Reglerteori, TSRT09. Föreläsning 8: Olinjäriteter och stabilitet. Torkel Glad. Reglerteknik, ISY, Linköpings Universitet

Transkript

1 Reglerteori, TSRT09 Föreläsning 8: Olinjäriteter och stabilitet Reglerteknik, ISY, Linköpings Universitet

2 Sammanfattning av föreläsning 7 2(27) H 2 - och H - syntes. Gör W u G wu, W S S, W T T små. H 2 : Minimera ( W S S W TT W ug wu 2 2 ) dω. H : Sätt absolut gräns på W S S, W T T, W u G wu för alla ω. Leder till algebraiska Riccatiekvationer.

3 Sammanf. fö. 7: För- och nackdelar med H 2, H 3(27) (+) Hanterar direkt kraven på S, T, G wu. (+) Talar om när krav är omöjliga (via γ). (+) Lätt väga olika krav (i frekvensplanet) mot varandra. (-) Kan vara svårt att detaljstyra uppförandet i tidsplanet. (-) Ger ofta komplicerade regulatorer (antalet regulatortillstånd = sammanlagda antalet i G, W u, W S, W T ).

4 Sammanf. fö. 7: Linjär flervariabel regulatorsyntes 4(27) Sammanfattning Gör RGA-analys. Använd enkla enkretsregulatorer av typ PID om RGAn visar att det är möjligt. Använd annars linjärkvadratisk eller H 2 /H -syntes.

5 DEL III: OLINJÄR REGLERTEORI 5(27) Föreläsning 8: Olinjäriteter och stabilitet Föreläsning 9: Cirkelkriteriet och beskrivande funktion Föreläsning 10: Fasplan Föreläsning 11: Regulatorsyntes och exakt linjärisering

6 DEL III: OLINJÄR REGLERTEORI 5(27) Föreläsning 8: Olinjäriteter och stabilitet Föreläsning 9: Cirkelkriteriet och beskrivande funktion Föreläsning 10: Fasplan Föreläsning 11: Regulatorsyntes och exakt linjärisering

7 Exempel: DC-servo med styrsignalmättning 6(27) r ũ u y Σ K(s + 2) s s(s + 1) 1 DC-motor styrd med en lead-lag-regulator. Man vill styra vinkeln y hos motorn. Styrspänningen u från regulatorn är begränsad: mättning. Mättningen gör systemet olinjärt.

8 Exempel: DC-servo med styrsignalmättning, forts. 7(27) DC-servo med vinkel-referenssteg av olika amplitud. blått: stegamplitud 1 rött: stegamplitud 5 (skalat med 1/5) Stegsvaret är alltså amplitudberoende. Om systemet varit linjärt hade kurvorna sammanfallit

9 DC-servo forts.: Rampsvar och sinussvar 8(27) Rött: referenssignal. Blått: utsignal Rampsvar: Ungefär som linjärt Sinussvar: Ungefär som linjärt.

10 DC-servo forts.: Rampsvar + sinussvar 9(27) Rött: r. Blått: y. Grönt: y då r är en ren ramp (som föregående sida) Här händer något: ingen sinus alls i svaret och rampfelet har ökat...

11 DC-servo forts.: Rampsvar + sinussvar 9(27) Rött: r. Blått: y. Grönt: y då r är en ren ramp (som föregående sida) Strider mot superpositionsprincipen!

12 DC-servo forts.: Styrsignal före och efter mättning 10(27) Rött: före mättning (ũ). Blått: efter mättning (u)

13 Slutsatser 11(27) Superpositionsprincipen gäller inte. Speciellt: Stegsvarets kvalitativa utseende är amplitudberoende. Inverkan av olika insignaler är inte additiv.

14 Viktigaste (?) olinjära systemet 12(27) ẋ 1 = x 2 ẋ 2 = ax 2 + b sin(θ ext x 1 ) Förenklad modell av generator (vattenkraft, kärnkraft, kolkraft, vindkraft,...). Modell av faslåsningskrets (frekvens- och fasdemodulering, generering av stabiliserade frekvenser,...). x 1 vinkel(fas)läge, x 2 vinkelhastighet, θ ext extern vinkel/fas.

15 Generator ansluten till elnätet 13(27) J θ = Md f θ + K sin(ω0 t θ ) Md : Moment från propellern. f θ : Dämpning (friktion etc.). K sin(ω0 t θ ): Interaktion med elnätet. Resten av elnätet snurrar med vinkelhastigheten ω0. Tecknet på θ ω0 t bestämmer om generatorn ger eller tar effekt från nätet. Bildkälla: Vattenfall

16 Generator ansluten till elnätet 13(27) Kan skrivas på tillståndsform: x 1 = x2 M f ω0 f K x 2 = d x2 sin(x1 ) J J J, u ax2 b sin(x1 ) där x1 är fasfelet mot nätet. x2 är derivatan av fasfelet. Bildkälla: Vattenfall

17 Stabilitet 14(27) Stabilitet: Definition Lyapunovfunktioner Stabilitet via linjärisering Lågförstärkningssatsen Cirkelkriteriet

18 Jämviktspunkt 15(27) Ett system där dynamiken ges av ẋ(t) = f (x(t), u(t)) sägs ha en jämviktspunkt i x 0 om f (x 0, u 0 ) = 0 för en insignal u 0. D.v.s. startas systemet med x(0) = x 0 gäller att x(t) = x 0, t 0.

