TSRT09 Reglerteori. Sammanfattning av Föreläsning 3. Sammanfattning av Föreläsning 3, forts. Sammanfattning av Föreläsning 3, forts.

Transkript

1 Reglerteori 2016, Föreläsning 4 Daniel Axehill 1 / 18 Sammanfattning av Föreläsning 3 Kovariansfunktion: TSRT09 Reglerteori Föreläsning 4: Kalmanfiltret & det slutna systemet Daniel Axehill Reglerteknik, ISY, Linköpings Universitet Spektrum: R u (τ) =Eu(t)u(t τ) T Φ u (ω) = Storleksmått (kovariansmatris): R u = R u (0) = 1 2π R u (τ)e iωτ dτ Φ u (ω) dω Vitt brus: Φ u (ω) =konstant Reglerteori 2016, Föreläsning 4 Daniel Axehill 2 / 18 Sammanfattning av Föreläsning 3, forts. Reglerteori 2016, Föreläsning 4 Daniel Axehill 3 / 18 Sammanfattning av Föreläsning 3, forts. Spektralfaktorisering: Varje spektrum kan tänkas genererat genom att vitt brus passerar ett linjärt system. y = Gu Φ y (ω) =G(iω)Φ u (ω)g T ( iω) Vitt brus in på tillståndsform: ẋ = Ax + Bv v vitt brus med intensitet/spektraltäthet R. Kovariansmatrisen Π x = R x (0) ges av Lyapunovs ekvation: AΠ x +Π x A T + BRB T =0

2 Reglerteori 2016, Föreläsning 4 Daniel Axehill 4 / 18 Sammanfattning av Föreläsning 3, forts. Reglerteori 2016, Föreläsning 4 Daniel Axehill 5 / 18 När kan den algebraiska Riccatiekvationen lösas? Kalmanfilter: Optimal observatör för ẋ = Ax + Bu + Nv 1, y = Cx + v 2 v 1, v 2 okorrelerade vita brus med spektraltätheterna R 1, R 2. Optimal observatörsförstärkning: K = PC T R 1 2 där P ges av den algebraiska Riccatiekvationen: AP + PA T PC T R 1 2 CP + NR 1N T =0 P är den resulterande kovariansen för skattningsfelet. Om R 2 > 0, R 1 0 och 1. paret A, C detekterbart (dvs den instabila delen av systemet observerbar) 2. paret A, NR 1 N T stabiliserbart (den instabila delen styrbar från bruset ) så finns en lösning P 0 till den algebraiska Riccatiekvationen så att alla egenvärden till A KC har realdelar < 0. Villkor 1 är precis kravet på att över huvud taget kunna stabilisera observatören. Villkor 2 är ett mera matematiskt-tekniskt krav. Reglerteori 2016, Föreläsning 4 Daniel Axehill 6 / 18 Kommentar till Kalmanfiltret Reglerteori 2016, Föreläsning 4 Daniel Axehill 7 / 18 Sensorfusion Man kan visa att Kalmanfiltret är den observatör som minimerar kovariansmatrisen P för skattningsfelet x. Se appendix 5.1. Man kan visa att Kalmanfiltret minimerar medelkvadratfelet bland alla linjära kausala filter. Om bruset är gaussiskt (normalprocesser) är Kalmanfiltret optimalt även jämfört med alla olinjära filter. Skattningen av x(t) blir det betingade väntevärdet, givet alla mätningar fram till tiden t. Ofta måste man väga samman signaler från olika mätgivare som har olika noggrannhet. För navigationssystem i fartyg, flygplan, bilar,... väger man samman Lägesinformation: GPS, radiofyrar, optisk pejling,... Hastighetsinformation: dopplerradar, hjulrotationshastighet, gyron (vinkelhastighet),... Accelerationsmätning: accelerometrar, En viktig poäng med denna sammanvägning är att en sensors dåliga sidor kan hjälpas upp med en annan sensor som inte har samma dåliga sidor.

3 Reglerteori 2016, Föreläsning 4 Daniel Axehill 7 / 18 Sensorfusion Reglerteori 2016, Föreläsning 4 Daniel Axehill 8 / 18 Enkel sensorfusion: läge hastighet w Principfall med två oberoende skattningar ˆx 1 och ˆx 2 av samma tillståndsvektor x. Kovariansmatriser för skattningarna: P 1 och P 2. Fusion av de båda skattningarna till en enda ˆx ˆx = P ((P 1 ) 1ˆx 1 +(P 2 ) 1ˆx 2 ) P =((P 1 ) 1 +(P 2 ) 1 ) 1 Kalmanfiltret gör den optimala sammanvägningen: sensorfusion. x, x 1 2 Rörelse i en dimension: x 1 läge, x 2 hastighet. Accelerationen varierar slumpvis kring noll: modelleras som vitt brus, w. Läges- och hastighetsmätning: y 1 respektive y 2. Läge och hastighet mäts med mätfel v 1 respektive v 2. Reglerteori 2016, Föreläsning 4 Daniel Axehill 8 / 18 Enkel sensorfusion: läge hastighet Kalmanfilter: Bodediagram - Lägesskattning w 2 lägesmätning till lägesskattning till lägesskattning 5hastighetsmätning Modell: w, v okorrelerade x, x 1 2 ẋ = [ ] 0 1 x [ ] 0 w 1 y = x + v [ ] r1 0 R 1 =1, R 2 = 0 r ˆx 1 y 1 +0 y 2 ˆx 1 0 y 1 + y 2

