet H -ochh - syntes. Gör W u G wu, W S S, W T T små. H : Minimera ( W S S + W T T + W ug wu ) dω. H : Sätt absolut gräns på W S S, W T T, W u G wu för alla ω. Leder till algebraiska Riccatiekvationer. Reglerteori 6, Föreläsning 8 Daniel Axehill / 6 Sammanf. fö. 7: För- och nackdelar med H, H Reglerteori 6, Föreläsning 8 Daniel Axehill 3 / 6 Sammanf. fö. 7: Linjär flervariabel regulatorsyntes (+) Hanterar direkt kraven på S, T, G wu. (+) Talar om när krav är omöjliga (via γ). (+) Lätt att väga olika krav (i frekvensplanet) mot varandra. (-) Kan vara svårt att detaljstyra uppförandet i tidsplanet. (-) Ger ofta komplicerade regulatorer (antalet regulatortillstånd = sammanlagda antalet i G, W u, W S, W T ). Sammanfattning Gör RGA-analys. Använd enkla enkretsregulatorer av typ PID om RGAn visar att det är möjligt. Använd annars linjärkvadratisk eller H /H -syntes.

2 Reglerteori 6, Föreläsning 8 Daniel Axehill / 6 DEL III: OLINJÄR REGLERTEORI Reglerteori 6, Föreläsning 8 Daniel Axehill 5 / 6 Exempel: DC-servo med styrsignalmättning Föreläsning 8: Olinjäriteter och stabilitet Föreläsning 9: Cirkelkriteriet och beskrivande funktion Föreläsning : Fasplan Föreläsning : Regulatorsyntes och exakt linjärisering r ũ u y Σ K(s +) s + DC-motor styrd med en lead-lag-regulator. Man vill styra vinkeln y hos motorn. s(s +) Styrspänningen u från regulatorn är begränsad: mättning. Mättningen gör systemet olinjärt. Reglerteori 6, Föreläsning 8 Daniel Axehill 6 / 6 Exempel: DC-servo med styrsignalmättning, forts. Reglerteori 6, Föreläsning 8 Daniel Axehill 7 / 6 DC-servo forts.: Rampsvar och sinussvar DC-servo med vinkel-referenssteg av olika amplitud. blått: stegamplitud rött: stegamplitud 5 (skalat med /5) Stegsvaret är alltså amplitudberoende. Om systemet varit linjärt hade kurvorna sammanfallit Rött: referenssignal. Blått: utsignal Rampsvar: Ungefär som linjärt Sinussvar: Ungefär som linjärt.

3 Reglerteori 6, Föreläsning 8 Daniel Axehill 8 / 6 DC-servo forts.: Rampsvar + sinussvar Rött: r. Blått: y. Grönt: y då r är en ren ramp (som föregående sida). Reglerteori 6, Föreläsning 8 Daniel Axehill 8 / 6 DC-servo forts.: Rampsvar + sinussvar Rött: r. Blått: y. Grönt: y då r är en ren ramp (som föregående sida) Här händer något: sinusen märks inte och rampfelet har ökat Strider mot superpositionsprincipen! Reglerteori 6, Föreläsning 8 Daniel Axehill 9 / 6 DC-servo forts.: Styrsignal före och efter mättning Rött: före mättning (ũ). Blått: efter mättning (u). Reglerteori 6, Föreläsning 8 Daniel Axehill / 6 Slutsatser 3 Superpositionsprincipen gäller inte. Speciellt: Stegsvarets kvalitativa utseende är amplitudberoende. Inverkan av olika insignaler är inte additiv. 6 8

4 Reglerteori 6, Föreläsning 8 Daniel Axehill / 6 Viktigaste (?) olinjära systemet Reglerteori 6, Föreläsning 8 Daniel Axehill / 6 Generator ansluten till elnätet ẋ = x ẋ = ax + b sin(θ ext x ) Förenklad modell av generator (vattenkraft, kärnkraft, kolkraft, vindkraft,...). Modell av faslåsningskrets (frekvens- och fasdemodulering, generering av stabiliserade frekvenser,...). x vinkel(fas)läge, x vinkelhastighet, θ ext extern vinkel/fas. J θ = M d f θ + K sin(ω t θ) M d : Moment från propellern. f θ: Dämpning (friktion etc.). K sin(ω t θ): Interaktion med elnätet. Resten av elnätet snurrar med vinkelhastigheten ω. Tecknet på θ ω t bestämmer om generatorn ger eller tar effekt från nätet. Bildkälla: Vattenfall Reglerteori 6, Föreläsning 8 Daniel Axehill / 6 Generator ansluten till elnätet Reglerteori 6, Föreläsning 8 Daniel Axehill 3 / 6 Stabilitet Kan skrivas på tillståndsform: ẋ = x ẋ = M d fω f J J x K J sin(x ) u ax b sin(x ) där x är fasfelet mot nätet. x är derivatan av fasfelet. Bildkälla: Vattenfall Stabilitet: Definition Lyapunovfunktioner Stabilitet via linjärisering Lågförstärkningssatsen Cirkelkriteriet