19 Jämviktspunkt: exempel 16(27) x 1,0 = 0 + 2πn, u 0 = 0 x 1

20 Jämviktspunkt: exempel 16(27) x 1,0 = π + 2πn, u 0 = 0 x 1

21 Linjärisering 17(27) ẋ = f (x, u) y = h(x) Stationär punkt, (jämviktspunkt, singulär punkt) x 0, u 0 : (x 0, u 0 konstanter) Linjärisering: f (x 0, u 0 ) = 0, y 0 = h(x 0 ) d dt (x x 0) = A(x x 0 ) + B(u u 0 ), y y 0 = C(x x 0 ) A = f x (x 0, u 0 ), B = f u (x 0, u 0 ), C = h x (x 0 )

22 Stabilitet 18(27) Definition: En jämviktspunkt x 0 är stabil om det för varje ɛ > 0 finns ett δ > 0 sådant att x(t) x 0 < ɛ för alla t > 0 så snart x(0) x 0 < δ.

23 Stabilitet 18(27) D.v.s. givet ett krav att lösningen måste hålla sig kvar inom avståndet ɛ från jämviktspunkten x 0 för all framtid ska vi alltid kunna hitta en boll centrerad i x 0 med radien δ sådan att kravet är uppfyllt för alla startpunkter i den här bollen. x(t)-x 0 x(0)-x 0 x(0) x 0 x(t)

24 Asymptotisk stabilitet 19(27) Definition: En jämviktspunkt x 0 är asymptotiskt stabil om den är stabil och det dessutom finns ett δ > 0 sådant att x(t) x 0, t så snart x(0) x 0 < δ.

25 Asymptotisk stabilitet 19(27) D.v.s. startas systemet tillräckligt nära x 0 kommer systemet till slut ända in till x 0 när t. x(t)-x 0 x(0)-x 0 x 0 x(0) x(t)

26 Global asymptotisk stabilitet 20(27) Definition: En jämviktspunkt x 0 är globalt asymptotiskt stabil om δ ovan kan tas godtyckligt stort. D.v.s. oavsett från var systemet startas kommer systemet till slut ända in till x 0 när t. J.m.f. linjära asymptotiskt stabila system.

27 Lyapunovfunktioner: avstånd till målet 21(27) Låt en funktion V(x) beteckna ett (generaliserat) avstånd till en jämviktpunkt x 0. Avståndet ska vara nollskilt tills dess att systemet har kommit till vila på rätt ställe : V(x 0 ) = 0, V(x) > 0, x = x 0 Det ska synas om systemet sticker iväg : V(x) x Avståndet ska avta hela tiden tills dess att slutdestinationen är nådd: d dt V(x(t)) = V x(x(t))ẋ(t) = V x (x(t))f (x(t)) < 0, x(t) = x 0 Lyapunovfunktionen kan ibland ges en energitolkning, d.v.s. systemets totalenergi ska minska för att få stabilitet.

28 Lyapunovfunktioner 22(27) V(x 0 ) = 0, V(x) > 0, x = x 0 V(x) x V x (x)f (x) < 0, x = x 0 Medför ẋ = f (x) har en globalt asymptotiskt stabil lösning x(t) = x 0. Räcker att V x (x)f (x) 0 och ingen lösning (utom x(t) = x o ) förlöper helt i det område där V x (x)f (x) = 0. Om V har ovanstående egenskaper i en omgivning av x 0 så gäller (lokal) asymptotisk stabilitet.

29 Lyapunovfunktion för generator 23(27) V = 1 2 x2 2 + (1 cos x 1 ) 3 V x2 x1

30 Lemma (27) Lemma 12.1 Antag att systemet ẋ = Ax är asymptotiskt stabilt, d.v.s. att alla egenvärden till matrisen A ligger strikt i vänster halvplan. Då finns det till varje positivt semidefinit matris Q en positivt semidefinit matris P som löser ekvationen Om Q är positivt definit så är P positivt definit. A T P + PA = Q (1) Omvänt, finns det positivt semidefinita matriser P och Q så att (1) gäller och att paret (A, Q) är detekterbart, så har A:s alla egenvärden negativt realdel.

31 Linjärisering och stabilitet 25(27) Sats: Om ett linjäriserat system är asymptotiskt stabilt så är också det ursprungliga systemet asymptotiskt stabilt i ett område kring linjäriseringspunkten. Motivering: Skriv systemet som ẋ = Ax + g(x) där g innehåller kvadratiska och högre ordningens termer. Konstruera en Lyapunovfunktion V = x T Px för ẋ = Ax genom att lösa A T P + PA = Q, Q > 0, P > 0 Detta V är Lyapunovfunktion även då termen g tas med om x är tillräckligt litet.

32 Cirkelkriteriet 26(27) Linjärt system G(s) återkopplat med en statisk olinjäritet f (x) f (0) = 0, k 1 f (x) k 2 x Stabilt om nyquistkurvan till G(iω) inte omcirklar eller går in i cirkeln. Im 1 k 1 1 k 2 Re G(iω)

33 Olinjär reglering... 27(27)...från Stanford.