TENTAMEN I TSRT09 REGLERTEORI

Transkript

1 SAL: Egypten TENTAMEN I TSRT09 REGLERTEORI TID: kl. 14:00 18:00 KURS: TSRT09 Reglerteori PROVKOD: DAT1 INSTITUTION: ISY ANTAL UPPGIFTER: 5 ANSVARIG LÄRARE: Daniel Axehill, tel , BESÖKER SALEN: cirka kl. 15:00 och 17:00 KURSADMINISTRATÖR: Ninna Stensgård, , ninna.stensgard@liu.se TILLÅTNA HJÄLPMEDEL: 1. T. Glad & L. Ljung: Reglerteori. Flervariabla och olinjära metoder 2. T. Glad & L. Ljung: Reglerteknik. Grundläggande teori 3. Tabeller, t.ex.: L. Råde & B. Westergren: Mathematics handbook C. Nordling & J. Österman: Physics handbook S. Söderkvist: Formler & tabeller 4. Miniräknare LÖSNINGSFÖRSLAG: Finns på kursens websida efter skrivningens slut. VISNING av tentan äger rum , kl på examinators tjänsterum, B-huset, ingång 25, A-korridoren till höger. PRELIMINÄRA BETYGSGRÄNSER: betyg 3 23 poäng betyg 4 33 poäng betyg 5 43 poäng OBS! Lösningar till samtliga uppgifter ska presenteras så att alla steg (utom triviala beräkningar) kan följas. All egen skriven kod som används ska skrivas ut och lämnas in med tentan. Bristande motiveringar ger poängavdrag. Lycka till!

2 UTSKRIFTSTIPS (LINUX): Utskrifter av vanliga filer kan skickas till en viss skrivare genom att man skriver kommandon som till exempel lp -d printername file.pdf i ett terminalfönster. (Byt ut printername mot den aktuella skrivarens namn.) Om man väljer File/Print i ett simulinkschema kan man ange en viss skrivare genom att lägga till -Pprintername i rutan vid Device option. AID ska finnas på samtliga inlämnade blad: Man kan lägga in text i matlabplottar med kommandona title och gtext och i scopeplottar i Simulink genom att högerklicka i dem och välja Axes properties. I simulinkscheman kan man dubbelklicka på något blankt ställe och sedan skriva in text. 2

3 1. (a) Nedan listas fem uppgifter som du kan råka ut för som reglertekniker. Under dessa uppgifter finns fem reglertekniska verktyg listade. Para ihop rätt uppgift (siffra) med rätt verktyg (bokstav) och motivera noggrant varför. Uppgift: 1. Du behöver mäta en signal som du inte har råd att sätta en sensor på. 2. Du skulle behöva visa global asymptotisk stabilitet för ett olinjärt system. 3. Givet ett kvadratiskt uttryck för effekten i reglerfelet och ett kvadratiskt uttryck för effekten i styrsignalen vill du göra en reglering som kan tolkas som en optimal avvägning mellan storleken hos dessa i tidsplanet. 4. Du blir ombedd att designa ett slutet system för vilket det gäller att S(iω) < 0.01, ω och T (iω) < 0.01, ω, där kretsförstärkningen G(s)F y (s) avtar som s Du vill skapa ett slutet system för vilket det gäller att S(iω) < 25s 2 och T (iω) < s s+0.04, ω. s 2 +s+0.04 Verktyg: A. LQ-design B. H -design C. Kalmanfilter D. Lyapunovfunktion E. Bodes integralsats (b) Betrakta ett linjärt system på formen ẋ = Ax (5p) med två tillstånd x 1 och x 2. I figur 1 återfinns en tidsplot av x 1 (t) resp. x 2 (t). Baserat på dessa plottar, skissa fasplanet (inkl. riktning) för systemet. Tips: Notera att några ringar är utritade vid samma tidpunkter i båda plottarna. Några av dessa punkter (t.ex.) kan vara lämpliga att använda som stöd när fasplanet skissas. (2p) 3

4 x 1 x 2 x 1 (t) t x 2 (t) t Figur 1: Tidsplottar av tillstånden x 1 och x 2. 4

5 (c) Beräkna poler och nollställen till systemet ẋ(t) = x(t) u(t) ( ) y(t) = x(t) utan att använda Matlab-kommandona pole, zero eller tzero. Tips: Tänk på att det är polerna, och inte egenvärdena, som efterfrågas! (3p) 5

6 2. Betrakta ett styckvis linjärt system där dynamiken i olika delar av tillståndsrummet ges av Antag att q = ẋ 1 = qx 1 x 2 5 ẋ 2 = x 1 om x 1 > 5 ẋ 1 = qx 1 x ẋ 2 = x 1 om x 1 < 5 ẋ 1 = 0 ẋ 2 = 5 om x 1 = 5 och qx 1 + x (a) Vilka jämviktspunkter finns och av vilken typ är de (entangentnod, tvåtangentnod, sadelpunkt,...)? (4p) (b) Skissa systemets fasplan. Ange tydligt de eventuella regioner med olika dynamik som det består av. (4p) (c) Fås någon limit cycle i detta fasplan? I så fall rita tydligt in denna i din skiss av fasplanet. (2p) 6

