Försättsblad till skriftlig tentamen vid Linköpings universitet

Transkript

1 Försättsblad till skriftlig tentamen vid Linköpings universitet Datum för tentamen Sal (1) Egypten (Om tentan går i flera salar ska du bifoga ett försättsblad till varje sal och ringa in vilken sal som avses) Tid 14:00 18:00 Kurskod TSRT09 Provkod DAT1 Kursnamn/benämning Reglerteori Institution ISY Antal uppgifter som ingår 5 i tentamen Jourhavande lärare Isak Nielsen a, Torkel Glad b, (Daniel Axehill c ) (Ange vem som besöker salen) Telefon under skrivtiden a, b, ( c ) Besöker salen cirka kl. 15:00 och 17:00 Kursadministratör/ kontaktperson Ninna Stensgård, , ninna.stensgard@liu.se (Namn, telefonnummer, mejladress) Tillåtna hjälpmedel 1. T. Glad & L. Ljung: Reglerteori. Flervariabla och olinjära metoder 2. T. Glad & L. Ljung: Reglerteknik. Grundläggande teori 3. Tabeller, t.ex.: L. Råde & B. Westergren: Mathematics handbook C. Nordling & J. Österman: Physics handbook S. Söderkvist: Formler & tabeller 4. Miniräknare Övrigt Vilken typ av papper Rutigt ska användas, rutigt eller linjerat Antal exemplar i påsen

2

3 SAL: Egypten TENTAMEN I TSRT09 REGLERTEORI TID: kl. 14:00 18:00 KURS: TSRT09 Reglerteori PROVKOD: DAT1 INSTITUTION: ISY ANTAL UPPGIFTER: 5 ANSVARIG LÄRARE: Torkel Glad, (Daniel Axehill ), tel , ( ) BESÖKER SALEN: cirka kl. 15:00 och 17:00 KURSADMINISTRATÖR: Ninna Stensgård, , ninna.stensgard@liu.se TILLÅTNA HJÄLPMEDEL: 1. T. Glad & L. Ljung: Reglerteori. Flervariabla och olinjära metoder 2. T. Glad & L. Ljung: Reglerteknik. Grundläggande teori 3. Tabeller, t.ex.: L. Råde & B. Westergren: Mathematics handbook C. Nordling & J. Österman: Physics handbook S. Söderkvist: Formler & tabeller 4. Miniräknare LÖSNINGSFÖRSLAG: Finns på kursens websida dagen efter skrivningens slut (något försenat p.g.a. tjänsteresa). VISNING av tentan äger rum , kl i Ljungeln, B- huset, ingång 27, A-korridoren till höger. PRELIMINÄRA BETYGSGRÄNSER: betyg 3 23 poäng betyg 4 33 poäng betyg 5 43 poäng OBS! Lösningar till samtliga uppgifter ska presenteras så att alla steg (utom triviala beräkningar) kan följas. All egen skriven kod som används ska skrivas ut och lämnas in med tentan. Bristande motiveringar ger poängavdrag. Lycka till!

4 UTSKRIFTSTIPS (LINUX): Utskrifter av vanliga filer kan skickas till en viss skrivare genom att man skriver kommandon som till exempel lp -d printername file.pdf i ett terminalfönster. (Byt ut printername mot den aktuella skrivarens namn.) Om man väljer File/Print i ett simulinkschema kan man ange en viss skrivare genom att lägga till -Pprintername i rutan vid Device option. TENTAND-ID PÅ UTSKRIFTER: Man kan lägga in text i matlabplottar med kommandona title och gtext och i scopeplottar i Simulink genom att högerklicka i dem och välja Axes properties. I simulinkscheman kan man dubbelklicka på något blankt ställe och sedan skriva in text. 2

5 1. (a) Betrakta systemet ẋ = x u [ ] y = x Vilken RGA har detta system vid frekvensen 0? (3p) (b) LQ-återkopplingen för systemet i (a) för ett visst val av Q 1 och Q 2 är [ ] K = Vad blir K om istället Q 1 och Q 2 båda väljs 10 gånger större? (2p) (c) Betrakta en kula i en halvklotformad glasskål som vi antar rör sig längs en linje sett uppifrån (den roterar inte runt i skålen). Inför kulans tillstånd x 1 som radiellt avstånd till centrum av skålen och x 2 som kulans hastighet längs samma linje. Skissa, utan att göra några räkningar, kulans fasplan. (2p) (d) Vilket ordningstal krävs för att realisera överföringsfunktionen G(s) = [ 1 s + 2 ] 1 (s + 1) 2 på tillståndsform? (3p) 3