5 Reglerteori 6, Föreläsning 8 Daniel Axehill / 6 Jämviktspunkt Reglerteori 6, Föreläsning 8 Daniel Axehill 5 / 6 Jämviktspunkt: exempel Ett system där dynamiken ges av ẋ(t) =f(x(t),u(t)) sägs ha en jämviktspunkt i x om f(x,u )= x, =+πn, u = x för en insignal u. D.v.s. startas systemet med x() = x gäller att x(t) =x, t. Reglerteori 6, Föreläsning 8 Daniel Axehill 5 / 6 Jämviktspunkt: exempel Reglerteori 6, Föreläsning 8 Daniel Axehill 6 / 6 Linjärisering ẋ = f(x, u) y = h(x) Stationär punkt, (jämviktspunkt, singulär punkt) x, u : x, = π +πn, u = x (x, u konstanter) Linjärisering: f(x,u )=, y = h(x ) d dt (x x )=A(x x )+B(u u ), y y = C(x x ) A = f x (x,u ), B = f u (x,u ), C = h x (x )

6 Reglerteori 6, Föreläsning 8 Daniel Axehill 7 / 6 Stabilitet Definition: En jämviktspunkt x är stabil om det för varje ɛ> finns ett δ> sådant att x(t) x <ɛ för alla t> så snart x() x <δ. Reglerteori 6, Föreläsning 8 Daniel Axehill 7 / 6 Stabilitet D.v.s. givet ett krav att lösningen måste hålla sig kvar inom avståndet ɛ från jämviktspunkten x för all framtid ska vi alltid kunna hitta en boll centrerad i x med radien δ sådan att kravet är uppfyllt för alla startpunkter i den här bollen. x x()-x x() x(t)-x x(t) Reglerteori 6, Föreläsning 8 Daniel Axehill 8 / 6 Asymptotisk stabilitet Reglerteori 6, Föreläsning 8 Daniel Axehill 8 / 6 Asymptotisk stabilitet Definition: En jämviktspunkt x är asymptotiskt stabil om den är stabil och det dessutom finns ett δ> sådant att D.v.s. startas systemet tillräckligt nära x kommer systemet till slut ända in till x när t. x(t) x, t x x()-x x(t)-x x() så snart x() x <δ. x(t)

7 Reglerteori 6, Föreläsning 8 Daniel Axehill 9 / 6 Global asymptotisk stabilitet Reglerteori 6, Föreläsning 8 Daniel Axehill / 6 Lyapunovfunktioner: avstånd till målet Definition: En jämviktspunkt x är globalt asymptotiskt stabil om δ ovan kan tas godtyckligt stort. D.v.s. oavsett från var systemet startas kommer systemet till slut ända in till x när t. J.m.f. linjära asymptotiskt stabila system. Låt en funktion V (x) beteckna ett (generaliserat) avstånd till en jämviktspunkt x. Avståndet ska vara nollskilt tills dess att systemet har kommit till vila på rätt ställe : V (x )=, V(x) >,x x Det ska synas om systemet sticker iväg : V (x) x Avståndet ska avta hela tiden tills dess att slutdestinationen är nådd: d dt V (x(t)) = V x(x(t))ẋ(t) =V x (x(t))f(x(t)) <,x(t) x Lyapunovfunktionen kan ibland ges en energitolkning, d.v.s. systemets totalenergi ska minska för att få stabilitet. Reglerteori 6, Föreläsning 8 Daniel Axehill / 6 Lyapunovfunktioner Reglerteori 6, Föreläsning 8 Daniel Axehill / 6 Lyapunovfunktion för generator V = x +( cos x ) Medför V (x )=, V(x) >,x x V (x) x V x (x)f(x) <,x x ẋ = f(x) 3 har en globalt asymptotiskt stabil lösning x(t) =x. 8 6 Det räcker att V x (x)f(x) och ingen lösning (utom x(t) =x o ) förlöper helt i det område där V x (x)f(x) =. V Om V har ovanstående egenskaper bara i en omgivning av x så gäller lokal asymptotisk stabilitet x x

8 Reglerteori 6, Föreläsning 8 Daniel Axehill 3 / 6 Lemma. Reglerteori 6, Föreläsning 8 Daniel Axehill / 6 Linjärisering och stabilitet Lemma. Antag att systemet ẋ = Ax är asymptotiskt stabilt, d.v.s. att alla egenvärden till matrisen A ligger strikt i vänster halvplan. Då finns det till varje positivt semidefinit matris Q en positivt semidefinit matris P som löser ekvationen A T P + PA = Q () Om Q är positivt definit så är P positivt definit. Omvänt, finns det positivt semidefinita matriser P och Q så att () gäller och att paret (A, Q) är detekterbart, så har A:s alla egenvärden negativt realdel. Sats: Om ett linjäriserat system är asymptotiskt stabilt så är också det ursprungliga systemet asymptotiskt stabilt i ett område kring linjäriseringspunkten. Motivering: Skriv systemet som ẋ = Ax + g(x) där g innehåller kvadratiska och högre ordningens termer. Konstruera en Lyapunovfunktion V = x T Px för ẋ = Ax genom att lösa A T P + PA = Q, Q >, P > Detta V är Lyapunovfunktion även då termen g tas med om x är tillräckligt litet. Reglerteori 6, Föreläsning 8 Daniel Axehill 5 / 6 Cirkelkriteriet Linjärt system G(s) återkopplat med en statisk olinjäritet f(x) f() =, k f(x) x k Stabilt om nyquistkurvan till G(iω) inte omcirklar eller går in i cirkeln. Im Reglerteori 6, Föreläsning 8 Daniel Axehill 6 / 6 Olinjär reglering......från Stanford. k k Re G(iω)

9 Daniel Axehill Reglerteori 6, Föreläsning 8 (ver..5)