7 3. Betrakta systemet ẋ 1 = tan x 1 + x u ẋ 2 = x 1 2u (a) Inför en utsignal av formen y = αx 1 + βx 2 och välj α, β så att det relativa gradtalet blir två. Ange sedan en återkoppling som ger en linjär andra ordningens dynamik från referenssignalen r till utsignalen y. (5p) (b) Ett system med insignal u och utsignal y har överföringsfunktionen G(s) = 200 s(s + 5)(s + 20) och återkopplas med en mättad P-regulator Ke Ke 1 u = 1 Ke > 1, e = r y 1 Ke < 1 där r är referenssignalen. Vi betraktar fallet r = 0. För vilka positiva K-värden kan en självsvängning uppstå enligt beskrivande funktionsmetoden? Vilken frekvens får den? (5p) 7

8 4. Innan du kan börja jobba med uppgiften i Matlab måste du först ändra Matlabsökvägen genom att köra kommandot addpath( /site/edu/rt/tsrt09/tenta/ ) i Matlabs kommandofönster. I sökvägen finns nu en fil robotmodel.mat med matriserna A och B i en linjäriserad modell ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t) av roboten i figuren nedan. Tillstånden i modellen motsvaras av följande fysikaliska variabler och x 1 vinkel 1 enligt figuren x 2 vinkel 2 enligt figuren x 3 vinkelhastighet 1 (ẋ 1 ) x 4 vinkelhastighet 2 (ẋ 2 ) u 1 pålagt moment, motor 1 u 2 pålagt moment, motor 2 (a) Hur skulle C och D se ut i mätsignalsekvationen y(t) = Cx(t) + Du(t) om bara vinklarna enligt figuren kunde mätas? (2p) (b) Antag att roboten startas i begynnelsetillståndet x(0) = ( ) T alltså vinklarna x 1 och x 2 lika med 1 rad. Bestäm en återkoppling på formen u(t) = Lx(t) ( sådan att roboten tar sig till tillståndet x = T 0) och uppfyller x 1 < 0.1 efter 10 sekunder. x 2 < 0.1 efter 10 sekunder. x 3 < 0.25 hela tiden. x 4 < 0.25 hela tiden. u 1 < 100 hela tiden. u 2 < 50 hela tiden. Antag att alla tillstånd kan mätas utan mätbrus. Visa genom att bifoga lämpliga plottar samt din kod att kraven är uppfyllda. (6p) 8

9 (c) Motorerna som används för att styra roboten ger i praktiken inte ett konstant moment in i systemet. Momentet kommer istället att svänga kring en nivå som ges av u 1 och u 2. Antag att svängningarna i momentet är periodiska med en viss frekvens ω dist. Hur kan man systematiskt införa och kompensera för dessa svängningar i reglersystemet om vi antar att vi använder LQ och tillståndsåterkoppling? (2p) 9

10 5. Betrakta följande olinjära system ẋ 1 = x γx 1 + u ẋ 2 = x 2 + γx 1 där γ är en godtycklig reell konstant. (a) Antag u = 0 och γ = 0. Du ska nu analysera stabilitet för det här system med Lyapunov-teori. Vilken av följande tre funktioner är en lämplig kandidat som Lyapunovfunktion för att försöka visa att jämviktspunkten i origo är globalt asymptotisk stabil för systemet ovan? 1. V (x 1, x 2 ) = x V (x 1, x 2 ) = x 2 1 x V (x 1, x 2 ) = x x2 2 Motivera ditt val noggrant, både varför en viss funktion är lämplig respektive varför två funktioner är olämpliga som Lyapunovfunktioner. Notera att du ska inte göra själva analysen än, bara välja en funktion som är lämplig att gå vidare med. (2p) (b) Antag fortfarande att u = 0, men låt γ vara fri. Försök visa global asymptotisk stabilitet kring origo. Ange ett tillräckligt krav på γ R för att origo ska vara en globalt asymptotiskt stabil jämviktspunkt. Ledning 1: Det kan vara en bra idé att först bestämma av vilken typ jämviktspunkten i origo är. Ledning 2: För att få ett globalt resultat kan Lyapunovfunktionen från (a) vara användbar. Ledning 3: x T Hx < 0, x 0 λ max (H) < 0 där λ max ( ) betecknar största egenvärdet. (5p) (c) Antag nu att du är fri att välja insignalen u, vilken alltså inte längre behöver vara identiskt lika med noll. Utnyttja din Lyapunovfunktion från (a) för att välja en tillståndsåterkoppling u(x 1, x 2 ) sådan att origo blir en globalt asymptotiskt stabil jämviktspunkt för det slutna systemet för varje fixt val av γ. Din återkoppling kan bli en funktion av γ. (3p) 10