6 2. Ett olinjärt system beskrivs av blockdiagrammet i figur 1 där G(s) är ett linjärt dynamiskt system som ges av G(s) = 1 s(s + 3) och f är en statisk olinjäritet illustrerad i figur 2. (a) Undersök det slutna systemets stabilitet m.h.a. cirkelkriteriet. (4p) (b) Cirkelkriteriet kan ses som en vidareutveckling av lågförstärkningssatsen. Hade det för systemet i den här uppgiften fungerat att utföra analysen i (a) istället direkt med hjälp av lågförstärkningssatsen och kommit fram till samma resultat? Glöm som vanligt inte att noggrant motivera ditt svar! (2p) (c) Betrakta nu ett helt annat olinjärt system. Använd Lyapunovteori för att undersöka stabilitet hos systemet { ẋ1 = x x 2 ẋ 2 = x 1 x 3 2 i origo. (Ledning: Ansätt en kvadratisk Lyapunovfunktion.) (4p) 4

7 r Σ G(s) 1 f Figur 1: Blockdiagram över det slutna systemet i uppgift 2 (a) och (b). f Figur 2: Den statiska olinjäriteten f i uppgift 2 (a) och (b). 5

8 T 1 T 2 PID U 1 U 2 Figur 3: Temperaturreglering av två närliggande rum. 3. Du har fått i uppdrag att konstruera ett reglersystem för uppvärmningen av två rum enligt figur 3. Temperaturerna T 1 och T 2 mäts och styrsignalerna är värmeeffekterna U 1 och U 2. De senare antas kunna vara både positiva och negativa, vilket representerar att rummen både kan värmas och kylas (exakt hur växlingen mellan värme och kyla går till bryr vi oss inte om här). Efter vissa skalningar och förenklingar kan överföringsfunktionen skrivas som [ ] [ ] [ ] 5s T1 U1 T 2 = s s s s s s s s s U 2 (1) (a) Din uppdragsgivare vill av komplexitetsskäl använda en lösning som baseras på vanliga envariabla PID-regulatorer. Tyvärr så påverkar rumstemperaturen i det ena rummet temperaturen i det andra rummet, så det är inte helt rättframt att använda dessa envariabla regulatorer. Beskriv ett (formellt) tillvägagångssätt som löser det multivariabla reglerproblemet baserat på två PIDar. Alla räkningar som eventuellt krävs för att föra över problemet på en form där PID-regulatorer kan användas ska vara utförda, dock behöver inte parametrarna i PID-regulatorerna väljas. Däremot ska du presentera blockschemat för din lösning, där det tydligt ska framgå vilka komponenter som ingår och speciellt var det reglerade systemet G(s) och de två PIDarna F y,1 (s) och F y,2 (s) återfinns. (5p) (b) Betrakta åter överföringsfunktionen i ekvation (1). Designa en multivariabel IMC-regulator för systemet i (1) sådan att det slutna systemet får statisk förstärkning I. en stigtid på 10 ± 1 minuter vid ett steg i referenssignalerna var för sig. 6

9 nämnarpolynomet får inte för något element i Q vara av högre ordning än 3. Simulera det slutna systemet i Simulink. Din inlämnade lösning ska åtminstone inkludera en utskrift av simulink-schemat, en utskrift av kod som har använts för eventuella beräkningar, ett numeriskt uttryck för överföringsmatrisen Q, en utskrift av en plott som visar svaret i både T 1 och T 2 vid ett referenssteg i börvärdestemperaturen för rum 1 (man tänker sig att man har linjäriserat systemet kring en lämplig temperatur, så steget blir från 0 till 1) samtidigt som börvärdet är konstant lika med 0 för rum 2, samt analytiskt visa att din regulator ger statisk förstärkning I för det slutna systemet. I din inlämnade plott ska stigtiden vara inritad, så att dess värde tydligt framgår. (5p) 7

10 4. Betrakta ett olinjärt system på formen (a) Beräkna en styrlag på formen ẋ 1 = x x 2 2 ẋ 2 = x u u = (ū f 1 (x))/f 2 (x) med potentiellt olinjära funktioner f 1 (x) och f 2 (x) som ger ett linjärt förhållande mellan en ny virtuell insignal ū och utsignalen y = x 2. (3p) (b) Fås någon nolldynamik med din beräknade återkoppling från (a)? Ange i så fall denna. Kan denna ge upphov till problem, är den farlig? På vilket sätt är den i så fall farlig? (2p) (c) Beräkna nu en styrlag på formen u = (ũ f 3 (x))/f 4 (x) som gör systemet exakt linjäriserat med en ny virtuell insignal ũ. (5p) 8

11 5. Betrakta systemet G(s) = 1 s 1 representerat på tillståndsform med brus som ẋ(t) = x(t) + u(t) + v 1 (t) z(t) = x(t) y(t) = x(t) + v 2 (t) Brusen v i (t) är vita med intensiteter R i. Vi använder kriteriet och vill beräkna LQG-regulatorn. V = Q 1 x 2 (t) + Q 2 u 2 (t)dt, (a) Beräkna ett analytiskt uttryck för regulatorn (från y till u) uttryckt i α = Q 1 /Q 2 och β = R 1 /R 2. (8p) (b) Beräkna polerna hos det slutna systemet som en funktion av α och β. (2p) 9