4 Kalmanfilter: Bodediagram - Lägesskattning Kalmanfilter: Bodediagram - Hastighetsskattning 2 lägesmätning till lägesskattning till lägesskattning 5hastighetsmätning till hastighetsskattning 5lägesmätning hastighetsmätning till hastighetsskattning ˆx 1 y 1 +0 y 2 ˆx 1 0 y 1 + y 2 ˆx 2 d dt y 1 +0 y 2 ˆx 2 0 y 1 + y 2 Kalmanfilter: Bodediagram - Hastighetsskattning Kalmanfilter: Bodediagram - Sammanfattning till hastighetsskattning 5lägesmätning 5 2 hastighetsmätning till hastighetsskattning 2 ˆx 2 d dt y 1 +0 y 2 ˆx 2 0 y 1 + y 2 2 lägesmätning till lägesskattning 2 till hastighetsskattning 5lägesmätning 5 2 till lägesskattning 5hastighetsmätning 5 2 hastighetsmätning till hastighetsskattning 2 Alltså: Hög brusintensitet på en mätning Filtret litar inte så mycket på den mätningen (relativt sett).

5 Reglerteori 2016, Föreläsning 4 Daniel Axehill / 18 DEL II: LINJÄR REGLERTEORI Reglerteori 2016, Föreläsning 4 Daniel Axehill 11 / 18 Det slutna systemet Föreläsning 4: Det slutna systemet Föreläsning 5: Regulatorstrukturer Föreläsning 6: LQ-reglering Föreläsning 7: Att forma kretsförstärkningen Föreläsning 11-12: Specifikationer och begränsningar Det kanoniska blockschemat Stabilitet för det slutna systemet Känslighet Robusthet Önskemål Reglerteori 2016, Föreläsning 4 Daniel Axehill 12 / 18 Det slutna systemet: viktiga signaler Reglerteori 2016, Föreläsning 4 Daniel Axehill 13 / 18 Det slutna systemet: viktiga överföringsfunktioner u, styrsignalen z, det vi vill styra r, referenssignal, det vi vill att z skall vara y, mätsignal, det vi mäter Störningar w u, störning på ingången w, störning på utgången n, mätstörning Det kanoniska blockschemat w u w n r F r u G F y z y Överföringsfunktioner: G c =(I + GF y ) 1 GF r S =(I + GF y ) 1 S u =(I + F y G) 1 T =(I + GF y ) 1 GF y Signalsamband: z = G c r + Sw Tn+ GS u w u w u w n r F r u G F y z y Ofta är y = z + n För linjära system har u formen u = F r (s)r F y (s)y u = S u F r r S u F y (w + n)+s u w u

6 Reglerteori 2016, Föreläsning 4 Daniel Axehill 14 / 18 Stabilitet för det slutna systemet Betrakta det slutna systemet som ett system med insignaler w u, w och utsignaler u, y (för tillfället är alltså r =0, n =0). [ ] [ ][ ] y GSu S wu = (1) u S u S u F y w Om G och F y representeras av styr- och observerbara tillståndsbeskrivningar går det att visa att det återkopplade systemet i (1) också blir styr- och observerbart. Om man kontrollerar alla fyra överföringsfunktionerna GS u, S, S u, S u F y kommer man därför att hitta alla poler till systemet (och kan speciellt kontrollera stabiliteten). Reglerteori 2016, Föreläsning 4 Daniel Axehill 15 / 18 Känslighet I praktiken känner man inte systemet exakt. Låt z = G c r =(I + GF y ) 1 GF r r för modellen G. Antag att sanna systemet är G 0 =(I +Δ G )G Då blir z 0 =(I +Δ z )z, Δ z = S 0 Δ G, S 0 =(I + G 0 F y ) 1 Eftersom G 0 ej känd måste S 0 i praktiken approximeras av S =(I + GF y ) 1 Tolkning: S är förstärkningen från modellfel till signalfel. Reglerteori 2016, Föreläsning 4 Daniel Axehill 16 / 18 Robusthet Reglerteori 2016, Föreläsning 4 Daniel Axehill 17 / 18 Önskemål Hur stora modellfel Δ G kan man ha utan att stabiliteten i det slutna systemet äventyras? Om Δ G T < 1 så är det slutna systemet fortfarande stabilt. Detta är i sin tur uppfyllt om T (iω) < 1 Δ G (iω), alla ω I G c liten Reglerstorheten ska följa referenssignalen. S liten Systemstörningar och modellfel ger liten inverkan på reglerstorheten (utsignalen). T liten Mätstörningar ger liten inverkan på reglerstorheten (utsignalen) och så att modellfel inte äventyrar stabiliteten. G ru och G wu små Insignalen u ska vara måttlig. Men notera att S + T = I G c = GG ru

7 Reglerteori 2016, Föreläsning 4 Daniel Axehill 18 / 18 Sensorfusion för platooning Daniel Axehill Reglerteori 2016, Föreläsning 4 (ver. 1.17) Tillgängliga mätningar: Sensorer i bilen via CAN-bussen (t.ex. hastighet). GPS. Avstånd till fordonet framför via radar. Andra bilars tillståndsskattning via Wifi. Fusionera till en tillståndsskattning (hastighet, position, mm.) med Kalmanfilter.